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2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：选择性必修第一册全册；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
�������⃗= 1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO中，点MM,NN分别为线段OOOO,OOOO的中点，若MMNNxxOOOO�����⃗+yyOOOO�����⃗+zzOOOO�����⃗，则xx+yy+zz的值为（）A．32B．1 C．12D．142．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO(2,−3),OO(−5,−2)，若直线ll:mmxx−yy+mm+1=0与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．�−43,34�B．�−∞,−43�∪�34,+∞�C．�−34,43�D．�−∞,−34�∪�43,+∞�3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．04．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6 6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO的两条切线，切点分别为OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=07．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO：xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的左、右焦点分别为EE1(−cc,0)，EE2(cc,0)，过点EE1的直线ll与双曲线OO的左支交于点OO，与双曲线OO的一条渐近线在第一象限交于点OO，且|EE1EE2|= 2|OOOO|（OO为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）①OO的坐标为(aa,bb)；②|OOEE1|−|OOEE2|>2aa；③若OOOO�����⃗=3EE1OO�������⃗，则双曲线OO的离心率1+√173；A．①②B．②③C．①③D．①②③8．（5分）（23-24高二上·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
也谈不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题∗Ә俞杏明㊀㊀(楚水实验学校高中部ꎬ江苏兴化㊀２２５７００)㊀㊀摘㊀要:数形结合是理解并解决不等式ｐ与不等式ｑ恒成立问题的一个很好的途径.文章通过数形结合给出该类问题一般易操作的解法及集合化语言严谨的结论ꎬ并就各种题型检验了操作的可行性㊁结论的正确性.关键词:不等式ｐ与不等式ｑ恒成立ꎻ正错辨析ꎻ数形结合ꎻ一般解法及结论中图分类号:Ｏ１２２.３㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００２９￣０３㊀㊀不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题一直是高中数学学习的难点. 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立 为什么不等价于 不等式ｐ恒成立或不等式ｑ恒成立 ꎻ如何求解 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题 中的参数范围?文献[１￣４]中几位教师进行了研究ꎬ笔者收获颇多ꎬ同时有意犹未尽之感.能否把这个问题论述得更清晰些ꎬ同时给出解决这类问题的一般方法?笔者从数形结合角度进行了尝试.１㊀引例呈现例１[１]㊀已知ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.２㊀典型错解错解㊀已知ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ等价于ａ<ｘ＋１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ即ａ<(ｘ＋１)ｍｉｎ或ａ>(３ｘ－１)ｍａｘꎬ从而㊀ａ<１或ａ>５.３㊀图形释疑显然由ａ<ｘ＋１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ即由ａ<１或ａ>５ꎬ得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立.故以下只需研究ａɪ[１ꎬ５]的情形.作直线ｙ＝ａ与线段ｙ＝ｘ＋１(其中ｘɪ[０ꎬ２])ꎬｙ＝３ｘ－１(其中ｘɪ[０ꎬ２]).知ＢＯ１Ｈæèç＝３６０ʎ－２ˑ１８０ʎ－１２ｎʎæèçöø÷＝ｎʎꎬ又әＢＯ１ＨɸәＣＯ１Ｈꎬ故经过点Ｏ１ꎬＨꎬＣꎬＦ的圆与经过点Ｏ１ꎬＢꎬＨꎬＥ的圆是等圆.关于这个 黄圆图 ꎬ肯定还有许多有趣的性质ꎬ有待数学爱好者继续研究(见文献[１￣３]).下图１２面我们再给出 黄圆图 的一个性质ꎬ限于篇幅ꎬ其证明不再赘述ꎬ留给读者完成.性质６㊀在 黄圆图 中ꎬＭꎬＮ分别是ＡＭＢ(ꎬＡＮＣ(的中点ꎬ设ＡＭＢ(＝ＡＮＣ(＝ＢＡＣ(＝ｎʎꎬ以Ｏ１为圆心㊁Ｏ１Ｍ为半径作大圆Ｏ１(如图１２)ꎬ证明:１)☉Ｏ２ꎬ☉Ｏ３与大圆Ｏ１分别内切于点ＭꎬＮꎻ２)ＭＨＮæèç的度数为定值.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀黄新民. 等弧度三圆共点图 的几个有趣性质[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(８):２７￣２９.[２]㊀黄新民. 等弧度三圆共点图 中一个神奇的四点共圆[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１７(３):２１￣２３.