5.5诱导公式

【课题】5．5 诱导公式(第二课时)
【教学目标】
知识目标：
了解 “360k α+⋅”、“α-”、“180°α±”的诱导公式． 能力目标：
（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数； （2）会利用计算器求任意角的三角函数值；
（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．
【教学重点】
三个诱导公式．
【教学难点】
诱导公式的应用．
【教学设计】
（1）利用单位圆数形结合的探究诱导公式； （2）通过应用与师生互动，巩固知识；
（3）通过计算器的使用，体会数字时代科技的进步；
（4）提升思维能力，以诱导公式为载体，渗透化同的数学思想.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
3 -；
2
3
-
3
质疑
质疑
3
-；
2
2。

诱导公式—搜狗百科公式规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。

即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

上面这些诱导公式可以概括为：诱导公式对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。

（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）例如：sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<>所以sin(2π－α)=－sinα记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。

一全正，二正弦，三正切，四余弦。

诱导公式记忆口诀诱导公式大家知道它的记忆方式有哪些吗?哪个可以帮助你记得又快又准?下面是店铺给大家整理的诱导公式记忆口诀，供大家参阅!诱导公式记忆口诀规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。

即α+k·360°(k∈Z)，﹣α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变;②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。

(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

(符号看象限)例如：sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα口诀奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变;符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“-”;第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“-”。

三角函数值，那么任意角的三角函数值都 可以求出了。
这就是这节课我们要解决的问题
二、探究新知
1.对于任何一个 [0,2 ) 内的角 ，其中 [0, )
有四种可能：
2

,当 [0, )
2





,当 [ , )
2
,当 [ , 3 )
2
2 ,当 [3 ,2 )
k Z
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
利用公式，可以把负角转化为正角，把任意角的三角 函数转化为0°～ 360° 范围内的角的三角函数．
复习与思考
问题：怎样计算出 sin 1200的值？
初中，我们学过计算锐角的三角函数的值，
若把[0,2 ]间角的三角函数值转化为锐角
锐角三角函数
用公式三
0~ 2的角的三角函数
或公式四
运用知识 强化练习 练习5.5.3
求下列各三角函数值
（1） tan 225 （2） sin 660
（3） cos495
（4） tan 11π 3
（5） sin 17π 3
（6） cos( 7π) ． 6
知识拓展
化简 cos(1800 ) sin( 3600 ) sin( 1800 ) cos( 1800 )
tasincno863s9903t0acnos(is2ncc9(o4o2ss(1(323860c)0o3s6t3(a0023n(0)3)2)14cs0io)tnas)((n(c33co00oss))342)10csoints2a233n003
① 角 与角 的终边互为反向延长线
它们关于原点对称。

三角函数的诱导公式大全三角函数诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。

诱导公式有六组，共54个，接下来看一下具体内容。

三角函数诱导公式记忆方法奇变偶不变，符号看象限。

即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±ak∈z的三角函数值（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

三角函数诱导公式诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin2kπ+α=sinαk∈Zcos2kπ+α=cosαk∈Ztan2kπ+α=tanαk∈Zcot2kπ+α=cotαk∈Z诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角，弧度制下的角的表示：sinπ+α=-sinαcosπ+α=-cosαtanπ+α=tanαcotπ+α=cotα诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin-α=-sinαcos-α=cosαtan-α=-tanαcot-α=-cotα诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sinπ-α=sinαcosπ-α=-cosαtanπ-α=-tanαcotπ-α=-cotα诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin2π-α=-sinαco s2π-α=cosαtan2π-α=-tanαcot2π-α=-cotα诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sinπ/2+α=cosαcosπ/2+α=-sinαtanπ/2+α=-cotαcotπ/2+α=-tanαsinπ/2-α=cosαcosπ/2-α=sinαtanπ/2-α=cotαcotπ/2-α=tanαsin3π/2+α=-cosαco s3π/2+α=sinαtan3π/2+α=-cotαcot3π/2+α=-tanαsin3π/2-α=-cosαcos3π/2-α=-sinαtan3π/2-α=cotαcot3π/2-α=tanα三角函数化简与求值时注意事项①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

sin（＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
cos（3π/2－α）＝－sinα
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

梦想会让你与众不同，奋斗会使你改变命运5.5.1 诱导公式 (一)教学目标：知识与能力目标：1.能够借助三角函数的定义及单位圆推导出三角函数的诱导公式2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题情感目标：1.通过诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度 2.通过诱导公式探求工程中的合作学习，培养学生团结协作的精神；3. 通过诱导公式的运用，培养学生的划归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

一 导入：二、自学（阅读教材第110---112页，回答下列问题）在直角坐标系下，α角的终边与圆心在原点的单位圆相交于(),P x y ，则c o s x α=，sin y α=（一）终边相同的角：终边相同的角的公式一：()sin 2k απ+=_______ ()cos 2k απ+=________ ()tan 2k απ+=________（二）关于x 轴的对称点的特征： 。

