洛必达法则泰勒公式

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

诺比达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。

洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。

洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。

⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。

当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。

比如说利用泰勒公式解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。

由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。

泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。

泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。

但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。

虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。

困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。

作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。

所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。

例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。

我们回顾一下它的证明。

通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。

但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。

这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。

泰勒公式的证明分析综述目录泰勒公式的证明分析综述 (1)1.1 常见泰勒公式形式 (1)1.1.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式 (1)1.1.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式 (2)1.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式的证明 (2)1.3 带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明 (3)高等数学中有不胜枚举的数学公式, 其中泰勒公式可以称得上是, 一个不可或缺的应用尤其广泛的公式. 就目前根据以往的学习情况来看, 针对于泰勒公式的使用有两方面, 一是向量函数下在更高维空间上的运用, 另一种则是在数量函数背景下针对于泰勒公式更加宽泛的使用. 简单来说, 微分几何教材中对于泰勒公式的证明, 它通过使用空间向量直角坐标系下的基向量, 将向量函数表示出来, 并根据给定的向量函数在闭区间上是C n+1类函数, 从而得到泰勒公式. 反观本文泰勒公式, 是在数量函数前提下的, 在数学的发展过程中对它的研究生成了许多的成果. 在泰勒公式不断完善发展的过程中, 针对泰勒公式的证明, 人们采用了多种不同的方法证明, 但整体上证明思想还是殊途同归的. 下面我们就根据泰勒公式的不同余项来构造不同辅助函数从而证明不同余项型的泰勒公式(见文献[8]).1.1常见泰勒公式形式1.1.1带佩亚诺型余项的泰勒公式函数f(x)在点x0若存在直至n阶导数, 我们可以得到f(x)=T n(x)+o((x−x0)n),即f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)形如o((x−x0)n)的余项称为佩亚诺型余项, 其中limx−x0o((x−x0)n)(x−x0)n=0.1.1.2带拉格朗日型余项的泰勒公式在闭区间[m,n]上, 若函数g(x)满足以下两个条件:(1)存在直至n阶的连续导函数:(2)开区间(m,n)上存在(n+1)阶导函数.则此时对任意取得的x, x0∈(m,n), 就会有g(x)=g(x0)+g′(x0)(x−x0)+g′′(x0)2!(x−x0)2+g′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+g(n)(x0)n!(x−x0)n+g(n)(x0)(n+1)!(x−x0)n成立, 形如g (n)(x0)(n+1)!(x−x0)n的余项称为拉格朗日型余项(见文献[12]).以上, 我们给出了两种类型的泰勒公式, 从形式上看这两种泰勒公式结构大致相似, 但余项不同. 因此根据于这种特性, 我们可以通过带佩亚诺型余项的式子, 方便的进行有关极限内容的学习. 因为后面这个泰勒公式它的余项总是可以确定的, 即我们使用此余项下的泰勒公式, 进行近似计算或者理论分析是非常便捷的, 并且消除了公式中可能存在的误差, 提高了公式计算的精确度(见文献[1]).1.2带佩亚诺型余项的泰勒公式的证明引理1: 若有函数f(x), 则不妨设函数f(x)存在, 在某点x0的直到n阶的导数.并用其导数构造n次多项式L n(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n上式L n(x)就是x0处的泰勒多项式, 且系数f(k)(x0)k!(k=1,2,3,∙∙∙,)就是泰勒系数, f(x)与L n(x)在点x0函数值与n阶的导数值相等, 即有:f(k)(x0)=L n(k)(x0),k=0,1,2,3,∙∙∙,n.定理1: 若函数f在点x0有到n阶的导数, 则有f(x)=L n(x)+ o((x−x0)n),即f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n).证明可设R n(x)=f(x)−L n(x),Q n(x)=(x−x0)n,故此时只需证明lim x−x0R n(x)Q n(x)=0.由引理1可知,R n(x0)=R n′(x0)=R n′′(x0)=R n′′′(x0)∙∙∙=R n(n)(x0)=0,同时由假设知Q n(x0)=Q n′(x0)=Q n′′(x0)=Q n′′′(x0)∙∙∙=R n(n−1)(x0)=0,Q n(n)(x0)=n!.则f(n)(x0)存在, 且f在领域U(x0)上有n−1阶导函数f(x). 于是若满足x∈U°(x0)且x→x0时, 通过洛必达法则可得:lim x−x0R n(x)Q n(x)=limx−x0R n′(x)Q n′(x)=limx−x0R n′′(x)Q n′′(x)=limx−x0R n′′′(x)Q n′′′(x)=∙∙∙=limx−x0R n(n−1)(x)Q n(n−1)(x)=limx−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)(x−x0)n(n−1)∙∙∙2(x−x0)=1n!limx−x0[f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)(x−x0)−f(n)(x0)]=0.以上, 就是我们所证明余项下的泰勒公式.(见文献[13]).1.3带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明定理: 对于一般函数函数f(x), 若在[a,b]上有到n阶的连续导函数, 并位于(a,b)上的存在直至(n+1)阶的导函数, 故对随机的x,x0∈[a,b], 至少有一点ϑ∈(a,b), 可得到f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ϑ)(n+1)!(x−x0)n+1.证明做辅助函数F(t)=f(x)−[f(t)+f′(t)(x−t)+∙∙∙+f(n)(t)n!(x−t)n],G(t)=(x−t)n+1.此时上面定理中的式子即为: F(x0)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!G(x0)或 F(x0)G(x0)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!. 不妨设x0<x,则F(t)与G(t)在[x0,x]上连续, 在(x0,x)上可导,且F′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n,G′(t)=−(n+1)(x−t)n≠0.又因F(x)=G(x)=0, 所以由柯西中值定理证得 F(x0)G(x0)= F(x0)−F(x)G(x0)−G(x)=F′(ϑ)G′(ϑ)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!,其中ϑ∈(x0,x)包含于(a,b). 它的余项为R n(x)=f(x)−T n(x)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!(x−x0)n+1,ϑ=x0+θ(x−x0)(0<θ<1).故, 我们完成了带拉格朗日型余项型的泰勒公式的证明.( 见文献[3]).。

