特殊平行四边形综合练习题 2.

2022年人教版中考数学一轮复习：四边形综合专项练习题21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．2．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝15．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙．丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为．3．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若AC＝8，BD＝6，则BE的长为．4．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点H，若CG＝1，则S＝．四边形BCDG6．如图，正方形瓷砖图案是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是1m2，则中间小正方形的面积为m2．7．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是（填上所有正确结论的序号）．8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．9．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE＝2BE，点F为对角线BD上一点，且BF＝2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，若HG＝2cm，则正方形ABCD 的边长为cm．10．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．11．如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP＝4，BP＝7，DP＝9，则∠APB的度数为．12．如图是两个边长分别为2a，a的正方形，则△ABC的面积是．13．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为．14．如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A 运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是．15．如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②∠EAH＝45°；③BD＝2GF；④GE平分∠FEC．正确的是（填序号）．16．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是．17．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，若AB＝8，则FG的最小值为．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是．19．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE．则的值为．20．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O 处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．（1）的值为．（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为．参考答案1．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；故答案为：①．2．解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝1520，∴BC＝AD＝15，EF×AD＝×120，∴EF＝8，又BC＝15，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+3＝23，故答案为23．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴AD＝＝＝5，＝AD×BE＝×AC×BD，∵S菱形ABCD∴BE＝，故答案为：．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝70°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD＝70°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝20°．故答案为：20°．5．解：过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD，交GD的延长线于N．∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝AD＝CD＝BC，∴△ABD为等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∠ADC＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS），∴∠ADE＝∠DBF，∵∠FBC ＝60°+∠DBF ，∠NDC ＝180°﹣（120°﹣∠ADE ）＝60°+∠ADE ，∴∠NDC ＝∠FBC ，在△CDN 和△CBM 中，，∴△CDN ≌△CBM （AAS ），∴CM ＝CN ，在Rt △CBM 与Rt △CDN 中，，∴Rt △CBM ≌Rt △CDN （HL ），∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ．S 四边形CMGN ＝2S △CMG ，∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝CG ＝，CM ＝CG ＝，∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2×××＝， 故答案为：．6．解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点， 设小正方形的边长为xm ， 则大正方形的边长为x +x x ＝（1）xm ， ∵瓷砖的面积是1m 2，∴大正方形的边长为1m ，即（1）x ＝1， 解得x ＝﹣1， ∴中间小正方形的面积为（）2＝3﹣2， 故答案为：3﹣2．7．解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝10，故①正确；由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD，∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3，由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，∴BE'＝D'E'，∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°，∴BD'＝A'D'＝3，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；故答案为：①②④．8．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S＝OA•OB＝AB•OP，△ABO∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．9．解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，∴FI∥CD，∵CE＝2BE，BF＝2DF，∴设BE＝EI＝IC＝a，CE＝FI＝2a，AB＝3a，∴则FE＝FC＝FA＝a，∴H为AE的中点，∴AH＝HE＝AE＝a，∴AG＝AH+GH＝a+2，∵四边形ABCD是正方形，∴BE∥AD，∴＝＝，∴GE＝AG＝（a+2），∵GE＝HE﹣GH＝a﹣2，∴（a+2）＝a﹣2，解得，a＝，∴AB＝3a＝．故答案为：．10．解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，，得，∴图1中菱形的面积为：×4＝48，故答案为48．11．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∴△BAP绕点A逆时针旋转90°可得△ADE，连接PE，由旋转的性质得，ED＝BP＝7，AE＝AP＝4，∠PBE＝90°，∠AED＝∠APB，∴△APE为等腰直角三角形，∴PE＝AP＝4，∠AEP＝45°，在△PED中，∵PD＝9，ED＝7，PE＝4，∴DE2+PE2＝DP2，∴△PED为直角三角形，∠PED＝90°，∴∠AED＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝135°，故答案为：135°．12．解：∵两个正方形的边长分别为2a，a，∴△ABC的的高为：2a+a，底边为：BC＝a，∴△ABC的面积是：（2a+a）•a＝a2．故答案为：a2．13．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．14．解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，∴∠ACF＝30°，∴∠CGP＝∠EGF＝60°，∵∠F＝90°，∴∠FEG＝30°，设PG＝x，则CG＝2x，∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），∵FG＝EF，∴8﹣2x＝8×，∴x＝4﹣，∴EP＝EG+PG＝2（8﹣2x）+x＝16﹣3x＝4+4．故答案为：4+4．15．解：连接GC，延长EG交AD于点L，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥CB，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝GC，∠HCG＝∠DAG，∵∠HCG+∠GCB＝90°，∴∠DAG+∠GCB＝90°，∵GE⊥AH，∴∠AGL＝90°，∴∠ALG+∠LAG＝90°，∵AD∥CB，∴∠ALG＝∠GEC，∴∠GEC+∠LAG＝90°，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝GC，∴AG＝EG，故①正确；∵GE⊥AH，∴∠AGE＝90°，∵AG＝EG，∴∠EAH＝45°，故②正确；连接AC交BD于点O，则BD＝2OA，∵∠AGF+∠FGE＝∠GEF+∠EGF＝90°，∴∠AGF＝∠GEF，∵AG＝GE，∠AOG＝∠EFG＝90°，∴△AOG≌△GFE（AAS），∴OA＝GF，∵BD＝2OA，∴BD＝2GF，故③正确．过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，交BC于点N，∵G是动点，∴GN的长度不确定，而FG＝OA是定值，∴GE不一定平分∠FEC，故④错误；故答案为：①②③．16．解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，且∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM ＝AC+AB＝7，此时AD＝AM＝，故答案为：．17．解：连接BE，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，又EF⊥AB于点F，EG⊥BC，∴四边形FBGE是矩形，∴FG＝BE，所以当BE最小时，FG就最小，根据垂线段最短，可知当BE⊥AC时，BE最小，当BE⊥AC时，在正方形ABCD中，△AEB是等腰直角三角形，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得2BE2＝AB2＝64，解得BE＝4，∴FG最小为4；故答案为4．18．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正确；∵CD＝2，CE＝，由勾股定理得，DE＝＝＝5，＝CD×CE＝DE×CH，∵S△DCE∴CH＝2，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴＝，∴＝，∴CF＝5，∴HF＝CF﹣CH＝3，∴＝，故②正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝2，CH＝2，由勾股定理得，DH＝＝＝4，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝2，AM＝DH＝4，∴MH＝DM＝2，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故④正确；∵DE＝5，DH＝4，∴HE＝1，∴ME＝HE+MH＝3，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴∠AME＝∠GHE，∵∠HEG＝∠MEA，∴△MEA∽△HEG，∴＝，∴＝，∴HG＝，故③错误．综上，正确的有：①②④．故答案为：①②④．19．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠DAE＝3∠BAE，∴∠BAE＝×90°＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠OBA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OA＝OE，设OE＝a，则OB＝OA＝a，∴BE＝OB﹣OE＝（﹣1）a，BD＝2OB＝2a，∴DE＝BD﹣BE＝2a﹣（﹣1）a＝（+1）a，∴＝＝，故答案为：．20．解：（1）由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，∴a2+（2b）2＝（3a）2，∴b＝a，∴＝＝＝，由折叠可得：∠ABE＝∠EBG，∠AEB＝∠BEO，∠DEG＝∠GEO，∵∠AEB＝∠BEO+∠DEG＝∠GEO＝180°，∴∠BEG＝90°，∵∠A＝∠BEG＝90°，∠ABE＝∠EBG，∴△ABE∽△EBG，∴＝＝，故答案为：；（2）∵AD＝BC＝2b＝4，∴b＝2，a＝2，∴AB＝OB＝4，CG＝2，AE＝OE＝2，∴BG＝6，∵∠OBF ＝∠CBG ，由折叠可得∠BOF ＝∠BCG ＝90°， ∴△BOF ∽△BCG ， ∴＝， 即＝，∴OF ＝，∴S 四边形EBFG ＝S △BEG +S △BFG ＝×6×2+×6×＝9． 故答案为：9．。

特殊平行四边形练习题1．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．2．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．6．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．8．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．9．边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．C．2 D．2 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．13．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．14．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）A．8 B．4C．8D．1615．下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED 等于度．17．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直19．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B．C．6 D．520．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD 的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°22．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm23．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．1624．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．2B．3C．6D．25．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．。

