预应力混凝土桥梁徐变分析的全量形式自动递进法_胡狄
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( i = 1,2,Λ , n )，设混凝土应力在时段( ti−1 ， ti )内线 性变化，将(1)式右端积分项在时段( ti−1 ，ti )内写成
代数形式：
∫t to σ c (τ ) d J (t,τc (ti ) + σ c (ti−1 )
ti d J (t,τ )
Abstract: A novel automatically step-up method (ASUM) to analyze creep and shrinkage effects at any time is presented. The relationship between stress and strain of concrete in prestressed concrete bridges is written as algebraic form within load duration and the equilibrium equations of internal force and compatibility conditions are introduced. The influences of sectional characteristics, steel arrangement, steel ratio, stress losses of tendons and the change of concrete modulus with time are considered, and various expressions of creep and shrinkage are allowed for based on the established equations, it is easy to calculate both total stresses and strains of concrete and steel and total deflection of bridge. Comparison between theoretical values and experimental data shows that agreeable results will be obtained by easy precision control through further dividing the time period. The method in this paper can be computerized and incorporated into nowadays commonly-used software packages for bridge structural analysis to perform reliable creep analysis.
可按文献[10]计算， λr (t) 为考虑收缩、徐变影响的
折减系数；ξ
= 1−
E pσ p,c (t0 ) Ec (t0 )σ p (t0 )
，σ
p,c (t0 )
、σ
p (t0)
为
预应力钢筋重心处混凝土与力筋的初始应力。
由(3)、(4)、(5)式可推得 t 时刻距混凝土截面重
心 O 点 y 处混凝土的应力为：
程：
N c (t) + N s1 (t) + N s2 (t) + N p (t) = N 0
(3)
M c (t) + M s1 (t) + M s2 (t) + M p (t) = M 0
(4)
下标“c”代表混凝土，“p”、“s”分别代表预
应力钢筋与非预应力钢筋。
预应力混凝土桥梁徐变分析的全量形式自动递进法
ti −1
∑ =
n i=1
1 2
[σ
c
(ti
)
+σ
c
(ti−1 )]⋅[J (t, ti
)
−
J (t, ti−1 )]
记 σ c (ti ) = σi ， ε c (ti ) = ε i ， εsh (ti , t0) = εsh,i ，
J (t, ti ) = J n,i ，将上式代入(1)式，得
43
Ａｓ２
ｅｓ２
ｏ
ｅｓ１
ｅｐ
Ａｐ Ａｓ１
图 1 钢筋截面布置示意图
Fig.1 Schematic Diagram of Steel Arrangement
根据假定，钢筋与同一位置的混凝土变形相
同，则有如下关系：
ε s1(t) = ε c (t) + es1φ (t)
(5a)
ε s2 (t) = ε c (t) + es2φ (t)
陈政清(1947)，男，教授，博士，博士生导师，从事大跨度桥梁非线性及抗风研究
42
工程力学
1 引言
由于混凝土的徐变特性，桥梁结构中钢筋和混 凝土的应力随时间发生重分布，此时混凝土的应 力、应变关系中包含 Stieljes 积分，要得到闭合的 理论解较困难。徐变分析中常将应力、应变关系表 示为数值模型，包括计算时必须用到前面所有应力 历史的记忆模型和计算时只与当前状态及初始状 态相关的状态模型[1]。两种模型都有被广泛应用的 方法，前者如 Zienkiewicz 和 Waston[2]提出、Taylor[3]、 朱伯芳[4]等发展的基于徐变度指数或狄利克雷级数 表示式的增量形式递推法，后者如基于 Trost- Baz( ant 代 数 方 程 的 龄 期 调 整 有 效 模 量 法 (AAEM)[5]。通过建立递推公式等方法可以使计算时 不必记忆应力历史，且可以控制计算精度，亦不需 计算混凝土老化系数(若假定老化系数为常量，在 加载初期及当徐变系数终值较大时计算误差很可 能较大[6])，因而在较精细的分析中常被采用。一般 的桥梁结构在设计前通常不进行梁体实际采用的 混凝土在实桥工作环境下的徐变试验，进行桥梁徐 变分析的依据往往是规范提供的徐变特性表达式； 而目前各国规范[7,8,9]所提供的均是徐变系数和弹性 模量公式，且这些公式均非指数或狄利克雷级数的 形式，要将它们转化为指数或狄利克雷级数形式将 是困难的，亦是不必要的。因此，基于徐变度指数 或狄利克雷级数表示式的增量形式递推法在桥梁 徐变分析中的应用受到了极大的限制。针对预应力 混凝土桥梁结构的特点，本文提出了一种基于记忆 模型的全量形式自动递进法(ASUM)，计算时可同 时考虑混凝土弹性模量随时间的变化、徐变柔量 (或徐变系数、徐变度)的任何表达式、配筋率、预 应力钢筋松弛、混凝土收缩等影响，计算精度可通 过计算时间区段的细分而方便地控制。
