高玉良《电路与模拟电子技术》第2版,课后习题答案,第四章
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第四章 非正弦周期电流电路
4.1 验证图4.1.1(b)所示三角波电压的傅里叶级数展开式，并求出当U m =123V 时的有效值。
解：三角波电压在一个周期（ππ,-）内的表示式为
2
2m m U t U ωπ-- 2
πωπ-≤≤-t )(t u = t U m ωπ
2 2
2
πωπ≤≤-t
m m U t U 22
+-
ωπ
πωπ≤≤t 2
由于)(t u 是奇函数，故其傅里叶级数展开式中，系数A 0=0，C km =0
⎰+-
=π
πωωπ)(s i n )(1t td k t u B km
2
2
2
221
1
()sin ()sin ()m
m
U U t k td t t k td t π
π
π
π
ωπωωωωωπππ
π
-
-
-
=
-
++
+⎰⎰
2
21
()sin ()m
U t k td t π
π
ωπωωπ
π
-
-⎰
对第一个积分式作变量变换后，与第三个积分式相同，故
⎰⎰
-+
+-=
22
2
2
2
)(sin 2)(sin )(4π
πππ
ωωωπ
ωωπωπ
t td k t U t td k t U B m
m
km
222
2222
2
42()cos cos ()cos cos ()m
m
U U
t k t k td t t k t k td t k k ππ
ππ
ππππωπωωωωωωωππ--
⎡
⎤⎡
⎤
=--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎦
⎣
⎦
⎣
⎰⎰ 224211cos sin sin 2cos sin 2222222m m
U U k k k k k k k k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
-+--⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦ 22
8sin 2m U k k π
π=
=⎪⎩
⎪⎨⎧--+0)12()1(821
2l U l m π l k l l k 212=-=为自然数 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---+++-=+ t l l t t t U t u l m ωωωωπ)12sin()12()1(5sin 251
3sin 91sin 8)(2
12 U m =123V 时
V t t t t u )s i n 25
1
3sin 91(sin 100)( ++-=ωωω
各谐波分量有效值为
21001=U ，291003=U ，2251005=U
总有效值
V U U U 2.712519112
100222321=+++=++=
4.2 求题4.2图所示半波整流电压的平均值和有效值。
解：半波整流电压在一个周期内可表示为
2s i n 02()02
m T U t t T
u t T
t T π⎧≤≤
⎪⎪=⎨
⎪≤≤⎪⎩
电压平均值
2000112()sin T T m U u t dt U tdt T T T
π
==⎰⎰
2
2cos 0.322m m
m U U T t U T T
ππ
ππ
=
=
=
电压有效值
U =
0.5
2
m m U U =
==
4.3 在题4.3图所示电路中，L=1H ，R=100Ω， u i =20+100sin ωt+70sin3ωt ，基波频率为50Hz ，求输出电压u 0及电路消耗的功率。
解：电感对直流相当于短路，故输出电压中直流分量U 0=20V ，由分压公式得，u 0中基波分量为
V j L j R R U m
︒-∠=⨯+⨯=︒∠+=3.723.301
31410010010001001ω 电流中基波分量为 A R U I m ︒-∠=⋅=3.722
303.02111 三次谐波分量为
V j L j R R U m
︒-∠=⨯+⨯=︒∠+=9.834.73
3141007010007033ω
A I ︒-∠=9.832
074.03
V t t u )9.833sin(4.7)3.72sin(3.30200︒-+︒-+=ωω
T/2
T
题4.2
图
+u o
-
题4.3图
电路消耗的功率为各谐波消耗的功率之和
W
I U I U P P 9.83.06.449.83cos 2074.02703.72cos 2303.021*******cos cos 22
221110=++=︒⨯+︒⨯+=++=ϕϕ 或为电阻R 消耗的平均功率
W P P P P 9.8100
124.71001
23.30100202
2
2310=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=
4.4 在题4.4图所示电路中，U S =4V ，u (t)=3sin2tV ，求电阻上的电压u R 。
解：利用叠加定理求解较方便 直流电压源U s 单独作用时 V
U u S R 4==' 交流电压源)(t u 单独作用时
20.51L X L ω==⨯=Ω
111212
C X C ω=
==Ω⨯ 电阻与电感并联支路的等效阻抗为
Ω︒∠=+=+⨯452
2
1j j jX R JX R L L
故
450345R
U V ︒''=︒=∠︒
V t u R )452sin(23︒+=''
V t u u u R R R )452sin(234︒++=''+'=
4.5 在RLC 串联电路中，已知R=10Ω，L=0.05H ，C=22.5μF ，电源电压为u(t)=60+180sin ωt+60sin(3ωt+45°)+20sin(5ωt+18°),，基波频率为50H Z ，试求电路中的电流、电源的功率及电路的功率因数。
解：RLC 串联电路中，电容对直流相当于开路，故电流中直流分量为零。
对基波
6
113140.0515.7,141.531422.510L C X L X C ωω-==⨯=Ω=
==Ω⨯⨯ Ω︒-∠=-+=-+=3.85126)5.1417.15(10)(1j X X j R Z C L
+u (t )-题4.4图
基波电流的幅值相量为
1
1800 1.4385.312685.3I A ∠︒
==∠︒∠-︒
对三次谐波
Ω==1.473L X L ω，Ω=1.47C X ，Ω=103Z
三次谐波电流的幅值相量为
3
604564510
I A ∠︒==∠︒ 对五次谐波
Ω==5.785L X L ω，Ω=2.28C X
Ω︒∠=-+=-+=8.782.51)2.285.78(10)(5j X X j R Z C L 五次谐波电流的幅值相量为
5
20180.3960.851.278.8I A ∠︒
==∠-︒∠︒
总电流为
A t t t t i )8.605sin(39.0)453sin(6)3.85sin(43.1)(︒-+︒++︒+=ωωω
电源的功率
135111333555cos cos cos P P P P I U I U I U ϕϕϕ=++=++
1
[1.43180cos(85.3)660cos00.3920cos78.8]1912
W =⨯-︒+⨯︒+⨯︒= 电路的无功功率
555333111531ϕ+ϕ+ϕ=++=sin U I sin U I sin U I Q Q Q Q
var .].sin .).sin(.[41248782039003851804312
1
-=︒⨯++︒-⨯=
功率因数
840124
1911912
2
2
2
.Q
P P =+=
+=λ
4.6 在题4.6图所示π型RC 滤波电路中，u i 为全波整流电压，基波频率为50H Z ，如要求u 0的二次谐波分量小于直流分量的0.1%，求R 与C 所需满足的关系。
解：全波整流电压为
2221cos2cos4315m i U u t t V ωωπ⎛⎫
=
--+ ⎪⎝⎭
显然，0u 中的直流分量与i u 中的直流分量相等，为
2m
U V π
题4.6
图
对二次谐波，其幅值为
0211||
4213||2m m
j
U C U R j C
ωπω===+按要求有
20.1%m
U π
<⨯
2000
3
即
2000
1.0623143
RC >
=⨯⨯。
