巧用等价无穷小与泰勒公式求极限

＝ １.
通过定理 ２ꎬ很大程度上给极限运算中的代数和带来了
方便.
例 ３ 求 ｌｘｉ→ｍ０ ｔａｎａｒｘｃ－ｔａｎｓｉｘｎｘ.
错误解法 当 ｘ→０ 时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬｓｉｎｘ ~ ｘꎬ
∴
原式
＝
ｌｉｍｘ
ｘ→０
－ ｘ
ｘ
＝
０.
正确解法
当 ｘ→０
时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬ１ － ｃｏｓｘ ~
１ ２
ｘ２ ꎬ
高等数学的研究对象是变量ꎬ研究方法是无穷小分析
法ꎬ也就是极限方法ꎬ掌握好极限概念与极限运算是从初等
数学迈入高等数学的一个重要阶梯. 求解极限的方法有很
多ꎬ但选择适当的 方 法 直 接 关 系 到 运 算 过 程 的 简 便 程 度 和
运算结果的正确性. 利用等价代换求解极限是指将一些无
穷小量用与其等价的无穷小量来替代ꎬ从而简化运算[１ －３] ꎬ
ｘ３ ２
＋
ｏ( ｘ３ ) .
根据上例ꎬ我们得到一个有用的定理.
定理
αꎬβꎬ
α~
ꎬ
~
β
为 同 一 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量ꎬ 且
αꎬβ 为同阶无穷小ꎬ又 α ~ α~ ꎬβ ~ β~ .
(１) 当 ｌｉｍ
β α
≠
－
１
时ꎬ则α
＋ γ
β
~
α~
＋ γ
~
βꎻ
(２) 当 ｌｉｍ
β α
≠１
时ꎬ则α
高教视野
ＧＡＯＪＩＡＯ ＳＨＩＹＥ
７
等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用
◎李 珊 栗巧玲 余旭洪 ( 上海理工大学理学院ꎬ上海 ２０００９３)

结合等价无穷小替代法、麦克劳林公式求极限
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。

2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。

用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。

麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。

年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。

年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。

他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。

他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。

等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活,计算巧妙.等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一.在求和、差形式的函数极限,1 型函数的极限,积分上限函数的极限等方面,等价无穷小的替换具有很好的作用,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小;函数的极限;级数收敛Equivalent Infinitesimal in limit research Abstract: The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.Keywords: Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.目录引言 (1)1乘积因子等价无穷小的替换 (2)2变上限积分的极限 (3)3极限中含加减因子的等价无穷小替换 (4)41 型不定式极限的替换 (9)5级数敛散性的等价无穷小替换 (11)6用洛必达法则求极限 (12)6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 (13)6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 (15)6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合............................. `16 6.4洛必达法则是充分条件而非必要条件. (15)7小结 (16)8参考文献 (17)9致谢 (18)引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简,它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。

