1绝对值问题的五种处理方式

关于绝对值的几种题型及解题技巧Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。

即0≥a 。

但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。

怎么理解呢绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。

所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。

如：5=a ，则5=a 和5-=a 。

合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢a -。

因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。

如2)2(=--。

因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。

我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小典型题型：0 0=a【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

绝对值解题技巧
绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数距离0的距离。

在解决数学问题时，绝对值常常会起到关键的作用。

以下是一些绝对值的解题技巧：
1. 理解绝对值的定义：
绝对值表示一个数距离0的距离，用数学符号表示就是 x。

如果x ≥ 0，那么 x = x；如果 x < 0，那么 x = -x。

2. 分段讨论：
在解决涉及绝对值的问题时，通常需要分段讨论。

根据绝对值的定义，可以将数轴分为几个区间，然后分别讨论每个区间内绝对值的表现形式。

3. 利用绝对值的三角不等式：
a -
b ≤ a + b ≤ a + b
这个不等式可以用来解决一些与绝对值相关的问题。

4. 利用绝对值的几何意义：
绝对值表示一个数距离0的距离，因此可以利用这个几何意义来理解问题。

例如，x 表示点 (x, 0) 到原点 (0, 0) 的距离。

5. 转化问题：
有时候，将问题转化为与绝对值相关的问题可以使问题更容易解决。

例如，在解方程时，可以将方程转化为分段函数的形式，然后利用绝对值的定义来求解。

6. 注意特殊情况：
在解决涉及绝对值的问题时，需要注意一些特殊情况。

例如，当 x = 0 时，x = 0；当 x = -0 时，x = 0。

这些特殊情况可能会影响问题的解。

通过掌握这些技巧，可以更好地理解和解决涉及绝对值的问题。

绝对值的八种题型绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数到0的距离。

在解决绝对值相关题目时，需要掌握不同类型的题型和相应的解题方法。

本文将介绍绝对值的八种常见题型及解题思路。

1. 绝对值的定义题型这种题型要求直接根据绝对值的定义来求解，即将绝对值内的数分别取正负值，求得结果。

例如，求解|3x+1|=7，可以得到两个方程3x+1=7和3x+1=-7，解方程得到x=2和x=-2。

2. 绝对值的不等式题型这种题型要求解不等式中包含绝对值的问题。

通常的解题思路是，先去掉绝对值，得到一个二次不等式，然后根据不等式的性质求解。

例如，求解|2x-3|>5，可以得到两个不等式2x-3>5和2x-3<-5，解方程得到x>4和x<-1。

3. 绝对值的加减法题型这种题型要求计算带有绝对值的加减式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2+3|+|4-5|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到5+1=6。

4. 绝对值的乘法题型这种题型要求计算带有绝对值的乘法式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2x-1|*|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)*(3x+2)和(2x-1)*(-3x-2)。

5. 绝对值的除法题型这种题型要求计算带有绝对值的除法式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2x-1|/|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)/(3x+2)和(2x-1)/(-3x-2)。

6. 绝对值的方程题型这种题型要求求解带有绝对值的方程。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后解方程。

例如，求解|2x-1|=5，可以得到两个方程2x-1=5和2x-1=-5，解方程得到x=3和x=-2。

绝对值问题的解法绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下：⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。

⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。

⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。

⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。

下面举例说明绝对值问题的解法。

一、运用绝对值概念：例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（）。

（A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x解：∵x＜-2, ∴1+x＜0∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。

二、平方法：例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣, = 。

解：原式两边平方得：1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2∵∣a∣=-a,即a≤0∴∣a-1∣=1-a三、分类讨论法：例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于。

解：∵ab＞0,∴a、b同号。

⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab∴∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。

⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／ab=-1-1-1=-3。

综上所述，本题答案为1或-3。

四、应用非负数性质：例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0∵ x+y-1=0x-y+2=0∴ x=-1／2y=3／2∴x／y=-3。

