2016-2017学年广东省实验中学七年级(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省实验中学附属江门学校七年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）﹣5的相反数是（ ）A．﹣5B．5C．D．﹣2．（3分）二十大的报告中指出：十年来，我国各方面全方位加大创新投入，研发支出持续快速增长2021年，我国研究与试验发展（R&D）经费投入达28000亿元，投入规模仅次于美国，稳居世界第二位．数字28000用科学记数法表示为（ ）A．28×103B．2.8×1 04C．2.8×105D．28×1043．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）A．﹣2B．|﹣2|C．﹣（﹣1）D．﹣4．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程2x+a＝3的解，则a的值为（ ）A．1B．﹣1C．7D．﹣75．（3分）下列计算正确的是（ ）A．6a+a＝7a2B．2xy2﹣xy2＝xy2C．x3﹣x＝x2D．m﹣3m＝﹣26．（3分）下列式子变形正确的是（ ）A．﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1B．（2m+1）＝m+1C．2（a+b）＝2a+b D．2x﹣（4x﹣2）＝17．（3分）下列等式变形正确的是（ ）A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1D．如果6x＝3，那么x＝28．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论正确的是（ ）A．a＜﹣4B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|9．（3分）已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（ ）A．±1B．±12C．1或﹣7D．7或﹣110．（3分）已知关于x的多项式（a﹣4）x4﹣x b+x﹣b是二次多项式，则a+b＝（ ）A．6B．5C．4D．8二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）中国人很早开始使用负数，古代数学著作《九章算术》的“方程“一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果李老师微信红包收入30元记作+30元，那么微信红包支出55元记作 元．12．（3分）用四舍五入法将689.786精确到十分位，所得到的近似数为 ．13．（3分）单项式﹣的系数是 ，次数是 ．14．（3分）若（m+1）x|m|﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ，此时方程的解为x ＝ ．15．（3分）将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆放，请仔细观察，第5个图形有 个小圆，第n（n为正整数）个图形有 个小圆．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16．（8分）计算：（1）﹣2+8﹣36﹣（﹣30）；（2）|﹣1|×（﹣1）2021﹣[1﹣（﹣6）2]．17．（8分）化简：（1）；（2）3（2x2﹣xy）﹣（3x2+xy﹣5）．18．（8分）解方程：（1）x+3＝17﹣6x；（2）1﹣2（2x﹣1）＝x．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）腾飞小组共有8名同学，一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：﹣7，﹣10，+9，+2，﹣1，+5，﹣8，+10．（1）本次数学测验成绩的最高分是 分，最低分是 分；（2）求腾飞小组本次数学测验成绩的平均分．20．（9分）先化简，再求值：已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，求5a2b﹣[2ab2﹣（ab﹣5a2b）]的值．21．（9分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b+2m﹣3cd的值．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）已知A＝5x2﹣mx+n，B＝3x2﹣2x+1．（1）若m为最小的正整数，且m+n＝0，求A﹣B；（2）若A﹣B的结果中不含一次项和常数项，求m2+n2﹣2mn的值．23．（12分）我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b．（1）直接写出：a＝ ，b＝ ，A、B之间的距离是 ．（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x．①直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 ；②化简：|x﹣5|+|x+2|．2023-2024学年广东省实验中学附属江门学校七年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）﹣5的相反数是（ ）A．﹣5B．5C．D．﹣选：B．2．