九年级数学 专题 相似三角形经典大题练习-T copy
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1 1 3 所以 S△BPQ= 2 ×BP×QE= 2 (6-t)× 3 t=－ 2 t2+3 3 t；
(3)因为 QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,
1 所以△QRC 是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQ·cos600= 2 ×2t=t,
s
1 2t (8 )(12 t ) 2 3
t2 3
8t 48
3 厘米， AB a 厘米（ a 3 ） A， ．动点 M，N 同时从 B 点出发，分别沿 B B C 运动，速度是 1 厘米／秒．过 M 作直线垂直于 AB ，分别交 AN ，CD 于 P，Q ．当点 N 到达终点 C 时， 点 M 也随之停止运动．设运动时间为 t 秒． （1）若 a 4 厘米， t 1 秒，则 PM ______厘米； （2）若 a 5 厘米，求时间 t ，使 △PNB ∽△PAD ，并求出它们的相似比； （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围；
【答案】 解： （1）AO = BD，AO⊥BD； （2）证明：如图 4，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于 E，∴∠ACO = ∠BEO． 又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， M ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． D 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． 2 ∴∠DEB = 45°． E ∵∠2 = 45°，∴BE O = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图 4．∵BE B A ∥AC，∴∠ AFD 1 = 90°．∴AC⊥ BD． C F （3）如图 5，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于 E，∴∠BEO = ∠ACO． N 图4 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．
（第 26 题 图 1）
A
F
x
.7．在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交 于点 O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系； （2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到 图 15-2，其中 AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD； （3）将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到 BD 图 15-3，求 AC 的值．
相似三角形经典大题练习
1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ，
B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一 M N 中， 动点 （点 M 与点 A、B 不重合） ， 过点 M 作 MN ∥ BC ， 交 AC 于点 N ， 在 △A 设 MN 的长为 x ，MN 上的高为 h ． （1）请你用含 x 的代数式表示 h ．
所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP∥QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形, 所以 PR=EQ= 3 t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,
6 2t QR 所以∠QPR=∠A=600,所以 tan600= PR ,即 3t 6 所以当 t= 5 时, △APR～△PRQ
的边 上的高为 ，
x 8) ，
设 则
h1
2h 6
EF ∥ MN
3 x 6 2 △A1EF ∽△A1MN
△A1MN ∽△ABC
△A1EF ∽△ABC
S△ A1EF S△ABC
h1 6
2
S△ ABC
1 6 8 24 2
S△A1EF
3 2 x 8
(4
3 x 6 2 6
2
24
3 2 x 12 x 24 2
y
秒，矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围．
y
y
l2
E C D
l1 y
A O
Bx F（G）
2 8 x 3 【答案】 （1）解：由 3
由 2 x 16 ∴
0，
得x
AB 8
y
0， 得 x 8． B 点坐标为 4 12．
4． A 点坐标为 8， 0．
1 2 5 m m 2 2 则 P 点的纵坐标为 2 ， 当 1 m 4 时， 1 2 5 PM m m 2 AM 4 m ， 2 2 ． COA PMA 90 ° 又 ， AM AO 2 ①当 PM OC 1 时， △APM ∽△ACO ，
4 m
即 解得
2
1 2 m 2
m1
2，m2
5 m 2 2 ． 4 1) ． （舍去） ， P(2，
1 2 m 2 5 m 2 2 ．
AM OC 1 2(4 m) OA 2 时， △APM ∽△CAO ，即 ②当 PM m1 4 m2 5
解得 ， （均不合题意，舍去）
1) ． 4 时， P(2， 类似地可求出当 m 4 时， P(5， 2) ．
当1 m 当 m 1 时， P( 3， 14) ．
1) 或 (5， 2) 或 ( 3， 14) ． 综上所述，符合条件的点 P 为 (2，
t 6a (a t ) 3 t t 2 3 ，所以 a 2 3 ． a 6 a 代入，解之得 a ，把 所以，存在 a ，当 a 2 3 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、梯形 PQCN 的面积相等．
PM
3 A
M
5．如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动， 其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时 间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t＝2 时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式；
3
6 ,所以 t= 5 ,
6．在直角梯形 OABC 中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3 5．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系． （1）求点 B 的坐标； （2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F．求直线 DE 的解析式； （3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N．使以 O、D、M、N 为顶点 的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． y M B C D E N O
（3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△APR∽△PRQ？
【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又 因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t·sin600= 3 t,由 AP=t,得 PB=6-t,
（2）将 △AMN 沿 MN 折叠，使 △AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面的点为 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值为多少？
A1 ，△A1MN
MN ∥ BC △AMN ∽△ABC h x 6 8 3x h 4 △AMN ≌△A1MN （2）
【答案的高为 h ，
① 当点 A1 落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时， 1 1 3 3 2 · h x · x x y S△ A1MN 2 MN 2 4 8 （0 x ≤ 4 ） =
② 当 A1 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4 △ A1EF h1 EF
4， 0．
x 5， 5， 6． y y 6． 由 解得 ∴ C 点的坐标为 1 1 S△ ABC AB · yC 12 6 36． 2 2 ∴ 2 8 xD xB 8， yD 8 8． l 3 3 （2）解：∵点 D 在 1 上且
∴ D 点坐标为 又∵点 E 在 2 上且 ∴ E 点坐标为 ∴ OE
2 8 x ， 3 3 2 x 16．
8， 8．
8， 2 xE 16 8． xE 4．
l
yE
yD
4， 8．
8 4 4，EF 8． （3）解法一： ① 当 0 ≤ t 3 时，如图 1，矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分为五边形 CHFGR （ t AB 于 M ，则 Rt△RGB ∽ Rt△CMB． 为四边形 CHFG ） ．过 C 作 CM y y y l2 l2 l2 y l1 y y l1 l1 E E E D D
C D y R A O F MG Bx C R A F OG M （图 2） y R Bx F AG O M B x （图 3） C y
0 时，
（图 1）
BG RG t RG ， ， 6 ∴ RG ∴ BM CM 即 3 Rt△AFH ∽ Rt△AMC，
∴ 即
2t．
1 1 t 2t 8 t 2 2 2 8 t ． 3
A
y
3 2 x 8 ，取 x
4 ， y最大
6
M
N
B
E A1
F
C
0) B(1，， 0) C(0， 2) 三点． 2．如图，抛物线经过 A(4，， （1）求出抛物线的解析式；
（2） P 是抛物线上一动点， 过 P 作 PM x 轴， 垂足为 M， 是否存在 P 点， 使得以 A， P， M 为顶点的三角形与 △OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
