2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(二十五)空间直角坐标系的建立

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0 C. 3 D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12. 3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面DCC 1D 1，因此平面。

课时跟踪检测（十一） 柱、锥、台的侧面展开与面积层级一 学业水平达标1．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选A S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．9 2 πD ．362π解析：选B ∵由题意r ′＝3，r ＝6，l ＝32，∴S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π(3＋6)×32 ＝272π.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，所以S 表＝2πr 2＋2πr ·h＝2πr 2(1＋2π)，又S 侧＝h 2＝4π2r 2，所以S 表S 侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________． 解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S 侧＝πrl＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S 1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S 2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S 3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE .∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.层级二 应试能力达标1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π解析：选C 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．三视图如图所示的几何体的表面积是( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3D.32解析：选A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x 2－9x ＋18＝0的两个根为x 1＝3，x 2＝6，设侧面梯形的高为h ，则由题意得12×(3＋6)·h ×4＝32＋62，解得h ＝52. 答案：526．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC -A 1B 1C 1的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高． 由A 1B 1＝20，AB ＝30， 得OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)． 所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm.8．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 29，设这条上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29， 求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45. (3)棱柱的表面积：S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.。

4．1空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是()A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．l⊂αB．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是()A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，P A≠PN⊥AB与N，求证：CM 和PN是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴P A＝PB，与题设P A≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵P A≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．。

课时跟踪检测（二十六）空间两点间的距离公式层级一学业水平达标1．点P(1,2,5)到平面xOy的距离是()A．1B．2C．5 D．不确定解析：选C点P(1,2,5)在平面xOy内的射影为P′(1,2,0)，∴点P(1,2,5)到平面的距离为|PP′|＝5.2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9 B.29C．5 D．2 6解析：选B由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29.3．点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于平面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.4．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D由题意得(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x＝－2或x＝6.5．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于()A．28 B．－28C．14 D．－14解析：选D∵AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°.∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.6．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy面的距离为n，则m2＋n＝________.解析：∵点M(4，－3,5)到x轴的距离为m＝(－3)2＋52＝34，到xOy面的距离为n ＝5，∴m2＋n＝39.答案：397．已知点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．解析：由题意P (0,0,1)或P (0,0，－1)，所以|PA |＝2或 6.答案：2或 68．已知A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影长度为________．解析：A (3,5，－7)在平面yOz 上的射影为A ′(0,5，－7)，B (－2,4,3)在平面yOz 上的射影为B ′(0,4,3)∴|A ′B ′|＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101.答案：1019．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. 又M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.10．如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.层级二应试能力达标1．已知A(1,2,3)，B(3,3，m)，C(0，－1,0)，D(2，－1，－1)，则()A．|AB|>|CD|B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|解析：选D∵|AB|＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－m)2＝5＋(3－m)2≥5，|CD|＝(0－2)2＋(－1＋1)2＋(0＋1)2＝5，∴|AB|≥|CD|.2．设点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1,0,0) B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)解析：选D∵点P在x轴上，∴设点P(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴(x－0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x－0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x＝±1.3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线的长是()A．2 B. 6C．3 D．2 2解析：选B由题意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC边的中点坐标为D(2,1,0)，所以BC边的中线长|AD|＝(2－0)2＋(1－0)2＋(0－1)2＝ 6.4．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，3)，则|PA|的最小值是() A．2 B．3C．4 D．5解析：选B x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝(－2)2＋32＋(3)2－1＝4－1＝3.5．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：因为A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，所以C1(－3,3,2)．所以正方体的对角线长为|AC1|＝[3－(－3)]2＋(－1－3)2＋(2－2)2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：239 36．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0，3,4)，B(3，－1,4)，C ⎝⎛⎭⎫32，72，4，则△ABC 是________三角形． 解析：∵|AB |＝(0－3)2＋(3＋1)2＋(4－4)2＝5，|AC |＝ ⎝⎛⎭⎫0－322＋⎝⎛⎭⎫3－722＋(4－4)2＝102， |BC |＝ ⎝⎛⎭⎫3－322＋⎝⎛⎭⎫－1－722＋(4－4)2＝3102， 而|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 是直角三角形．答案：直角7．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． 解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，则有32＋(－y )2＋12＝(－1)2＋y 2＋32，由于此式对任意y ∈R 恒成立，即y 轴上所有点均满足条件|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．∵|MA |＝(3－0)2＋(0－y )2＋(1－0)2＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝10或y ＝－10.故y 轴上存在点M 使△MAB 为等边三角形， 点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．8．如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．求：(1)MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．解：(1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABCD .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. ∴|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)． (2)∵|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12， ∴当a ＝22时，|MN |min ＝22. 即a ＝22时，MN 的长最小．。