(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测

课时达标检测（四十八） 随机事件的概率
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 随机事件的频率与概率
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
A ．0.35
B ．0.45
C ．0.55
D ．0.65
解析：选B 数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝9
20
＝0.45，故选B.
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A ．134石
B ．169石
C ．338石
D ．1 365石
解析：选B 这批米内夹谷约为28
254
×1 534≈169石，故选B .
3．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )
A.25
B.12
C.23
D.13
解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为2
5，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，
其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为2
5
.
4．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )
A．49 B．0.5
C．0.51 D．0.49
解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51
100
＝0.51.
对点练(二) 互斥事件与对立事件
1．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是( )
A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件
C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件
解析：选A 事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件，显然A与C 不是互斥事件，更不是对立事件．
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥但非对立事件B．对立事件
C．相互独立事件D．以上都不对
解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
解析：选D 对于A，两事件是包含关系，对于B，两事件是对立事件，对于C，两事件可能同时发生．故选D.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为( ) A．0.95 B．0.97
C ．0.92
D ．0.08
解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
5．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤54，43 解析：选D
由题意可得⎩⎨⎧
0<P A <1，
0<P B <1，
P A ＋P B
≤1，
即⎩⎨⎧
0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，
解得54<a ≤43
.
6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2
＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为1
15，则取得两个同颜色的球的
概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝8
15.由于事件A “至
少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝14
15
.
答案：815 14
15
8．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1
y
，则x ＋y 的最小值为________．
解析：由题意，x >0，y >0，4x ＋1y
＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4y x ＋x y ≥9，当且仅
当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.
答案：9
[大题综合练——迁移贯通]
1．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝2
3
.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋60
1 000
＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.
2．某校有教职工500人，对他们的年龄状况和受教育程度进行调查，其结果如下：
(1)50岁以上具有专科或专科以上学历； (2)具有本科学历；
(3)不具有研究生学历．
解：(1)设事件A 表示“50岁以上具有专科或专科以上学历”， P (A )＝60＋10＋2500
＝0.144.
(2)设事件B 表示“具有本科学历”， P (B )＝50＋20＋10500
＝0.16.
(3)设事件C 表示“不具有研究生学历”，
P (C )＝1－
35＋13＋2
500
＝0.9. 3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.
已
知
近
20
年
X 的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表
(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)由已知可得Y ＝2
＋425，
故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)
＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310
.
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