（3分）二十大的报告中指出：十年来，我国各方面全方位加大创新投入，研发支出持续快速增长2021年，我国研究与试验发展（R&D）经费投入达28000亿元，投入规模仅次于美国，稳居世界第二位．数字28000用科学记数法表示为（ ）A．28×103B．2.8×1 04C．2.8×105D．28×104选：B．3．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）A．﹣2B．|﹣2|C．﹣（﹣1）D．﹣选：A．4．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程2x+a＝3的解，则a的值为（ ）A．1B．﹣1C．7D．﹣7选：C．5．（3分）下列计算正确的是（ ）A．6a+a＝7a2B．2xy2﹣xy2＝xy2C．x3﹣x＝x2D．m﹣3m＝﹣2选：B．6．（3分）下列式子变形正确的是（ ）A．﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1B．（2m+1）＝m+1C．2（a+b）＝2a+b D．2x﹣（4x﹣2）＝1选：D．7．（3分）下列等式变形正确的是（ ）A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1D．如果6x＝3，那么x＝2选：A．8．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论正确的是（ ）A．a＜﹣4B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|选：D．9．（3分）已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（ ）A．±1B．±12C．1或﹣7D．7或﹣1选：B．10．（3分）已知关于x的多项式（a﹣4）x4﹣x b+x﹣b是二次多项式，则a+b＝（ ）A．6B．5C．4D．8选：A．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）中国人很早开始使用负数，古代数学著作《九章算术》的“方程“一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果李老师微信红包收入30元记作+30元，那么微信红包支出55元记作　﹣55　元．12．（3分）用四舍五入法将689.786精确到十分位，所得到的近似数为　689.8　．13．（3分）单项式﹣的系数是　﹣　，次数是　3　．14．（3分）若（m+1）x|m|﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　1　，此时方程的解为x＝　2　．15．（3分）将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆放，请仔细观察，第5个图形有　34　个小圆，第n（n为正整数）个图形有　[4+n（n+1）]或（n2+n+4）　个小圆．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16．（8分）计算：（1）﹣2+8﹣36﹣（﹣30）；（2）|﹣1|×（﹣1）2021﹣[1﹣（﹣6）2]．【解答】解：（1）﹣2+8﹣36﹣（﹣30）＝﹣2+8﹣36+30＝0；（2）|﹣1|×（﹣1）2021﹣[1﹣（﹣6）2]＝1×（﹣1）﹣（1﹣36）＝﹣1﹣（﹣35）＝﹣1+35＝34．17．（8分）化简：（1）；（2）3（2x2﹣xy）﹣（3x2+xy﹣5）．【解答】解：＝m2﹣m﹣3；（2）3（2x2﹣xy）﹣（3x2+xy﹣5）＝6x2﹣3xy﹣3x2﹣xy+5＝3x2﹣4xy+5．18．（8分）解方程：（1）x+3＝17﹣6x；（2）1﹣2（2x﹣1）＝x．【解答】解：（1）x+3＝17﹣6x，x+6x＝17﹣3，7x＝14，解得：x＝2；（2）1﹣2（2x﹣1）＝x，1﹣4x+2＝x，﹣4x﹣x＝﹣1﹣2，﹣5x＝﹣3，解得：．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）腾飞小组共有8名同学，一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：﹣7，﹣10，+9，+2，﹣1，+5，﹣8，+10．（1）本次数学测验成绩的最高分是　100　分，最低分是　80　分；（2）求腾飞小组本次数学测验成绩的平均分．【解答】解：（1）本次数学测验成绩的最高分是100分，最低分是80分，故答案为：100，80；（2）﹣7+（﹣10）+9+2+（﹣1）+5+（﹣8）+10＝0，平均分是90+＝90．20．（9分）先化简，再求值：已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，求5a2b﹣[2ab2﹣（ab﹣5a2b）]的值．【解答】解：5a2b﹣[2ab2﹣（ab﹣5a2b）]＝5a2b﹣（2ab2﹣ab+5a2b）＝5a2b﹣2ab2+ab﹣5a2b＝﹣2ab2+ab，∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴原式＝﹣2×2×（﹣3）2+2×（﹣3）＝﹣42．21．（9分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b+2m﹣3cd的值．【解答】解：根据题意得a+b＝0、cd＝1、m＝2或m＝﹣2，当m＝2时，原式＝0+2×2﹣3＝4﹣3＝1；当m＝﹣2时，原式＝0﹣2×2﹣3＝﹣7；综上所述，代数式的值为﹣7或1．