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一章习题解答

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一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23xyz=+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A Bθ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A xyz+-===-e e e A a e e e A（2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 c o s AB θ=8==A B A B，得 1c o s A Bθ-=(135.5-=（5）A 在B 上的分量 BA =A c o s AB θ==-A B B（6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xy z-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xy z-=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z-=-e e （8）()⨯⨯=A B C 1014502xy z---=-e e e 2405x y z -+e e e ()⨯⨯=A B C 1238520xy z-=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123P P P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为12y z=-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e则 12214x z=-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，311367x y z =-=---R r r e e e由此可见1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e故123P P P ∆为一直角三角形。

（2）三角形的面积12231221117.1322S =⨯=⨯=R RRR 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z=-+r e e e ，则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e且P P'R与x 、y 、z 轴的夹角分别为11cos ()cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R11cos ()cos 120.47y P P y P Pφ'--'===e R R11cos ()cos (99.73z P P z P Pφ--''==-=e R R1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z=-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为1131cos()cos 131θ---===A B A B A BA 在B 上的分量为31 3.532B A -===-B A B1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求⨯A B 在x y z=-+C e e e 上的分量。

解 ⨯=A B 234641xy z-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=CAB ()14.43⨯==-A B CC1.6 证明：如果A B =A C 和⨯=A B ⨯A C ，则=B C ；解 由⨯=A B ⨯A C ，则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ，即()()()()-=-A B A A A B A C A A A C由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设A 为一已知矢量，p =A X 而=⨯P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=⨯P A X ，有()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X A A A X故得 p -⨯=A A P X A A1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 4c o s (23)2x π==-、4s i n (23)3y π==3z =故该点的直角坐标为(2,3)-。

（2）在球坐标系中5r ==、1tan (43)53.1θ-== 、2120φπ==故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9 用球坐标表示的场225rr=E e，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和xE ；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。

解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故22512rr==E e13cos220x x rx E θ-===⨯=-e E E（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z=-+-r e e e ，所以233452525rr-+-===e e e r E故E 与B 构成的夹角为 11cos ()cos (153.632θ--==-=E BE B E B1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。

证明1R 和2R 间夹角的余弦为121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e得到 1212cos γ==R R R R1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d rS θ⎰eS 的值。

解(3sin )d (3sin )d rrr SSS θθ==⎰⎰eS ee 222d 3sin 5sin d 75ππφθθθπ⨯=⎰⎰1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r rz∂∂∇=+=+∂∂A所以425d d d (32)d 1200z r r r πττφπ∇=+=⎰⎰⎰⎰A又2d (2)(d d d )r z r r z z SS r z S S S φφ=+++=⎰⎰A S e e e e e4252255d d 24d d 1200z r r ππφφπ⨯+⨯=⎰⎰⎰⎰故有d 1200ττπ∇=⎰A d S=⎰A S1.13 求（1）矢量22222324x y zx x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解 （1）2222232222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z xyz∂∂∂∇=++=++∂∂∂A（2）∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1121222221212121d (2272)d d d 24x x y x y z x y z ττ---∇=++=⎰⎰⎰⎰A（3）A 对此立方体表面的积分12121212221212121211d ()d d ()d d 22S y z y z ----=--+⎰⎰⎰⎰⎰A S121212122222121211112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+⎰⎰⎰⎰121212122232231212121211124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=⎰⎰⎰⎰故有 1d 24ττ∇=⎰A d S=⎰A S1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求∇r 对球体积的积分。

解223d d d sin d 4r SSS aa a ππφθθπ===⎰⎰⎰⎰r S r e又在球坐标系中，221()3r r r r∂∇==∂r ，所以22300d 3sin d d d 4ar r a ππττθθφπ∇==⎰⎰⎰⎰r 1.15 求矢量22x y zx x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。

再求∇⨯A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解22222d d d 2d 0d 8Cx x x x y y =-+-=⎰⎰⎰⎰⎰A l又 2222xy z x z yz x x y z xxy z∂∂∂∇⨯==+∂∂∂e e e A e e所以 2200d (22)d d 8xz z Syz x x y ∇⨯=+=⎰⎰⎰A S ee e故有d 8C=⎰A l d S=∇⨯⎰A S1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算∇⨯A 对此圆面积的积分。

解 2d d d CCx x xy y =+=⎰⎰A l 242422(cos sin cos sin )d 4aaa ππφφφφφ-+=⎰d ()d y x zz SSA A S xy∂∂∇⨯=-=∂∂⎰⎰A S ee 24222d sin d d 4a SayS rr r ππφφ==⎰⎰⎰1.17 证明：（1）3∇=R ；（2）∇⨯=R 0；（3）()∇=A R A 。

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数学物理方法习题解答(完整版)

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数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

习题解答(第1章)

习题解答(第1章)

习题解答 第一章1．举例说明符合光传播基本定律的生活现象及各定律的应用。

答：（1）光的直线传播定律影子的形成；日蚀；月蚀；均可证明此定律。

应用：许多精密的测量，如大地测量（地形地貌测量），光学测量，天文测量。

（2）光的独立传播定律定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播。

说明：各光束在一点交会，光的强度是各光束强度的简单叠加，离开交会点后，各光束仍按各自原来的方向传播。

2．已知真空中的光速c 3×108m/s ，求光在水(n=1.333)、冕牌玻璃(n=1.51)、火石玻璃(n=1.65)、加拿大树胶(n=1.526)、金刚石(n=2.417)等介质中的光速。

