初中物理竞赛-第十九届全国中学生复赛题解答

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答作者：不详 文章来源：本站收集一、参考解答实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。

（1）设大气压为0p ，水的密度为ρ。

拧开K 前的情况如图复解19-l 的（a ）图所示。

由流体静力学可知，B 、C 中气体的压强为012()B C p p p g h h ρ==++ （1）D 中气体的压强为1D B p p gh ρ=- （2）由（1）、（2）两式可得20D p p gh ρ=+即0D p p >，当拧开K 后，D 中气体压强降至0p ，此时10B p p gh ρ-> （3）即D 管中容器B 水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以D 管中水柱上升。

（2）拧开K 后，水柱上升，因D 管上端已足够长，故水不会从管口喷出．设到D 中的水面静止时D 中增加水量的体积为V ∆，则B 中减少水量的体积亦为V ∆，其水面将略有降低，因而B 及C 中气体压强路有下降，A 中的水将通过E 管流入C 中，当从A 流入水量的体积等于V ∆时，B 、C 中2002年KKDH A A B BFC CEh 1h 2(a)(b)图复解 19-1气体压强恢复原值。

因为A 、B 、C 的半径为D 管半径的60倍，截面积比为3600倍，故A 、B 、C 中少量水的增减（V ±∆）引起的A 、B 、C 中水面高度的变化可忽略不计，即1h 和2h 的数值保持不变。

设D 中水面静止时与A 中水面的高度差为H ，（见图复解19-1（b ）），则有01201()()p g h h p g H h ρρ++=++ （4）由此可得 2H h = （5）（3）将图复解 19-l （a ）和(b)两图相比较可知，其差别在于体积为V ∆的水从A 移至C 中，另V ∆的水又由B 移入D 中，前者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为112()E g V h h ρ∆=∆+ （6）D 中增加的水柱的重心离A 中水面的高度为2/2h ，故后者的重力势能增量为2121()2E g V h h ρ∆=∆+ （7）即12E E ∆>∆。

由此可知，体积为V ∆的水由A 流入C 中减少的势能的一部分转化为同体积的水由B 进入D 中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故发生上下振动，D 中水面静止处为平衡点．由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距A 中水面2h 处。

二、参考解答由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．1．任意点在磁场区域内：令P 为任意点（见图复解19-2-1）2x R ≤，在图中连直线OA 与OP 。

取闭合回路APOA ，可得回路电动势1AP PO OA E E E E =++，式中AP E ，PO E ，OA E 分别为从A 到P 、从P 到O 、从O 到A 的电动势。

由前面的分析可知0PO E =，0OA E =，故1AP E E = （1）令AOP ∆的面积为1S ，此面积上磁通量11BS φ=，由电磁感应定律，回路的电动势大小为111BE S t tφ∆∆==∆∆ 根据题给的条件有11E S k = （2）由图复解19-2-2可知11sin 222xR S xR α== （3） 由（1）、（2）、（3）式可得沿AP 线段的电动势大小为22AP kR E x =（4）A C CAOORRPx α α αα β DQ图复解 19-2－1图复解 19-2－22．任意点在磁场区域外：令Q 为任意点（见图复解19-2-2），2x R >。

在图中连OA 、OQ 。

取闭合回路AQOA ，设回路中电动势为2E ，根据类似上面的讨论有2AQ E E = （5）对于回路AQOA ，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为2S ，通过它的磁通量22BS φ=。

根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小22E S k = （6）在图中连OC ，令COQ β∠=，则OQC αβ∠=-，于是2221(sin )2cos 221(sin 2)2S AOC OCD R R R R βααππαβ=∆+=⋅+=+的面积扇形的面积当/4απ=时，221(1)2S R β=+， OCQ ∆中有2sin sin[(/4)]x R Rβπβ-=-sin (2)sin()41(2)(cos sin )2R x R x R πββββ=--=--22()sin cos 22x R x RR ββ--+= 2tan x Rxβ-=于是得2212(1arctan )2x RS R x-=+ （7）由（5）、（6）、（7）式可得沿AQ 线的电动势的大小为22(1arctan )2AQkR x R E x-=+ （8）三、参考解答以三个质点为系统，由对称性可知，开始时其质心应位于C 处，因为质点系所受的合外力为零，由质心运动定理可知，质心总是固定不动的。

质点1、2在静电力作用下，彼此间距离必增大，但不可能保持在沿起始状态时1、2连线上运动，若是那样运动，由于杆不能伸长，质点3必向左运动，三者的质心势必亦向左运动，这与“质心不动”相矛盾，故不可能。

