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2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤< C .{}2x x ≤ D .{}21x x -≤< 2．纯虚数z 满足()i zz 421-=⋅+，则z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144．在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ）A. 2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB. 2736MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC. 1263MN AC AB -=u u u u r u u u r u u u r D. 7263MN AC AB-=u u u u r u u u r u u u r5．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ρρ，若()()b a b a ρρρρλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D.sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.1254- B. 358+- C. 514+- D. 458+-12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前n 项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 有两个零点，求实数m 的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+14、16 15、16，29 16、82π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分 （1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n Λ ---------10分 999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（0，3，2），AD u u u v =（2，0，t ），1AC u u u u v =（1，3，2），设平面ADC 1的法向量n v=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，取x=1，得21,,33n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭v ， 平面ABC 的法向量m v=（0，0，1），--------------------------------9分设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm nv vv v =222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=2327t t -+=()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（21，2]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-u u u u v u u u v，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分 1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u v u u u v()()21212124k x x k x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=u u u u v u u u v ，∴221612234k k -=+，···········10分解得2k =±，满足0∆>，···········11分···········12分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++． 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分，因此()11k f '==．···········2分因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，···········6分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x 上的最小值为()e g ，······10分故()g x 在区间上有两个零点的条件是所以实数m ···········12分22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sinρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭， 所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）Q ()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤-- 11 - 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）Q ()3f x ≤ ∴111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。
2020届河北省衡水金卷新高考基础演练试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题。
1.在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数1ii+，再由复数的几何意义即可得出结果. 【详解】因为21(1)1i i ii i i++==-，所以其对应点为(1,1)-，位于第四象限. 故选D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为（ ） A. 第一枚为5点，第二枚为1点 B. 第一枚为5或6点，第二枚为1点 C. 第一枚为6点，第二枚为1点 D. 第一枚为1点，第二枚为6点【答案】C 【解析】 【分析】由题意，“4X >”即是“5X =”，利用随机事件的定义直接求解.【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ， 所以，“4X >” 即“5X =”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”. 故选C【点睛】本题主要考查随机事件，熟记概念即可，属于常考题型.3.已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：210<<m 是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：21>m 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A. ()()p q 刭? B. ()p q 刭C. ()p q ∧⌝D. p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假。
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „ 7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．输出S1n=1,S=1结束开始C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0 CD110．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:2811．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生n开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min 12414PA PB ⋅=-⨯=u u u r u u u r ．故选A ．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f xg x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. FM SEDCBA由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =， 则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵，∴， 整理得，…………2分则，解得，则的取值范围为．…………5分（2）∵，∴，即，则．…………6分 假设存在等差数列，则，即，解得，从而，…………8分此时，…………9分，…………11分故存在等差数列，且，使得数列的前项和为．…………12分 18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分221212a a a a +=+()221112a a d a d ++=+()22112210a d a d d +-+-=()()224180d d d ∆=---≥11d -≤≤d []1,1-1d =-2112420a a -+=11a =2n a n =-{}n b 2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩1216b b =⎧⎨=⎩54n b n =-2211111n n n n a b n n ==-+++222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++{}n b 54n b n =-21nn a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n 1nn +又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,2D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n得201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =-u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ===u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014kΔkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。