《特殊的平行四边形》综合练习题一、选择题（共10小题）1．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是()A．10B．15C．20D．252．菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是()A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形4．如图，在ABCAC=，6BC=，点P为斜边AB上一动点，过点P作∠=︒，8C∆中，90⊥于点F，连接EF，则线段EF的最小值为()⊥于E，PF BCPE ACA．24B．3.6C．4.8D．55．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F是BE的中点，CEF∆的面积记为a，周长记为b，则点E从点A到点D运动过程中()A．a逐渐变大，b保持不变B．a保持不变，b逐渐变小C．a保持不变，b先变小再变大D．a逐渐变大，b先变大再变小6．在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM CN=，MN与AC交于点O，连接BO，若62DAC ∠=︒，则OBC ∠的度数为( )A ．28︒B ．52︒C ．62︒D ．72︒7．如图，ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是( )A ．AB AC = B ．AD BD = C ．BE AC ⊥ D ．BE 平分ABC ∠8．在四边形ABCD 中，点O 是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是( )A ．AC BD =，//AB CDB ．//AD BC ，A C ∠=∠ C ．OA OB OC OD ===，AC BD ⊥ D ．OA OC =，OB OD =，AB BC =9．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，1BC =，3CE =，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5BCD ．210．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件①AB BC =；②90ABC ∠=︒；③AC BD =；④AC BD ⊥中选两个作为补充条件，使ABCD 成为正方形，如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题（共8小题）11．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH 的周长为 ．12．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．13．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是 ．14．如图，正方形ABCD绕B点逆时针旋转得到正方形BPQR，连接DQ，延长CP交DQ于E．若CE=4ED=，则AB=．15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）．16．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH的长等于．17．矩形ABCD的中心恰好在原点，且B点坐标为(2,3)--，则D点的坐标为．18．已知，在Rt ABCAB=，D为AB中点，则CD=．∠=︒，12C∆中，90三、解答题（共8小题）19．如图，在ABCD中，BAD∠的平分线交BC于点E，ABC∠的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．20．如图，把EFP∆放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知6∠=︒，且AB>BADEP FP==，EF=60（1）求EPF∠的大小；（2）若10+的值；AP=，求AE AF（3）若EFP∆的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．21．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，90∠=︒，EF交正方形外角的AEF平分线CF于F．求证：AE EF=．22．如图，在四边形ABCD中，AB AD=，CB CD=，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：BAC DAC∠=∠．∠=∠，AFD CFE（2）若//AB CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得EFD BCD∠=∠，并说明理由．23．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证：四边形EFGH是矩形．24．已知：如图，在ABC∆中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF DC=，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB AC=，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．25．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，30A ∠=︒，8AB =，求DE 的长．26．已知：O 是ABC ∆所在平面内一动点，连接OB ，OC ，并将AB ，OB ，OC ，AC 的中点D ，E ，F ，G 依次连接，如果DEFG 能构成四边形：（1）如图，当O 点在ABC ∆内部时，证明四边形DEFG 是平行四边形；（2）当O 点移动到ABC ∆外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由；（3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由．参考答案一、选择题1．【解答】解：如图所示：由题意得：矩形BFDE ≅矩形BHDG ，90G ∴∠=︒，6DG DE ==，//BG DH ，//BE DF ，8BG =， ∴四边形ABCD 平行四边形，∴平行四边形ABCD 的面积AD DG CD DE =⨯=⨯，AD CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，CD BC AB AD ∴===，设CD BC x ==，则8CG x =-，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得：2226(8)x x +-=， 解得：254x =， 254CD ∴=， ∴四边形ABCD 的周长425CD ==；故选：D ．2．【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分． 故选：D ．3．【解答】解：如图；四边形ABCD 是平行四边形，180DAB ADC ∴∠+∠=︒；AH 、DH 平分DAB ∠、ADC ∠， 90HAD HDA ∴∠+∠=︒，即90EHG ∠=︒； 同理可证得：90HEF EFG FGH ∠=∠=∠=︒； 故四边形EFGH 是矩形．故选：D ．4．【解答】解：连接PC ，PE AC ⊥，PF BC ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形ECFP 是矩形，EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小， 即当CP AB ⊥时，PC 最小，8AC =，6BC =，10AB ∴=，PC ∴的最小值为： 4.8AC BC AB⋅=． ∴线段EF 长的最小值为4.8． 故选：C ．5． 【解答】解：点E 在AD 上，点F 是BE 的中点，1124CEF BCE ABCD S S S ∆∆∴==矩形，a∴保持不变；连接AF，AC，BD，如图：则12AF BE EF==，AC BD=，EF FC AF FC AC BD+=+>=，CE CD>，EF FC CE BD CD∴++>+，b∴逐渐变小．故选：B．6．【解答】解：四边形ABCD为菱形，//AB CD∴，AB BC=，MAO NCO∴∠=∠，AMO CNO∠=∠，在AMO∆和CNO∆中，MAO NCOAM CNAMO CNO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AMO CNO ASA∴∆≅∆，AO CO∴=，AB BC=，BO AC∴⊥，90BOC∴∠=︒，62DAC∠=︒，62BCA DAC∴∠=∠=︒，906228OBC∴∠=︒-︒=︒．故选：A．7．【解答】解：当BE平分ABC∠时，四边形DBFE是菱形，理由：//DE BC ，DEB EBC ∴∠=∠，EBC EBD ∠=∠，EBD DEB ∴∠=∠，BD DE ∴=，//DE BC ，//EF AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，BD DE =，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．8．【解答】解：A 、一组对边平行，对角线相等可能是等腰梯形，故本选项错误； B 、一组对边平行，一组对角相等的四边形可能是矩形，故本选项错误； C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确； D 、对角线互相平分，邻边相等的四边形有可能是菱形．故本选项错误； 故选：C ．9．【解答】解：如图，连接AC 、CF ，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，1BC =，3CE =，AC ∴=CF =，45ACD GCF ∠=∠=︒，90ACF ∴∠=︒，由勾股定理得，AF ==， H 是AF 的中点，1122CH AF ∴==⨯ 故选：B ．10．【解答】解：A 、四边形ABCD 是平行四边形，当①AB BC =时，平行四边形ABCD 是菱形，当②90ABC ∠=︒时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不符合题意； B 、四边形ABCD 是平行四边形，∴当②90ABC ∠=︒时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC BD =时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意；C 、四边形ABCD 是平行四边形，当①AB BC =时，平行四边形ABCD 是菱形，当③AC BD =时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不符合题意； D 、四边形ABCD 是平行四边形，∴当②90ABC ∠=︒时，平行四边形ABCD 是矩形，当④AC BD ⊥时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不符合题意． 故选：B ．二、填空题11．【解答】解：由题意得：矩形ABCD ≅矩形BEDF ，90A ∴∠=︒，7AB BE ==，//AD BC ，//BF DE ，11AD =， ∴四边形BGDH 是平行四边形，∴平行四边形BGDH 的面积BG AB BH BE =⨯=⨯，BG BH ∴=，∴四边形BGDH 是菱形，BH DH DG BG ∴===，设BH DH x ==，则11AH x =-，在Rt ABH ∆中，由勾股定理得：2227(11)x x +-=， 解得：8511x =， 8511BH ∴=， ∴四边形BGDH 的周长340411BH ==， 故答案为：34011． 12． 【解答】解：90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，5BC ∴==，DM AB ⊥，DN AC ⊥，90DMA DNA BAC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形DMAN 是矩形，MN AD ∴=，∴当AD BC ⊥时，AD 的值最小，此时，ABC ∆的面积1122AB AC BC AD =⨯=⨯， 125AB AC AD BC ⨯∴==， MN ∴的最小值为125； 故答案为：125． 13． 【解答】证明：AB AC =，B ACB ∴∠=∠， 点D 为BC 的中点，90ADC ∴∠=︒， AE 是BAC ∠的外角平分线，FAE EAC ∴∠=∠，B ACB FAE EAC ∠+∠=∠+∠，B ACB FAE EAC ∴∠=∠=∠=∠，//AE CD ∴，又//DE AB ，∴四边形AEDB 是平行四边形，AE ∴平行且等于BD ，又BD DC =，AE ∴平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCE 是矩形．即四边形ADCE 是矩形．故答案为矩形．14．【解答】解：如图，设AD 与PQ 相交于点O ，连接BO ，过点C 作CM DQ ⊥交QD 的延长线于M ，在Rt AOB ∆和Rt POB ∆中，BO BO AB PB =⎧⎨=⎩， Rt AOB Rt POB(HL)∴∆≅∆，ABO PBO ∴∠=∠，AO PO =，AD AO PQ PO ∴-=-，即OD OQ =，ODQ OQD ∴∠=∠，11(360902)(180)22PBO AOP AOP ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠， 1(180)2ODQ DOQ ∠=︒-∠， AOP DOQ ∠=∠（对顶角相等）， PBO ODQ ∴∠=∠，BC BP =，11(180)(180902)4522PCB PBC POB PBO ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒+∠， 45EDB ODQ ADB PBO ∠=∠+∠=∠+︒，EDB PCB ∴∠=∠，45CED CBD ∴∠=∠=︒，CEM ∴∆是等腰直角三角形， 5CE =，5CM EM ∴==，541DM EM ED ∴=-=-=，在Rt CDM ∆中，CD ==AB CD ∴==15．【解答】解：菱形ABCD 的周长等于24，2464AD ∴==， 在Rt AOD ∆中，OH 为斜边上的中线，132OH AD ∴==． 故答案为：3．17． 【解答】解：矩形ABCD 的中心恰好在原点，∴点B 与点D 关于原点对称，又B 点坐标为(2,3)--，D ∴点的坐标为(2,3)，故答案为：(2,3)．18．【解答】解：如图．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AB =，D 为AB 中点，162CD AB ∴==． 故答案为：6．三、解答题（共8小题）19．【解答】证明：BAD ∠的平分线交BC 于点E ，BAE EAF ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，EAF AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE ∴=，同理，AB AF =，BE AF ∴=．//AD BC ，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB BE =，ABEF ∴是菱形，20．【解答】解：（1）过点P 作PG EF ⊥于点G ，如图1所示．6PE PF ==，EF =FG EG ∴==12FPG EPG EPF ∠=∠=∠．在Rt FPG ∆中，sin FG FPG PF ∠===， 60FPG ∴∠=︒，120EPF ∴∠=︒． （2）过点P 作PM AB ⊥于点M ，作PN AD ⊥于点N ，如图2所示．AC 为菱形ABCD 的对角线，DAC BAC ∴∠=∠，AM AN =，PM PN =．在Rt PME ∆和Rt PNF ∆中，PM PN =，PE PF =，Rt PME Rt PNF ∴∆≅∆，ME NF ∴=．又10AP =，1302PAM DAB ∠=∠=︒，cos3010AM AN AP ∴==︒==，()()AE AF AM ME AN NF AM AN ∴+=++-=+=（3）如图，当点P 在EF 右边时，60BAD ∠=︒，120EPF ∠=︒，180BAD EPF ∴∠+∠=︒，∴点A ，E ，P ，F 四点共圆，AP ∴是此圆的直径时，AP 最大，PE PF =，EF AC ∴⊥时，AP 最大，∴当EF AC ⊥，点P 在EF 的右侧时，AP 有最大值，在PEF ∆中，6PE PF ==，EF =由（1）知，120EPF ∠=︒PEF ∴∆是顶角为120︒的等腰三角形，60BAD ∠=︒，∴满足条件的点P 只有两个点，点P 在EF 右侧时，AP 最大，∴点P 再EF 左侧时，AP 最小，即：当EF AC ⊥，点P 在EF 的左侧时，AP 有最小值，设AC 与EF 交于点O ，PE PF =，12OF EF ∴==， 60FPA ∠=︒，3OP ∴=，60BAD ∠=︒，30FAO ∴∠=︒，9AO ∴=，12AP AO PO ∴=+=，同理6AP AO OP '=-=，AP ∴的最大值为12，AP 的最小值为6，21．．