函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。

函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。

一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。

例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。

当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。

当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。

对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。

四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。

对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。

如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。

例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。

无穷减无穷的极限四种解法无穷减无穷的极限是数学分析中的一个重要概念，也是许多学生在学习数学时遇到的难点。

在处理这种问题时，有多种解法可供选择，本文将介绍其中的四种解法。

一、直接运用极限的定义在处理无穷减无穷的极限时，可以直接运用极限的定义来求解。

设有两个数列$a_n$和$b_n$，其中$a_n$和$b_n$都趋近于无穷大。

则当$a_n-b_n$趋近于零时，即$lim_{ntoinfty}(a_n-b_n)=0$时，$a_n$与$b_n$的差就是无穷减无穷的极限。

例如，当$n$趋近于无穷大时，数列$sqrt{n+1}$和$sqrt{n}$都趋近于无穷大。

因此，$lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n})$就是无穷减无穷的极限。

根据极限的定义，可以将$sqrt{n+1}-sqrt{n}$转化为$frac{(sqrt{n+1}-sqrt{n})(sqrt{n+1}+sqrt{n})}{sqrt{n+1}+sqr t{n}}$，进而得到：$$begin{aligned}lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) &=lim_{ntoinfty}frac{(sqrt{n+1})^2-(sqrt{n})^2}{sqrt{n+1}+sqr t{n}}&= lim_{ntoinfty}frac{n+1-n}{sqrt{n+1}+sqrt{n}}&= lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt{n+1}+sqrt{n}}&= 0end{aligned}$$因此，$lim_{ntoinfty}(sqrt{n+1}-sqrt{n})=0$，即$sqrt{n+1}-sqrt{n}$趋近于零。

二、使用夹逼定理夹逼定理也是求解无穷减无穷的极限的一种有效方法。

夹逼定理指出，如果存在两个数列$c_n$和$d_n$，满足$c_nleq a_n-b_nleq d_n$，并且$lim_{ntoinfty}c_n=lim_{ntoinfty}d_n=L$，则$lim_{ntoinfty}(a_n-b_n)=L$。

