不定积分小结、习题课

. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若，则称为的一个原函数．)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为)(x F )(x f )(x f ．C x F +)(2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质1），或；)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例1　已知的一个原函数是，求．)(x f x 2ln )(x f '解 ， ．x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='. 2 .例2　设，求．C x dx x f +=⎰2sin 2)()(x f 解　积分运算与微分运算互为逆运算，所以．2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3　若的一个原函数是，求．)(x f x 2⎰'dx x f )(解　因为是的原函数，故，所以x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(例4　求不定积分．⎰-dx e x x 3解　被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5　求不定积分．⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin 解　利用求导运算与积分运算的互逆性，得．C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin 例6　求不定积分．⎰⋅dx xxx 533解　先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．C x dx x dx x dx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615. 3 .例7　求不定积分．⎰++++dx xx x x x 32313解　分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln 例8　求不定积分．⎰-dx x2cos 11解　用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．x x 2sin 212cos -=．⎰⎰=-dx xdx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21例9　求不定积分．⎰+dx x x )sec (tan 22解　用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．⎰⎰+-=+dxx x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222．⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10　求不定积分．⎰++dx x x x )1(21222解　．⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan. 4 .例11　求不定积分．⎰+dx x x )1(124解　类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dxx x x x x x dx x x )1(1)1(124442224．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2241111C x x x +++-=arctan 1313例12　一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，)3,(2e x2求该曲线的方程．解　设曲线方程为，则，积分得)(x f y =xx f 2)(='． （曲线连续，过点，故C x dx xx f +==⎰ln 22)()3,(2e ）0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．1ln 2-=x y 例13　判断下列计算结果是否正确1）； 2）．C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ()C e dx ex x++=+⎰1ln 11解　1），所以计算结果正确．2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2）， 计算结果不正确，即[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(．()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．0≠a ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin 10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()(例14　求．⎰dx xx xcos sin tan ln 解　⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=xd xxtan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21. 6 .注由于被积函数中含有，表明，故x tan ln 0tan >x ．x d x d xtan ln tan tan 1=例15　求下列不定积分1）； 2）．⎰+dx xx xln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解　1）　(请注意加1、减1的技巧)⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x1ln 111ln ln 1ln⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x　．C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(322）dxx x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x．C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021例16　设，不求出，试计算不定积分C x dx x f +=⎰2)()(x f ．⎰-dx xxf )1(2解 （将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰21x -u ．C x +--=22)1(21例17　设，求．x e x f -=)(⎰'dx xx f )(ln 解　先凑微分，然后利用写出计算结果．即C u f u d u f +='⎰)()(. 7 .．⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1例18　计算不定积分．⎰+dx x x )1(124 【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．k x tx 1=解　设，则，t x 1=dt tdx 21-=4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+．3111arctan 3C x x x=-+-+例19　求不定积分．⎰+dx x x )4(16解　⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++661ln 244x C x =++分部积分．⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．u. 8 .例 20　求不定积分．⎰dx xxarcsin 解一　这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，2t x =tdt dx 2= ⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=td t t t arcsin arcsin 2⎰--=dtttt t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+- Ct t t +-+=212arcsin 2．C x x x +-+=12arcsin 2解二　先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2 ⎰--=dt tt t t 212arcsin 2．C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21　已知的一个原函数是，求．)(x f 2x e-⎰'dx x f x )(【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．)(x f '解　由已知条件，，且，故)(x f ()'=-2x e ⎰dx x f )(C e x +=-2⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dxx f x xf )()(()Ceex x x +-'=--22. 9 .．C e e x x x +--=--2222例 22　设，求．x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解　先求出的表达式．设，则，)(x f 't x =ln t e x =)1()(+='t e t t f 　⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdttde t,22t dt e te tt +-=⎰C t e te tt ++-=22所以．C x e xe x f x x++-=2)(2例23　求不定积分．5432x x dx x x+--⎰解　将分子凑成，23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和；542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，232x x x x+--，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰．322ln ln 132x x x x x C =+++-++. 10 .例24 求不定积分．⎰+-dx x x x )1(188解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x （换元，令）⎰+-=du u u u )1(1818x u =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81．()C x x ++-=81ln 41||ln 例25　求不定积分．⎰+dx xsin 11解　⎰⎰--=+dx xx dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1．⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．⎰+++++dx x x x)11()1(11365解　为同时去掉三个根式，设，则，，t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t +-+=+⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116()C t t t +++-=arctan 61ln 3322．()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。

2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。

3．掌握不定积分的积分方法。

4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。

内容与方法精讲：一．原函数与不定积分的概念1． 原函数定义：在区间I上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。

2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I上连续。

则)(x f 在区间I上有原函数。

3． 不定积分：函数)(x f 在区间I上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作⎰+=C x F dx x f )()(.4． 不定积分与导数的关系：（1）先积分再求导（或微分）⎰=')(])([x f dx x f ，或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([；（2）先求导（或微分）再积分C x F dx x F +='⎰)()(，或 ⎰+=C x F x dF )()(.5． 不定积分的线性性：（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；（2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。

（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。

2． 凑微分法：C x F x d x f dx x x f +=='⎰⎰)]([)()]([)()]([ϕϕϕϕϕ.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。

要熟练常用的几个凑微分式子：（1）⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； （2）)0()()(1)(1111≠++=+----⎰μμμμμμa b ax d b ax f a dx b ax f x ；（3）⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln )(ln ； （4）x x x x de e f dx e f e )()(⎰⎰=； （5）⎰⎰=+x d x f dx x x f arctan )(arctan 1)(arctan 2；（6）⎰⎰=-x d x f dx xx f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；（7）⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ； （8）⎰⎰-=dconx x f xdx x f )(cos sin )(cos ； （9）⎰⎰=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan 2； （10）⎰⎰=x d x f xdx x x f sec )(sec tan sec )(sec ； （11）.)(ln )()()()(C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰多用于解决无理函数的积分。