【解答】证明：取AB 的中点H ，连接EH ；90AEF ∠=︒，290AEB ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，190AEB ∴∠+∠=︒，12∴∠=∠， E 是BC 的中点，H 是AB 的中点，BH BE ∴=，AH CE =，45BHE ∴∠=︒， CF 是DCG ∠的角平分线，45FCG ∴∠=︒，135AHE ECF ∴∠=∠=︒，在AHE ∆和ECF ∆中，12AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AHE ECF ASA ∴∆≅∆，AE EF ∴=．22．【解答】（1）证明：在ABC ∆和ADC ∆中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS ∴∆≅∆，BAC DAC ∴∠=∠，在ABF ∆和ADF ∆中，AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ADF SAS ∴∆≅∆，AFD AFB ∴∠=∠，AFB CFE ∠=∠，AFD CFE ∴∠=∠；（2）证明：//AB CD ，BAC ACD ∴∠=∠，又BAC DAC ∠=∠，CAD ACD ∴∠=∠，AD CD ∴=，AB AD =，CB CD =，AB CB CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形；（3）当EB CD ⊥时，即E 为过B 且和CD 垂直时垂线的垂足，EFD BCD ∠=∠， 理由：四边形ABCD 为菱形，BC CD ∴=，BCF DCF ∠=∠，在BCF ∆和DCF ∆中，BC CD BCF DCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF DCF SAS ∴∆≅∆，CBF CDF ∴∠=∠，BE CD ⊥，90BEC DEF ∴∠=∠=︒，BCD CBE CDF EFD ∴∠+∠=∠+∠，EFD BCD ∴∠=∠．23．【解答】证明：E 是OA 的中点，G 是OC 的中点， 12OE AO ∴=，12OG CO =． 四边形ABCD 是矩形，AO CO ∴=，OE OG ∴=．同理可证OF OH =．∴四边形EFGH 是平行四边形． 12OE AO =，12OG OC =， 12EG OE OG AC ∴=+=，同理12FH BD =． 又AC BD =，EG FH ∴=，∴四边形EFGH 是矩形．24． 【解答】（1）证明：E 是AD 的中点， AE DE ∴=．//AF BC ，FAE BDE ∴∠=∠，AFE DBE ∠=∠． 在AFE ∆和DBE ∆中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE DBE AAS ∴∆≅∆．AF BD ∴=．AF DC =，BD DC ∴=．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形； 证明：AF DC =，//AF DC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形．AB AC =，BD DC =，AD BC ∴⊥即90ADC ∠=︒．∴平行四边形ADCF 是矩形．25．【解答】解：8AB =，D 为AB 的中点， 142AD AB ∴==， DE AC ⊥，90DEA ∴∠=︒，30A ∠=︒，114222DE AD ∴==⨯=． 26．【解答】（1）证明：AB 、OB 、OC 、AC 中点分别为D 、E 、F 、G DG ∴、EF 分别为ABC ∆和OBC ∆的中位线 //DG BC ∴//EF BC 12DG BC =12EF BC = //DG EF ∴且DG EF =∴四边形DEFG 是平行四边形； （2）解：成立，理由是：如图所示，由（1）知，//DG BC//EF BC12DG BC=12EF BC=//DG EF∴且DG EF=∴四边形DEFG是平行四边形；（3）解：当点O满足OA BC⊥，四边形DEFG是矩形．由三角形中位线性质得90EDG∠=︒，所以平行四边形DEFG是矩形．故答案是：点O满足OA BC⊥，四边形DEFG是矩形．。

特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．C．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A ′B ′D ′，分别连接A ′C ，A ′D ，B ′C ，则A ′C＋B ′C5.菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，在运动过程中，点D到点O8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为79.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.(1)求证：四边形BDFG为菱形；(2)若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为20．证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝12 AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF. ∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC.(1)求证：AE ＝DC ；(2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°.∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°.∴∠AEF ＋∠CED ＝90°.∴∠EFA ＝∠CED.在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF.(2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD . 12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC ⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD. ∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC. ∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE.∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F 是AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝2. ∴当PA ＋PF 最小时，△PAF 的周长最小，即点P 为CF 与BE 的交点时，△PAF 的周长最小．此时△PAF 的周长为PA ＋PF ＋AF ＝CF ＋AF.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D ＝30°，∠ACE ＝90°－30°＝60°.∴△ACE 是等边三角形．∴AC ＝AE ＝CE ＝4.∵AF ＝EF ，∴CF ⊥AE.∴CF ＝AC 2－AF 2＝2 3.△PAF 周长的最小值为CF ＋AF ＝23＋2. 13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为F ，交直线MN 于点E ，连接CD ，BE.(1)求证：CE ＝AD ；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC ≌△EPC.∴BE ＝PE.∴∠EBP ＝∠EPB.∵E 为AB 的中点，∴BE ＝AE.∴AE ＝PE.∴∠EPA ＝∠EAP .∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°.∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x.∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x.∴MN DN ＝23x x ＝2 3.16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°.∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF.∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°.∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°.∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC.在△DAG 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP .(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°.∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°.∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ.∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ.∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°.∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是． 故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2（含答案）专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC 上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(第4题)专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定求菱形的高1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)(第1题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF 于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．(第4题)专训3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形﹨菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边﹨角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC 于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．(第5题)c．菱形性质和判定的应用6．(1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG 于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第8题)答案专训11．解：由折叠的性质知∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD ＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．∵PG ⊥AB ，PF ⊥AC ，∠A ＝90°，∴∠A ＝∠AGP ＝∠PFA ＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG ＝PF ，PG ∥AC.∴∠C ＝∠GPB.又∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠DBP.∴∠GPB ＝∠DBP.∴OB ＝OP.∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ，∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°. 在△BGO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠BGO ＝∠PEO ，∠GOB ＝∠EOP ，OB ＝OP ，∴△BGO ≌△PEO.∴BG ＝PE. ∵AB ＝BG ＋AG ＝PE ＋PF.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD. ∴BE ∥DF.又∵BE ＝DF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵DE ⊥AB ， ∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ＝BC. ∴∠DFA ＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形， 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得 BC ＝CF2＋BF2＝32＋42＝5， ∴AD ＝BC ＝DF ＝5. ∴∠DAF ＝∠DFA. ∴∠DAF ＝∠FAB ， 即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠ABE ＝∠ECF. 又∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎨⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)解：∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝DF2＝2.∴AC＝42－22＝2 3.∴S四边形ABFC＝23×2＝4 3.专训21．(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，则DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵CE∥AB，∴∠BCE＝180°－∠B＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，易求得DF＝33，即菱形ADCE的高为3 3.(第1题)2．(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC.∵四边形AFCG是矩形，∴CG∥AF.∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO.∴△COD≌△AOB(AAS)．∴CD＝AB.∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB.∴AD＝DB.又∵AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴∠DBA ＝60°.∵CD ∥AB ，∴∠BDC ＝∠DBA ＝60°.(3)解：由菱形性质知，∠OAB ＝12∠BAD ＝30°.在Rt △OAB 中，AB ＝1，∴OB ＝12，∴OA ＝32.∴BD ＝1，AC ＝ 3.3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°.∴DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠BDE ，又∵∠AEF ＝∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB(ASA )．(2)证明：由(1)知，△AEF ≌△DEB ，则AF ＝DB ，∵D 是BC 的中点，∴DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝12BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)解：设菱形ADCF 的DC 边上的高为h ，则Rt △ABC 斜边BC 上的高也为h ，∵BC ＝52＋42＝41，∴DC ＝12BC ＝412，h ＝4×541＝2041，∴菱形ADCF的面积为：DC·h ＝412×2041＝10.专训31．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下： 如图(1)，过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下： 如图(2)，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 又∵BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°，∴∠MAE ＝90°. ∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN. ∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN －BM ＝MN.(1)(2)(第1题)2．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°.∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA ＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS.∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°.∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．专训41．解：(1)△AED ≌△CEB′.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝DA ，∠B ＝∠D. 由折叠的性质，知BC ＝B′C ，∠B ＝∠B′， ∴B′C ＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠B′EC ，∠D ＝∠B′，DA ＝B′C ，∴△AED ≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB. ∵∠1＝∠2，PG ⊥AB′，∴PM ＝PG. ∵CD ∥AB ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB ＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立，此时PE＝BD＋PF.理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD ＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连接AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE ＝EC.(2)解：点F 是线段BC 的中点． 理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB. 又∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°. ∵AE ＝EC ， ∴∠EAC ＝∠ACE. ∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝30°， ∴∠EAC ＝∠EAB.∴AF 是△ABC 的角平分线． ∴BF ＝CF.∴点F 是线段BC 的中点．5．(1)证明：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝2t ， ∴DF ＝t ，又∵AE ＝t ，∴AE ＝DF.(2)解：能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF. 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．在Rt △ABC 中，设AB ＝x ，则由∠C ＝30°，得AC ＝2x ，由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，即x 2＋(53)2＝4x 2，解得x ＝5(负根舍去)， ∴AB ＝5. ∴AC ＝2AB ＝10. ∴AD ＝AC －DC ＝10－2t.由已知得点D 从点C 运动到点A 的时间为10÷2＝5(s )，点E 从点A 运动到点B 的时间为5÷1＝5(s )．若使▱AEFD 为菱形，则需AE ＝AD ，即t ＝10－2t ，解得t ＝103.符合题意． 故当t ＝103 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)解：①当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形． 在Rt △AED 中，∠ADE ＝∠C ＝30°，∴AD ＝2AE ，即10－2t ＝2t ，解得t ＝52.符合题意． ②当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴∠AED＝30°.∴AE＝2AD，即t＝2(10－2t)，解得t＝4.符合题意．③当∠EFD＝90°时，△DEF不存在．综上所述，当t＝52s或4 s时，△DEF为直角三角形．6．(1)C(2)①证明：∵AF綊DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，∴AE＝3.∵AE＝3，EF＝4，∠E＝90°，∴AF＝AE2＋EF2＝32＋42＝5.∵AD＝5，∴AD＝AF，∴四边形AFF′D是菱形．②解：如图，连接AF′，DF，在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，∴由勾股定理可得AF′＝310.在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，∴由勾股定理得DF＝10，∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是310和10.(第6题)7．解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠ADE ，∠AFB ＝∠DEA ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE. ∴BF ＝AE.∵AF ＝AE ＋EF ，∴AF ＝BF ＋EF. 8．证明：(1)∵CD ＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是矩形， ∴∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠GDC ＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎨⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，DE ＝DC ，∴△AED ≌△GCD. (2)∵α＝45°，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°， ∴∠CNE ＝90°，CN ＝NE ， ∴∠HND ＝90°.∴∠H ＝∠D ＝∠HND ＝90°， ∴四边形MHND 是矩形．又∵CD ＝HE ，CN ＝NE ，∴HN ＝ND. ∴四边形MHND 是正方形．。

平行四边形的性质练习一、角的计算问题1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶12.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ） A.60° B.80° C.100° D.120°3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .4.在中，∠A ：∠B ＝2：3，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ ．5.在□ABCD 中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.6.如图，在平行四边形ABCD 中，∠-∠=︒A B 70，求平行四边形各角的度数。

A DB C7.如图，在中，∠B ＝120°，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥BC ，垂足为F ．求∠ADE ，∠EDF ，∠FDC 的度数．二、边长计算问题1.□ABCD 的周长为36 cm ，AB=75BC ，则较长边的长为（ ）A.15 cmB.7.5 cmC.21 cmD.10.5 cm 2.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6 3.在□ABCD 中，AB=3，BC=4，则□ABCD 的周长等于_______. 4.在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，周长等于24，则BC ＝ ，CD ＝ ，AD ＝ ． 5．已知的周长为28cm ，AB ：BC ＝3：4，则AB ＝ ，BC ＝ ，CD ＝ ，AD ＝ ．6.在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________．7.平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________8.平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________．三、对角线问题1.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）A.2B.4C.6D.82.中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．3.如图，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为6 cm，则的面积是____________．4.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？5.如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．6.如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？1.如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38 cm，△ABC 的周长比□ABCD的周长少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长.2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.3.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF ⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？。

2023年中考数学一轮专题练习——点、直线、圆的位置关系2（解答题部分）一、解答题（本大题共22小题）1. （辽宁省大连市2022年）AB是O的直径，C是O上一点，OD BC，垂足为D，过点A作O的切线，与DO的延长线相交于点E．(1)如图1，求证B E∠=∠；(2)如图2，连接AD，若O的半径为2，3OE=，求AD的长．2. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）如图，在Rt ABC中，90ACB∠=︒，ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边,BC AC上，以点O为圆心，OA长为半径的O恰好经过点D和点E．(1)求证：BC与O相切；(2)若3sin,65BAC CE∠==，求OF的长．3. （江苏省扬州市2022年）如图，AB为O的弦，OC OA⊥交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB CP=．(1)试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；(2)若sin 8A OA ==，求CB 的长． 4. （湖北省荆州市2022年）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点O 是边AB 上一个动点（不与点A 重合），连接OD ，将△OAD 沿OD 折叠，得到△OED ；再以O 为圆心，OA 的长为半径作半圆，交射线AB 于G ，连接AE 并延长交射线BC 于F ，连接EG ，设OA ＝x ．(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)当点E 落在BD 上时，求x 的值；(3)当点E 落在BD 下方时，设△AGE 与△AFB 面积的比值为y ，确定y 与x 之间的函数关系式；(4)直接写出．．．．：当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围． 5. （湖北省恩施州2022年）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点C ．(1)求证：∠ADE =∠PAE ．(2)若∠ADE =30°，求证：AE =PE ．(3)若PE =4，CD =6，求CE 的长．6. （湖南省湘潭市2022年）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．(1)如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；(2)如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．7. （湖南省娄底市2022年）如图，已知BD是Rt ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．(1)判定AC与O的位置关系，为什么？(2)若3BC=，32 CD=，①求sin DBC∠、sin ABC∠的值；②试用sin DBC∠和cos DBC∠表示sin ABC∠，猜测sin2α与sinα，cosα的关系，并用30α=︒给予验证．8. （湖南省郴州市2022年）如图，在ABC中，AB AC=．以AB为直径的O与线段BC交于点D，过点D作DE AC⊥，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是O的切线；(2)若O的半径为6，30P∠=︒，求CE的长．9. （湖南省衡阳市2022年）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD 交BA的延长线与点C，过点O作//OE AD交CD于点E，连接BE．(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；(2)若2CA=，4CD=，求DE的长．10. （四川省雅安市2022年）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；(3)若AEAC＝12，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．11. （天津市2022年）已知AB为O的直径，6AB=，C为O上一点，连接,CA CB．(1)如图①，若C为AB的中点，求CAB∠的大小和AC的长；(2)如图②，若2,AC OD=为O的半径，且OD CB⊥，垂足为E，过点D作O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．12. （湖北省十堰市2022年）如图，ABC中，AB AC=，D为AC上一点，以CD为直⊥，垂足为G．径的O与AB相切于点E，交BC于点F，FG AB(1)求证：FG是O的切线；(2)若1BG=，3BF=，求CF的长．13. （四川省遂宁市2022年）如图，O是ABC的外接圆，点O在BC上，BAC∠的角平分线交O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：ABD△∽DCP；(3)若6AC=，求点O到AD的距离．AB=，814. （四川省内江市2022年）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；AC的长；(2)若⊙O的半径为6，AF＝(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．15. （湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市2022年）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．(1)求证：AB AC=；(2)若16DG BC==，求AB的长．16. （四川省南充市2022年）如图，AB为O的直径，点C是O上一点，点D是O外一点，BCD BAC∠=∠，连接OD交BC于点E．(1)求证：CD是O的切线．(2)若4,sin5CE OA BAC=∠=，求tan CEO∠的值．17. （四川省眉山市2022年）如图，AB为O的直径，点C是O上一点，CD与O相切于点C，过点B作BD DC⊥，连接AC，BC．(1)求证：BC是ABD∠的角平分线；(2)若3BD=，4AB=，求BC的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．18. （四川省泸州市2022年）如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB∠交O 于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F．(1)求证：FD AB∥；(2)若AC=BC FD的长．19. （2022年四川省乐山市）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，CD= DE，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．