[３]㊀黄新民ꎬ刘臻.一道数学中考题的变式与探究[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１５(１０):４６￣４７.９２ ２０１８年第９期中学教研(数学)∗收文日期:２０１８￣０４￣２１ꎻ修订日期:２０１８￣０５￣１７作者简介:俞杏明(１９７５－)ꎬ男ꎬ江苏兴化人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.㊀㊀１)当１<ａ<２时(如图１)ꎬ若ｘɪ(ｘＡꎬ２]ꎬ则ａ<ｘ＋１ꎻ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ因此当ｘɪ[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]时ꎬａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１.又[０ꎬ２]⊆[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立.图１图２图３２)当２<ａ<３时(如图２)ꎬ若ｘɪ(ｘＡꎬ２]ꎬ则ａ<ｘ＋１ꎻ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ因此当ｘɪ[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]时ꎬａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１.但当ｘɪ[ｘＢꎬｘＡ]时ꎬａȡｘ＋１且ａɤ３ｘ－１ꎬ又[０ꎬ２]＝[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]ɣ[ｘＢꎬｘＡ]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立.３)当３<ａ<５时(如图３)ꎬ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ但当ｘɪ[ｘＢꎬ２]时ꎬａȡｘ＋１且ａɤ３ｘ－１.又[０ꎬ２]＝[０ꎬｘＢ)ɣ[ｘＢꎬ２]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立.４)当ａ＝１时ꎬ显然可得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立(如图１).５)当ａ＝２ꎬ３ꎬ５时ꎬ显然可得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立(如图２㊁图３).因此ꎬ引例的解应为ａ<２或ａ>５.４㊀小结提炼至此ꎬ我们发现:１) 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立 一般不等价于 不等式ｐ恒成立或不等式ｑ恒成立 .２)由于图像的直观易懂ꎬ数形结合应该是首选办法.３)把刚才的解答过程一般化ꎬ可以提炼出解决这类问题的通法:在形如 ａ为参数ꎬ不等式ｐ或不等式ｑ对ｘɪＤ恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围 的一般题型中ꎬ取定某个参数ａꎬ从图像上观察得出不等式ｐ的解集Ｅ㊁不等式ｑ的解集Ｆ.若Ｄ⊆ＥɣＦꎬ则ａ符合题意ꎻ若Ｄ⊈ＥɣＦꎬ则ａ不符合题意.５㊀实战检验由于引例的问题背景为直线ꎬ因此直线型不再举例赘述.为了体现方法的有效性ꎬ以下就曲线型㊁离散型作检验.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(２＋３ｘ)－３２ｘ２ꎬ若对任意ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬ不等式｜ａ－ｌｎｘ｜＋ｌｎ[ｆᶄ(ｘ)＋３ｘ]>０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.解㊀原式整理得ａ>ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘ或ａ<ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２＋６ｘ２ｘ＋３ｘ２>０ꎬ㊀ｇᶄ(ｘ)＝２２ｘ＋３ｘ２>０ꎬ从而ｈ(ｘ)与ｇ(ｘ)在ｘɪ１６ꎬ１３[]上单调递增ꎬ得ｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ１６æèçöø÷＝ｌｎ５３６ꎬ㊀ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ１３æèçöø÷＝ｌｎ１３ꎬｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ１６æèçöø÷＝ｌｎ１５ꎬ㊀ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ１３æèçöø÷＝ｌｎ１３.图４如图４ꎬ作直线ｙ＝ａ与曲线段ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[].设ａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆꎬ则１)当ａ>ｌｎ１３时ꎬＥ＝１６ꎬ１３[].因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ>ｌｎ１３适合.２)当ａ<ｌｎ１５时ꎬＦ＝１６ꎬ１３[].因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ<ｌｎ１５适合.３)当ｌｎ１５<ａ<ｌｎ１３时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬｘＡ[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝ｘＢꎬ１３æèç]ꎬ因为０３ 中学教研(数学)２０１８年第９期１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ｌｎ１５<ａ<ｌｎ１３适合.