混凝土的应力、应变关系为
ε
c
(t
)
=
σ
c (t Ec
0
)
[1
+
ϕ
(t,
t
0
)]
∫+
t to
1+ϕ Ec
(t,τ (τ )
)
d
σ
c
(τ
)
+
ε
sh
(t,
t0
)
(1)
t
∫ = σ c (t)J (t, t) − to σ c (τ ) d J (t,τ ) + ε sh (t, t0 )
式中
J
(t,τ
)
=
σ c, y (t) =
−(α
+
y r2
β )ε c (t) − (β
+
y r2
χ)φ(t) +ω( y, t) (6)
当 y=0，得 O 点处应力、应变关系：
σ c,0 (t) = −α ⋅ε c (t) − β ⋅φ (t) +ω (0, t)
(7)
式中
α = Es µ s1 + Es µ s2 + E p µ p
∑ ε n
= σ n J n,n
n
−
i =1
1 2
(σ
i
+ σ i−1 )(J n,i
− J n,i−1 ) + ε sh,i
=
1 2
[σ n (J n,n
+
J n,n−1 ) + σ 0 (J n,0
−
J n,1 )]
∑ +
1 2
n −1
(J n,i−1
i=1
−
J n,i+1 )σ i
+ ε sh,i
β = Es µ s1es1 + Es µ s2es2 + E p µ p e p
χ
=
E s µ s1es21
+
E s µ s2 es22
+
E
p
µ
p
e
1 + ϕ(t,τ Ec (τ )
)
为混凝土徐变柔量，σ
c
(τ
)
为
τ 时刻混凝土应力， Ec (τ ) 为 τ 时刻混凝土弹性模
量，ϕ (t,τ ) 为τ 时刻加载至 t 时刻混凝土的徐变系
数， εsh (t, t0) 为混凝土的收缩应变。 将 (t0 , t) 时 段 分 成 n 个 小 时 段 ( ti−1 , ti )
记 Kn,n = Jn,n + Jn,n−1 ，Kn,i = Jn,i−1 − Jn,i+1 ，并设 i ≤ 0
时有 J n,i = J n,0 ，则
∑ εn
=
1 2
(Kn,nσ n
n −1
+ Kn,iσ i ) + εsh,i
i=0
(2)
2.2 满足截面内力与变形协调的混凝土应力、应变
约束方程
桥梁结构(按典型的一层预应力钢筋与两层普 通钢筋考虑，见图 1)。在恒定外荷载 N0 、M 0 作用 下，某截面在任意 t ( > t0 )时刻的内力满足下列方
代数形式：
∫t to σ c (τ ) d J (t,τc (ti ) + σ c (ti−1 )
ti d J (t,τ )
Abstract: A novel automatically step-up method (ASUM) to analyze creep and shrinkage effects at any time is presented. The relationship between stress and strain of concrete in prestressed concrete bridges is written as algebraic form within load duration and the equilibrium equations of internal force and compatibility conditions are introduced. The influences of sectional characteristics, steel arrangement, steel ratio, stress losses of tendons and the change of concrete modulus with time are considered, and various expressions of creep and shrinkage are allowed for based on the established equations, it is easy to calculate both total stresses and strains of concrete and steel and total deflection of bridge. Comparison between theoretical values and experimental data shows that agreeable results will be obtained by easy precision control through further dividing the time period. The method in this paper can be computerized and incorporated into nowadays commonly-used software packages for bridge structural analysis to perform reliable creep analysis.