(1)求证：CG=DG；(2)已知⊙O的半径为6，3sin5ACE∠=，延长AC至点B，使4BC=．求证：BD是⊙O的切线．20. （湖北省鄂州市2022年）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝4，tan A＝12，求△OCD的面积．21. （四川省凉山州2022年）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB 的长；(3)连接BM 并延长交圆M 于点D ，连接CD ，求直线CD 的解析式．22. （湖南省株洲市2022年）如图所示，ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 外，边AC 与⊙O 相交于点D ，45BAC ∠=︒，连接OB 、OD ，已知∥OD BC ．(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若线段OD 与线段AB 相交于点E ，连接BD ．①求证：ABD DBE ∽；②若6AB BE ⋅=，求⊙O 的半径的长度．参考答案1. 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明90ODB OAE ∠=∠=︒，DOB AOE ∠=∠，即可得出B E ∠=∠； （2）证明ODB∆OAE ∆，求出OD ，由勾股定理求出DB ，由垂径定理求出BC ，进而利用勾股定理求出AC ，AD ．(1)解：∵ OD BC ，∴90ODB ∠=︒，∵ AE 是O 的切线，∴90OAE ∠=︒，在ODB ∆和OAE ∆中，90ODB OAE ∠=∠=︒，DOB AOE ∠=∠，∴B E ∠=∠；(2)解：如图，连接AC ．∵ O 的半径为2，∴2OA OB ==，4AB =，∵ 在ODB ∆和OAE ∆中，90ODB OAE ∠=∠=︒，DOB AOE ∠=∠，∴ODB∆OAE ∆， ∴OD OB OA OE=，即223OD =， ∴43OD =， 在Rt ODB ∆中，由勾股定理得：222OD DB OB +=，∴DB ==∵ OD BC ，OD 经过O 的圆心， ∴253CD DB ，∴2BC DB ==． ∵AB 是O 的直径，C 是O 上一点，∴90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：222AC BC AB +=，∴83AC ==． 在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：222AC CD AD +=，∴AD == 2. 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OE ，先证明四边形AOEF 是平行四边形，得到OE AC ∥，即可证明∠OEB =∠ACB =90°，由此即可证明结论；（2）过点F 作FH OA 于点H ，先解直角△CEF 求出EF 的长，再证明四边形AOEF 是菱形，得到OA ，AF 的长，再解直角△AHF ，求出AH ，FH ，进而求出OH ，即可利用勾股定理求出OF ．(1)证明：连接OE ，∵四边形ODEF 是平行四边形，∴EF OD ∥；EF OD =，∵OA OD =，∴EF OD ∥；EF OA =，∴四边形AOEF 是平行四边形，∴OE AC ∥，∴OEB ACB ∠=∠，∵90ACB ∠=︒∴90OEB ∠=︒，∴OE BC ⊥，∵OE 是O 的半径，∴BC 与O 相切；(2)解：过点F 作FH OA 于点H ， ∵四边形AOEF 是平行四边形∴EF OA ∥，∴CFE CAB ∠=∠，∴3sin sin 5CFE CAB ∠=∠=， 在Rt CEF 中，90ACB ∠=︒， ∵6,sin CE CE CFE EF =∠=， ∴6103sin 5CE EF CFE ===∠， ∵四边形AOEF 是平行四边形，且OA OE =，∴AOEF 是菱形，∴10AF AO EF ===，在Rt AFH 中，90AHF ∠=︒， ∵10,sin FH AF CAB AF=∠=， ∴3sin 1065FH AF CAB =⋅∠=⨯=， ∵222AH AF FH =-，∴8AH ，∴1082OH AO AH =-=-=，在Rt OFH 中，90FHO ∠=︒，∵222OF OH FH =+，∴OF3. 【答案】(1)相切，证明见详解(2)6【分析】（1）连接OB ，根据等腰三角形的性质得出A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，从而求出90AOC OBC ∠=∠=︒，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，根据sin 8A OA ==求出OP ，AP 的长，利用垂径定理求出AB 的长，进而求出BP 的长，然后在等腰三角形CPB 中求解CB 即可．(1)证明：连接OB ，如图所示：CP CB OA OB ==，，∴A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，APO CPB ∠=∠，APO CBP ∴∠=∠，OC OA ⊥，即90AOP ︒=∠，90A APO OBA CBP OBC ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠，OB BC ∴⊥， OB 为半径，经过点O ，∴直线BC 与O 的位置关系是相切．(2)分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，如图所示：AM BM ∴=，CP CB AO CO =⊥，，A APO PCN CPN ∴∠+∠=∠+∠，PN BN =，PCN BCN ∠=∠A PCN BCN ∴∠=∠=∠sin A =，8OA =，sin OM OP A OA AP ∴===4OM AM OP AP ∴====，2AB AM ∴==111()222PN BN PB AB AP ∴===-=⨯=sin sin BN A BCN CB ∴=∠==，6CB ∴===． 4. 【答案】(1)见详解(2)32 (3)2293(0)4362x y x x =<<+ (4)332x <≤或2548x <≤ 【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；（2）如图，在Rt OEB ∆，根据勾股定理列方程求解即可；（3）先证DAO AEG ∆∆∽，求出AE ，然后证明AEG ABF ∆∆∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解；（4）结合图形，分情况讨论即可求出x 的取值范围．(1)证明：在矩形ABCD 中，90DAB ∠=︒，△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，90OED DAB ∴∠=∠=︒，即OE DE ⊥，∴ DE 是半圆O 的切线；(2)解：△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，3,DE AD OA OE x ∴====，4OB AB OA x ∴=-=-，在Rt DAB ∆中，5DB ，532EB DB DE ∴=-=-=，在Rt OEB ∆中，222OE EB OB +=，()22224x x ∴+=-，解得32x =， 答：x 的值为32．(3)解：在Rt DAO ∆中，DO△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，AE OD ∴⊥， AG 是O 的直径，90AEG ∴∠=︒，即AE EG ⊥，OD EG ∴∥，90DAO AEG ∠=∠=︒AOD EGA ∴∠=∠，DAO AEG ∴∆∆∽，DO DA AG AE∴= ，3,AE AE ==， 90,AEG ABC EAG BAF ∠=∠=︒∠=∠，AEG ABF ∴∆∆∽，2AGEAFB S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即()222949x y x ==+ ⎪⎝⎭， 229436x y x ∴=+ （302x <<）(4)解：由（2）知，当E 在DB 上时， 32x =， 如图，当点E 在DC 上时， 3x = ，∴当332x <≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点； 当半圆O 经过点C 时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点，连接OC ，在Rt OBC ∆中，4,,3OB x OC x BC =-==，222OB BC OC +=，()22243x x ∴-+= ，解得258x =， ∴当2548x ≤≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点；综上所述，当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围为：332x <≤或2548x <≤． 5. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)CE 的长为2．【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．(1)证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，∴∠OAE+∠PAE=90°，∵DE为⊙O的直径，∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PAE，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADE，∴∠ADE=∠PAE；(2)证明：∵∠ADE=30°，由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，∴∠APE=∠PAE =30°，∴AE=PE；(3)解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．∴AB⊥PD，∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，即DC ×CE =OC ×PC ，设CE =x ，则DE =6+x ，OE =3+2x ，OC =3+2x -x =3-2x ，PC =4+x ， ∴6x =(3-2x )( 4+x )， 整理得：x 2+10x -24=0，解得：x =2(负值已舍)．∴CE 的长为2．6. 【答案】(1)14449y x= (2)1322y x =-+ 【分析】（1）根据,A B 的坐标，可得直线AB 的解析式，根据题意点P 为y x =与AB 的交点，求得交点P 的坐标，即可求解；（2）设()0,N n ，04n ≤≤，根据题意求得5AB =，根据轴对称的性质结合图形求得,,BM MN BN ，在Rt BMN △中，222BN BM NM =+即可求得n 的值，进而待定系数法求解析式即可求解．(1)()3,0A 、()0,4B设直线AB 的解析式为y kx b =+，则304k b b +=⎧⎨=⎩， 解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 则直线AB 的解析式为443y x =-+， 以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则P P x y =，∴点P 为y x =与AB 的交点，443y x y x⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩， 解得127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则1212,77P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点P 的反比例函数表达式为2k y x =，则214449k =，∴14449y x=； (2) 设()0,N n ，04n ≤≤将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，ON OM ∴=，OA AM =()3,0A 、()0,4B3,4OA OB ∴==Rt AOB △中，5AB2BM AB AM AB AO ∴=-=-=，MN ON n ==，4BN n =-在Rt BMN △中，222BN BM NM =+即()22242n n -=+ 解得32n = 则30,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AN 的解析式为y sx t =+ 则3032s t t +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得1232s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线AN 的解析式为1322y x =-+． 7. 【答案】(1)相切，原因见解析(2)①sin DBC ∠=4sin 5ABC ∠=；②sin 22sin cos ααα=，验证见解析 【分析】（1）连接OD ，根据角之间的关系可推断出//OD BC ，即可求得ODA ∠的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sin DBC ∠，sin ABC ∠的值；②先表示出来sin DBC ∠、cos DBC ∠和sin ABC ∠的关系，进而猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，然后将30α=︒代入进去加以验证． (1)解：连接OD ，如图所示∵BD 为ABC ∠的角平分线∴ABD CBD ∠=∠又∵O 过点B 、D ，设O 半径为r∴OB =OD =r∴ODB OBD CBD ∠=∠=∠∴//OD BC （内错角相等，两直线平行）∵OD AC ⊥∴AC 与O 的位置关系为相切．(2)①∵BC =3，32CD =∴BD ==∴sin CD DBC BD ∠== 过点D 作DF AB ⊥交于一点F ，如图所示∴CD =DF （角平分线的性质定理）∴BF =BC =3∴OF =BF -OB =3-r ，32OF CD == ∴222OD OF DF =+即2223(3)()2r r =-+ ∴158r = ∵//OD BC∴ABC FOD ∠=∠∴4sin sin 5DF ABC FOD OD ∠=∠==∴4sin 5DBC ABC ∠=∠=；②cos CB DBC BD ∠==∴2sin cos 5DBC DBC ∠⨯∠== ∴sin 2sin cos ABC DBC DBC ∠=∠⨯∠猜测sin 22sin cos ααα=当30α=︒时260α=︒∴sin 2sin 60α=︒=1sin sin 302α=︒=cos cos30α=︒=∴1sin 22sin cos 2sin 22αααα==⨯== ∴sin 22sin cos ααα=．8. 【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接AD 、OD ，根据等腰三角形的性质可证得2C ∠=∠，根据平行线的判定与性质可证得PE OD ⊥，然后根据切线的判定即可证得结论；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得CD 、CE 即可．(1)证明：连接AD 、OD ，记1ABD ∠=∠，2ODB ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90CED ∠=︒．∵AB AC =，∴1C ∠=∠．∵OB OD =，∴12∠=∠，∴2C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴90ODE CED ∠=∠=︒，∴PE OD ⊥，又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线PE 是⊙O 的切线．(2)连接AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴AD BC ⊥．又∵AB AC =， ∴12CD BC =， ∵30P ∠=︒，90PEA ∠=︒，∴60PAE ∠=︒，又∵AB AC =，∴ABC 为等边三角形，∴60C ∠=°，12==BC AB ， ∴126CD BC ==， 在Rt CDE △中，∵cos CE C CD =， ∴1cos60632CE CD =︒=⨯=．9. 【答案】(1)相切，见解析(2)6DE =【分析】（1）先证得：90ODC ODE ∠=∠=︒，再证ODE OBE ≌，得到90OBE ODE ∠=∠=︒，即可求出答案；（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，即可求得半径，再在直角三角形CBE 中，利用勾股定理222BC BE CE +=，求解即可．(1)证明：连接OD ．∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠，且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠，在ODE 与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ODE OBE ≌，∴90OBE ODE ∠=∠=︒，∴直线BE 与O 相切．