４)当ａ＝ｌｎ１５时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬｘＡ[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝１６ꎬ１３æèç]ꎬ因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ＝ｌｎ１５适合.５)当ａ＝ｌｎ１３时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬ１３[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为１６ꎬ１３[]⊈ＥɣＦꎬ所以ａ＝ｌｎ１３不适合.综上所述:ａʂｌｎ１３.例３㊀已知０<ｃɤ３ꎬ若对任意正整数ｋ都有ｃ－４－６２ｋæèçöø÷ｃ－４－４２ｋæèçöø÷>０成立ꎬ求ｃ的取值范围.图５图６解㊀因为４－６２ｋ<４－４２ｋꎬ所以ｃ<４－６４ｋ或ｃ>４－４２ｋ对一切正整数ｋ都成立.如图５ꎬ作直线ｙ＝ｃ与ｙ＝４－６２ｋꎬ其中ｋɪＮ∗(图示为方点)ꎬｙ＝４－４２ｋꎬ其中ｋɪＮ∗(图示为圆点)的图像.设ｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆꎬ则１)当０<ｃ<１时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝Ｎ∗ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为Ｎ∗⊆ＥɣＦꎬ所以０<ｃ<１适合.２)当１ɤｃɤ２时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ２ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为Ｎ∗⊈ＥɣＦꎬ所以１ɤｃɤ２不适合.３)当２<ｃ<５２时(如图６)ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ２ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝{１}ꎬ因为Ｎ∗⊆ＥɣＦꎬ所以２<ｃ<５２适合.４)当５２ɤｃɤ３时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ３ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝{１}ꎬ因为Ｎ∗⊈ＥɣＦꎬ所以５２ɤｃɤ３不适合.综上所述:０<ｃ<１或２<ｃ<５２.６㊀一点说明文中几个例题均通过分离变量转化为简单的函数图像与直线的位置关系进行处理.笔者查阅了相关资料ꎬ刊载的 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题 都可以这样处理.对于不能分离变量的该类问题ꎬ公开刊物上目前还没有出现.笔者自编了几个这样的例题ꎬ发现要么很简单ꎬ要么太难ꎬ但处理策略均可归结为通法ꎬ即从图像上得出ＥꎬＦꎬ然后判断Ｄ与ＥɣＦ的关系.限于篇幅ꎬ不作一一演练.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀蔡德华.含参数的不等式｜ａ－ｆ(ｘ)｜>ｇ(ｘ)恒成立问题的一个常见错误解法[Ｊ].中学数学教学参考:上旬ꎬ２００８(８):２１.[２]㊀游爱玲.再谈含参数的不等式｜ａ－ｆ(ｘ)｜>ｇ(ｘ)恒成立的问题[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１４(９):５９￣６１.[３]㊀曹军.探究 ｐ或ｑ 恒成立题中极易出错的两类情形[Ｊ].中学数学研究ꎬ２００９(５):２１￣２２.[４]㊀黄桂君.不要被恒成立问题中的 或 迷惑[Ｊ].中学数学教学参考:上旬ꎬ２００９(６):３５￣３６.１３ ２０１８年第９期中学教研(数学)。
加权平均指数如何反映复杂现象总体的数量变动?如何编制总指数?综合指数通过综合的方法平均指数通过平均的方法总指数的计算方法2：加权平均指数加权平均指数（weighted average index)从个体指数出发，对个体指数进行加权平均得到的总指数。
A加权算术平均指数B加权调和平均指数C固定加权算术平均指数1.计算每一个项目的个体指数1100或p q p q i i p q==选定权数，计算个体指数的加权算术平均数或加权调和平均数。
xf x f∑=∑m H m x∑=∑11011000q p q p q p q p 不常用用于加权算术平均数中用于加权调和平均数中权数1.计算个体指数1100,。
p q p q i i p q ==2.搜集权数p 0q 0 的资料3.按加权算术平均数的形式求得总指数()xf x f∑=∑0000p p i p q I p q ∑=∑100000p p q p p q ∑=∑1000p q p q ∑=∑p L=0000q q i p q I p q ∑=∑100000q p q q p q ∑=∑1000q p q p ∑=∑q L =当算术平均数指数采用特定权数p 0q 0时，与拉氏综合指数相等。
例开心超市的销售资料计算销售量总指数100140110170254.11359360121902001973.12261114.59%1973.1qq q p q I q p=⨯+⨯+⨯===∑∑销售量总体增长了14.59%。
因销售量的变动而使销售额增长2261-1973.1 = 287.9元。
1.计算个体指数1100,p q p q i i p q==2.搜集权数p 1q 1 的资料3.按加权调和平均数的形式求得总指数()m H m x∑=∑1111p p p q I p q i ∑=∑110111p q p p q p ∑=⋅∑1101p q p q ∑=∑p P =1111q qp q I p q i ∑=∑110111p q q p q q ∑=⋅∑1101q p q p ∑=∑q P =当调和平均数指数采用特定权数p 1q 1时，与帕氏综合指数相等。