五、零点分界法：例5、化简∣x-1∣+∣1-2x∣-∣x+2∣。

解：令∣x-1∣=0,∣1-2x∣=0,∣x+2∣=0,得x=1,x= 1／ 2 ,x=-2。

以-2,1／2,1为界，将数轴分为四段。

⑴当x≤-2时，原式=1-x+1-2x+x+2=4-2x,⑵当-2＜x≤1／2时，原式=1-x+1-2x-(x+2)=-4x,⑶当1／2＜x≤1时，原式=1-x+2x-1-(x+2)=-2,⑷当x＞1时，原式=x-1+2x-1-(x+2)=2x-4。

新高一暑假数学讲义 “绝对值与根式” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：去绝对值的方法，根式与分式的化简 掌握目标：复习初中的绝对值与根式的化简，补充和完善脱节的知识点，更加适应高中数学的一种节奏。

考试分析：绝对值不等式以及带绝对值函数一直是高考的重点和难点， 更加涉及到分类讨论，数形结合等重要思想方法，考试题型一般为小题。

知识梳理知识梳理1. 与绝对值有关的问题的处理方法（一） 去绝对值去绝对值得的几种方法1）从定义入手，判断绝对值内的式子是否大于0；2）在不使原式变得更为复杂的情况下，通过平方来除去绝对值3）通过不等式的性质进行讨论，例如：c x >则有c x >或c x <（二）利用绝对值的几何意义求解绝对值的几何意义绝对值往往和数轴上，点与点之间的距离密切相关（三）绝对值不等式绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-重要应用-绝对值内插值：b x x a b x x a b a -+-≤-+-=-知识梳理2. 根式与分式✧ 值得注意的方根 当n 为奇数时，a a n n =当n 为偶数时，a a n n =✧ 根式的分子（母）有理化及根式的裂项技巧。

分子（母）有理化：通过在含根式的分子（母）上乘上一个合适的含根式的式子，使分子（母）不含根号的过程。

一般地，分子（母）为a 型时，只需乘上a ±；分子（母）为b a ±型时，只需乘上b a . 有理化可将分母或分子中的根号除去，将式子变得更加简单，例如：132312321211-=-+-=+++掌握分式的化简及其裂项技巧。

例如：4341313121211431321211=-+-+-=⨯+⨯+⨯裂项公式：1）)())1((1)2()(1)(1nd a d n a d a d a d a a +⨯⋅-++++⨯+++⨯ )11(1nd a a d +-= 2）))2)(1(1)1(1(21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 3）k d k d k k -+=++14）ba ab b a 11+=+ ； a b b a ab b a +=+22例题精讲【试题来源】【题目】设d c b a <<<，求d x c x b x a x -+-+-+-的最小值【试题来源】【题目】求3321-+++-x x x 的最小值【试题来源】 【题目】求15131-+-+-x x x 的最小值 【试题来源】【题目】设T=|x -p|+|x -15|+|x -p -15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少【试题来源】【题目】化简：18211+【试题来源】【题目】已知实数b a ,满足153=+b a ，求ba s 32-=的取值范围【试题来源】【题目】若28181221-+=a ，求a 2+14++a a 的值【试题来源】【题目】已知a,b 为实数，且满足11122=-+-a b b a ，求a 2+b 2的值【试题来源】【题目】化简：352725213+++【试题来源】【题目】实数x 满足x x x =-+-20152014，求22014-x 的值习题演练【试题来源】2014•上海【题目】计算：﹣﹣+||．【试题来源】2010•上海【题目】方程=x 的根是 。