对于角而言：角α关于x 轴对称的角为_______公式二：()sin α-=__________ ()cos α-=_________ ()tan α-=_________ 三、讨论1.求下列各三角函数值： ①cos 405 ②13sin 6π ； ③5tan()3π- ；④sin(60)- ⑤19cos()3π-⑥17tan()4π- 2. 化简（1）()()()sin 1071cos9sin 9sin 9-⋅+--（2）()()()sin 420cos 750sin 330cos 660⋅+--（3）252525sincos tan 634πππ⎛⎫++- ⎪⎝⎭四．检测1、利用公式求下列三角函数值： （1）cos315（2）11sin 3π （3）17sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）()cos 2100-（5）()cos 300-（6）11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭ （7）85cos 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （8）17sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭五 反思本节课你有那些收获？存在那些不足？ 六 运用1. P 111练习 5.5.1, P 112练习5.5.22.学习与训练；训练题5.5.1, 训练题5.5.2梦想会让你与众不同，奋斗会使你改变命运5.5．2 诱导公式 (二)教学目标：知识与能力目标：1.能够借助三角函数的定义及单位圆推导出三角函数的诱导公式2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题情感目标：1.通过诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度 2.通过诱导公式探求工程中的合作学习，培养学生团结协作的精神；3. 通过诱导公式的运用，培养学生的划归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1) sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
5 瀑布
叶圣陶（1894年－ 1988年），原名叶绍 钧，字秉臣，汉族人， 江苏苏州人，著名作 家、教育家、编辑家、 文学出版家和社会活 动家。
想一想
5瀑 布
叶圣陶
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！
时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
三角
三
三角
角
函数
5.5 诱 导 公 式
角 的终边与单位圆的交点为 P (cos , sin )．
y
P( cos ,sin )
sin
O cos
x
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 P (x，y)．
则
任意角 +k*360° 的终边与单位圆的交点 P 的
坐标是 ( x，y) ；
3
3
3
(4) sin 870 sin(30 5180) sin(180 30) sin 30 1 ．

∴cos(π4－α)>0，
－sin2π4－α ＝
1－a2
，sin(
5π 4
＋α)＝
sin[π＋(π4＋α)]
＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4＋α)]
＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
诱导公式的使用 已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)．
[错解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(4π－α)]＝cos(4π－α)＝ 1－a2.
D. 1－m2
[答案] A
已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不 好，在sin[32π－(π4－α)]中，要把“4π－α”看成锐角来确定三角 函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组17个公式，公式较多，易 错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4，
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，