可按文献[10]计算， λr (t) 为考虑收缩、徐变影响的
折减系数；ξ
= 1−
E pσ p,c (t0 ) Ec (t0 )σ p (t0 )
，σ
p,c (t0 )
、σ
p (t0)
为
预应力钢筋重心处混凝土与力筋的初始应力。
由(3)、(4)、(5)式可推得 t 时刻距混凝土截面重
心 O 点 y 处混凝土的应力为：
程：
N c (t) + N s1 (t) + N s2 (t) + N p (t) = N 0
(3)
M c (t) + M s1 (t) + M s2 (t) + M p (t) = M 0
(4)
下标“c”代表混凝土，“p”、“s”分别代表预
应力钢筋与非预应力钢筋。
预应力混凝土桥梁徐变分析的全量形式自动递进法
ti −1
∑ =
n i=1
1 2
[σ
c
(ti
)
+σ
c
(ti−1 )]⋅[J (t, ti
)
−
J (t, ti−1 )]
记 σ c (ti ) = σi ， ε c (ti ) = ε i ， εsh (ti , t0) = εsh,i ，
J (t, ti ) = J n,i ，将上式代入(1)式，得
43
Ａｓ２
ｅｓ２
ｏ
ｅｓ１
ｅｐ
Ａｐ Ａｓ１
图 1 钢筋截面布置示意图
Fig.1 Schematic Diagram of Steel Arrangement
根据假定，钢筋与同一位置的混凝土变形相
同，则有如下关系：
ε s1(t) = ε c (t) + es1φ (t)
(5a)
ε s2 (t) = ε c (t) + es2φ (t)
陈政清(1947)，男，教授，博士，博士生导师，从事大跨度桥梁非线性及抗风研究
42
工程力学
1 引言
由于混凝土的徐变特性，桥梁结构中钢筋和混 凝土的应力随时间发生重分布，此时混凝土的应 力、应变关系中包含 Stieljes 积分，要得到闭合的 理论解较困难。徐变分析中常将应力、应变关系表 示为数值模型，包括计算时必须用到前面所有应力 历史的记忆模型和计算时只与当前状态及初始状 态相关的状态模型[1]。两种模型都有被广泛应用的 方法，前者如 Zienkiewicz 和 Waston[2]提出、Taylor[3]、 朱伯芳[4]等发展的基于徐变度指数或狄利克雷级数 表示式的增量形式递推法，后者如基于 Trost- Baz( ant 代 数 方 程 的 龄 期 调 整 有 效 模 量 法 (AAEM)[5]。通过建立递推公式等方法可以使计算时 不必记忆应力历史，且可以控制计算精度，亦不需 计算混凝土老化系数(若假定老化系数为常量，在 加载初期及当徐变系数终值较大时计算误差很可 能较大[6])，因而在较精细的分析中常被采用。一般 的桥梁结构在设计前通常不进行梁体实际采用的 混凝土在实桥工作环境下的徐变试验，进行桥梁徐 变分析的依据往往是规范提供的徐变特性表达式； 而目前各国规范[7,8,9]所提供的均是徐变系数和弹性 模量公式，且这些公式均非指数或狄利克雷级数的 形式，要将它们转化为指数或狄利克雷级数形式将 是困难的，亦是不必要的。因此，基于徐变度指数 或狄利克雷级数表示式的增量形式递推法在桥梁 徐变分析中的应用受到了极大的限制。针对预应力 混凝土桥梁结构的特点，本文提出了一种基于记忆 模型的全量形式自动递进法(ASUM)，计算时可同 时考虑混凝土弹性模量随时间的变化、徐变柔量 (或徐变系数、徐变度)的任何表达式、配筋率、预 应力钢筋松弛、混凝土收缩等影响，计算精度可通 过计算时间区段的细分而方便地控制。
混凝土的应力、应变关系为
ε
c
(t
)
=
σ
c (t Ec
0
)
[1
+
ϕ
(t,
t
0
)]
∫+
t to
1+ϕ Ec
(t,τ (τ )
)
d
σ
c
(τ
)
+
ε
sh
(t,
t0
)
(1)
t
∫ = σ c (t)J (t, t) − to σ c (τ ) d J (t,τ ) + ε sh (t, t0 )
式中
J
(t,τ
)
=
σ c, y (t) =
−(α
+
y r2
β )ε c (t) − (β
+
y r2
χ)φ(t) +ω( y, t) (6)
当 y=0，得 O 点处应力、应变关系：
σ c,0 (t) = −α ⋅ε c (t) − β ⋅φ (t) +ω (0, t)
(7)
式中
α = Es µ s1 + Es µ s2 + E p µ p
∑ ε n
= σ n J n,n
n
−
i =1
1 2
(σ
i
+ σ i−1 )(J n,i
− J n,i−1 ) + ε sh,i
=
1 2
[σ n (J n,n
+
J n,n−1 ) + σ 0 (J n,0
−
J n,1 )]
∑ +
1 2
n −1
(J n,i−1
i=1
−
J n,i+1 )σ i
+ ε sh,i
β = Es µ s1es1 + Es µ s2es2 + E p µ p e p
χ
=
E s µ s1es21
+
E s µ s2 es22
+
E
p
µ
p
e
1 + ϕ(t,τ Ec (τ )
)
为混凝土徐变柔量，σ
c
(τ
)
为
τ 时刻混凝土应力， Ec (τ ) 为 τ 时刻混凝土弹性模
量，ϕ (t,τ ) 为τ 时刻加载至 t 时刻混凝土的徐变系
数， εsh (t, t0) 为混凝土的收缩应变。 将 (t0 , t) 时 段 分 成 n 个 小 时 段 ( ti−1 , ti )
记 Kn,n = Jn,n + Jn,n−1 ，Kn,i = Jn,i−1 − Jn,i+1 ，并设 i ≤ 0
时有 J n,i = J n,0 ，则
∑ εn
=
1 2
(Kn,nσ n
n −1
+ Kn,iσ i ) + εsh,i
i=0
(2)
2.2 满足截面内力与变形协调的混凝土应力、应变
约束方程
桥梁结构(按典型的一层预应力钢筋与两层普 通钢筋考虑，见图 1)。在恒定外荷载 N0 、M 0 作用 下，某截面在任意 t ( > t0 )时刻的内力满足下列方