绝对值问题的解法
绝对值问题的解法可以根据具体的情况采用不同的方法。以下是几种常见的解法：
1. 利用定义法：绝对值的定义是一个数与零的距离，即|a| = a, 当a ≥ 0；|a| = -a, 当a < 0。因此，对于给定的绝对值问题，可以根据定义直接计算出绝对值的值。
2. 利用性质法：绝对值具有一些特性，如|a| = |-a|，即绝对值的值与其符号无关；|a| = |b|，当且仅当a = b或a = -b。根据这些性质，可以通过对等式进行变形或化简，来求解绝 对值问题。
绝对值问题的解法
3. 利用分段函数法：绝对值问题可以用分段函数的形式表示。例如，|x - a| = b，可以分 为两种情况讨论：当x - a ≥ 0时，有x - a = b；当x - a < 0时，有x - a = -b。通过解这两个 方程，可以得到绝对值问题的解。
4. 利用图像法：绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线。通过观察图像， 可以确定绝对值函数在不同区间上的取值范围，从而解决绝对值问题。
需要注意的是，绝对值问题的解可能有多个解或无解，具体取决于问题的条件和约束。在 解题过程中，要注意对不等式进行合理的变形和化

高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用绝对值是数学中常见的概念，它的应用广泛且重要。

在高考数学一轮总复习中，不等式与绝对值的联系及数列极限与绝对值的应用是我们需要重点掌握的知识点。

本文将介绍绝对值不等式的解法与数列极限的关系，并探讨绝对值的应用。

1. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种形式特殊的不等式，它的解法与普通的不等式有所区别。