由此可知，由于杆为刚性，质点1、2在静电力作用下，要保持质心不动，质点1、2必将分别向题图中右上方和右下方运动，而质点3将向左运动．当3运动到C 处时，1、2将运动到A 、B 处，A 、B 、C 三点在一直线上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如图复解19-3所示）。

令1v 、2v 、3v 分别表示此时它们的速度大小，则AB C 1 23图复解 19-3由对称性可知此时三质点的总动能为223111222()K E mv mv =+ （1）再由对称性及动量守恒可知312mv mv = （2）系统原来的电势能为23P q E k l= （3）其中k 为静电力常数．运动到国复解19-3所示的位置时的电势能为2222P q qE k k l l'=+ （4）根据能量守恒有P P K E E E '=+ （5） 由以上各式可解得2323kq v lm= （6）四、参考解答1.（1）调整活塞6使毛细管8中有色液柱处于适当位置，将阀门10关闭使两边气体隔绝，记下有色液柱的位置；（2）合上开关S ，测得电流I ； （3）打开开关S ；（4）测出有色液体右移的最远距离x ∆；（5）改变电源电压，重复测量多次，记下多次的I 和x ∆值。

2.合上开关S 后，线捆贮有磁场能量212W LI =，因二极管D 的存在，r 中无电流。

打开开关S 后，由于L 中有感应电动势，在线圈L 、电阻器ab 和二极管D 组成的回路中有电流通过，最后变为零。

在此过程中原来线圈中储存的磁场能量将转化为r 和L r 上放出的热量，其中r 上放出的热量为212Lr Q LI r r ∆=⋅+ （1） 此热量使试管中的气体加热、升温。

因为是等压过程，所以气体吸热为p mQ C T μ∆=∆ （2）式中m 为气体质量，μ为其摩尔质量，T ∆为温升，因为是等压过程，设气体体积改变量为V ∆，则由理想气体状态方程可得mp V R T μ∆=∆ （3）而 24d V x π∆=∆ （4）由以上各式可得222L p C p dr r x L r R Iπ+∆=⋅⋅ （5）五、参考解答利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ 的像P Q ''，如下图所示。

（1）用y 和y '分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得1212u f f y y f v f -=='- （1） 1212()()u f v f f f --=简化后即得物像距公式，即u ，v ，1f ，2f 之间的关系式121f f u v+= （2） （2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。

图中1θ为入射角，2θ为与之相应的出射角，γ为平行板中的光线与法线的夹角。

设透镜的折射率为n ，则由折射定律得1122sin sin sin n n n θγθ== （3）对傍轴光线，1θ、2θ≤1，得11sin θθ≈，22sin θθ≈，因而得1212n n θθ=（4） QQ 'P ' P F 1F 2uvn 1 n 2yy 'f 1f 2图复解 19-5-1n 1 n 2θ1θ2γ γn（3）由物点Q 射向中心O 的入射线，经L 折射后，出射线应射向Q '，如图复解19-5-3所示，在傍轴的条件下，有1122tan tan y y u vθθθθ'=≈=≈， （5） 二式相除并利用（4）式，得12n y u yv n '=（6） 用（1）式的11//()y y f u f '=-代入（6）式，得1112()f u nu f v n =-即 1121n uvf n u n v=+ （7）用（1）式的22/()/y y v f f '=-代入（6）式，得2122()v f u n f v n -= 即 2221n uvf n u n v=+ （8）QQ 'PP 'F 1 F 2Lθ2uv uyθ1 y 'n 1 n 2图复解 19-5-3从而得1f ，2f ，1n ，2n 之间关系式2211f n f n = （9）六、参考解答（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为220022 1.101(/)m c m c v c =- （1）由此可解得0.210.4170.421.10v c c ==≈ （2） 入射光子和散射光子的动量分别为h p c ν=和h p cν''=，方向如图复解19-6所示。

电子的动量为mv ，m 为运动电子的相对论质量。

由动量守恒定律可得022cos 1(/)m v h cv c νθ=- （3）022sin 1(/)m v h cv c νθ'=- （4） 已知 200.10h h m c νν'-= （5）由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得200.37/m c h ν= （6）图复解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子 θ A200.27/m c h ν'= （7）127tan arctan()36.137νθν'===︒－ （8） 电子从O 点运动到A 所需时间为02.4/L t L c v∆== （9） （2）当观察者相对于S 沿OA 方向以速度v 运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得2201(/)L L v c =- （10）00.91L L = （11）七、参考解答1. 珠子运动的轨迹建立如图复解19-7所示的坐标系，原点O 在过A 点的竖直线与细杆相交处，x 轴沿细杆向右，y 轴沿OA 向下。