第五单元5.5《诱导公式》教案7sinsin33ππ=，7cos cos 33ππ=.如图1所示，角α的终边与单位圆的交点为(cos ,sin )P αα，终边继续旋转2()k k Z π∈后，点(cos ,sin )P αα又回到原来的位置，所以其各三角函数值并不发生变化.二、新知学习我们已知，所有与α终边相同的角，连同α在内，可以组成一个集合：{}|+2,S k k ββαπ==∈Z由三角函数的定义可知，角+2()k k απ∈Z 与角α的同名三角函数的值相等. （“同名”指同为正弦、余弦或正切，下同）．于是，当k ∈Z 时，可以得到下面的一组公式：()()()()()()+2 +2 +2 .sin k sin k Z cos k cos k Z tan k tan k Z απααπααπα=∈=∈=∈；； 公式一 即，终边相同的角的同名三角函数值相等.例题讲解理解记忆相关概念和结论直观展示新知和结论，突出本节教学重点图1例1求下列三角函数的值.13(1)sin 2π；19(2)cos 3π；(3)tan 405.解 13(1)sin sin(+6)sin 1.222191(2)cos cos(+6)cos .3332(3)tan 405tan(45+360)tan 45 1.ππππππππ=========课堂练习利用诱导公式求下列三角函数的值.2517(1)sin 750(2)cos(3)tan.64ππ；；诱导公式二的推导和运用 一、提出问题如图2所示，6π和76π（76π可写成6ππ+）所对应的角的终边关于原点对称.想一想，和7sin 6π，cos 6π和7cos 6π之间有什么关系？分析：如图2所示，6π和76π所对应的角的终边与单位圆的交点分别是点P 与点认真读题，积极思考根据老师给出的问题，积极主动的思考掌握解题的基本思路激发好奇心，更主动参与到课堂学习图2P '.根据对称性可知，它们的横坐标与纵坐标都互为相反数. 由此可得7sinsinsin()666ππππ=-=-+，7cos cos cos()666ππππ=-=-+.二、新知探究由以上的特殊情况，下面来研究一般情形. 结论推导：如图3所示，设单位圆与任意角α，πα+的终边分别相交于点P 与点P '.则点P 与点P '关于原点中心对称.如果点P的坐标是(cos ,sin )αα，那么点P '的坐标应该是(cos ,sin )αα--.又由于点P '作为角πα+的终边与单位圆的交点，其坐标应该是(cos(),sin())παπα++，由此得到() cos cos παα+=-， () sin sin παα+=-，由同角三角函数的关系式可知图3第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路 诱导公式三的推导和运用 一、提出问题如图4所示，6π和6π-所对应的角的终边关于x 轴对称.想一想，sin 6π和sin()6π-，cos 6π和cos()6π-之间有什么关系？分析：如图4所示，6π和6π-所对应的角的终边与单位圆的交点分别是点P 与点P '.根据对称性可知，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数.由此可得cos cos()66ππ=-，sin sin()66ππ--.二、新知探究由以上的特殊情况，下面来研究一般情形. 结论推导：结合老师给出的问题，积极主动的思考，进行初步的探究.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图4如图5所示，设单位圆与任意角α，α-的终边分别相交于点P 与点P '.则点P 与点P '关于x 轴对称.如果点P 的坐标是(cos ,sin )αα，那么点P '的坐标应该是(cos ,sin )αα-.又由于点P '作为角α-的终边与单位圆的交点，其坐标应该是(cos(),sin())αα--，由此得到() cos cos αα-=， () sin sin αα-=-，由同角三角函数的关系式可知()sin()cos()sin .cos tan tan αααααα--=--==-结论：与任意角α的终边关于x 轴对称的角α-的正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式如下.()()() .sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-；； 公式三积极参与推导任意角α的终边关于x 轴对称的角α-的正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式培养生观察、思考、总结能力图5例题 求下列三角函数的值.(1)sin()(2)cos().64ππ--；1(1)sin()sin ;6622(2)cos()cos .442ππππ-=-=--==解课堂练习求下列三角函数的值.7(1)tan()(2)sin().33ππ--；诱导公式四的推导和运用 一、提出问题如图6所示，α和πα-所对应的角的终边关于y 轴对称.想一想，sin α和sin()πα-，cos α和cos()πα-之间有什么关系？二、探究新知如图6所示，设单位圆与任意角α，πα-的终边分别相交于点P 与点P '.则点P 与点P '关于y 轴对称.如果点P 的坐认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路结合老师给出的问题，积极主动的思考，进行初步的探究.培养与提升学生独立思考、探究问题的能力激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图653535sin()-sin()sin(8+)666ππππ-==- 5sin sin sin 6661-.2ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭= 1133(2)coscos(2)cos 444cos cos 442.2πππππππ=+=⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-课堂练习求下列三角函数的值.14(1)tan()(2)sin870.3π-；运用数学工具求解任意角的三角函数值例 利用科学计算器计算.（精确到0.01）（1）sin 63°52′41″; （2）43cos π. 解 （1）先将精确度设置为0.01,再将计算器设置为角度计算模式. 依次按下列各键：计算器结果显示：所以 6352410.90sin ︒'"≈.（2）先将精确度设置为0.01，再将计算器设置为弧度计算模式，之后依次按下列各键：计算器结果显示：所以4 0.503cos π=-. 具体操作步骤参考课本. 课堂练习利用科学计算器，求下列各式的值.（精确到0.01） （1） 1 4801012sin ︒'"; （2）97cos π； （3）() 3.6tan π-.。

高中数学诱导公式大全概述诱导公式是数学三角函数中将角度比拟大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比拟小的三角函数。

诱导公式★诱导公式★常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin〔2kπ＋α〕＝sinα 〔k∈Z〕cos〔2kπ＋α〕＝cosα 〔k∈Z〕tan〔2kπ＋α〕＝tanα 〔k∈Z〕cot〔2kπ＋α〕＝cotα 〔k∈Z〕公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin〔－α〕＝－sinαcos〔－α〕＝cosαtan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosαtan〔π－α〕＝－tanαcot〔π－α〕＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔2π－α〕＝－sinαcos〔2π－α〕＝cosαtan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝－sinαtan〔π/2＋α〕＝－cotαcot〔π/2＋α〕＝－tanαsin〔π/2－α〕＝cosαcos〔π/2－α〕＝sinαtan〔π/2－α〕＝cotαcot〔π/2－α〕＝tanαsin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinαtan〔3π/2＋α〕＝－cotαcot〔3π/2＋α〕＝－tanαsin〔3π/2－α〕＝－cosαcos〔3π/2－α〕＝－sinαtan〔3π/2－α〕＝cotαcot〔3π/2－α〕＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比拟好做。

作业：P29A组 1、2、3 补充：
1 （1）已知 cos ，求tan 9 的值． 2
（2）已知
3 ห้องสมุดไป่ตู้ 5 cos ，求cos 的值． 6 3 6
3 3 （3）已知 cos 3 ，求 cos 的值． 2 2
sin(