下面介绍几种常见的解法：1.1 分类讨论法当绝对值中的表达式包含不同情况时，可以通过分类讨论的方式来解决。

例如，对于不等式|2x+3|≥5，可以分别讨论2x+3的取值范围，然后求解得出满足条件的x的值。

1.2 倍角法倍角法是解决绝对值不等式的常用方法之一。

例如，对于不等式|sinx|>0.5，可以通过考虑sinx和cosx的正负性来得出满足条件的x的取值范围。

1.3 区间法对于一些特殊的不等式，可以利用区间的性质来进行求解。

例如，对于不等式|2x-1|<3，可以通过构造区间[-3,3]，然后确定满足条件的x的取值范围。

2. 数列极限与绝对值的应用数列极限是高中数学中的重要知识点，与绝对值的应用有紧密的联系。

下面介绍两种常见的相关应用：2.1 极限定义的证明在数列极限的证明中，常常需要使用到绝对值的性质。

例如，证明数列{an}的极限是A，需要证明对于任意给定的误差ε>0，存在正整数N，使得当n>N时就有|an-A|<ε成立。

这里的绝对值就是用来限制误差范围的。

2.2 极限计算的辅助工具在一些求极限的过程中，需要用到绝对值的性质来简化计算。

例如，求极限lim(x→∞)|x-1|/x，可以利用绝对值的非负性质，将|x-1|替换为x-1，从而得到简化后的表达式1-1/x。

3. 绝对值的应用除了与不等式及数列极限的联系外，绝对值还有许多其他的应用。

下面介绍一些常见的应用情景：3.1 函数定义的拆分在一些函数的定义中，需要将函数分段来描述。

中学常见绝对值问题的解法1.引言及预备知识绝对值问题是指绝对值与其他数学知识相结合而生成的新的数学问题.遇到这类数学问题时，对于简单的，如解，或求的值域和定义域，我们还能解决，.本文针对此种情况，在相关资料的基础之上总结出了一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式和一次绝对值函数这三类常见绝对值问题的具体解法，供学习者参考.定义1 绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 定义2 绝对值的几何定义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．性质 绝对值的主要性质：(1) 一个实数的绝对值是一个非负数，即，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．(2) 一个数的绝对值的相反数一定是非正数.(3) 两个相反数的绝对值相等．(4) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.定义3一元一次绝对值方程：我们把绝对值符合中含有一个0=x ()x x f =]6~1[]1[]1[]4[0≥x未知数并且未知数的次数是一次的方程叫做含绝对值符号的一元一次方程，简称为一元一次绝对值方程.定义4一元一次绝对值不等式：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫做含绝对值符号的一元一次不等式，简称为一元一次绝对值不等式. 定义5一次绝对值函数：我们把一次函数中含有绝对值符合的一次函数叫做含绝对值符号的一次函数，简称为一次绝对值函数.2.中学常见的绝对值问题及其解法中学常见的绝对值问题除了绝对值自身定义的应用外，还有本文专门提出的一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式以及一次绝对值函数这三类绝对值问题.下面给出了相应问题的解法，并附有例题以便学习者融会贯通.2.1一元一次绝对值方程的解法（1）形如型的绝对值方程的解法：①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得；③当时，原方程变为或，解得或． 例1．解方程：解：由（1）可知，因为时，原方程变为或，解得或．（2）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；③分别解方程和；④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解． 例2．解方程：解：由（2）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程(0)ax b c a +=≠0c <0c =0ax b +=0ax b +=b x a =-0c >ax b c +=ax b c +=-c b x a -=c b x a--=235x +=05>532=+x 532-=+x 1=x 4-=x (0)ax b cx d ac +=+≠0cx d +≥x ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+0cx d +≥9234+=+x x和；分别解得和；经检验都成立.（3）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；②分别解方程和．例3．解方程：解：由（3）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；分别解得和.（4）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知；②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． 例4．解方程：解：由（4）可知，应分两种情况；①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为．（5）形如型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令，得，令得； ②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．例5．解方程：解：由（5）可知，找绝对值零点：和；①时，解得；②时，解得； 923x 4+=+x )92(34+-=+x x 3=x 2-=x (0)ax b cx d ac +=+≠ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+1312+=-x x 1312+=-x x )13(12+-=-x x 2-=x 0=x ()x a x b c a b -+-=<x a x b a b -+-≥-c a b <-c a b =-a x b ≤≤c a b >-x a <2a b c x +-=x b >2a b cx ++=134x x -+-=124->1<x 0=x 3>x 4=x (0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠0ax b +=1x x =0cx d +=2x x =12x x <1x x <12x x x ≤<2x x ≥23143x x x +--=-5.1-=x 1=x 5.1-<x 34132-=-+--x x x 2.0-=x 15.1<≤-x 34132-=-++x x x 5=x③时，解得.2.2一元一次绝对值不等式的解法解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．（1）不等式｜x｜＜a(a＞0) 和不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集分别是｛x｜－a＜x＜a｝、｛x｜x＞a或x＜－a｝．其解集在数轴上表示如下：把不等式｜x｜＜c与｜x｜＞c(c＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到与型的不等式的解法．（2）的解法是：先化不等式组或，再由不等式的性质求出原不等式的解集.的解法是：先化不等式组, 再由不等式的性质求出原不等式的解集.例6．解不等式：|2x-3|>4解：由|2x-3|>4 （符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得 2x-3>4 或 2x-3<-4分别解之，得x>7/2 或 x<-1/21≥x34132+=--+xxx31-=x)0(>>+ccbax)0(><+ccbax)0(>>+ccbax cbax>+cbax-<+)0(><+ccbax cbaxc<+<-所以原不等式解集为｛x| x>7/2 或 x<-1/2｝例7．解不等式：|3x-5|≤7解：由|3x-5|≤7，（符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得 -7≤3x-5≤7不等式各边都加5，得-2≤3x ≤12不等式各边都除以3，得-2/3≤x ≤4所以原不等式解集为｛x|-2/3≤x ≤4｝（3）我们在解与型不等式的时候，一定要注意a 的正负.当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解.例8．解不等式：|1-2x|<5解法一：由原不等式可得-5<1-2x<5由不等式的性质解得-2<x<3所以原不等式解集为｛x|-5/2<x<11/2｝.解法二：原不等式可化成 |2x-1|<5-5<2x-1<5由不等式的性质解得)0(>>+c c b ax )0(><+c c b ax-2<x<3（4）含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如下题中的解法一，再就是利用绝对值的定义如下题中的解法二、解法三.例9．解不等式：2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于∴即∴原不等式的解集为｛或｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:(Ⅰ)(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解集为｛｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛｝ ∴原不等式的解集是｛或｝. 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或231<≤-x x 627≤<x ⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x ⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x 627≤<x x 231<≤-x x 231<≤-x x 627≤<x(Ⅰ)2＜2x －5≤7(Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛｝ ∴原不等式的解集是｛或｝．（4）解含多重绝对值符号的不等式时，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．例11．解不等式：|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1①由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴ 即均无解；②由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴或627≤<x x 231<≤-x x 231<≤-x x 627≤<x ⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x ⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x即，∴或 综上讨论，原不等式的解集为{x|或}．2.3一次绝对值函数的解法 在中学阶段遇到的一次绝对值函数问题具体有四种：解析式、定义域、值域（最值）以及函数图象.解决此类问题的关键是要通过分类讨论去掉绝对值号，而分类的标准是令绝对值里面的式子等于零，这样就可以把数轴分成几段，然后就可以讨论了，写出函数解析式，画出对应的函数图象，问题就一目了然了.例10． 求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.解： ，首先令x+2=0和x-5=0,得到x=-2和x=5,这时将数轴分为了三部分：①当x<-2时，x+2<0、x-5<0，所以此时：y=-(x+2)-(-（x-5）)=-7；②当时：x+2>0、x-5<0，此时：y=(x+2)+(x-5)=2x-3；③当x>5时，x+2>0、x-5>0，此时：y=(x+2)-(x-5)=7； 综上可知：；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或0>x 32-<x 32-<x 0>x 52--+=x x y 52--+=x x y 52≤≤-x ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤---<-=)5(,7)52(,32)2(,7x x x x y其最大值为7，最小值为-7，由此可知，该函数的值域为[-7，7]，定义域为R.例11．指出函数y=|x-5|+|x+3|的图像画法.解：①首先要去绝对值，找到分界点：x-5=0，x=5 x+3=0，x=-3，则5、-3就是其分界点；②分情况讨论，得出去掉绝对值的函数解析式：x≤-3时，y=|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x-3<x≤5时，y=|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=8x>5时，y=|x-5|+|x+3|=x-5+x-3=2x-8；③按这三个区间对应的函数解析式，就不难画出这个带绝对值的函数图像了.3.绝对值问题专题强化训练此部分专门为学习者所设，供其有针对性的强化训练，真正做到学有所得.3.1一元一次绝对值方程专题练习【1】解方程：【2】方程的解为？ ．【3】解方程 【4】解方程 235x +=21302x --=200520052006x x -+-=4329x x +=+【5】解方程【6】解方程【7】解方程【8】解方程：3.2一元一次绝对值不等式专题练习【9】不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋aB ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－aC ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝【10】不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝【11】下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )A ．｜x －2｜＞5B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜－1｜≤ 525x x -+=-2131x x -=+134x x -+-=2123x x +--=}}2x 21D ．1－｜－1｜＜ 【12】已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ．【13】不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．【14】解下列不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．【15】解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．3.3一次绝对值函数专题练习【16】，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.【17】，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.【18】画出函数的图像.2x 2163+--=x x y 12-++=x x y 72+---=x x y。

