南京理工大学2002年数学分析考研试题

2
于是 ，与题设 f ( x) 在 (0, +∞) 内有界矛盾，故 lim f ' ( x) = 0 x→+∞
（4）设有三张不同平面的方程 ai1x + ai2 y + ai3z = bi , i = 1, 2, 3, 它们所组成的线性方程组的
系数矩阵与增广矩阵的秩都是 2，则这三张平面可能的位置关系为
但 lim f ' ( x) = lim cos x = 1 ≠ 0
x→0+
x→0+
进一步排除（C），故应选（B）.
【详解 2】
直接证明（B）正确，用反正法，由题设 lim f ' ( x) 存在，设 lim f ' ( x) = A ≠ 0, 不妨设 A > 0 ，
x→+∞
x→+∞
则对于 ε = A >0，存在 X > 0 ，当 x > X 时，有 2
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评
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λ − a −2 −2 λE − A = −2 λ − a −2
−2 −2 λ − a
= ⎡⎣λ − (a + 4)⎤⎦ ⎡⎣λ − (a − 2)⎤⎦2
f ' (x)− A < ε = A.
2
即 A = A− A < f ' (x) < A+ A ，
2
2
2
可见 f ' ( x) > A ，在区间[ X , x] 上应用拉格朗日中值定理，有
2
f ' ( x) = f ( X ) + f ' (ζ )( x − X ) > f ( X ) + A ( x − X )

