小学奥数系列：16幻方与数阵图扩展

小学奥数16数阵图1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

第20讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题。

典型问题兴趣篇1．把1～9这9个数分别填人图20-1中的9个○内，使得三个圆周及三条线段上的3个数之和都相等。

答案：答案不唯一，如：解析：全部数字之和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，而每一个圆圈都算了2次，则三个圆周上的数字和、三条线段上的数字和都加起来的总和，等于全部数字之和的2倍，即45×2=90，则每部分的和为90÷6=15.而15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.可发现1、3、7、9只出现2次，优先考虑．若其中一格填1，则与1相连的圆周和线段上的数字分别为6、8和5、9，如图1所示，则与9相连的圆周上只能是2、4．如图2，则竖线第2空为15-2-8=5，但5已经填过了，不合题意，舍去，如图3，则竖线第2空为15-4-8=3，左斜线第2空为15-2-6=7，如答案所示，经检验符合题意，（本题实际上是基本三阶幻方的变形简化：横行对应本题的圆圈，竖行对应本题直线，若熟记此基本幻方，就可以快速得到本题答案）2．(l)如图20-2，在3×3的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等．(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。

答案：(1)(2)解答(1)幻和等于16+11+12=39.第二行已知11和15，中间的数为39-11-15=13.此时两条对角线都可以填出：39-12-13=14, 39-16-13=10.笫一行与第三行也可以填出：39-16-14=9,39-12-10=17.(2)幻和等于8+5+9+12=34.第二列与第三列可以填出：34-4-5-11=14, 34-7-9-16=2.第一行、第三行、第四行可以填出：34-14-7-12=1,34-5-16-3=10,34-8-11-2=13．第一列与第四列可以填出：34-1-10-8=15,34-12-3-13=6.3．在图20-4所示的3×4方格表的每个空格中填入恰当的数后，可以使各行、各列的各数之和都相等．那么标有符号“+”的方格内所填的数是多少？答案：1解析:第一列的和等于2+3+7=12，全部数字之和等于12×4=48，每行的知等于48÷3=16，第一行已经填了2、4、5，则最后一个是16-2-4-5=5，从而标有“*”的格内的数是12-5-6=1．4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方。

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

小学数学《幻方与数阵图》练习题（含答案）1. 把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.解：2. 把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?解：3. 在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,解：4. 在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.解：5. 图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.解：6. 把1~16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.解：7. 将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26. 解：8. 在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.解：9. 把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.解：10. 将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.解：作业：1. 10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______.答案： 24.2. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案：4 7 1 3 82 9 5 6 11 1 63 9 2 10 5 84 73. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.答案：4. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.答案：5. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.答案：。

幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。

二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。

第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。

第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。

第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。

第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。

【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

幻方的概念与基本性质，三阶和四阶幻方的编制，各种在方格表中填入数值或符号要求在每行、每列及对角线上具有某种性质的幻方类型的数阵图问题．其他结构较为独特的数阵图问题。