⑤
数据
＋0.13 －0.25 ＋0.09 －0.11 ＋0.23
(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)；
(2)在合格产品中，几号产品的质量最好？为什么？试用绝对值的知识说明 ．
3
答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8. (3)原式＝4. (4)原式＝a.
7 2．±2 3.±3 4.0，±1，±2，±3 5．±8；±2 6.C 7．x≤0 8.x≤2 9.C 10．解：(1)±5；8 (2)a＝4，b＝±2. 11．解：由题意得 a＝1，b＝1，c＝1.
义务教育基础课程初中教学资料 专训 1 绝对值的七种常见的应用题型
名师点金：绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关 的 问题时，首先必须明确绝对值的意义和性质．对于数 x 而言，它的绝对值表示为|x|.
已知一个数求这个数的绝对值 1．化简： (1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
(3)当 a 取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？【导学号：11972006】
绝对值在实际中的应用 13．某工厂生产一批零件，零件质量要求为“零件的长度可以有 0.2 cm 的误差”．现抽 查 5 个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下 表：
零件号数
4
6．如果|－2a|＝－2a，则 a 的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0 C．a≤0 D．a<0
7．若|x|＝－x，则 x 的取值范围是
．
1
8． 若 |x－ 2|＝ 2－ x， 则
x的 取 值 范
围是 ．
绝对值在比较大小中的应用
| | 9．把－(－1)，－2，－ －4 ，0 用“>”连接正确的是( )