考研数学：极限计算法则——洛必达法则洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。

在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。

一、关于洛必达法则洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0g x '≠ⅲ）()lim ()x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'='关于该法则需要注意的有两点：①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）.二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。

例：已知()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：200000))2)lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22().h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；若该题中，已知()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2000))2)lim ))lim 2))lim 2().h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x Ag x →'='或∞时，方可使用洛必达。

洛必达法则（L'Hopital's Rule）是一种求极限的方法，应用于解决未定式极限问题。

它的核心思想是通过求导和求极限的过程，将未定式转化为可求极限的形式。

洛必达法则的应用范围广泛，是微积分学中的重要知识点。

洛必达法则的基本表述如下：设函数f(x)和F(x)在点a的邻域内可导，且当x趋近于a时，f(x)和F(x)都趋近于零，且F'(x)不为零。

如果当x趋近于a时，极限存在（或为无穷大），那么此时极限的结果为：lim (f(x) / F(x)) = lim (f'(x) / F'(x))换句话说，当两个函数在某一点附近趋近于零时，我们可以通过求导并求极限的方式，来确定这两个函数的比值的极限。

在使用洛必达法则时，需要注意以下几点：1. 检查是否满足使用条件：在使用洛必达法则之前，首先要确保给定的函数满足极限存在的条件，如0/0或∞/∞型未定式。

否则，滥用洛必达法则会产生错误。

2. 连续多次使用：洛必达法则可以连续多次应用，直到求出最终的极限。

每次应用洛必达法则时，都要确保满足使用条件。

3. 适用范围：洛必达法则适用于解决一系列未定式极限问题，但并非所有极限问题都可以用洛必达法则求解。

当极限形式不满足0/0或∞/∞时，洛必达法则不适用。

此时，需要寻求其他求解方法，如泰勒公式等。

4. 化简结果：在求解过程中，可能需要对结果进行化简，以得到最终的极限值。

5. 举例说明：例如，求极限：lim (sin x / x)我们可以先求导，得到：lim (sin'(x) / 1) = lim (cos x / x) 再求导，得到：lim (cos'(x) / 1) = lim (-\sin x / x^2) 继续求导，得到：lim (-\cos x / 2) = lim (-\sin'(x) / 2x) 最后，我们可以看到，当x趋近于0时，极限存在，且满足洛必达法则的条件。