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上） (1)112a- 【考点】求数列极限.【解】ln “”里面为1∞“”型，凑成重要极限形式： (12)12211limln limln 1(12)(12)n a nan n n na n a n a --→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--. （2）2120(,)xxdy f x y dy ⎰⎰【考点】交换二次积分的积分次序.【解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ， 如图.将它们的并集记为D .于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者化为先y 后x 的二次积分：2120(,)(,).xxDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰2120(,)xxdy f x y dx ⎰⎰（3） 1-【考点】线性相关.【解】因122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α与α线性相关.有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或 ,A k αα=即231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a kaa k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=（4） 0.02-【考点】随机变量的协方差，01-分布.【解】22(,)X Y 的分布及其边缘分布为而22X Y 的分布为所以2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）答案应填0.02-.（5） 111ni i X n =-∑【考点】矩估计法与矩估计量. 【解】总体的一阶矩为数学期望()()1x E X xe dx θθθ+∞--==+⎰样本的一阶矩为样本均值11ni i X X n ==∑令111n i i X n θ=+=∑，解得 11ˆ1ni i X n θ==-∑.答案应填111ni i X n =-∑.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）（B ）【考点】准确的掌握连续函数介值定理、罗尔定理与拉格朗日中值定理，理解可导与连续的关系.【解】方法1：论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有 lim ()().x f x f ξξ→=即有 lim[()()]0x f x f ξξ→-=.选（B ）.方法2：排斥法.(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点.（C ）与（D ）的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论. （2）（A ）【考点】求幂级数的收敛半径.【解】在补充假设1limn n n a a +→∞与1lim n n nbb +→∞ 存在的前提下，由于已知1nn n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑13，故有 1limn n n a a +→∞1lim n n nb b +→∞=3 于是 212221122212911lim lim 595n n n n n n n n n na b a b a a b b +++→∞→∞+⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭,故题设的幂级数收敛半径为5，选（A ）. （3）（D ）【考点】齐次线性方程组有非零解（或仅有零解）的判别.【解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<. 方程组0Ax =必有零解，故应选（D ）.方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选（D ）. （4）（B ）【考点】矩阵及其相似矩阵的特征值、特征向量.【解】方法1：由题设A αλα=，且T A A =. 设 ()1TP APB -=，则11TTT TTB P A PP AP--==1T T A P BP -=，1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得()TTB P P αλα=故知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为TP α，即应选（B ）.方法2：逐个验算（A ），（B ），（C ），（D ）中哪个选项满足()1.TP AP ξλξ-=其中()111T TTT T T P APP A P P AP ---==对（A ），即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠ 对（B ），有1()()TT T T T P AP P P A P ααλα-==成立.故应选（B ）. （5）（C ）【考点】正态分布、2χ分布、F 分布.【解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N .故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布答案应选（C ）.方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件.因此，2X 与2Y 的独立条件不存在，选（B ）、（D ）项均不正确. 题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项（A ）.根据排除法，正确选项必为（C ）.三、（本题满分5分）【考点】求极限，洛必达法则，变限函数求导.【解】2200003arctan(1)arctan(1)limlim1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等22002arctan(1)arctan(1)2limlim 332x x x t dt x xxx →→++⋅⎰洛洛2346ππ=⋅=.四、（本题满分7分）【考点】复合函数求全微分.【解】方法1：用微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++而(,)z z x y =由xyzxe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()(),x y z d xe ye d ze -=x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz +--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 代入du 中，1323(1)(1).(1)(1)x yz ze x e y duf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂ 又由xyzxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有(),x x z z zxe e ze e x∂+=+∂ 得 x xz z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设. 类似可得 y yz z z ye e y ze e∂+=-∂+， 代入,u ux y∂∂∂∂表达式中得 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 如方法1.六、（本题满分7分）【考点】求空心的旋转体体积，求最值.【解】（1）()2225142(32)5aV x dx a ππ==-⎰ 22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰g .（2）54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 34(1)0dVa a daπ=-命, 得1a =，当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=.五 、（本题满分6分）【考点】求不定积分.【解】由题中要求()f x dx 及2(sin )sin x f x x =知，01x <<.命2sin u x =，则有sin x =arcsin x =()f u =()f x dx =sin 2sin cos cos ttt tdt t= ⎰sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t t C =-++2C ⎡=+⎣.七、（本题满分7分）【考点】验证幂级数满足微分方程及初始条件，利用解微分方程求幂级数的和函数.【解】(1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！, 33313111113()(1)(3)!(3)!(3)!(31)!nn n n n n n n x x nx x y x n n n n --∞∞∞∞===='⎛⎫''=+=== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑, 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 1()()()1!nx n x y x y x y x e n ∞='''++=+=∑ 说明30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件(0)1,(0)0.y y '==（2）按常规办法，计算出微分方程xy y y e '''++=的通解，为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 从中找出满足初始条件(0)1,(0)0y y '==的解.为此，将初始条件代入通解中，得到111,3C +=12110223C C -++=， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由（1）已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由唯一性，所以级数321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八、（本题满分6分）【考点】证明积分中值定理的推广.【解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在 max[,]()M a b f x =，min[,]()m a b f x =， ()m f x M ≤≤.又()0g x >，故有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰.因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然，则在(,)a b 内要么()f x h -恒为正，从而(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，从而(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符.由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.证毕.九、（本题满分8分）【考点】齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的判别，齐次线性方程组的基础解系和通解.【解】方法1：对系数矩阵作初等行变换00A=0000a b b b a b b b b a b b b a a b b b a b b a a b b b b a b aa b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L L LL L M M M M MM M M LL当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=L其基础解系为[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,1,0,,0,1T TTn ξξξ-=-=-=-L L LL方程组的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数.当a b ≠时，则001100A 001010001001(1)110010101001ab b b a b b b b a a bb a a bb a a b a n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L L L L L L MM M M MM M M LL LL M M M M L故当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(),0r A n AX ==仅有零解当(1)a n b =--时，0AX =的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 其基础解系为[]1,1,,1Tξ=L ，方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数.十、（本题满分8分）【考点】矩阵的特征值、正定矩阵 【解】（1）设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，即,0,A αλαα=≠ ()1 两边左乘A ，得 ()222A A αλαλα==221+（）（）得 ()()2222A A αλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-. 因A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ，且()()2r A r =Λ=故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦: 即A 有特征值1232,0λλλ==-=.（2）A kE +是实对称矩阵，由（1）知A kE +的特征值为2,2,k k k --.A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩ 故2k >时A kE +是正定矩阵.十一、（本题满分8分）【考点】二维离散型随机变量的概率分布，两个随机变量函数的分布，随机变量的方差，均匀分布.【解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)41,11,10;11,11,111;211,11,11.4P X Y P U U P U P X Y P U U P P X Y P U U P U P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--=-==≤->=∅===-=>-≤=-<≤====>->=>=于是，(,)X Y 分布为（2）X Y +和2()X Y +的分布分别为和所以2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==.22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=.十二、（本题满分8分）【考点】随机变量函数的分布，指数分布.【解】指数分布的X 的分布参数为11,()5E X = 显然，min(,2)Y X =.对于0,()0y F y <=，对于1,()1y F y ≥=.当02y ≤<时{}{}{}5()min(,2)21.y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≤=- 所以，Y 的分布函数为 50,0()1,021,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩。

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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D)当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0ex t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x= 1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得 20dP yPP dy +=,即0dP y P dy+=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得 0,dP dyP y+= 积分得 ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是1',2,2y P ydy dx y===积分得22y x C =+.又由01x y ==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型T x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因ii i a λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=> 4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10nu >,且1lim0,n n u →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1n u 的单调性.按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n n n u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-= 又由洛必达法则00()(2)(0)'()2'(2)limlim1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+= (2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=.综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02()(0)2()(0)lim ()2lim 2lim 2'(0) 2.2n n x f f f x f n nf f n xn→∞→∞→--==== 五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】 (1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y=+⎰.⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==- 七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++L L的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''x y y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,212λ=-.因此齐次微分方程的通解为212(cossin )22x Y e C x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''x y y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(sin )3xx y Y y e C x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-+⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()cos323x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h hh x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T -再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二．解 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=-θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ-=(71,122θ+=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为ˆθ=（范文素材和资料部分来自网络，供参考。