关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。

即0≥a 。

但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。

怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。

所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。

如：5=a ，则5=a 和5-=a 。

合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。

因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。

如2)2(=--。

因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。

我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）a 0 a 0 0=a a - 0 a-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

绝对值问题的五种处理方式
知识点睛
绝对值定义 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值．（又称绝对值的几何意义）
绝对值性质
①绝对值法则：一个正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零；（又称绝对值的代数意义） ②若a a =，则0≥a ；若a a -=，则0≤a ； ③非负性：0≥a ．
专题练习
1. 借助于其代数意义．即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例1 已知：|x -3|+x -3＝0，
求：(1)x +1的最大值；(2)7-x 的最小值．
2. 借助于数轴
例2 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b |＞|c |＞|a |，试化简：|b |-|a +b |+|c -a |+|b -c |
3. 零点分段讨论法． (所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内代数式等于零的字母所取的值在数轴上所对应的点)
一般步骤：
（1）找零点，定范围；
（2）去绝对值（分类讨论的数学思想）
例3 已知|x -2|+x 与x -2+|x |互为相反数，求x 的最大值．
4.借助于其几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉
绝对值的符号进行运算．
例4求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
5.其他方法：
例5若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．。

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x|=(0)(0)x xx x≥⎧⎨-<⎩，有|x|<c(0)(0)c x c cc-<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x|>c(0)0(0)(0)x c x c cx cx R c<->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x|<c或|x|>c(c>0)来解，如|ax b+|>c(c>0)可为ax b+>c或ax b+<－c；|ax b+|<c可化为－c<ax+b<c，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤|x|≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

一、分类讨论
一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x；若 x 为负数，则
|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值
符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，
往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进
行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零
点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区
方法集锦
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
吴笋
绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对
值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中
解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是
去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值
的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题
的四个“妙招”，以供大家参考.
4
的点，只要将点向右移
1 2
个单位，那么它们的距离之
和就增加了
1
个单位，也就是把点
B(1)
移到点
B1(
3 2
)
的
位置；或者将点
A(-2)
向左移
1 2
个单位，也就是把点
A(-2)
移到点
A1(-
5 2
)
的位置，
由图可以看出，在数轴上位于
B1(
3 2
)
和
A1(-
5 2
)
之
间的点 P(x) 都满足 | x + 2 | + | x - 1| < 4 ，
解（1）得 -2 < x < -1 ，或 3 < x < 4 ，
解（2）得解集为空集， 所以原不等式的解集为{x| - 2 < x < - 1或3 < x < 4}.

有理数绝对值的解题方法和技巧简介有理数绝对值是数学中一个常见的概念，理解和解题有理数绝对值问题是提高数学能力的关键。

本文将介绍一些解题方法和技巧，帮助你更好地处理有理数绝对值的题目。

解题方法1. 直接取绝对值有理数的绝对值，可以直接取其正值，忽略其符号。

例如，|-5| = 5，|7| = 7。

这种方法适用于题目中只要求求解绝对值的值，而不需要具体的数值。

2. 根据绝对值的定义解题绝对值的定义是：对于任意实数x，当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。