2
) cos ) sin
cos(

2
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
四组诱导公式可概括为一句口诀:
“函数名不变,符号看象限.”
预习：公式五（例3、例5）
第二课时
P1(x,y)关于直线y=x对 称点P2的坐标为 (y,x)
sin( cos(
y 2 P2(sin,cos)
y=x

2 2
) cos ) sin

P1(cos,sin) o x
探究 诱导公式五：
sin(
诱导公式六：
能力训练题
sin(k ) cos(k ) 4.求证 : 1. sin[(k 1) )] cos[(k 1) ]
5.已知sin( 3 ) 2 cos( 4 ), sin( ) 5 cos(2 ) 求. 的值. 3 2 sin( ) sin( ) 2

5.5诱导公式一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是( )A. cos (−α)=−cosαB. sin (−α)=−sinαC. sin (180°−α)=−sinαD. cos (180°+α)=cosα2. 如果sinα=13，那么sin(π+α)−cos (π2−α)等于( )A. −2√23B. −23C. 23D. 2√233. sin600°的值等于( )A. 0.5B. −0.5C. √32D. −√324. 已知α是第二象限的角，且sinα=513，则tanα的值是( )A. −512B. 512C. 1213D. −12135. tan5π4=( )A. −√22B. √22C. −1D. 16. sin240°等于( )A. 12B. −√32C. √32D. −127. cos114π的值为( )A. 12B. −12C. √22D. −√228. sin225°=( )A. −12B. −√22C. −√32D. −19. cos173π等于( )A. 12B. √32C. −12 D. −√3210. sin 750∘等于( )A. √32B. −√32C. −12D. 12二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 计算sin(−330∘)的值为 ． 12. 求值：sin (−1740∘)= ．13. 已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为 ． 14. 已知sin (52π+α)=15，那么cosα=15. sin (−1020°)的值为________．16. 已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为_______． 17. cos 225∘=__________．18. 已知3sin (α−π)=cos α，则tan(π−α)的值是______. 三、解答题（本大题共6小题，共46.0分） 19. 已知角α的终边过点P (45,−35)．(1)求sinα的值;(2)求式子sin (π2−α)sin (α+π)⋅tan (α−π)cos (3π−α)的值． 20.化简：tan(2π−α)⋅cos (2π−α)⋅sin (−α+3π2)cos (−α+π)⋅sin (−π+α)．21. 已知3sin(5π−α)+cos(π+α)=0，求sinα+cosα4cosα−3sinα22. 化简−sin (180°+a)+sin (−a )−tan (360°+a)tan (a+180°)+cos (−a )+cos (180°−a )．23.化简：sin (2π−α)cos (π+α)cos (3π+α)cos (11π2−α)cos (π−α)sin (3π−α)sin (−π−α)sin (9π2+α)24. 已知，求下列各式的值．； ；(3)求的值．。

5π 4π 2 cos ； 1 sin 4 3 4π π π 解: 1sin sin( ) sin 3 3 3 π π 5π 2cos cos( ) cos 4 4 4
3 ； 2 2 ； 2
7π 3 tan ； 6
4π 4 cos 3
求下列各三角函数的值：
π 3 tan( )； 3
π 4sin( ). 3
3. 角 与– 的三角函数间的关系 两角终边与单位圆的交点坐标有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？
y P (-x, y) O
-

P (x, y) x
诱导公式 3 sin( – )= sin cos( – )= –cos tan( – )= –tan
y P(x, y) , sin ) P(cos

O x
1. 角 与＋2k (kZ)的三角函数间的关系. 两角终边与单位圆的交点坐标有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？
y P
诱导公式 1 sin(2k＋)＝sin ； cos(2k＋)＝cos ； tan(2k＋)＝tan . (其中kZ)

O 1 x
求下列各三角函数的值：
13π 1sin 2 tan 405 2 解：1sin 13π sin(π 6π) sin π 1; 2 2 2
2 tan 405
tan(45 360 ) tan 45 1
19π 3cos 3
4sin 1500
2π 4 cos 3
4. 角 与＋ 的三角函数间的关系 两角终边与单位圆的交点坐标有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？
y
P (x, y) + O

x

y P
MO
公式 （一）
sin(2 k＋ )＝sin ；
cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
1x
tan(2 k＋ )＝tan .
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4
公式一：
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos (k z)
tan(2k ) tan
三角
三
三角
角
函数
5.5 三角函数的诱导公式
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1
同角三角函数的基本关系
平方关系: sin 2 cos2 1
商数关系:
tan sin cos
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平
方和等于1，商等于角 的正
切。
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2
问题提出
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5
例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1) sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数值，
6
62
（2）cos(