(2)设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE = 10. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)tan ∠OAC 34=【分析】（1）如图，过O 作OH AB ⊥于,H 证明,OC OH 即可得到结论；（2）证明,ACE OCD ODC 再结合,CAE DAC 从而可得结论；（3）由相似三角形的性质可得1,2AE AC AC AD == 设,AE x = 则2,4,AC x AD x 而12,ADAE DE x 从而建立方程求解x ，从而可得答案．(1) 证明：如图，过O 作OH AB ⊥于,H∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，,OC OHO 为圆心，OC 为半径，AB ∴是⊙O 的切线．(2)如图，连结CE ，DE 为O 的直径，90,DCE DCO OCE 90,ACB ACE BCE ,DCO ACE ,OD OC =,ODC OCD ∴∠=∠,ACE ADC ,CAE DAC .ACE ADC ∽(3) ,ACE ADC ∽1,2AE AC =1,2AE AC AC AD 设,AE x = 则2,4,AC x AD x 而12,AD AE DE x412,x x 解得4,x =4,8,16,AE AC AD∴ tan ∠OAC 63=.84OCAC11. 【答案】(1)45CAB ∠=︒，AC =(2)FD =【分析】（1）由圆周角定理得90ACB ∠=︒，由C 为AB 的中点，得AC BC =，从而AC BC =，即可求得CAB ∠的度数，通过勾股定理即可求得AC 的长度； （2）证明四边形ECFD 为矩形，FD =CE =12CB ，由勾股定理求得BC 的长，即可得出答案．(1)∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，由C 为AB 的中点，得AC BC =，∴AC BC =，得ABC CAB ∠=∠，在Rt ABC 中，90ABC CAB ∠+∠=︒，∴45CAB ∠=︒；根据勾股定理，有222AC BC AB +=，又6AB =，得2236AC =，∴AC =(2)∵FD 是O 的切线，∴OD FD ⊥，即90ODF ∠=︒， ∵OD CB ⊥，垂足为E ，∴190,2CED CE CB ∠=︒=，同（1）可得90ACB ∠=︒，有90FCE ∠=︒，∴90FCE CED ODF ∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形，∴FD CE =，于是12FD CB =，在Rt ABC 中，由6,2AB AC ==，得CB =，∴FD =12. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接,DF OF ，设ODF OFD ∠=∠β=，OFC α∠=，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明90αβ+=︒，进而求得,DFG DFO αβ∠=∠=，即可证明FG 是O 的切线；（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形GEOF 是正方形，进而求得DC 的长，根据BFG FDC β∠=∠=，sin GB FC BF DCβ==，即可求解． (1)如图，连接,DF OF ， OF OD =，则ODF OFD ∠=∠，设ODF OFD ∠=∠β=，OFC α∠=，OF OC =，OFC OCF α∴∠=∠=， DC 为O 的直径，90DFC ∴∠=︒，90DFO OFC DFC ∴∠+=∠=︒，即90αβ+=︒，AB AC =，B ACB α∴∠=∠=，FG AB ⊥，9090GFB B αβ∴∠=︒-∠=︒-=，90DFB DFC ∠=∠=︒，9090DFG GFB βα∴∠=︒-∠=︒-=，90GFO GFD DFO αβ∴∠=+=+=︒， OF 为O 的半径，FG ∴是O 的切线； (2)如图，连接OE ，AB 是O 的切线，则OE AB ⊥，又,OF FG FG AB ⊥⊥，∴四边形GEOF 是矩形，OE OF =，∴四边形GEOF 是正方形，12GF OF DC ∴==， 在Rt GFB △中，1BG =，3BF =，FG ∴DC ∴=由（1）可得BFG FDC β∠=∠=，,FG AB DF FC ⊥⊥，sin GB FC BF DC β∴==， ∴13解得FC =． 13. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)点O 到AD 的距离为【分析】（1）连接OD ，证明OD BC ，则OD DP ⊥，即可得证；（2）由BC DP ∥，ACB ADB ∠=∠，可得P ADB ∠=∠，根据四边形ABDC 为圆内接四边形，又180∠+∠=︒DCP ACD ，可得ABD DCP ∠=∠，即可证明ABD △∽DCP ；（3）过点O 作OE AD ⊥于点E ，由ABD △∽DCP ，根据相似三角形的性质可求得CP ，证明BAD ∽DAP ，继而求得,AD ED ，在Rt OED 中，利用勾股定理即可求解．(1)证明：连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC =∠，∴BD DC =．又∵BC 为直径，∴O 为BC 中点，∴OD BC ．∵BC DP ∥，∴OD DP ⊥．又∵OD 为半径，∴PD 是O 的切线； (2)证明：∵BC DP ∥，∴ACB P ∠=∠．∵ACB ADB ∠=∠，∴P ADB ∠=∠．∵四边形ABDC 为圆内接四边形，∴180ABD ACD ∠+∠=︒．又∵180∠+∠=︒DCP ACD ，∴ABD DCP ∠=∠，∴ABD △∽DCP ．(3)过点O 作OE AD ⊥于点E ，∵BC 为直径，∴90BAC ∠=︒．∵6AB =，8AC =，∴10BC =．又∵BD DC =，∴22222BD DC BD BC +==，∴BD DC ==由（2）知ABD △∽DCP ， ∴AB BD DC CP=， ∴502563BD DC CP AB ⋅===， ∴2549833AP AC CP =+=+=． 又∵ADB ACB P ∠=∠=∠，BAD DAP ∠=∠，∴BAD ∽DAP ， ∴AB AD AD AP=， ∴298AD AB AP =⋅=，∴AD =∵OE AD ⊥，∴12ED AD ==．在Rt OED 中，OE =，∴点O 到AD 的距离为．14. 【答案】(1)直线AF 与⊙O 相切．理由见解析(2)66π．【分析】（1）连接OC ，证明△AOF ≌△COF （SAS ），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF =∠OCF =90°，由切线的判定可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠AOF =30°，可得出AE =12OA =3，则可求出答案；（3）证明△AOC 是等边三角形，求出∠AOC =60°，OC =6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．(1)直线AF 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ，∴∠OCP ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠AOF ＝∠B ，∠COF ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵在△AOF 和△COF 中，OA OC AOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△COF （SAS ），∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴AF ⊥OA ，又∵OA 为圆O 的半径，∴AF 为圆O 的切线；(2)∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵OA ＝OC ，∴E 为AC 中点， 即1,2AE CE AC OE AC ==⊥，∵∠90,6,OAF OA AF ︒===∴tan AF AOF OA ∠===， ∴∠AOF ＝30°， ∴132AE OA ==，∴26AC AE ==；(3)∵AC ＝OA ＝6，OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，OC ＝6，∵∠OCP ＝90°，∴CP ==∴S △OCP＝2116066622360AOC OC CP S ππ⋅⨯⋅=⨯⨯==扇形， ∴阴影部分的面积=S △OCP ﹣S 扇形AOC＝6π．15. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由切线的性质和BC EF ∥可得AD BC ⊥，由垂径定理可得BG CG =，从而得到AD 垂直平分BC ，最后利用垂直平分线的性质即可得证；（2）先利用勾股定理得到BD =AGB BGD △∽△，从而得到AB BG BD DG =，代入数据计算即可． (1)证明：∵直线EF 切O 于点A ，AD 是O 的直径， ∴AD EF ⊥，∴90DAE DAF ∠=∠=︒，∵BC EF ∥，∴90DGB DAE ∠=∠=︒，∴AD BC ⊥，∴BG CG =，∴AD 垂直平分BC ，∴AB AC =；(2)如图，连接BD ，由（1）知：AD BC ⊥，BG CG =，∴90DGB AGB ∠=∠=︒，∵16DG BC ==， ∴182BG BC ==，在Rt DGB 中，BD == ∵AD 是O 的直径，∴90ABD ∠=︒， ∴90ABG DBG ∠+∠=︒，又∵90BDG DBG ，∴ABG BDG ∠=∠，又∵90DGB AGB ∠=∠=︒∴AGB BGD △∽△， ∴AB BG BD DG =， 即816，∴AB =即AB 的长为16. 【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB =90°，根据OA =OC 推出∠BCD =∠ACO ，即可得到∠BCD +∠OCB =90°，由此得到结论；（2）过点O 作OF ⊥BC 于F ，设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，BE =1.5x ，勾股定理求出AC ，根据OF ∥AC ，得到1BF OB CF OA==，证得OF 为△ABC 的中位线，求出OF 及EF ，即可求出tan CEO ∠的值．(1)证明：连接OC ，∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACO +∠OCB =90°，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ,∵BCD BAC ∠=∠，∴∠BCD =∠ACO ，∴∠BCD +∠OCB =90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是O 的切线． (2)解：过点O 作OF ⊥BC 于F ， ∵4,sin 5CE OA BAC =∠=， ∴设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，∴BE =BC -CE =1.5x ，∵∠C =90°，∴AC3x =，∵OA =OB ，OF ∥AC ， ∴1BF OB CF OA==， ∴CF =BF =2x ，EF =CE -CF =0.5x ，∴OF 为△ABC 的中位线，∴OF =1 1.52AC x =， ∴tan CEO ∠=1.530.5OF x EF x ==．17. 【答案】(1)见解析(2)BC =(3)23π【分析】（1）连接OC ，先证明OC BD ∥，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；（2）证明△ABC ∽△CBD 即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC =∠CBD ，∠ACB =∠D ，从而可以得到△ABC ∽△CBD ，即可求出BC 的长度；．（3）先证明△AOC 是等边三角形，然后求出扇形AOC 和△AOC 的面积，即可得到答案(1)证明：连接OC ，如图∵CD 与O 相切于点C ，∴OC CD ⊥∵BD CD ⊥，∴OC BD ∥∴OCB DBC ∠=∠．又∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∴DBC OBC ∠=∠，∴BC 平分ABD ∠．(2)解：根据题意，∵线段AB 是直径，∴90ACB D ∠=︒=∠，∵BC 平分ABD ∠，∴∠ABC =∠CBD ，∴△ABC ∽△CBD ， ∴AB BC CB BD=， ∵3BD =，4AB =，∴23412BC =⨯=，∴BC =(3)解：作CE ⊥AO 于E ，如图：在直角△ABC 中，2AC ==，∴2AO AC CO ===，∴△AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，1OE =， ∴CE∴阴影部分的面积为：260212236023S ππ⨯⨯=-⨯= 18. 【答案】(1)见解析(2)15 8【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知AD BD=，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论；（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得CM OMOD FD，代入可求．(1)证明：连接OD，如图，∵CD平分∠ACB，∴AD BD=，∴∠AOD=∠BOD=90°，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF=90°∴∠ODF=∠BOD，∴DF∥AB．(2)解：过C作CM⊥AB于M，如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB2222(25)(5)5BC．∴1122AB CM AC BC=，即115255 22CM，∴CM=2，∴2222(5)21BM BC CM，∴OM=OB-BM=135122，∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF∽△MCO，∴CM OM OD FD，即32252FD，∴FD=158．19. 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由CD=DE，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD是⊙O的切线，只要证明OD⊥BD，只要证明BD∥CE，通过计算求得sin∠B=35，即可证明结论．(1)证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵CD=DE，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；(2)证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵CD=DE，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵3 sin5ACE∠=，∴sin∠ODF=sin∠OCH=35，即OF OHOD OC==35，∴OF=185，由勾股定理得DF=245，FC=OC-OF=125，∴FB= FC+BC=325，由勾股定理得DB=405=8，∴sin∠B=2458DFBD==35，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线．20. 【答案】(1)PC与⊙O相切，理由见解析(2)9【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；（2）先证明12BC AC =，再证明△PBC ∽△PCA ，从而求出=41PA PB =，，AB =3，32OC OB ==，52OP =，最后证明△PBC ∽△POD ，求出10PD =，则CD =6，由此求解即可．(1)解：PC 与⊙O 相切，理由如下：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠OCB +∠OCA =90°，∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ，∵∠PCB =∠OAC ，∴∠PCB =∠OCA ，∴∠PCB +∠OCB =∠OCA +∠OCB =90°，即∠PCO =90°，∴PC 与⊙O 相切；(2)解：∵∠ACB =90°，1tan =2A ， ∴12BC AC =， ∵∠PCB =∠OAC ，∠P =∠P ，∴△PBC ∽△PCA ， ∴1=2PC PB BC PA PC CA ==， ∴=82PA PB =，，∴AB =6，∴3OC OB ==，∴5OP =，∵BC OD ∥，∴△PBC ∽△POD ， ∴PB PC OP PD =，即245PD=， ∴10PD =，∴CD =6， ∴192OCD S OC CD =⋅=． 21. 