必修一综合能力测试及答案
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数学必修1全册综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)一、选择题1.设集合A ={1,3},集合B ={1,2,4,5},则集合A ∪B =( )A .{1,3,1,2,4,5}B .{1}C .{1,2,3,4,5}D .{2,3,4,5}2.化简(27125-13 的结果是( ) A .35 B .53C .3D .53.若幂函数f(x)=x a 在(0,+∞)上是增函数,则( )A .a>0B .a<0C .a =0D .不能确定4.与y =|x|为同一函数的是( )A .y =(x)2B .y =x 2C .y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,(x>0)-x ,(x<0)D .y =a log a x 5.设f(x)=3x +3x -8,用二分法求方程3x +3x -8=0在x ∈(1,2)内近似解的过程中,计算得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )A .(1,1.25)B .(1.25,1.5)C .(1.5,2)D .不能确定6.下列各式错误的是( )A .30.8>30.7B .log 0.50.4>log 0.50.6C .0.75-0.1<0.750.1D .lg 1.6>lg 1.47.已知f(x)=ax 7-bx 5+cx 3+2,且f(-5)=m ,则f(5)+f(-5)的值为( )A .4B .0C .2mD .-m +48.函数y =log 0.6(6+x -x 2)的单调增区间是( )A .(-∞,12]B .[12,+∞) C .(-2,12] D .[12,3) 9.函数y =-1x -1+1的图象是下列图象中的( )10.定义集合A 、B 的一种运算:A*B ={x|x =x 1+x 2,其中x 1∈A ,x 2∈B},若A ={1,2,3},B ={1,2},则A*B 中的所有元素数字之和为( )A .9B .14C .18D .2111.已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的,且有如下对应值表:那么函数f (x )A .(-∞,1) B .(1,2)C .(2,3)D .(3,+∞)12.某研究小组在一项实验中获得一组关于y 、t 之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y 与t 之间关系( )A .y =2tB .y =2t 2C .y =t 3D .y =log 2t第Ⅱ二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.函数y =log 3x 的定义域为______________.(用区间表示)14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4,0≤x ≤22x ,x >2,则f (2)=________;若f (x 0)=8,则x 0=________.15.函数y =f (x )与y =a x (a >0且a ≠1)互为反函数,且f (2)=1,则a =________. 16.已知f (x )是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x >0时,f (x )的图象如右图所示,那么f (x )的值域是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)2-12 +(-1)22+12-1-(1-5)0; (2)log 225·log 3116log 519. 18.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5}.(1)若a =-2,求A ∩∁R B ;(2)若A ⊆B ,求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2+2ax +2,x ∈[-5,5].(1)当a =-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-5,5]上是单调减函数.20.(本小题满分12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21.(本小题满分12分)已知f (x )=1x-2. (1)求f (x )的定义域;(2)证明函数f (x )=1x-2在(0,+∞)上是减函数. 22.(本小题满分12分)设函数f (x )=|x 2-4x -5|,g (x )=k .(1)在区间[-2,6]上画出函数f (x )的图象;(2)若函数f (x )与g (x )有3个交点,求k 的值;(3)试分析函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个数.详解答案1[答案] C[解析] A ∪B ={1,2,3,4,5},故选C .2[答案] B[解析] (27125)-13 =(35)3×(-13)=(35)-1=53,故选B . 3[答案] A[解析] 当a>0时,f(x)=x a 在(0,+∞)上递增,选A .4[答案] B[解析] y =x 2=|x|,故选B .5[答案] B[解析] ∵f(1.25)f(1.5)<0,∴根在(1.25,1.5)内,故选B .6[答案] C[解析] y =0.75x 为减函数,∴0.75-0.1>0.750.1,故选C .7[答案] A[解析] f(-5)=a ×(-5)7-b ×(-5)5+c ×(-5)3+2=-a ×57+b ×55-c ×53+2,f(5)=a ×57-b ×55+c ×53+2,∴f(5)+f(-5)=4,故选A .8[答案] D[解析] 设y =log 0.6t ,t =6+x -x 2,y =log 0.6(6+x -x 2)增区间即为t =6+x -x 2的减区间且t>0,故为(12,3),故选D . 9[答案] A[解析] 由于x ≠1,否定C 、D ,当x =0时,y =2,否定B ,故选A .10[答案] B[解析] A*B ={2,3,4,5},2+3+4+5=14,选B .11[答案] C[解析] f (2)f (3)<0,∴在(2,3)内有零点,故选C.12[答案] D[解析] 由点(2,1),(4,2),(8,4),故选D.13[答案] [1,+∞)[解析] log 3x ≥0,即x ≥1定义域为[1,+∞).[答案] 0 414[解析] f (2)=22-4=0,当x 0>2时,2x 0=8,∴x 0=4, 当0≤x 0≤2时,x 20-4=8,∴x 0=±23(舍),∴x 0=4. 15[答案] 2[解析] f (2)=log a 2,log a 2=1,.∴a =2.16[答案] [-3,-2)∪(2,3][解析] 当x >0时,f (x )∈(2,3],当x <0时,f (x )∈[-3,-2), 故值域为[-3,-2)∪(2,3].17[解析] (1)原式=2-12 +12+12-1- 1 =2-12 +2-12 +2+1-1=2·2-12 + 2=2+2=2 2(2)原式=log 25·log 32-4·log 53-2 =2lg5lg2·(-4)lg2lg3·(-2)lg3lg5=16. 18[解析] (1)当a =-2时,集合A ={x |x ≤1},∁R B ={x |-1≤x ≤5}∴A ∩∁R B ={x |-1≤x ≤1}(2)∵A ={x |x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5}A ⊆B∴a +3<-1∴a <-4.19[解析] (1)a =-1,f (x )=x 2-2x +2.对称轴x =1,f (x )min =f (1)=1,f (x )max =f (-5)=37∴f (x )max =37,f (x )min =1(2)对称轴x =-a ,当-a ≥5时,f (x )在[-5,5]上单调减函数, ∴a ≤-5.20[解析] (1)设f (x )=k 1x ,g (x )=k 1x所以f (1)=18=k 1,g (1)=12=k 2 即f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12x (x ≥0) (2)设投资债券类产品x 万元,则股票类投资为(20-x )万元.依题意得:y =f (x )+g (20-x )=x 8+1220-x (0≤x ≤20) 令t =20-x (0≤t ≤25).则y =20-t 28+12t =-18(t -2)2+3 所以当t =2,即x =16万元时,收益最大,y max =3万元. 21[解析] (1)解:f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠0};(2)证明:设x 1,x 2是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x 1<x 2,则Δx =x 1-x 2<0,Δy =f (x 1)-f (x 2)=1x 1-2-(1x 2-2)=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2. 因为x 2-x 1=-Δx >0,x 1x 2>0,所以Δy >0.因此f (x )=1x-2是(0,+∞)上的减函数. 22[解析] (1)f (x )=|x 2-4x -5|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4-5 -2≤x ≤-1或5≤x ≤6-(x 2-4x -5) -1≤x ≤5如下图.(2)∵函数f (x )与g (x )有3个交点∴由(1)的图可知此时g (x )的图象经过y =-(x 2-4x -5)的最高点即g (x )=k =4·(-1)·5-424·(-1)=9,∴k =9. (3)∵函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个数等于函数f (x )与g (x )的交点个数又∵g (x )的图象是一条与x 轴平行的直线∴由(1)的图可知k =0或k >9时,函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个数为2个0<k <9时,函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个数为4个; k =9时,函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个 数为3个; k <0时,函数φ(x )=|x 2-4x -5|-k 的零点个数为0个.。