等价无穷小与泰勒公式的关系及其综合应用王亮 李红梅 扎西次旺 西藏大学财经学院（850000）摘 要：等价无穷小是解答函数极限问题的有效方法，泰勒公式是把任意函数()f x 近似写成多项式相加的形式，二者之间存在着一定的关系.主要探讨等价无穷小与泰勒公式的关系及其应用.关键词：等价无穷小 泰勒公式 关系 应用Relationship equivalent infinitesimal with the Taylorformula and its comprehensive applicationWang Liang Li-Hongmei Zha-xi Ci-wangTibet university of finance and economics college （850000）Abstract ：Equivalent infinitesimal is an effective method to solve function limit problem, Taylor formula is the arbitrary function ()f x approximation in the form of polynomial addition, there are certain relations between the two. This paper mainly discusses the relationship between equivalent infinitesimal and Taylor formula and its application.Key words ：equivalent infinitesimal the Taylor formula relationship application.等价无穷小是解答函数极限问题的有效方法，泰勒公式是把任意函数近似写成多项式相加的形式，可以将问题化为多项式问题.为了更直观的说明等价无穷小与泰勒公式之间的关系，以下给出了有关它们的定义和定理.定义1：若0lim ()0(lim ()0),x x x f x f x →→∞==则称函数()f x 为0x x →（或x →∞）时的无穷小量.定理1：若0x →，则有以下等价关系成立（证明略）：（1）sin ~x x ； （2）tan ~x x ； （3）1~xe x -；（4）ln(1)~x x +； （5）21cos ~2x x -； （6）1(1)1~n aax x n+-；（7）arcsin ~x x ； （8）arctan ~x x ； （9）1~ln xa x a -；（10）31-sin ~6x x x ； （11）31ln(1)~2x x x -+； （12）(1)~m x mx +.定义2：设()f x 和()g x 都是同一极限过程中的两个无穷小量.若()lim1()f xg x =，则称()f x 和()g x 是等价无穷小量，记为()~()f x g x .定理2：若()()f x g x 、是等价无穷小量，则等价为：()()()f x g x O x =+. 则定理1中的等价关系均可以写成()()()f x g x O x =+的形式.定义3：对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式， 20000000012()'()''()()()()()()()!!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式,)(x Tn 的各项系数012()()(,,,)!k f x k n k =称为泰勒系数.定理3：若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())n f x T n O x x =+-；即2000000002()()''()()()'()()()()(())!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x O x x n =+-+-++-+-其中()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项.形如O 0(())n x x -的余项称为佩亚诺型余项.特殊的当0=x 时;20000O 2()''()()()()'()()!!n n n f f f x f f x x x x n =+++++称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式.以上给出了等价无穷小和泰勒公式及其相关定理的内容，由此可以看出等价无穷小其实就是带有佩亚诺型的麦克劳林求和公式进行一阶展开的特殊形式.在进行等价无穷小量代换时，要求代换形式必须是乘积形式，否则将造成错误，而这将直接制约了此种方法求解一般和式的问题.由于等价无穷小其实就是带有佩亚诺型的麦克劳林求和公式进行一阶展开的特殊形式，因此，在求解一般问题时，通常可以将所求问题进行适当阶的泰勒公式的佩亚诺型麦克劳林展开进行求解.下面将围绕等价无穷小和泰勒公式的应用展开讨论.例1 求20(1cos )arctan (1)(sin )ln(1sin )limx x x x xe x x →-⋅-+解：当0x →时, 211cos ~2x x -; 22arctan ~;1~;sin ~;ln(1sin )~sin ~.x x x e x x x x x x --+则，原式2122x x x x x x ⋅⋅=-⋅⋅12=-. 例2 求40[sin sin(sin )]sin tan limx x x xx→-⋅ 解：原式40[sin sin(sin )]sin sin lim x x x xx→-= 30sin sin(sin )sin limx x x x →-= 30sin lim t t tt →-=（令sin t x =） 22200121cos 3316lim lim t t tt t t →→-===⋅例3求220ln(1arcsin )1);arctan()lim x x x →++- 解：当0x →时,22arctan()~xx ;222ln(1arcsin )~arcsin ~x x x +;21cos 1)1)~6~.3xx --=⋅22200ln(1arcsin )111)lim lim x x x x x→→+==≠-∴原式2220lim x x x x →+=2=. 例4 求2(arctan )arcsin ln(1)limxxxox tdt tdt t dt→⋅⋅+⎰⎰⎰解：当0x →时,有0arctan ~xtdt ⎰ 0arcsin ~xtdt ⎰200ln(1)~2xxx t dt tdt +=⎰⎰∴原式22220222()=lim x x x x →⋅1=⋅例5 求极限2240cos limx x x e x -→-解：245cos 1O()224x x x x =-++；22452128()x x x e O x -=-++； )(12cos 5422x x ex x +-=--∴原式2240cos limx x x e x -→-=4540112lim 112()x x x x →-+==- 例6 设)(x f 在],[b a 上三次可导, 试证:),(b a c ∈∃使得3)())((241))(2(')()(a b c f a b b a f a f b f n -+-++= (1) 证：（待定常数法）设k 为使下式成立的实数0)(241))(2(')()(3=---+--a b k a b b a f a f b f (2) 这时，我们的问题归为证明:),(b a c ∈∃使得)('''c f k = (3) 令3)(24))(2(')()()(a x ka x x a f a f x f x g ---+--= (4) 则0)()(==b g a g根据罗尔定理,),(b a ∈∃ξ,使得0)('=ξg ,由⑷式,即:0)2(8)2)(2('')2(')('2=---+-+-ξξξξξka a f a f f (5) 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式:2)2)(('''21)2)(2('')2(')('a c f a a f a f f -+-+++=ξξξξξ (6)其中),(b a c ∈，比较⑸，⑹可得式⑶证毕.