例题：1．用l至9这9个数编制一个三阶幻方，写出所有可能的结果．所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格的个数．[分析与解]为了方便叙述，在幻方内标上字母．显然有a+c+e＝h+A+g＝f+d+b，而这9个数的和为1+2+3+…+9＝45，所以每行，每列，两条对角线的和均为45÷3＝15．又有a+A+b＝c+A+d＝e+A+f＝g+A+h，所以有a+b＝c+d＝e+f＝g+h＝k，那么有4k+4A＝15×4，而4k+A＝45，所以A＝5，即中间数为5，k＝10，试着填入，有如下填充结果满足题意：．2．已知图16-1是一个四阶幻方，那么标有“*”的方格中所填的数是多少?[分析与解]对角线的和为12+9+5+8＝34，于是，第三列的和也是34，有34－7－9－16＝2知第三列第四行的数为2．有34－8－11－2＝13，则第四行第四列为13．有34－12－3－13＝6，所以第四列第二行为6，即标有“*”的方格内所填得数为6．3．将自然数l至9分别填在如图16-2所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．[分析与解]设中间的数为A，有a+b＝5+A，c+d＝5+A，e+f＝5+A，g+h＝5+A，那么有a+b+c+d+e+f+g+h+A ＝20+5A＝1+2+3+…+9＝45．有A＝5，a+b＝10，c+d＝10，e+f＝10，g+h＝10，即为普通的三阶幻方，答案与题一一样．有如下图给出几种填法：4．把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216．求位于正中间的方格中所填的数．[分析与解]有1×36＝2×18＝3×12＝4×9，36×6＝216，所以有中心填入6．多次调整位置，可得出如下填法：．5．图16-3是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?[分析与解]第一行和第一列都包含“*的方格，且它们的和相等，那么左下角中的方格内数为8+10－1＝17．那么这个幻方的和就是(10+17)÷2＝13.5．这样，每行每列数的和就应当是10+13.5+17＝40.5．标有*的方格内填入的数应是40.5－10－8＝22.5．6．在图16-4的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有*的格内所填的数是多少?[分析与解]中央的数为19.95÷3＝6.65，因而第二列第一个数是19.95－6.65－8.80＝4.50．从而标有“*”的格内为19.95－4.33－4.50＝11.12．7．如图16-5所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．[分析与解](1) 由于幻方中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，可以列出等式：(a+b+c)+(d+e+f)＝(a+d+g)+(g+e+c)．化简得：b+f＝2×g．题目已知f＝19，g＝95，因此x＝2×95－19＝171．(2) 因为中间方格填的是100，所以幻方中各行各列三个数的和是100×3＝300．这样第二行第一个方格中应填300－100－19＝181，并且依次求得其他各个方格中的数．结果如上右图．8．在图16-6所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么?[分析与解]从对角线看，★格可能是B、C、D，从第4列看，★格不可能是D．因而★格内只可能为B或C．用上述方法考察左下角，有最小角为B，从而★只能是C．下面给出一种满足题意的填法：．9．请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列成如图16-7所示形状的4个方格中所填数的和都是7．[分析与解]我们先考虑3×3的表格情况，按要求填好后，有：a+b+e+f＝b+e+f+i＝7．所以a=i，同理，c=g．又因为a+b+e+f＝c+b+e+d＝7，从而：a+f＝c+d，同理，g+f＝d+i，两式相加，得到a+g+2×f＝c+i+2×d．其中a=i，c=g，所以f＝d，也就是说中间隔一个方格的两个方格所填入的数相同，我们可以借助上面方法来填写，只用先将一格2×2的小方格填号，使它们的和为7，再将其复制平移知其他的方格内即可．下面给出几种填法：10．如图16-8，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?[分析与解]因为每相邻3位数字之和为20，从右边起第一位数字7与第二，三位数字之和是20，第二、三位数字与第四位数字之和也是20，所以第四位数字是7．这样，我们便找到一条规律：每隔2位必出现相同的数字．所以“？”的数字应该是7．11．如图16-9，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为21，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x．那么x所代表的数是多少？[分析与解]竖行上任意三个相邻数之和为21，从而数列上任意三个相邻数都是由同样的三个数组成(只不过顺序不同)，这样我们可把“3”向下每隔两格的“移动”，最后得到，由此得出中间的一格应填21－3－8＝10．即x的右面一格是10．横行上的任意三个数之和是20．如果把横行最左边的5，每隔两格地“移动”，就知道x的左边一格是5，这样就有x＝20－5－10＝5，即x代表的数是5．12．把l，2，3，…，13这13个数分别填在如图16-10所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把l，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．[分析与解]6只能填入第二个圆，这是因为7－1＝6，6－3＝3．5、8、11都不能填入第一圈，这是因为5－4＝1，8－1＝7，11－7＝4，如果8填入第三个圆，那么5、11都不能填入第三个圆，这是因为8－5＝3，11－8＝3，从而都只能填入第二个圆，这又导致11－5＝6，所以8只能填入第二个圆．因为2不能填入第一个圆，这是因为2－1＝1，也不能填入第二个圆，这是因为8－6＝2，所以2只能填入第三个圆．于是5只能填入第二个圆，这是因为5－3＝2，11只能填入第三个圆，这是因为11－6＝5，13只能填入第一个圆，这是因为13－11＝2，13－8＝5，9只能填入第二个圆，这是因为13－4＝9，11－2＝9，12只能填入第三个圆，这时因为12－6＝6，13－1＝12，10只能填入第一个圆，这是因为10－5＝5，12－2＝10．最终结果如下：13．请在图16-11的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．[分析与解]本题填法不唯一，下面给出两种填法：14．在图16-12的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，那么x等于多少?[分析与解]如下图所示，将剩下的圆圈内标上字母：于是A＝(13+17)÷2＝15，即B+15与D+17相等，均为2C，因此B－D＝2，于是2D＝B+13＝D+2+13，故D＝15．C＝(17+15)÷2＝16，x＝2C－13＝19．15．请在图16-13所示的8个小圆圈内，分别填入1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好分别是l，2，3，4，5，6，7．[分析与解]填法有很多，如下给出两种填法：。

