2009年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题 （9）3e 2 （10）2ln 21+ （11）1e（12）8000 （13）2 （14）2np 三、解答题（15）极小值11(0,)e ef =−． （16）1ln(12x C +++−+． （17）83−． （18）略． （19）230y x +−=． （20）（Ⅰ）21101021k −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ （1k 为任意常数）． 323101/2100010k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，（23,k k 为任意常数）． （Ⅱ）略．（21）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）2a =．（22）（Ⅰ）10,()0,Y X y x f y x x ⎧, <<⎪=⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}e 211e 1P X Y −=−．（23）（Ⅰ）4{10}P X Z ===. （Ⅱ）(,)X Y 的概率分布为2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x −=解得0,1,1x =−．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==， 3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →−→−−−==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =−．故选C ． （2）【答案】A ． 【解答】222000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x ax a axg x x bx x bx bx →→→→−−−====−⋅−−， 因为2lim(3)0x bx →−=，所以0lim(1cos )0x a ax →−=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→−===−=−−，得16b =−．故选A ． （3）【答案】A ． 【解答】令1sin ()d ln xtf x t x t=−⎰(0)x >， 有sin 1()0x f x x−'=(0)x >，从而()f x 当0x >时单调减少． 由(1)0f =知，当(0,1)x ∈时，()(1)0f x f >=，即1sin d ln x tt x t>⎰．故选A ． （4）【答案】D ． 【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈−时，()0F x ． ③当[]0,1x ∈时()0F x ，且单调递减．④[]1,2x ∈时()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（5）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*−=A A A ，所以112211*−−⨯−⎛⎫⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123−**−**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OA B B OA B O B A B A O B A O A O ， 故选B ．（6）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以 T TT T 100100100100110110110110001001001001110100100210010010110110.001002001002⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP P AP 故选A ． （7）【答案】D ．【解答】因为,A B 互不相容，所以AB =∅，()0P AB =，从而()()1()1P A B P AB P AB ==−=，故选D ．（8）【答案】B ．【解答】由全概率公式，{}{}{}(),0,1Z F z P XY z P XY z Y P XY z Y ===+={}{}0,0,1P z Y P X z Y ==+=，因为X 与Y 相互独立，所以{}{}{}{}{}11()0010()22Z F z P z P Y P X z P Y P z z ==+==+Φ， 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；当0z 时， 11()()22Z F z z =+Φ．所以0z =为间断点，故选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3e 2．【解答】原式cos 10x x −→=02e(1cos )lim13x x x→−=2021e 2lim 13x x x →⋅=3e 2=． （10）【答案】2ln 21+．【解答】因为z 对x 求偏导时，把y 当常数，所以不妨在(e )y xz x =+中令0y =，得(,0)(1)x z x x =+，于是d (1)(1)ln(1)d 1x x z x x x x x x ⎡⎤'⎡⎤=+=+++⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 从而(1,0)1d d x z zx x=∂==∂2ln 21+．（11）【答案】1e． 【解答】11211222e (1)e (1)(1)lim lim e,e (1)(1)e (1)n n n n n n n nn n n n n n ρ++++→∞→∞−−−−+==⋅=−−+−−所以该幂级数的收敛半径为11eR ρ==． （12）【答案】8000． 【解答】因为d 0.2d p p Q Q p ε=−=，得d 0.2d p QQ p=−， 收益函数()R pQ p =，边际收益d d d (1)(10.2)0.8d d d R Q p QQ p Q Q Q p p Q p=+=+=−=． 当10000Q =时，d 8000d Rp=，即价格增加1元会使产品收益增加8000元． （13）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为3,0,0，从而T T 1()3k tr =+==βααβ，2k =．（14）【答案】2np ．【解答】222()(1)ET E X S E X ES EX DX np np p np =−=−=−=−−=．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分9分）解：由22()2(2)0()210x y f x,y x y f x,y x y ln y ⎧'=+=⎪⎨'=++=⎪⎩解得10,e x y ==.而2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =， 则1112(0,)(0,)(0,)eee12(2),0,e e xxxyyy A f B f C f ''''''==+====，因为20B AC −<而0A >，所以(,)f x y 有极小值11(0,)eef =−．（16）（本题满分10分） 原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=−−−−+⎰⎰ 22ln(1)111d 14(1)4(1)2(1)t t t t t t ⎛⎫+=−−− ⎪−−++⎝⎭⎰ 2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+−+−−+1ln(12x C =++−−+．（17）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d Dx y x y r r r r θθθθθ+−=−⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=−+⎰3π34π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰ 3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=−（18）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a−=−−−−，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a−''=−−．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'−=−，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f xf f x xξξ++++→→→−'''===，0x ξ<<. 因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（19）（本题满分10分） 解：曲边梯形的面积为1()d tS f x x =⎰，旋转体的体积为21π()d tV f x x =⎰，由题，V tS π=，即211()d ()d tt f x x t f x x =⎰⎰，两边对t 求导可得21()()d ()tf t f x x tf t =+⎰， ①再对t 求导可得2()()2()()f t f t f t tf t ''=+， 即(2())()2()f t t f t f t '−=，把t 当成函数，()y f t =当成自变量，上式变为d 11d 2t t y y+=，解一阶线性微分方程得通解23t y =+． 在①式中令 1t =，得(1)1f =，代入通解得13C =，23t y =+．所以该曲线方程为：230y x =．（20）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ ，其中1k 为任意常数． 因为2220220440⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫−⎪−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k −−−−=−≠−−+，故123,,ξξξ线性无关． （21）(本题满分11分)解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−−⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111aa a a a a λλλλλλλ−−−=−=−−+−−−−+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a −=，2a =．（22）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）边缘概率密度0e d e 0,()(,)d 0,0.xx x X y x x f x f x y y x −−+∞−∞⎧=, >⎪==⎨⎪⎩⎰⎰当0x >时，条件概率密度10,(,)()()0,Y X X y x f x y f y x xf x ⎧, <<⎪==⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}111101,1(,)d d d e d 12e xx P X Y f x y x y x y −−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}11101(,)d d d e d 1e x yP Y f x y x y y x +∞+∞−−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}{}{}1,1e 2111e 1P X Y P X Y P Y −==−． （23）(本题满分11分)解：（Ⅰ）{}10P X Z ==表示在没有取到白球的条件下取了一次红球的概率，12113324{10}9C P X Z C C ====．（Ⅱ）,X Y 的可能取值为0,1,2，{}{}{}{}{}{}{}{}{}11133311116666112311116666121166112211661210,0,1,0,4611212,0,0,1,363211,1,2,10,910,2,1,20,2,20.9C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P X Y P X Y C C =================================综上，(,)X Y 的概率分布为。
