幂函数与二次函数

幂函数与二次函数1．下列各组函数中，定义域相同的是 ( )A ．y ＝x －4与y ＝13x B ．y ＝32x -与y ＝x －2＋12x C ．y ＝32x 与y ＝23x D ．y ＝x －1与y ＝12x -2．下列结论中，正确的是 ( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,0)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当α取1,2,3，12时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α是减函数3．已知点(33，33)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的定义域为__________，奇偶性为________，单调减区间为4．幂函数y ＝223m m x --（ m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为（ ） A ．－1<m <3 B ．0 C ．1 D ．21．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是 ( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4 2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．[1,2] D ．(－∞，2]3．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m 的范围是__________． 4．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数关系式；(2)作出g (t )的大致图象，并写出g (t )的最小值．1．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于 ( )A ．－b 2aB ．－ba C ．c D.4ac －b 24a2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________．3．已知方程x 2＋2mx －m ＋12＝0的两个根都大于2，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－163，＋∞ B ．(－∞，－4] C.⎝⎛⎦⎤－163，－4 D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值；(2)若方程f (x )＝0有一根小于1，另一根大于1，当b >－6且b 为常数时，求实数a 的取值范围．幂函数与二次函数检测题一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )A ．2 B.34 C.23D ．03．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0) 4．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关 5．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．26．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 二、填空题7．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝__________.8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为 9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．11．(2012·浏阳模拟)已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f (x )≥0的解集．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．13．已知幂函数f (x )＝23m m x -- (m ∈N *，m ≥2)在(0，＋∞)内单调递减，g (x )＝f (x －2009)f (x －2008).(1)求f (x )；(2)比较g (44)与g (45)的大小．幂函数与二次函数检测题一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2解析：设f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：a ＝－12，∴f (2)＝212-＝22. 答案：C2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( ) A ．2 B.34 C.23D ．0解析：由题意得：x ＝1－2y ≥0，∴0≤y ≤12，∴2x ＋3y 2＝3y 2＋2(1－2y )＝3y 2－4y ＋2 ＝3(y －23)2－43＋2∴当y ＝12时2x ＋3y 2有最小值34.答案：B3．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，0)解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7， ∴0.71.3＜1.30.7，∴m ＞0. 答案：A4．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关解析：法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 答案：B5．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由题意f (x ＋1)＝(x ＋1)2－a (x ＋1)＋4＝x 2＋(2－a )x ＋5－a 为偶函数，所以2－a ＝0，a ＝2. 答案：D6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0， 的图象 如图．知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)＞f (a )， 即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝__________.解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 答案：－1或28．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：由题意知f (bx )＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2⇒a ＝2，b ＝－3.所以f (ax ＋b )＝f (2x －3)＝4x 2－8x ＋5， 令f (2x －3)＝0，由Δ＜0，得解集为∅. 答案：∅9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________． 解析：法一：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ， 则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数，∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 法二：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≤0，f 2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. 答案：(－∞，－5]三、解答题(共3小题，满分35分) 10．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．11．(2010·浏阳模拟)已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，∴a ＝2， 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知 f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 2，x ＞0，－x ＋1 2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 13．已知幂函数f (x )＝23m m x-- (m ∈N *，m ≥2)在(0，＋∞)内单调递减，g (x )＝f (x －2009)f (x －2008).(1)求f (x )；(2)比较g (44)与g (45)的大小．解：(1)由于函数f (x )在(0，＋∞)内单调递减，所以m 2－m －3<0，解得1－132<m <1＋132，由于m ∈N *，m ≥2，所以只能取m ＝2，这时f (x )＝x －1.(2)由(1)知g (x )＝f (x －2009)f (x －2008)＝x －2008x －2009＝x －2009＋2009－2008x －2009＝1＋2009－2008x －2009，由于442＝1936,452＝2025，所以44<2009<45，因此g (44)<1，g (45)>1，所以g (44)<g (45)．。