精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：四年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。

幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。

到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。

明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。

将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。

幻方是特殊的数阵图。

大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。

人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。

数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。

幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。

这个相等的和叫“幻和”。

要求在n 行n 列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数。

这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。

因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷2知识梳理2．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。

数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。

请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。

幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。

大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。

宋代数学家杨辉称之为纵横图。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。

幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。

注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

四、 掌握好3阶幻方中的规律。

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。

数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。

其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

幻方和数阵图一、幻方例：用1—9这9个数排成一个三阶幻方1.用3—11这9个数补全图中的幻方，并求出幻和。

2.在图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一个横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30。

3.在图（a ）（b ）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行，每一竖列和对角线上的三个数之和都等于30。

（a ） （b ）4.将5—20这16个数排成一个四阶幻方。

5.将5—29这25个数排成一个五阶幻方。

6.在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是几？7.从1—13这十三个数中选出12个数填到图的方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三数之和也相等。

8.在图中每个方格内填一个数，使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1、3、5、7，那么带“☆”号的两个方格中的数之和等于几？4 859 8 14？19 13第2题 第3题二、数阵图1.把1—7这七个数填入图中的○中，使每条直线上三个数的和都等于14。

第1题 第2题2.将1—9这九个数填入图中的○中，使每条边上四个数的和都等于17。

3.将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。

第3题4.将1—8填在图中的○中，使每条线上的三个数的和都相等，并求出这个和的取值范围。

○ ○ ○○ ○○ ○ ○第4题5.将1—8填在图中的○中，使大圆上、小圆上、横线上、竖线上四个数的和都相等，而且在大圆上的四个数中最大的数尽可能小。

13 57 7 1☆ ☆第5题6.把1—7七个自然数分别填在图中的○内，使得四个三角形的三个顶点数之和等于11，则a填。

○○○a○A○○○B8.将1—8个数填入图中的八个方格内，使上面四格，下面四格，左边四格，右边四格，对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。

第8题9.把1~9这9个数，填入图11中的九个○内，使每条线段上三个数的和相等，两个四边形四个顶点上数的和也相等。

幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。

大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。

宋代数学家杨辉称之为纵横图。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。

幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。

注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

四、 掌握好3阶幻方中的规律。

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。

数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。

其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

第六讲 幻方与数阵图知识导航三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。

例1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。

如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。

于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。

接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。

没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。

看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E 的四条直线：因为A +E +I =15, B +E +H =15, C +E +G =15, D +E +F =15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I 不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是第1题不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。