2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研测试卷数学试题（理科）一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】先求出A B ⋂，再结合题意即可求出结果. 【详解】()1,8A =-Q ，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25B ．425C ．25π D ．1625π【答案】D【解析】根据几何概型面积型计算公式直接求解即可. 【详解】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆． 故选：D 【点睛】本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.5．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）A ．2018?n „B ．2019?n „C ．2020?n „D ．2021?n „【答案】B【解析】执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 【详解】由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ，则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =． 故选：B 【点睛】本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题. 7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „1n=1,S=1开始7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度 9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0C 2D 21 10．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 11．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ； （2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+， 211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min12414PA PB⋅=-⨯=u u u r u u u r．故选A ． 10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =， 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒．故选D ．12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P的轨迹的周长为M S(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f x g x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. 由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x=，则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+， 整理得()22112210a d a d d +-+-=，…………2分 则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．…………5分（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．…………6分 假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，…………8分 此时2211111n n n n a b n n ==-+++，…………9分 222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++，…………11分故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为1nn +．…………12分18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分 又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =， 过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B ，(3C ，130,2D ⎛- ⎝⎭，(3AC =-u u u r ，132,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得23013202x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,3=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,3CP m =--u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，()252sin cos 371,5m CP m m θ===⇒=⋅+-u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤< ()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分 20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=． 由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =， 所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x -+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xx x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分 23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分 （2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=( )A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是( ) A. 2i -B. 2i +C. 12i +D. 12i -3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则( ) A. ()()0.63(3)log 132f f f -<-<B. ()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C. ()()0.632log 13(3)ff f <-<- D. ()()0.632(3)log 13ff f <-<-4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是( ) A.25B.425C.25π D.1625π5.命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 必要充分条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是( )A. 2018?n …B. 2019?n …C. 2020?n …D. 2021?n …7.函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为( ) A. B.C. D.8.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度9.已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是( ) 212C. 0D. 110.圆锥SD (其中S 为顶点，D 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( ) A. 9:32B. 8:27C. 9:22D. 9:2811.已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A.B.C. 2D.12.若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为( ) A. 2eB. eC. 1D.12二.填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)13.在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式数之和为256，则常数项等于______．14.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为____________．15.正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为_______．16.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是_______ 三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.在公差为d等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+.(1)求d 的取值范围；(2)已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.18.如图()1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别.2EF AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE -BCF ，如图()2．(1)若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若//DE CF ，3CD =AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 5AP 的长．19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ．(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． (附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=)20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和22,⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB ∆是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围21.已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()23e 2x g x x x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)求1C ，2C 交点的直角坐标； (2)设点A的极坐标为(4,)3π，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.23.已知函数()121f x x x =++-． (1)解不等式()2f x x ≤+；(2)若()3231g x x m x =-+-，对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．。
河北省衡水金卷2019-2020学年下学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．72,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭2.给出下列表述: ①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推证法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3.设复数z 满足(1)1i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i - C- D4.用反证法证明命题“若sin cos 1θθ=，则sin 0θ≥且cos 0θ≥”时，下列假设的结论正确的是（ ）A ．sin 0θ<或cos 0θ<B ．sin 0θ<且cos 0θ<C ．sin 0θ≥或cos 0θ≥D ．sin 0θ>且cos 0θ>5.方程2222t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线的下支 D ．圆 6.若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙3个柱子，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n =（ ）A ．7B ．8C ．11D ．158.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有222c a b =+.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用1S ，2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）A ．