【答案】(1)⊙M 与x 轴相切，理由见解析(2)6(3)122y x=-+【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN 值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=C M=5，∵OA+OC=6，设AN=x，∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），∴AN=3，∴AB=2AN=6；(3)解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，∴OB=8，C（4，0）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得BC===∵BD是⊙M的直径，∴∠BCD =90°，BD =10，在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，由勾股定理，得CD=CD 2=20，在Rt △CPD 中，由勾股定理，得PD 2=CD 2-CP 2=20-CP 2，在Rt △MPD 中，由勾股定理，得PD 2=MD 2-MP 2=MD 2-（MC -CP ）2=52-（5-CP ）2=10CP -CP 2，∴20-CP 2=10CP -CP 2，∴CP =2，∴PD 2=20-CP 2=20-4=16，∴PD =4，即D 点横坐标为OC +PD =4+4=8，∴D （8,-2），设直线CD 解析式为y =kx +b ，把C （4,0），D （8,-2）代入，得4082k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：122y x =-+． 22. 【答案】(1)见解析(2)①见解析；【分析】 （1）根据圆周角定理可得∠BOD =2∠BAC =90°，再由OD ∥BC ，可得CB ⊥OB ，即可求证；（2）①根据∠BOD =2∠BAC =90°，OB =OD ，可得∠BAC =∠ODB ，即可求证；②根据ABD DBE ∽，可得2BD AB BE =⋅，即26BD =，再由勾股定理，即可求解． (1)证明∶∵∠BAC =45°，∴∠BOD =2∠BAC =90°，∴OD ⊥OB ，∵OD ∥BC ，∴CB ⊥OB ，∵OB 为半径，∴直线BC 是⊙O 的切线；(2)解：①∵∠BAC =45°，∴∠BOD =2∠BAC =90°，OB =OD ，∴∠ODB =45°，∴∠BAC =∠ODB ，∵∠ABD =∠DBE ，∴ABD DBE ∽； ②∵ABD DBE ∽， ∴AB BD BD BE =， ∴2BD AB BE =⋅， ∵6AB BE ⋅=， ∴26BD =， ∵22222OD OB OB BD +==， ∴23=OB ，∴OB =即⊙O 的半径的长为。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四边相等B．四角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE ＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．1B．C．D．﹣13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．184．关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形5．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．46．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．96cm2B．48cm2C．24cm2D．12cm27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长等于（）A．5B．C．D．8．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36B．30C．24D．209．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56 B．192 C．20 D．以上答案都不对10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD中点，若AB＝6，BC＝8，则△AEF的周长为（）A．6B．8C．9D．1011．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3B．4C．5D．6二．填空题12．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．14．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝15．如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠BEC的度数是度．16．已知正方形的对角线长为2，则它的面积．17．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为．18．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PF⊥AD于F，PF＝3cm，点E为AB边上一动点，则PE的最小值为cm．三．解答题19．已知：菱形ABCD中，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD 的面积和BE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．21．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？23．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB．（1）求证：四边形PMAN是正方形；（2）求证：EM＝BN．24．如图所示，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．25．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）写出线段AE、DF的数量和位置关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的四个角不一定相等，而正方形的四个角一定相等．故选：B．2．解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，∵OA＝OC，∠OCE＝∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，∵CE＝＝＝2，∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，∴x＝，∴点F的纵坐标为，故选：B．3．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．4．解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．5．解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．6．解：设菱形的对角线分别为3a，4a，∵菱形的周长为40，∴菱形的边长为10，∴（）2+（2a）2＝102，∴a2＝16，∴菱形的面积＝×3a×4a＝6a2＝96．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6，∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．8．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：D．9．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为20，∴（3x）2+（4x）2＝202，解得：x＝4，∴矩形的两邻边长分别为：12，16；∴矩形的面积为：12×16＝192．故选：B．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，∵BD＝＝＝10，∴OD＝OA＝OB＝5，∵E．F分别是AO．AD中点，∴EF＝OD＝，AE＝，AF＝4，∴△AEF的周长为9，故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．二．填空题12．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．13．解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形故答案为：AB＝BC（答案不唯一）14．解：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DFE＝∠2∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°∴∠2＝115°故答案为：115°15．解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，∴∠BAE＝45°而AB＝AE∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°又∵∠AEB+∠BEC＝180°∴∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°故答案为112.5．16．解：∵正方形的一条对角线的长2，∴这个正方形的面积＝＝4，故答案为417．解：阴影部分的面积＝18．解：∵四边形ABCD是菱形∴AC为∠DAB的角平分线∵PF⊥AD于点F，PF＝3cm．∴PE最短时PE＝PF＝3cm．故答案为3．三．解答题19．解：菱形ABCD的面积S＝×16×12＝96，∵AC⊥BD，∴AB＝10，∴CD＝AB＝10，∴×CD×BE＝48，∴BE＝cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE的长为cm．20．证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD．21．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．22．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．23．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∵PM＝PN，∴四边形PMAN是正方形；（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．24．解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，∵DP⊥AB，ABC＝90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE＝90°，即∠CDE+∠PDC＝90°，∵∠ADC＝90°，即∠ADP+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE，∴DP＝DE，S△ADP＝S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD＝S矩形BEDP，∴DP2＝36，∴DP＝6．25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°，∵AF＝BE，∴△DAF≌△ABE（SAS）；（2）AE＝DF，AE⊥DF，理由如下：由（1）得：△DAF≌△ABE，∴DF＝AE，∠ADF＝∠BEA，∵∠DAO+∠EAB＝∠DAF＝90°，∴∠DAO+∠ADF＝90°，∴∠DOA＝90°，∴AE⊥DF．。

特殊的平行四边形练习题一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．42．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．3．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）6．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.410．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．811．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE 沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣212．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．二．填空题（共5小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．14．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．15．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为cm．16．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为．17．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=50°，则∠APD等于．三．解答题（共13小题）18．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG 至点F使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．19．感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C ﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？21．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．22．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．23．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．24．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．25．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．26．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B 作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH 交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．28．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG ⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．29．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB 于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．30．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．特殊的平行四边形练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．2．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．4．（2016•龙岩模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．5．（2016•青山区模拟）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）【解答】解：作BM⊥CD于M，如图所示：∵B（﹣3，1），C（1，4），∴BN=3，BM=3+1=4，CM=4﹣1=3，ON=1，∴BC==5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=5，∵AB∥y轴，∴点A的坐标为（﹣3，6）；故选：C．6．（2016•高县一模）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．﹣4+4B ．4+4C ．8﹣4D ．+1【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，则S △ACD =AD•CD=×2×2=2； AC=AD=2，则EC=2﹣2，∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =ME•EC=（2﹣2）2=6﹣4，∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣4）=4﹣4． 