根据这个定义，我们可以根据题目中的不同条件，分别处理绝对值的取值。

例如，当题目要求|x| = a时，可以根据不同的a值进行分类讨论，分别求解x的取值。

3. 利用绝对值的性质解题有理数绝对值有一些基本的性质，可以用来解题。

- 性质1：|a * b| = |a| * |b|，即两个有理数的乘积的绝对值等于它们的绝对值的乘积。

这个性质可以在解题时通过分解乘积或利用已知条件，简化题目中的计算。

- 性质2：|a / b| = |a| / |b|，即有理数的商的绝对值等于它们的绝对值的商。

同样，这个性质可以在解题时用来简化计算。

- 性质3：|-a| = |a|，即一个负数的绝对值等于它的相反数的绝对值。

这个性质可以在解题时将负数转化为正数，简化计算。

- 性质4：|a + b| ≤ |a| + |b|，即两个有理数的和的绝对值不大于它们的绝对值的和。

这个性质有助于求解有理数绝对值的不等式。

技巧1. 绝对值与数轴将有理数绝对值问题转化为数轴上的问题，可以帮助我们更直观地理解和解决问题。

通过将绝对值与数轴上的点对应起来，可以更清晰地表示有理数的位置关系和绝对值的大小。

2. 分类讨论针对不同的条件，将问题进行分类讨论，可以避免混淆和错误。

根据题目中给出的条件，将问题分成若干情况，分别求解每种情况下的有理数取值和绝对值。

3. 推理和归纳通过观察题目中的已知条件和要求，进行推理和归纳，发现规律和特点。

例谈六种有关绝对值问题的解题方法方法一去绝对值符号根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.例1：关于x的方程x²-4∣x∣+5=m有四个全不等的实根，求实数m取值范围.分析先分两种情况：x≥0和x＜0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.方法二添加绝对值符号利用a²=∣a∣²，把关于a的问题转化关于为∣a∣的问题，可以达到出奇制胜的效果.例2 解方程:x²-3∣x∣-10=0.分析此题可以分x≥0和x＜0两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的x²项的x添加绝对值符号，把原方程转化为关于∣x∣的方程来解，则更简捷.方法三运用绝对值的几何意义∣a∣是数轴上表示数a的点与原点的距离，∣x-a∣是数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.运用绝对值的几何意义，可以使绝对值问题得到巧解.例3 解方程∣x+1∣+∣x-2∣=5.分析此题分三种情况x＜-1，-1≤x≤2和x＞2进行讨论，去掉绝对值符号，可以解此方程.如果用绝对值的几何意义，便可以直接得出其解.方法四运用绝对值的非负性∣a∣≥0，即∣a∣是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法.例4. 若关于x的方程∣x²-6x+8∣=a恰有两个不等实根，求实数a 的取值范围.分析先作函数y=x²-6x+8的图象，再根据绝对值的非负性，位于x轴上方的部分不变，把位于x轴下方的部分沿x轴对折上去，就得到y=∣x²-6x+8∣图象.方法五运用绝对值的不等式性质绝对值问题常用到两个重要不等式:(1)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣.例5 设y=∣x-1∣-∣x+5∣，求y的最大值和最小值.分析把x-1和x+5看做两个实数，利用上面的性质(2)求解.方法六绝对值性质与整数性质相结合例6 非零整数m、n满足∣m∣+∣n∣-5=0，问所有这样的整数组(m,n)共有多少组?分析由于m，n是非零整数，所以∣m∣，∣n∣为正整数.两个正整数之和为5有四种情况.。

去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。

解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。

下面就教同学们去绝对值的常用几招。

一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

代值后即可去掉绝对值。

解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。

解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。

分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。

解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。

分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。

绝对值的解法和技巧
- 去绝对值符号：根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略。

- 添加绝对值符号：利用$a^2=∣a∣^2$，把关于$a$的问题转化关于为∣a∣的问题，可以达到出奇制胜的效果。

- 运用绝对值的几何意义：∣a∣是数轴上表示数$a$的点与原点的距离，∣x-a∣是数轴上表示数$x$的点与表示数$a$的点的距离。

运用绝对值的几何意义，可以使绝对值问题得到巧解。

- 运用绝对值的非负性：∣a∣≥0，即∣a∣是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法。

- 运用绝对值的不等式性质：绝对值问题常用到两个重要不等式，∣a∣-∣b∣≤∣a+b ∣≤∣a∣+∣b∣和∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣。

- 绝对值性质与整数性质相结合：一个整数，绝对值就是本身；一个负数，绝对值就是它的相反数。