解：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。

2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展1．把1，2，…，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．9．将1至5这5个数字填入图中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．10．请在图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．11．将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：这个和最小是多少？最大是多少？12．将1，2，3，…，24，25分别填入图20﹣12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数13．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．14．在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？15．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．16．如图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．17．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．18．请将1至10填入如图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆19．如图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．20．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20.20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数是多少？21．请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等．应怎样填？22．将1至9填人图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．23．如图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．24．如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法．25．请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．26．如图是有名的“六角幻方”：将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．27．在图中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．28．在图中的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？30．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．参考答案1．由以上分析可得：【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：点评：解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可．2．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：16+11+12=39；然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可．解：因为第1列的三个数为16、11、12，所以幻和为：16+11+12=39；因此第2行的第2个数为：39﹣11﹣15=13，第1行的第3个数为：39﹣12﹣13=14，第1行的第2个数为：39﹣16﹣14=9，第2列的第3个数为：39﹣9﹣13=17，第3列的第3个数为：39﹣14﹣15=10．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少．3．【解析】试题分析：首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．解：每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，所以第3行的第1个数为：34﹣5﹣16﹣3=10，第2列的第1个数为：34﹣4﹣5﹣11=14，第1行的第1个数为：34﹣14﹣7﹣12=1，第2行的第1个数为：34﹣1﹣10﹣8=15，第2行的第4个数为：34﹣15﹣4﹣9=6，第3列的第4个数为：34﹣7﹣9﹣16=2，第4列的第4个数为：34﹣12﹣6﹣3=13．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34．4．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12；然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；再求出第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可．解：根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12，所以第4列的第1个数和第3个数的和是：12﹣6=6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；因为第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，所以第2行的第2个数和第3个数的和是：16﹣3﹣6=7，第3行的第2个数和第3个数的和是：16﹣7﹣1=8，第2列的第2个数和第3个数的和是：12﹣4=8，第3列的第2个数和第3个数的和是：12﹣5=7，因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2，第3行的第2个数和第3个数分别是3、5．答：标有符号“*”的方格内所填的数是1．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一．5．【解析】试题分析：如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可．解：如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为：14+15+16=45；因此a=45﹣12﹣14=19，c=45﹣19﹣16=10，d=45﹣10﹣15=20，e=45﹣16﹣11=18．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少．6．△=5，▽=5，○=4．【解析】试题分析：根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；因为d、f在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可．解：（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；同理，可得d=1，f=3；m=4，k=1；b=2，○=4；j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5．答：△=5，▽=5，○=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次”，逐一确定每个方格中的数字．7．2种．【解析】试题分析：首先第一行第二列的数最大，只能是9，第一行的第三列最小只能是1，第一行第一列只能是8，第二行第一列只能是7，第二行第三列只能是2，第三行第三列只能是3，第三行第二列只能是4，中间的数可以是6或5，而第三行第一列可以是6或5，所以满足要求的方法有2种方法．解：答案如下：所以满足要求的填法共有2种．点评：解决此题的关键找出最大最小数的位置，进一步确定固定的数以及可调整的数，得出结论．8．【解析】试题分析：首先根据两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，可得当差为7时，只能是8与1的差；剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；据此可得中间两个圆圈中的数分别为1、5，然后填上其余圆圈中的数即可．解：因为两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，所以当差为7时，只能是8与1的差；因为剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；因此中间两个圆圈中的数分别为1、5，可得点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是判断出中间两个圆圈中的数只能是1和5．9．【解析】试题分析：1+2+3+4+5=15，根据题意，可得计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；然后根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3，据此解答即可．解：1+2+3+4+5=15，根据题意，计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出横线、竖线、大圆周上所填数之和均为10．10．【解析】试题分析：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；最后根据B+C+E=2（A+B）=2×7=14，可得B=6，C=5，E=3，据此解答即可．解：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；又因为B+C+E=2（A+B）=2×7=14，所以B=6，C=5，E=3，可得．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，能判断出A+B=C+D=E+F．11．这个和最小是11，最大是16，如图所示：【解析】试题分析：根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9；据此解答即可．解：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；（1）因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4，这个和最小是：（45+0+1+2+3+4）÷5=11；（2）所以要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9，这个和最大是：（45+5+6+7+8+9）÷5=16．