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）已知A＝5x2﹣mx+n，B＝3x2﹣2x+1．（1）若m为最小的正整数，且m+n＝0，求A﹣B；（2）若A﹣B的结果中不含一次项和常数项，求m2+n2﹣2mn的值．【解答】解：（1）∵m为最小的正整数，且m+n＝0，∴m＝1，n＝﹣1，故A＝5x2﹣mx+n＝5x2﹣x﹣1，则A﹣B＝5x2﹣x﹣1﹣（3x2﹣2x+1）＝5x2﹣x﹣1﹣3x2+2x﹣1＝2x2+x﹣2；（2）A﹣B＝5x2﹣mx+n﹣（3x2﹣2x+1）＝5x2﹣mx+n﹣3x2+2x﹣1＝2x2+（﹣m+2）x+n﹣1，∵A﹣B的结果中不含一次项和常数项，∴﹣m+2＝0，n﹣1＝0，解得：m＝2，n＝1，m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＝（2﹣1）2＝1．23．（12分）我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b．（1）直接写出：a＝　5　，b＝　﹣2　，A、B之间的距离是　7　．（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x．①直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是　7　；②化简：|x﹣5|+|x+2|．【解答】解：（1）∵多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b，∴a＝5，b＝﹣2，A、B之间的距离是|5﹣（﹣2）＝7．|故答案为：5，﹣2，7；（2）①点C在线段AB上时，C到点A、点B距离之和η最小，最小值是7，故答案为：7；②当＞5时，|x﹣5|+|x+2|＝x﹣5+x+2＝2x﹣3，当x＜﹣2时，|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x﹣x﹣2＝3﹣2x，当﹣2≤x≤5时，|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x+x+2＝7．。

2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。

2016-2017学年度初一下学期期中测试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列各点中，在第二象限的点是（ ）A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(0-2,-3)2.在下图中，∠1、∠2是对顶角的图形是（ ）A B C D3.下列各数中是无理数的是（ ） A.3 B.9 C.722 D.0.412 4.下列说法不正确的是（ ）A.8的立方根是2B.-8的立方根是-2C.4的平方根是±2D.125的立方根是±55.如图，已知AB ∥CD ，∠2=125°，则∠1的度数为（ ）第5题 第8题 第10题A.75°B.65°C.55°D.45°6.如果从点A 看点B 的方向是北偏东30°，那么从点B 看点A 的方向是（ ）A.南偏东60°B.南偏西60°C.南偏东30°D.南偏西30°7.过点P 作AB 的垂线，正确的是（ ）A B C D8.如图，下列条件能判定AB ∥CD 的是（ ）A.∠1=∠2B.∠1=∠4C.∠2=∠3D.∠2+∠3=180°9.有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②相等的角是对顶角；③邻补角是互补的角；④同角或等角的补角相等；⑤同旁内角互补，两直线平行;真命题的个数是（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个10.如图，AB ∥EF ，∠C=90°，则α、β、γ的关系是（ ）A.︒=-+90αγβB.︒=++180γβαC.︒=+90-γβαD.γαβ+=二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.已知⎩⎨⎧==1-y 1x 满足方程4my -x 2=，则m=________． 12.点(2,-3)到x 轴的距离是_________．13.将长为3cm 的线段AB 向右平移1cm ，得到线段''B A ，则点A 到点'A 的距离是____cm ．14.点P(m+1,m-1)在直角坐标系的x 轴上，则点P 坐标为_________．15.已知实数x 、y 满足()01y 2-x 2=++，则x+y 等于________．16.如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与B 重合，点C 落在'C 处，折痕为EF ，若∠ABE=24°，那么='∠EFC _______．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.计算： (1)()3322-8-3+ （2）()()232--2-31-+18.解方程：(1)42-x = (2)2511-x 42=19.解下列二元一次方程组： (1)⎩⎨⎧=+=6y 3x 12y 3-x 2 (2)⎩⎨⎧=+=14y 3x 26y 5-x 420.填空，并在括号里填写推理依据．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于点G，∠E=∠1，求证：AD平分∠BAC．