例7 设)(x f 在),(+∞-∞内有连续三阶导数，且满足方程)(10);(')()(无关与h h x hf x f h x f θθθ<<++=+ (1)试证：)(x f 是一次或二次函数.证：问题在于证明:0)('''0)(''≡≡x f x f 或，为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无关.我们有:)('')(')('h x hf h x f h x f θθθ+++=+ (2) 从而,)('')(')(')(')('h x f hh x f x f x f h x f θθθ+=+-+-+令0→h 取极限，得)(''2)(''),('')('')(''x f x f x f x f x f θθθ==-若21≠θ,由此)(,0)(''x f x f ≡为一次函数;若21=θ, (2)式给出)21(''21)21(')('h x hf h x f h x f +++=+此式两端同时对h 求导，减去)(''x f ;除以h ,然后令0→h 取极限,即得0)('''≡x f ;)(x f ∴为二次函数.例821,28x x x +-∈[0,1] 的绝对误差.2128x x +-+……+1(23)2n n n n x n --!!(-1)!1(2)2(1)n n n n +-1!!+(-1)+!112(1),01n x x -n-++θ<θ<，当2n =时，233()23R x ||=!532)x x -|(1+θ|≦5211)1616-(1+θ≦例9 求n 阶行列式D=xz z z y x z z yy x z y y y x （1） 解： 记()n f x D =,按泰勒公式在z 处展开：'''()2()()()()()()()()1!2!!n n n n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-++-, （2）易知100000000()00000k k z y y z y y z yy D z z y z yy zy -阶---==--- （3）由（3）得, 1()(),1,2,,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有''''1122111()(),()(1)(),,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=于是)(x f n 在z x 处的各阶导数为''21()()|()()n n n x z n f z f z nf z nz z y -=-===-,'''''31()()|()(1)()n n n x z n f z f z nf z n n z z y -=-===--,… … … …111()|(1)2()(1)2n n n n x z f z f n n f z n n z --===-=-()()(1)2n n f z n n =-把以上各导数代入（2）式中,有12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()()(1)!!n n n n n nn n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.++-+--若z y =,有1()()[(1)]n n f x x y x n y -=-+-,若z y ≠,有()()()n nn z x y y x z f x z y---=-.例10 我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题.完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=3(1)x +，假设产品的价格为66元，求：由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解：由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC ，成本函数为STC=3(1)x +，令()f x =3(1)x +由泰勒公式我们知道，2(1)(1)12m m m x x x -+=+m +!…… ∴STC=23x x x 1+3+3+ 又因为 P=MC ，即27=233x x +6+，则4,1x x ==∵ 2000001(1)()()(1)()(1)2f f x f x x f x x ´´´=+-+- （1） 2000001(0)()()()()()2f f x f x x f x x ´´´=+-+- （2）∴22d TC dx =6×4+6300=>，22d TCdx =6×1+60=12> 故4,1x x ==是利润最大或者最小的产量.利润 3(1)27TR TC PQ x π=-=-+=×34(14)17-+=- 3(1)27TR TC PQ x π=-=-+=×31(1)-+1=19可见， 当 价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19； 当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17.所以，等价无穷小和泰勒系列定理在求极限方面可以起到事半功倍的效果，通过以上10个例子的求解，展现了二者无论在学科内综合应用，还是在其他领域的广泛应用，特别是泰勒公式在经济学中的应用效果非常显著，凸显出代数解决实际问题的直观性及经济数学意义.总之，本文关于等价无穷小和泰勒系列定理的应用只是一个“抛砖”，而在实际使用过程中，需要特殊情况形成特定的思想，最终使问题的解答起到明了、显著的效果.参考文献[1］李秀敏 等价无穷小代换在求极限过程中的应用[J]高等数学研究 2002.03 [2］华东师范大学数学系编 数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社, 2001[3] 高等教育出版社编，数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2006 [4] 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:36. [5] 魏晓娜 等价无穷小的应用研究[J].数学教学研究,2010,29(10):59～61. [6] 孔姗姗 泰勒公式在数值计算中的应用[J]辽宁经济学报，2011.6 [7] 刘强 关于等价无穷小量[J]高等数学研究2011.1。