4123S S S S =++B ．41232222S S S S =++C ．41233333S S S S =++D ．41234444S S S S =++9.设函数()(sin cos )(04)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的所有极大值之和为（ ） A ．4ne B ．2e eππ+ C ．3e e ππ- D ．3e e ππ+10.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A 135．245+ C ．445+．511.已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)，(4,)+∞12.已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +--=有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．(0,)+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.复数321iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部为 ． 14.在极坐标系中，直线l 的方程为2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点32,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离为 ． 15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．16.已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，c R ∈22()()a c b c -++的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数22(4)z m m i =+-，其中i 为虚数单位，当实数m 取何值时，复数z 对应的点： （1）位于虚轴上； （2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a n +=+，*n N ∈.（1）写出1a ，2a ，3a ，并推测数列{}n a 的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a tyt⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值.20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过300）： 空气质量指数 (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]空气质量等级1级优 2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年某100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望.21.已知抛物线24y x =的焦点为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点B 为此抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且53BF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于点T ，求TFPQ的取值范围. 22.已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）若函数()f x 在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求函数()f x 的最小值()g a 的最大值；（3）设函数()()(2)h x f x a x =+-，[1,)x ∈+∞，求证：()2h x ≥.河北省衡水金卷2019-2020学年下学期期中考试高二数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: BCDAB 6-10: ACBDB 11、12：DC 二、填空题13. 52-15. 甲三、解答题17.解：（1）复数z 对应的点位于虚轴上， 则220040m m m =⎧⇒=⎨-≠⎩.∴0m =时，复数z 对应的点位于虚轴上. （2）复数z 对应的点位于一、三象限，则22(4)0(2)(2)0m m m m m ->⇒-+<2m ⇒<-或02m <<. ∴当(,2)(0,2)m ∈-∞-U 时，复数z 对应的点位于一、三象限.（3）复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则4z ==0m ⇒=或2m =±.∴0m =或2m =±时，复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上. 18.解：（1）将1n =，2，3分别代入21n n S a n +=+，可得132a =，274a =，3158a =. 猜想122n n a =-.（2）①由（1），得1n =时，命题成立； ②假设n k =时，命题成立，即122k k a =-， 那么当1n k =+时，1211k k k a a a a a ++++⋅⋅⋅+++2(1)1k =++，且1221k k a a a k a ++⋅⋅⋅+=+-，所以12122(1)123k k k a a k k ++-+=++=+， 所以11111222222k k k k a a +++=+-⇒=-， 即当1n k =+时，命题也成立. 根据①②，得对一切*n N ∈，122n na =-都成立. 19.解：（1）曲线1C的参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则曲线1C 的普通方程为10x y a --+=.由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=， 得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=， ∴22240x x x y +--=，即曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设A ，B 两点所对应参数分别为1t ，2t ， 将曲线1C 的参数方程代入2C ：24y x =，得22140t a -+-=. 若有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->，即0a >.由韦达定理，有1212142t t a t t ⎧+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，根据参数方程的几何意义， 可知12PA t =，22PB t =，又由2PA PB =，可得12222t t =⨯， 即122t t =或122t t =-. ∴当122t t =时，有122212231422t t t a t t t ⎧+==⎪⎨-⋅==⎪⎩1036a ⇒=>，符合题意. 当122t t =-时，有12221221422t t t a t t t ⎧+=-=⎪⎨-⋅=-=⎪⎩904a ⇒=>，符合题意. 综上所述，实数a 的值为136或94. 20.解：（1）由直方图，可估算2017（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365+⨯=⨯109.5110=≈（天）.（2）由题，可知X 的所有可能取值为0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，则3464(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131424(10000)105125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 22314(20000)105P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭2131410827105500125C ⎛⎫+⨯⨯==⎪⎝⎭， 31311(30000)1010P X C ⎛⎫==+⨯ ⎪⎝⎭1214491051000C ⨯⨯⨯=， 22311(40000)1010P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭22314271051000C ⎛⎫+⨯⨯=⎪⎝⎭， 223113(50000)10101000P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 311(60000)101000P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为642427()01000020000125125125E X =⨯+⨯+⨯49273300004000050000100010001000+⨯+⨯+⨯16000090001000+⨯=（元）.21.解：（1）由已知，可得24y x =的焦点坐标为(1,0)F ， 设0000(,)(0,0)B x y x y >>， 则0513BF x =+=， 解得023x =， 所以2028433y =⨯=.由点B 在椭圆C 上，得2200221x y a b+=，即2248193a b +=. 又221a b =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，与直线4x =无交点， 故直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，则223636(34)0m m ∆=++>，122634my y m -+=+，122934y y m -=+，所以12PQ y y =-==2212(1)34m m +=+. 当0m ≠时，直线2l 的方程为(1)y m x =--，由4(1)x y m x =⎧⎨=--⎩，得4x =，3y m =-， 即(4,3)T m -，所以TF ==所以2234112TFm PQ m +=+14⎛⎫= ⎝.设t =，则1t >， 则3144TF t PQ t=+， 由于3144y t t =+在区间(1,)+∞内为增函数， 所以31144y >+=，则1TFPQ>. 当0m =时，223b PQ a==，(4,0)T ， 则3TF =，所以1TFPQ=.综上，得TF PQ的取值范围是[1,)+∞. 22.解：（1）函数()f x 在区间(0,2)内单调递减 (0,2)x ⇔∀∈，恒有'()0f x ≤成立， 而22'()0ax f x x -=≤， 故对(0,2)x ∀∈，恒有2a x ≤成立， 而21x>，则1a ≤满足条件. 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.（2）当0a >时，222'()0ax f x x x a -==⇒=. 随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的最小值22()ln g a f a a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. '()ln 2ln 02g a a a =-=⇒=.随x 的变化，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：所以()g a 的最大值为(2)2g =.（3）因为[1,)x ∈+∞，所以当2a ≥时，()()(2)h x f x a x =+-2ln (2)a x a x x =++-. 因为22'()20ax h x a x-=+-≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 故()(1)2h x h a ≥=≥.当2a <时，()()(2)h x f x a x =--2ln (2)a x a x x =+--， 由22'()2ax h x a x -=-+ [(2)2](1)0a x x x-+-==， 解得202x a=-<-（舍去）或1x =. 又20a ->，故1x ≥时，'()0h x ≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 所以()(1)42h x h a ≥=->.综上所述，对[1,)x ∀∈+∞，()2h x ≥恒成立.。