导数洛必达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。

洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。

洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。

⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。

当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。

比如说利用泰勒公式解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

不定式函数极限的求法不定式极限作为极限的一个特殊又重要的类型,计算起来有些困难,有的甚至会无从下手．因此,寻找一些求解极限的方法和技巧至关重要．常用的一些方法有两种,第一种是初等解法：通过恒等变形或变量代换转换为非不定式极限的计算,或转化为两个重要极限：1sin lim0=→x x x 和enn n =+∞→)11(lim 等；另一种方法是：洛必达法则,等价无穷小代换法则,勒公式法,迫敛定理法等．本文着重把一些方法进行归纳,并辅以典型例题,以便学习和掌握有关的解题技巧,提高学习效率．1型不定式极限 我们把两个无穷小量之比的极限类型记为型,它是不定式极限中最常见和最重要的极限类型,其它一些不定式极限可通过化简转化成这种类型来计算,掌握这种极限类型的求法是学习其它不定式极限的关键．1.1 约等价无穷小法若分子分母都是x 的多项式,当0x x →时分子分母的极限都等于零,若它们有极限为零的公因式,我们就先将分子分母分解因式或分子分母有理化,设法约去极限为零的公因式,使分母的极限不再为零,从而求出不定式的极限．例1 求211lim 1-+-→x x •x解 原式=)12)(21()12)(1(lim1++-+++-→x x x x x =1)12)(1(lim 1-++-→x x x x=)21(lim 1++→x x =22 1.2 重要公式1sin lim0=→xxx 法对于含有三角函数或者反三角函数的型不定式极限,我们通常利用三角恒等式,转换成极限1sin lim0=→xxx 或公式的推广求解．例 2 求xx x cos 1sin 2lim 20-→解 原式=2sin 2sin 2lim 220x x x →=2sin sin lim 22x x x → =22220)2()2(.2sin sin lim x x x x x →= 22202sin 2sin 4lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x x x =4 例3 xx x arcsin 95lim0→分析 直接求解有些困难,可把函数转化成没有反三角函数的形式,令arcsinx=t,则x =sint,当0→x 时,0→t解 原式=959sin 5lim=→t t t 1.3 洛必达法则定理[3]P(127)（洛必达法则）若函数f 和g 满足：（ⅰ）)(lim 0x f xx →= )(lim 0x g x x →=0； （ⅱ）在点0x 的某空心邻域)(00x U 内两者都可导,且0)(≠'x g ；（ⅲ）A x g x f x x =''→)()(lim（A 可为实数也可为∞∞±,）； 则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00． 运用洛必达法则必须满足以上三个条件,并且计算过程中可多次使用此方法,直到分母极限不为零为止,如例4．但对于一些比较复杂的不定式极限计算时不能盲目的用洛必达法则,当洛必达法则失效时不能确定原极限一定不存在,如例5．因此上述三个条件是洛必达法则的充分条件不是必要条件．洛必达法则是解不定式极限最主要且十分有效的方法,对一些分子分母的导数容易求得,并且可以多次使用,计算起来比较简便．例 4 1cos )1ln(lim0--+→x xx x解 原式=xx x sin 111lim 0--+→ =x x x cos )1(1lim 20-+-→=x x x cos )1(1lim 20+→=1例 5 xx x x sin 1sinlim20→分析 此题属于0型不定式极限错解 原式=x x x x x x x cos )1(1cos 1sin2lim220-⋅+→x x x x x cos 1cos 1sin 2lim 0-=→ 因为xx 1cos lim 0→不存在,1cos lim 0=→x x ,01sin 2lim 0=→x x x ,所以原极限不存在．正解 原式=xx x x x sin 1sinlim0→=x x x 1sin lim 0→=0 错解错在此题没有都满足上述的三个条件,方法失效,应该用别的方法．这很好的说明这三个条件是充分条件而非必要条件．运用此方法应注意,在连续运用此方法时,要检查看是否符合用洛必达法则的条件,一旦出现分母极限不为零立即停止运算,不能茫目的求解,出现错误结果．还应注意不是所有的0型不定式极限都能用此方法．1.4变量换元法如果极限形式十分复杂,可尝试采用变量换元法加以变形,使其简化易求． 例 6 求sin 0sin(sin )lim1xx x e →-解 设t x =sin ,则 0→t 原式=1cos lim 1sin lim00-=-=-→→tt t t e te t1.5 等价无穷小代换法若两个无穷小量等价,求解极限的过程中可以相互代替以简化运算,利用等价无穷小量代换以求极限的方法叫做等价代换法．