解：v=c/n(1) 光在水中的速度：v=3×108/1.333=2.25×108 m/s (2) 光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108 m/s (3) 光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108 m/s (4) 光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108 m/s (5) 光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108 m/s＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。

那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。

除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。

3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm ，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm ，求屏到针孔的初始距离。

解：706050=+l l l =300mm4．一厚度为200mm 的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm 的金属片。

若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少?解：本题是关于全反射条件的问题。

第一章习题答案

第一章习题答案

第⼀章习题答案第⼀章思考题答案1.基于总线结构的计算机系统通常由哪5个部分构成？并简述各部分的主要作⽤。

解答：1.中央处理器CPU(central processor unit)或称微处理器(microprocessor unit)中央处理器具有算术运算、逻辑运算和控制操作的功能，是计算机的核⼼。

2.总线总线是把计算机各个部分有机地连接起来的导线，是各个部分之间进⾏信息交换的公共通道。

3.存储器(memory)存储器的功能是存储程序、数据和各种信号、命令等信息，并在需要时提供这些信息。

4.输⼊输出（I/O）接⼝外部设备与CPU之间通过输⼊输出接⼝连接。

5.输⼊输出(I/O)设备输⼊设备是变换输⼊信息形式的部件。

它将⼈们熟悉的信息形式变换成计算机能接收并识别的信息形式。

输出设备是变换计算机的输出信息形式的部件。

它将计算机处理结果的⼆进制信息转换成⼈们或其他设备能接收和识别的形式，如字符、⽂字、图形等。

2.试举例说明计算机进⾏加法运算的⼯作过程。

解答：⽰例如下：inta,b,c;c=a+b;⼯作过程简述：a，b，c都为内存中的数据，CPU⾸先需要从内存中分别将a，b的值读⼊寄存器中，然后再执⾏加法运算指令，加法运算的结果暂存在寄存器中，因此还需要执⾏数据存储指令，将运算结果保存到内存中，因此像上例中的C语⾔语句，实际上需要经过两条数据读取指令，⼀条加法运算指令，⼀条数据存储指令才能完成。

3.“冯·诺依曼型结构”计算机与哈佛结构计算机的差别是什么？各有什么优缺点？解答：冯·诺依曼结构计算机具有以下⼏个特点：①有⼀个存储器；②有⼀个控制器；③有⼀个运算器，⽤于完成算术运算和逻辑运算；④有输⼊和输出设备，⽤于进⾏⼈机通信；⑤处理器使⽤同⼀个存储器存储指令和数据，经由同⼀个总线传输。

哈佛结构计算机：①使⽤两个独⽴的存储器模块，分别存储指令和数据，每个存储模块都不允许指令和数据并存；②具有⼀条独⽴的地址总线和⼀条独⽴的数据总线，利⽤公⽤地址总线访问两个存储模块（程序存储模块和数据存储模块），公⽤数据总线则被⽤来完成程序存储模块或数据存储模块与CPU 之间的数据传输；③两条总线由程序存储器和数据存储器分时共⽤。

化工原理(钟理)02551习题解答第一章流体流动习题及解答(上册)

化工原理(钟理)02551习题解答第一章流体流动习题及解答(上册)

流体流动习题解答1－1 已知甲城市的大气压为760mmHg ，乙城市的大气压为750mmHg 。

某反应器在甲地操作时要求其真空表读数为600mmHg ，若把该反应器放在乙地操作时，要维持与甲地操作相同的绝对压，真空表的读数应为多少，分别用mmHg 和Pa 表示。

[590mmHg, 7.86×104Pa]解：P （甲绝对）=760-600=160mmHg 750-160=590mmHg=7.86×104Pa1－2用水银压强计如图测量容器内水面上方压力P 0，测压点位于水面以下0.2m 处，测压点与U 形管内水银界面的垂直距离为0.3m ，水银压强计的读数R ＝300mm ，试求 （1）容器内压强P 0为多少？（2）若容器内表压增加一倍，压差计的读数R 为多少？习题1－2 附图[(1) 3.51×104N ⋅m －2 (表压)； (2)0.554m] 解：1. 根据静压强分布规律 P A ＝P 0＋g ρHP B ＝ρ，gR因等高面就是等压面，故P A ＝ P BP 0＝ρ，gR －ρgH ＝13600×9.81×0.3－1000×9.81(0.2+0.3)=3.51×104N/㎡ (表压)2. 设P 0加倍后，压差计的读数增为R ，＝R ＋△R ，容器内水面与水银分界面的垂直距离相应增为H ，＝H ＋2R∆。

同理， ''''''02R p gR gH gR g R gH gρρρρρρ∆=-=+∆--000p g g p p 0.254m g g 10009.81g g 136009.812R H R ρρρρρρ⨯∆⨯⨯，，，4，，－（－）－ 3.5110＝＝＝＝－－－220.30.2540.554m R R R ∆，＝＋＝＋＝1－3单杯式水银压强计如图的液杯直径D ＝100mm ，细管直径d ＝8mm 。