故选：A ．7．（2016•扬州二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF ≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．故选A．8．（2016•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故选D．9．（2016•桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB 上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CD，此时，S△ABC即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．10．（2010•天门校级自主招生）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．8【解答】解：在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG∵∠ABO=90°﹣∠AHB，∠OCG=90°﹣∠OHC，∠OHC=∠AHB∴∠ABO=∠OCG∵OB=OC，CG=AB∴△OGC≌△OAB∴OG=OA=6，∠BOA=∠GOC∵∠GOC+∠GOH=90°∴∠GOH+∠BOA=90°即：∠AOG=90°∴△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）∴AC=16．故选B．11．（2016•平房区模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC 边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F 的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣2【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S=BA•AB′=2，S△ABE=1，△ABB′∴CB′=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠FCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CF=FB′=2﹣．故选C．12．（2016•夏津县一模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB=45°，FM=BM．在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，∴FM=AM•sin∠FAM=．AB=AM+MB=2+．故选C．二．填空题（共5小题）13．（2016春•柳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC=AB×AC，∴AP×BC=AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10，∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=∴AM=，故答案为：．14．（2017•桂林一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD 边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴MD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴MC==2，∴A′C=MC﹣MA′=2﹣2．故答案为：2﹣2．15．（2017春•广安月考）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为10cm．【解答】解：∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点，∵OE⊥BD，∴BE=DE，△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=×20=10（cm），故答案为：10．16．（2016•甘肃模拟）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为3．【解答】解：∵S △PAB +S △PCD =S ▱ABCD =S △ACD ，∴S △ACD ﹣S △PCD =S △PAB ，则S △PAC =S △ACD ﹣S △PCD ﹣S △PAD ，=S △PAB ﹣S △PAD ，=5﹣2，=3．故答案为：3．17．（2016秋•安丘市校级月考）如图，D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若∠CDE=50°，则∠APD 等于 50° ．【解答】解：由折叠得：∠PDE=∠CDE=50°，∵D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，∴DE ∥AB ，∴∠APD=∠PDE=50°，故答案为：50°．三．解答题（共13小题）18．（2016•重庆模拟）如图1，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过B 作BG ⊥AE 于G ，延长BG 至点F 使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．【解答】（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，∵∠CFB=45°∴CH=HF，∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°∴∠BAG=∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，∴△AGB≌△BHC，∴AG=BH，BG=CH，∵BH=BG+GH，∴BH=HF+GH=FG，∴AG=FG；（2）解：∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH=GM，∴BG=GM，∵BM=10，∴BG=2，GM=4，∴AG=4，AB=10，∴HF=2，∴CF=2×=2，∴CM=2，过B点作BK⊥CM于K，∵CK=CM=CF=，∴BK=3，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，∴△BKC≌△CQD∴CQ=BK=3，DQ=CK=，∴QF=3﹣2=，∴DF==2．19．（2016•广水市一模）感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．【解答】探究：证明：∵根据旋转的性质得：△EBC≌△FDC，∴CE=CF，DF=BE，∵CG平分∠ECF，∴∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∵GF=DG+DF=DG+BE，∴EG=BE+GD；应用：解：如图3，过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，则∠A=∠B=∠CHA=90°，∵AB=BC，∴四边形ABCH是正方形，∵∠DCE=45°，AH=BC，∴∠DCH+∠ECB=90°﹣45°=45°，∵由已知证明知：△EBC≌△MHC，∴∠ECB=∠MCH，∴∠DCH+∠MCH=45°，∴CD平分∠ECM，∴由探究证明知：DE=BE+DH，在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，设BE=x，则BC=AB=x+8=AH，即x+8=6+10﹣x，x=4，BE=4，AB=4+8=12，BC=AB=12，∴梯形ABCD的面积是×（6+12）×12=108．20．（2017•临沂模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s 的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？【解答】解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24﹣4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=24﹣4t，解得：t=4，答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．21．（2016•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．22．（2014秋•重庆月考）如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．23．（2013•沙坪坝区校级模拟）如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．【解答】（1）解：设∠CDE=x°，∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°，∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，∴5x=180°，x=36°，∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°，∴∠BDC=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BDC=54°；（2）证明：连接AC，GE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，∴GD=GC，∴G在CD的垂直平分线上，∵DE=CE，∴E在CD的垂直平分线上，∴GE为CD的垂直平分线，∴DM=CM，∵BG=DG，∴GM∥BC，∴∠DGE=∠DBC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDG，∴∠DGE=∠FDG，∴FD∥GE，∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE，∴四边形FDEG是平行四边形，∴H为EF的中点．24．（2013•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．【解答】解：（1）过点D作DH⊥MC于点H，∵菱形ABCD的周长为8，∴CD=2，∵CD=CM，且∠D=67.5°，∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，=CM•DH=×2×=；∴S△MCD（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，∴BC=CM，∠2=∠ABC，∵∠1+∠ABC=∠2+∠5∴∠1=∠5在△BNC和△MEC中，，∴△BNC≌△MEC（SAS），∴∠4=∠3，CE=NC，∵AD∥BC，∴∠2=∠BCM=∠ABC，∵∠ECF=∠ABC，∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，在△NCF和△ECF中，，∴△NCF≌△ECF（SAS），∴FN=EF，EF=FB+NB=FB+EM，∴FB=EF﹣EM．25．（2013•重庆模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．【解答】（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB=4，∴等边△ABC底边BC上的高为4×=2，∴菱形ABCD的面积=4×2=8；（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，∴∠AE′E=60°，∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=∠AEC﹣60°，又∵∠BE′E=∠AE′B﹣∠AE′E=∠AE′B﹣60°，∴∠BE′E=∠CEF，∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，∴∠ECF=180°﹣60°=120°，又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，∴∠E′BE=∠ECF，在△EE′B和△FEC中，，∴△EE′B≌△FEC（ASA），∴BE=CF，∴BC=CE+BE=CE+CF，∵AB=BC，∴AB=CE+CF．26．（2015•魏县二模）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？【解答】解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=4×1=4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC=BE=6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B=∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，而BP=4t，CP=10﹣4t，∴4t=10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x=30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）27．（2015•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H 延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．28．（2013•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．【解答】解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，∵∠ADE=15°，∴∠EDO=30°∵DE=4，∠EOD=90°，∴OD=6，在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；（2）延长GF，过C作CM∥AG，交GF的延长线于M，连接DM．∵AC∥GF，即AC∥GM，∴四边形ACMG是平行四边形，∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，∵∠ADE=15°∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，∴∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=AD，∵∠DMF=∠ADE=15°∴△AED≌△DFM，∴FM=ED，AE=DF又∵AC=GM，即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，∴∠DGF=30°，∴GF=2DF，∴BD=2DF+ED．29．（2013•重庆模拟）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA 的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1=∠2=22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又AC=AB=4∴AP=4，=AP•CD=4×4=8；∴S△APC（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP=CF在CN上截取NH=FN，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．30．（2013秋•重庆校级期中）在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠BCD=90°，又∵点G为DE中点，∴CG=GE=GD，∴∠GCD=∠GDC，∴∠BCG=∠ADG，在△ADG与△BCG中，，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴GA=GB．（2）证明：如图，过点H作HN⊥BC于N，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴△CHN为等腰直角三角形，∴HN=CN，易得AB∥HN，∴==，∴=，∴∠HBN=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABG=90°﹣30°=60°，∴△ABG是等边三角形，由（1）知GA=GB，∴AD=AG=AB，∴∠AGD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BGM=180°﹣75°﹣60°=45°，∵BM⊥E，∴△BMG是等腰直角三角形，∴BG=BM，∴AG=BM．第41页（共41页）。