证明：∵ AD⊥BC，EG⊥BC∴∠ADB=∠EGC=90°∴AD∥EG （__________）∴∠2= __________（__________）∴∠3=∠E又∠E=∠1∴∠2=∠3．（__________）即 AD平分∠BAC （__________）21.如图，已知直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥CD于B，∠1=48°，求∠2的度数．22.2台大收割机和5台小收割机同时工作2h 共收割小麦2km 6.3，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h 共收割小麦2km 8，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？23.如图，△ABC 在直角坐标系中，把△ABC 向下平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到111C B A △.(1)在图中画出111C B A △．(2)写出点B ，C ，1C 的坐标，并求1BCC △的面积．(3)若另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的四个顶点，直接写出点D 的坐标．24.在平面直角坐标系中，两个长为4，宽为3的长方形如图放置，点B 的坐标为(-4,3)，点G 的坐标为(3,7)，长方形ABCD 沿x 轴正方向平移得到长方形''''D C B A ，长方形EFGH 沿x 轴负方向平移得到长方形''''H G F E ，速度都是每秒1个单位，设运动的时间为t 秒，如图是t=0时的情形．(1)在图中画出当t=2时的情形，并直接写出两个长方形重叠的面积．(2)当t 为何值时，两个长方形重叠的面积为3？请画出相应的示意图并写出计算过程．(3)在运动过程中，连接''F A 、''H F 、''H A ，请直接写出三角形'''H F A 的面积．（用含t 的式子表示出来）.。

2015-2016学年广东省汕头市龙湖实验中学七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的答案）1．（3分）﹣2015的相反数是（）A．2015 B．﹣2015 C．D．2．（3分）钓鱼岛是我国固有领土，位于我国东海，总面积约6340000平方米，数据6340000用科学记数法表示为（）A．634×104B．6.34×106C．63.4×105D．6.34×1073．（3分）下列为同类项的一组是（）A．ab与7a B．﹣xy2与3x2y C．x3与23D．7与﹣34．（3分）下列是一元一次方程的是（）A．x2﹣3=0 B．3x+y=0 C．5x+4 D．3﹣2y=05．（3分）两数在数轴上表示如图所示，则下列结论错误的是（）A．a﹣b＜0 B．ab＜0 C．﹣b＞a D．a+b＜06．（3分）若|2a|=﹣2a，则a一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数7．（3分）原产量n千克减产20%之后的产量应为（）A．（1+20%）n千克 B．（1﹣20%）n千克C．（n﹣20%）千克D．20% n千克8．（3分）下列说法错误的是（）A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式B．﹣x+1不是单项式C．﹣πxy2的系数是﹣πD．﹣22xab2的次数是69．（3分）下列去括号正确的是（）A．﹣（2x+5）=﹣2x+5 B．C．D．10．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2015的值为（）A．﹣1005 B．﹣1006 C．﹣1007 D．﹣2014二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在数轴上，与表示﹣5的点距离为4的点所表示的数是．12．（4分）已知轮船在静水中航行的速度是25千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船在顺水中航行的速度是千米/时；逆水中航行的速度是千米/时．13．（4分）利用等式的性质求一元一次方程﹣3x+5=8的解是．14．（4分）若2a﹣b=5，则多项式6a﹣3b﹣5的值是．15．（4分）根据如图的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为．16．（4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有个小圆•（用含n的代数式表示）三、解答题（本大题有9小题，共64分，其中17，18，19题各6分，20，21，22题各7分，23，24题各8分，25题9分）17．（6分）计算：（﹣3）2+3×（﹣3）﹣（﹣8）÷（﹣2）18．（6分）化简：﹣3a+[4b﹣2（a﹣3b）]．19．（6分）若|a|=3，|b|=2且ab＞0，求a+b的值．20．（7分）先化简，再求值：5ab 2+3a 2b ﹣3（a 2b ﹣ab 2），其中a=2，b=﹣1．21．（7分）食品厂从生产的袋张食品中抽样20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正，负数表示，记录如下：（1）20袋样本总质量比标准20袋总质量多还是少？多或少多少？（2）若标准标明要求是450±2g 为合格，则抽样检测的合格率是多少？22．