若,lim lim)(,~,~00βαβαββαα''=→''→→x x x x x x 这是一种非常简单的方法,把一些比较复杂的函数进行等价无穷小代换,达到简化运算步骤,快速求出极限的目的．但应注意：分子分母中和差项不能分别代换,只能分子分母整体代换．常用的等价无穷小代换有：0x →时 ,x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arcsin , x e x ~1-,㏑x x ~)1(+,nxx n ~11-+． 例 7 求11tan lim-+→x xx解 因为0→x 时,x x x x 21~11,~tan -+ 所以原式=22lim=→x xx例 8 求1arcsin lim3sin 0--→xx ex x解 此题比较复杂用等价无穷小代换,x ex3sin sin ~13-,33~sin x x原式=3030arcsin limsin arcsin lim x xx x x x x x -=-→→=2203111lim x x x --→=22201311lim x x x x ---→设t x =-21,则1-2x =2t ,2x =1-2t ,0→x 时1→t t t t t )1(31lim21--→=61)1(31lim 1-=+-→t t t 例 9 求30sin 1lim xxe x x --→ 错解 因为 1-xe ~x, sinx~x所以原式＝03lim3=-→xxx x 正解 用洛必达法则30sin 1lim x x e x x --→＝=-→203cos lim x x e x x =+→xx e x x 6sin lim 0316cos lim 0=+→x e x x 分析 错误原因是把两个无穷小量差分别进行等价代换,只能对整个分子分母进行代换． 1.6 泰勒公式法上述运用等价无穷小代换方法求解极限,往往能减少计算量,但这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除式极限的时候,而对于非乘除式的极限,此方法行不同,如对形如)()()()(limx w x h x g x f x ±±→ (其中0)()(,0)()(→±→±x w x h x g x f )类型的极限,我们知道可以使用洛必达法则求解,下面介绍一种较为简便的方法：泰勒公式法：第一步,先将分母中各函数在x =0点按泰勒公式展开到第n 项,并以它代替各自的函数,合并同类项的结果作为新的分母,而n 是使新分母不为零的最小项数．第二步,再将分子中各函数在x =0点按泰勒公式展开到与新分母具有同次幂的项为止,同样以它代替各自的函数,合并同类项的结果作为新的分子．第三步,求解所得新分式的极限．这就要求我们记住一些常用的泰勒展开式．例 10 求320)1(cos lim x x x e x x +-→解 因为分母是3x ,故分子的泰勒公式：3=n )(0621432x x x x e x++++= )(021cos 42x x x +-= 所以320)1(cos lim xx x e x x +-→ =32424320)1()](021)][(0621[lim xx x x x x x x x +-+-++++→ =34320)(03lim x x x x x x +--→=3430)(03lim xx x x +-→ = 31-例11 求)1ln(1sin lim 0x x e x x +-+→解 看分母,展开到一次项即可,㏑(1+x)=x+0(x), 新分母就是x,再看分子,新分母是一次项,所以分子各函数只须展到一次项)(01x x e x ++=,)(0sin x x x +=,以1+x 代,x e x 代sin x ,则新分子为x x x 21)1(=-++,所以原式=22lim0=→xxx 例12 求)]11ln([lim 2xx x x +-∞→ 因为㏑)11(x +前的因式是2x ,所以㏑)11(x +的泰勒公式中取n =2,则 )(0211)11ln(32x xx x +-=+=+-∞→)]11ln([lim 2x x x x 21)]1(021[lim )]}1(0211[{lim 322=+=+--∞→∞→x xx x x x x x 1.7 导数定义法根据导数的定义：)()()(lim 0000x f x x x f x f x '=--→,不定式极限可通过变形转换为函数在某一点的导数．例13 求1)1(4sin lim 21--→x x x解 设f (x) =sin4(12-x ),则f (1)=01)1(4sin lim 21--→x x x =8)1(1)1()(lim 1='=--→f x f x f x2∞∞型不定式极限 两个无穷大量之比的极限类型记为∞∞型,是不定式极限的重要且基本的类型,我们也可以把其它类型的不定式极限转化成∞∞型不定式极限来求解． 2.1分子分母同除以x 的最高次幂当不定式的分子分母均为多项式,且不定式为∞∞型时,如果分子次数高于分母次数时结果为∞；如果分子次数低于分母次数时结果为0；如果分子次数等于分母次数时结果为分子分母最高次数系数比．