答：这个和最小是11，最大是16．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大．12．4.【解析】试题分析：首先根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；然后根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a ﹣*+31…②；再根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；再根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；再根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；再根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；再根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；解：根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a﹣*+31…②；由①②，可得a+*=26；根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；综上，可得a=22，*=4，因此d=22﹣4=18，c=29﹣18=11，b=11﹣5=6，f=b﹣1=5，e=（20+22+4+6）﹣（16+10+24）=52﹣50=2，h=（20+22+4+6+13）﹣（12+19+3+10）=65﹣44=21，i=（20+22+4+6+13）﹣（20+9+23+12）=65﹣64=1，h=（20+22+4+6+13）﹣（1+8+15+24）=65﹣48=17．答：标有符号“*”的方格内所填的数是4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的数的和相等”．13．【解析】试题分析：（1）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；然后根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；再根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；再求出另一条对角线上的三个数的和，进而求出c、d、e的值是多少即可．（2）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；然后根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；最后根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，求出三个数的和是多少，进而求出n、m、p、r的值是多少即可．解：（1）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；另一条对角线上的三个数的和为：24+100+176=300，所以c=300﹣24﹣171=105，d=300﹣100﹣19=181，e=300﹣95﹣176=29．（2）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，可得三个数的和是：5+8+11=24，所以n=24﹣9﹣8=7，m=24﹣5﹣7=12，p=24﹣8﹣6=10，r=24﹣12﹣8=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一确定每个空格中的数即可．14．11.12．【解析】试题分析：首先根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；然后根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以 4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①②③，求出f、c的值，进而求出*是多少即可．解：根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①+②+③，可得3f=26.91，解得f=8.97，所以c=15.62﹣8.97=6.65，所以*=4.47+c=4.47+6.65=11.12．答：标有“*”的方格内所填的数是11.12．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95”，确定出两条对角线上的数分别是多少．15．【解析】试题分析：首先根据第1行和第1列的三个数的和相等，可得第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；然后根据第2行的三个数和对角线上的三个数的和相等，可得第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；再根据第2行和第2列的三个数的和相等，可得第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；最后根据第1行和第3列的三个数的和相等，可得第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，据此求出第1行的第1个数和第3列的第3个数分别是多少，进而求出中心方格的数是多少即可．解：第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，所以第1行的第1个数为：50÷2+2=27，第3列的第3个数为：50÷2﹣2=23；中心方格的数为：（27+17+31）﹣（29+21）=75﹣50=25．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一判断出每个方格中的数是多少．16．【解析】试题分析：首先在0﹣9这10个数字中，找出0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；然后分析确定出相应的数字即可．解：在0﹣9这10个数字中，有0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；左下右上的圆圈里已经有了91、86，所以最简单的方法只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上19、68即可；左上右下的圆圈里已经有了19、68，所以只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上91、86即可．答：左上、左下、右上、右下的圆圈里应分别填上：91、68、19、86．实际上，还有很多种方法，例如：点评：此题主要考查了学生的分析推理能力，分析确定出中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9是解答本题的关键．17．【解析】试题分析：如图，根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；然后根据a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；最后求出每条直线上的和是多少，进而求出e、f的值是多少即可．解：根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；因为a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；因此每条直线上的和为：10+3+5=18，所以e=18﹣5﹣7=6，f=18﹣5﹣2=11．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先根据题意，分别求出四个角上的数分别是多少．18．【解析】试题分析：首先根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；然后根据c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．解：根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；当c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；当b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．，根据对称性，可得满足题意的还有：（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．根据对称性，可得满足题意的还有：（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差”，逐一确定出每个圆圈中的数字即可．19．【解析】试题分析：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，然后根据13+c=15+d=17+e=2f，可得c=d+2，d=e+2，再根据d+13=2e，可得e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16，据此解答即可．解：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，因为13+c=15+d=17+e=2f，所以c=d+2，d=e+2，又因为d+13=2e，所以e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出a的值，并灵活应用“居中的数是旁边两个数的平均数”这一条件．20．6732489．【解析】试题分析：首先根据题意，可得A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；然后根据C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489，据此解答即可．解：因为只有1个1，而且D的正下方第二个数是1，所以A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，因为相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），所以A、B、C、D、E、F、G中也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；因为C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489．答：七位数是6732489．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是灵活应用“相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）”，逐一确定出每个字母代表的数是多少即可．21．由以上分析可得：．【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：。