（7分）小强有5张卡片写着不同的数字的卡片：（1）他想从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最大．应该如何抽取？最大的乘积是多少？（2）他想从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最小．应该如何抽取？最小的差是多少？23．（8分）根据下面给出的条件，解答下面的问题：（填空）（1）如果A 表示的数是5，B 表示的数是1，那么到A ，B 距离相等的点表示的数是 ；（2）如果A 表示的数是3，B 表示的数是﹣1，那么到A ，B 距离相等的点表示的数是 ；（3）如果A 表示的数是a ，B 表示的数是b ，那么到A ，B 距离相等的点表示的数是 ；（4）如果A 表示的数是a ，B 表示的数比a 的相反数大2，那么到A ，B 距离相等的点表示的数是 ．24．（8分）小泽学了有理数的乘方，知道23=8，25=32，他问老师，有没有20，2﹣2，如果有，等于多少？老师耐心提示他：25÷23=4，25﹣3=4，即25÷23=25﹣3=4．小泽，你现在知道20，2﹣2等于多少了吗？小泽说，我想一想．亲爱的同学，你想出来了吗？请仿照老师的方法，推算出20，2﹣2的值．25．（9分）希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是，儿子只活了他父亲全部生命的一半；儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上的信息，设丢番图的年龄为a岁，（1）请用含a的式子表示丢番图孩子的年龄；（2）请用含a的式子表示丢番图生儿子时的年龄；（3）如果a=84，计算出丢番图孩子的年龄比他生儿子时的年龄多了多少岁？2015-2016学年广东省汕头市龙湖实验中学七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的答案）1．（3分）﹣2015的相反数是（）A．2015 B．﹣2015 C．D．【解答】解：﹣2015的相反数是2015；故选：A．2．（3分）钓鱼岛是我国固有领土，位于我国东海，总面积约6340000平方米，数据6340000用科学记数法表示为（）A．634×104B．6.34×106C．63.4×105D．6.34×107【解答】解：6340000用科学记数法表示为6.34×106，故选：B．3．（3分）下列为同类项的一组是（）A．ab与7a B．﹣xy2与3x2y C．x3与23D．7与﹣3【解答】解：A、字母不同不是同类项，故A错误；B、相同字母的指数不同不是同类项，故B错误；C、字母不同不是同类项，故C错误；D、常数也是同类项，故D正确；故选：D．4．（3分）下列是一元一次方程的是（）A．x2﹣3=0 B．3x+y=0 C．5x+4 D．3﹣2y=0【解答】解：A、是一元二次方程，故A错误；B、是二元一次方程，故B错误；C、是多项式，不是方程，故C错误；D、是一元一次方程，故D正确；故选：D．5．（3分）两数在数轴上表示如图所示，则下列结论错误的是（）A．a﹣b＜0 B．ab＜0 C．﹣b＞a D．a+b＜0【解答】解：根据数轴可以得到b＜﹣1＜0＜a＜1，A、a﹣b＞0，故错误，符合题意；B、ab＜0，故正确，不符合题意；C、﹣b＞a，故正确，不符合题意；D、a+b＜0，故正确，不符合题意．故选：A．6．（3分）若|2a|=﹣2a，则a一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【解答】解：∵|2a|=﹣2a，∴﹣2a≥0．解得：a≤0．故选：C．7．（3分）原产量n千克减产20%之后的产量应为（）A．（1+20%）n千克 B．（1﹣20%）n千克C．（n﹣20%）千克D．20% n千克【解答】解：∵新产量相对于原产量减产20%，∴新产量占原产量的（1﹣20%），∴应为（1﹣20%）n千克．故选：B．8．（3分）下列说法错误的是（）A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式B．﹣x+1不是单项式C．﹣πxy2的系数是﹣πD．﹣22xab2的次数是6【解答】解：A、2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，正确，不合题意；B、﹣x+1不是单项式，正确，不合题意；C、﹣πxy2的系数是﹣π，正确，不合题意；D、﹣22xab2的次数是4，故此选项错误，符合题意．故选：D．9．（3分）下列去括号正确的是（）A．﹣（2x+5）=﹣2x+5 B．C．D．【解答】解：A、﹣（2x+5）=﹣2x﹣5，故本选项错误；B、﹣（4x﹣2）=﹣2x+1，故本选项错误；C、（2m﹣3n）=m﹣n，故本选项错误；D、﹣（m﹣2x）=﹣m+2x，故本选项正确．故选：D．10．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2015的值为（）A．﹣1005 B．﹣1006 C．﹣1007 D．﹣2014【解答】解：a1=0，a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，…，所以n是奇数时，结果等于﹣；n是偶数时，结果等于﹣；a2015=﹣=﹣1007．故选：C．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在数轴上，与表示﹣5的点距离为4的点所表示的数是﹣9或﹣1．【解答】解：该点可能在﹣5的左侧，则为﹣5﹣4=﹣9，也可能在﹣5的右侧，即为﹣5+4=﹣1；故答案为：﹣9或﹣1．12．