例 14 求16235lim 434--+-∞→x x x x x解 原式=4431621135limxx x x x --+-∞→ =652.2 洛必达法则定理[3]P(128)（洛必达法则）若函数f 和g 满足： （ⅰ）)(lim 0x f x x +→= )(lim 0x g x x +→=∞；（ⅱ）在0x 的某右邻域)(00x U +内两者都可导,且0)(≠'x g ； （ⅲ）A x g x f x x =''+→)()(lim（A 可为实数也可为∞∞±,）； 则A x g x f x g x f x x x x =''=++→→)()(lim )()(lim 00． 若∞∞型不定式极限分子分母的导数容易求得,且经过有限次求导后能求出结果,则用此方法来计算．运用此方法解此类型不定式极限和用此方法解0型不定式极限注意事项类似．例 15 求xxx ln lim ∞→解 原式=xx 11lim∞→=∞=∞→x x lim 2.3 分子分母都除以分子分母中趋向∞较快的项例 16 112535lim ++∞→++x x xx x解 原式=51)52(1)53(5151lim 1=+++∞→x xx2.4 用迫敛定理求极限如果直接求不定式极限很难求,可以考虑把不定式适当放大或缩小,若放大或缩小后的两个极限容易求出,并且极限值相同,可用迫敛定理去解．例 17 求xx x ][lim∞→解 因为x x x ≤≤-][1,当x >0时,1][11≤≤-x x ,1)11(lim =-∞→xx由迫敛定理得xx x ][lim ∞→=1当x <0时,1≤x x x 11][-≤,1)11(lim =-∞→xx 由迫敛定理得xx x ][lim ∞→=1例18 求4sin lim 2-+∞→x xx x解 因为44sin 4222-≤-≤--x xx x x x x ,04lim 4lim 22=-=--+∞→+∞→x x x x x x 由迫敛定理,所以4sin lim 2-+∞→x xx x =0 3 其它类型的不定式极限不定式极限还有∞⋅0,∞1,00,0∞ ,∞-∞等类型,经过简单变换,它们均可化为00型或∞∞型极限．例 19 x x sin lim 0→﹒x ln解 这是一个∞⋅0型的不定式极限原式=xx x sin 1ln lim 0→=x x xx 20sin cos 1lim -→=xx x x x sin .cos sin lim 0-→=0例 20 x x x ln )arctan 2(lim ⋅-∞→π解 这是一个0﹒∞型的不定式极限原式=xx x ln 1arctan 2lim -∞→π=x x xx 22ln 112lim -+-∞→=221ln 2lim x x x x +∞→=x x x x 2ln 4ln 2lim 2+∞→=212ln 22lim x xx x +∞→=x x x 1ln 2lim +∞→=x x 12lim ∞→=0 例 21 xx x 12)1(lim ++→分析 这是一个∞1型不定式极限,计算这类极限用到第二个重要极限e nnn =+∞→)11(lim 及公式的推广,或用取对数的方法去求解,如例22．解 原式=1})]1{[(lim 01202==++→e x x x x例 22 x x xx )111(lim 2+++∞→ 解 这是一个∞1型不定式极限,对求极限的部分取对数得=++x xx )111(2)111ln(2xx x e ++,对指数求导数)111ln(lim 2xx x x ++∞→=xx x x x 1ln )1ln(lim 22-++∞→ =12lim 12112lim 2222+++=--+++∞→∞→x x x x xx x x x x x 1=xx xx )111(lim 2++∞→=e 00,0∞类型也可以用取对数的方法化为0⋅∞型来计算．例 23 求1ln lim()xx x →∞+解 这是一个0∞型不定式极限x x x xe x x ln 12)1ln(ln 12)1(++=++x →∞x x→∞=1=于是有1ln lim()xx x e →∞=例 24 求sin 0lim xx x→解 这是一个00型不定式极限,sin sin ln xx x xe =00ln limsin ln lim1sin x x x x x x →→= xx x x 20sin cos 1lim -=→x x x x x cos sin lim 220⋅-=→ 0= 所以sin 00lim 1xx xe →==例 25 xx x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π解 这是一个00型不定式极限1ln (arctan )2xx π-=xx eln 1)arctan 2ln(-π1ln(arctan )ln 2x x eπ-=1ln(arctan )ln 2limx x x π-→+∞211()1arctan 2lim 1x x xxπ→+∞⋅-+-=21limarctan 2x x x xπ→+∞-+=-2222211)1(21lim x x x x x ++-+=+∞→221lim 1x x x →+∞-=+1=- 所以原式=1e - 例26 011lim()1xx x e →-- 这是一个∞-∞型不定式极限,把它化成型来计算． 解 原式01lim (1)x x x e xx e →--=- 01lim 1x x x x e e xe →-=-+ 0lim 2x x x x e e xe →=+01lim 2x x →=+12= 以上就是对几种常见的不定式极限的解题方法进行了归纳总结,我们可以看出数学问题千变万化,解题方法灵活多样,并且在一题中还会用到到多种方法,具体用哪种方法因题而异.我们在理解掌握的基础上,灵活运用这些方法技巧,去解决一些不定式极限问题,并加以比较总结,有助于提高学习效率,收到意想不到的效果．。