（4分）已知轮船在静水中航行的速度是25千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船在顺水中航行的速度是25+a千米/时；逆水中航行的速度是25﹣a千米/时．【解答】解：轮船在顺水中航行的速度是（25+a）千米/时；逆水中航行的速度是（25﹣a）千米/时．故答案为：25+a；25﹣a．13．（4分）利用等式的性质求一元一次方程﹣3x+5=8的解是x=﹣1．【解答】解：两边都减5，得﹣3x=3，两边都除以﹣3，得x=﹣1．故答案为：x=﹣1．14．（4分）若2a﹣b=5，则多项式6a﹣3b﹣5的值是10．【解答】解：∵2a﹣b=5，∴6a﹣3b﹣5=3（2a﹣b）﹣5=3×5﹣5=10，故答案为：10．15．（4分）根据如图的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为4．【解答】解：若x=1，得到2×12﹣4=2﹣4=﹣2＜0，若x=﹣2，得到y=2×（﹣2）2﹣4=8﹣4=4．故答案为：4．16．（4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有4+n（n+1）个小圆•（用含n的代数式表示）【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，∴第n个图形有：4+n（n+1）．故答案为：4+n（n+1），三、解答题（本大题有9小题，共64分，其中17，18，19题各6分，20，21，22题各7分，23，24题各8分，25题9分）17．（6分）计算：（﹣3）2+3×（﹣3）﹣（﹣8）÷（﹣2）【解答】解：原式=9﹣9﹣4=﹣4．18．（6分）化简：﹣3a+[4b﹣2（a﹣3b）]．【解答】解：﹣3a+[4b﹣2（a﹣3b）]=﹣3a+4b﹣2a+6b=﹣5a+10b．19．（6分）若|a|=3，|b|=2且ab＞0，求a+b的值．【解答】解：∵|a|=3，|b|=2，∴a=±3，b=±2．又∵ab＞0，∴a=3，b=2或a=﹣3，b=﹣2．当a=3，b=2时，a+b=3+2=5；当a=﹣3，b=﹣2时，a+b=（﹣3）+（﹣2）=﹣5．20．（7分）先化简，再求值：5ab2+3a2b﹣3（a2b ﹣ab2），其中a=2，b=﹣1．【解答】解：原式=5ab2+3a2b﹣3a2b+2ab2（4分）=7ab2．（6分）当a=2，b=﹣1时，原式=7×2×（﹣1）2（7分）=14．（8分）21．（7分）食品厂从生产的袋张食品中抽样20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正，负数表示，记录如下：（1）20袋样本总质量比标准20袋总质量多还是少？多或少多少？（2）若标准标明要求是450±2g为合格，则抽样检测的合格率是多少？【解答】解：（1）3×（﹣5）+（﹣2）×5+0×3+2×2+3×5+7×2=﹣25+33=12g，答：20袋样本总质量比标准20袋总质量多，多12g；（2）由|﹣2|=2.0＜2，|2|=2，合格产品数为5+3+2=10，合格率为10÷20=50%，答：合格率为50%．22．（7分）小强有5张卡片写着不同的数字的卡片：（1）他想从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最大．应该如何抽取？最大的乘积是多少？（2）他想从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最小．应该如何抽取？最小的差是多少？【解答】解：（1）抽取﹣8，﹣3，+4，使其乘积最大，最大乘积为（﹣8）×（﹣3）×4=96；（2）抽取﹣8和4，使其之差最小，最小的差为﹣8﹣4=﹣12．23．（8分）根据下面给出的条件，解答下面的问题：（填空）（1）如果A表示的数是5，B表示的数是1，那么到A，B距离相等的点表示的数是3；（2）如果A表示的数是3，B表示的数是﹣1，那么到A，B距离相等的点表示的数是1；（3）如果A表示的数是a，B表示的数是b，那么到A，B距离相等的点表示的数是（a+b）；（4）如果A表示的数是a，B表示的数比a的相反数大2，那么到A，B距离相等的点表示的数是1．【解答】解：（1）（5+1）÷2=3．故到A，B距离相等的点表示的数是3；（2）（3﹣1）÷2=1故到A，B距离相等的点表示的数是1；（3）（a+b）÷2=（a+b）．故到A，B距离相等的点表示的数是（a+b）；（4）（0+2））÷2=1故到A，B距离相等的点表示的数是1．24．（8分）小泽学了有理数的乘方，知道23=8，25=32，他问老师，有没有20，2﹣2，如果有，等于多少？老师耐心提示他：25÷23=4，25﹣3=4，即25÷23=25﹣3=4．小泽，你现在知道20，2﹣2等于多少了吗？小泽说，我想一想．亲爱的同学，你想出来了吗？请仿照老师的方法，推算出20，2﹣2的值．【解答】解：20=24﹣4==1，．25．（9分）希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是，儿子只活了他父亲全部生命的一半；儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上的信息，设丢番图的年龄为a岁，（1）请用含a的式子表示丢番图孩子的年龄；（2）请用含a的式子表示丢番图生儿子时的年龄+5；（3）如果a=84，计算出丢番图孩子的年龄比他生儿子时的年龄多了多少岁？【解答】解：（1）丢番图孩子的年龄为，故答案为：；（2）丢番图生儿子时的年龄为：，故答案为：+5，（3）把a=84代入，答：丢番图孩子的年龄比他生儿子时的年龄多了4岁．。