三角函数的最值(专题)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键． 二．解题策略类型一 与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π B. 38π C. 8π D. 58π 【答案】C【指点迷津】()sin()f x A x ωϕ=+具有奇偶性时，k ϕπ=（k z ∈）或2k πϕπ=+（k z ∈）.【举一反三】1、【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】B【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数：()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()22k πZ 3k πϕ+=∈，， k π23πϕ=-， ()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时， ϕ的最小值为6π 故选：B2、【河南省2018届高三12月联考】若函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线x m =（0m <）对称，则m 的最大值为（ ） A. 4π-B. 1112π-C. 512π-D. 712π- 【答案】C【解析】由题意得， ()232m k k Z πππ+=+∈，即()212k m k Z ππ=+∈， 0m <Q ， 1k ∴=-时， m 的最大值为512π-. 3、【2018河南省林州市第一中学模拟】定义运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()3sin (0)1cos wxf x w wx=>的图象向左平移23π个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则w 的最小值是（ ） A. 14 B. 54 C. 74 D. 34【答案】B令0k =可得ω的最小值为54. 本题选择B 选项.类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 15[24⎤⎥⎦， B. 13[ 24⎤⎥⎦， C. 102⎛⎫⎪⎝⎭， D. ](0 2， 【答案】A【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键． 【举一反三】1、【皖江名校2018届高三12月份大联考】若函数()2sin 0y x ωω=>的图象在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点，则ω的取值范围为（ ） A. 312ω<≤ B. 332ω<≤ C. 34ω≤< D. 3922ω≤< 【答案】B【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是2x πω=-，所以有32{62ππωππω-⨯<-⨯≤得332ω<≤。

强化专题1三角函数中的最值问题【方法技巧】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.【题型目录】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题三、含sin x ±cos x ，sin x cos x 的最值问题四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题五、函数图象平移问题的最值六、ω的最值问题【例题详解】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题1．已知()ππ2sin cos 26f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最大值为（）A ．12B ．2C ．1D2．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为________________．3．函数2cos cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪的最大值是_______．4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 在区间,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为______.5．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题1．当x ∈π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________．又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝x ＋78，所以当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.即函数的值域为78，2.2．已知函数()22cos 2cos f x x x =-+，[]0,x a ∈的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为__________.3．函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-的最大值为__，取得最大值时对应的x =_______．4．已知函数2()4tan 4tan 3(0)2f x x x x π=-+<<，当x θ=时，()f x 取得最小值，则tan(4πθ+=__________．【答案】3【分析】根据x 的取值范围求得tanx 的范围，将tanx 视为一个整体，利用二次函数的最值，求得tan θ的值，再利用两角和的正切公式，求解即可.5．函数2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥y x x x ππ的值域为________．6．若方程2cos sin 0x x a -+=在,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是______．三、含sin x±cos x，sin x cos x的最值问题1．函数2sin cos2y x x x x=+的最大值为（）A．52B．3C．72D．42．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【答案】－1＋222，1【详解】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222.∴函数的值域为－1＋222，1.3．若π03x <≤，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是___________.4．函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭的最小值为___________________．【答案】-1【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数为()sin cos sin cos f x x x x x =++，令sin cos x x t +=，5．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪R 的值域为___________.6．已知函数1sin cos (),sin cos x xf x x R x x+=∈，则()y f x =的值域为_______．所以(][)1,22,y t t=+∈-∞-⋃+∞，所以(][)11,11,y t ⎛⎫=+∈-∞-⋃+∞ ⎪，7．函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．8．若()sin cos 2sin cos a x x x x +≤+对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．522D ．524四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题1．函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+C ．[]0,4D ．[]0,22．函数2cos2cos xy x+=的最大值为__________；3．求下列函数的值域：（1）sin 2sin 1x y x -=-；（2）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-x y x x π.五、函数图象平移问题的最值1．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．设函数5()sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π3．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2【答案】A22故ϕ的取值范围是[),2ππ故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.4．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿水平方向平移ϕ个单位后得到的图象关于直线4x π=对称（0ϕ>向左移动，0ϕ<向右移动），当ϕ最小时，则ϕ=（）A ．3πB ．12π-C ．6πD ．3π-5．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，且23f ⎛⎫=⎪⎝⎭.将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的18，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图像；若()()129g x g x =，1x ，250,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．34πC ．32πD ．2π6．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．34πB ．4πC ．78πD ．8π7．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是sin y A x ω=，已知函数()()()2sin 2ππf x x =+-≤≤f f 的图像向右平移5π12个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图像重合，且()f x 在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π8．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．18π9．将函数()2cos f x x =的图象先向右平移()0ϕϕπ<<个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若对()g x 满足()()124g x g x -=，有12min4x x π-=恒成立，且()g x 在区间()63ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围是（）A ．[]123ππ，B ．[]32ππ，C ．2(]33ππ，D ．2[]33ππ，六、ω的最值1．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A ．12B ．3C ．6D ．9则6,k k Z ω=∈，又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值为6故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移知识，以及余弦函数的周期，关键在于重合的条件，相当于加上的是周期，属基础题.2．已知函数()sin()(0,0)f x A x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥B ．31,2⎡⎤⎢⎥C ．35,22⎡⎤⎢⎥D ．30,2⎛⎤ ⎥3．已知函数()()sin 0f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()1f x =在区间[0,2]π上有且仅有一解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎤ ⎥B ．33,42⎛⎫ ⎪C ．15,44⎡⎫⎪⎢D ．13,44⎡⎤⎢⎥4．函数sin(0)3y x πωω=->的图象向左平移4π个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 为奇函数，则ω的最小值为（）A ．12B ．43C ．13D ．565．已知函数()tan f x x ω=在(,22ππ-内是减函数，则ω的取值范围是（）A ．01ω<≤B ．10ω-≤<C ．20ω-≤<D．102ω<≤6．已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ϕ的取值范围为（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥7．已知函数()()cos (0)2f x x πωϕωϕ=+>≤，，8x π=-是()y f x =的零点，直线38x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且函数()f x 在区间51224ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值是（）A ．9B ．7C ．5D ．38．已知函数()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ω>0），对任意x ∈R ，都有()f x ≤3f ⎛⎫⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．99．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥，上单调递增，则ω取值范围为_____。

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

3c
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。 由 0≤x ≤
,可 得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所 以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所 以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题 型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。 当 x ∈
[0,712π] 时,函 数 f(x)的 最 小 值 和 最 大 值 分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac

专题52 正、余弦函数的单调性与最值一．正弦函数、余弦函数的图象和性质[－1，1][－1，1](1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 类型一 求单调区间1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________．3．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．4．求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．5．求下列函数的单调区间．(1)y ＝cos2x ；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ；(3) y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π36．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________．7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，08．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π2，2π310．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，5π12 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，11π12D.⎣⎡⎦⎤π6，π2 11．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]；(2)y ＝log 12sin x .12．函数y ＝log 2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递增区间是________．13．求下列函数的单调递增区间(3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；14．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，0 B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤－π2，0及⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦⎤－π2，0∪⎣⎡⎦⎤π2，π15．求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．16．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π217．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos2x | B ．f (x )＝|sin2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |18．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x219．下列函数在⎣⎡⎦⎤π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x20．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增21．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间．类型二 利用单调性求参1．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．2．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于___．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32.5．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是() A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．题型二 利用三角函数的单调性比较大小1．sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.2．比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7；(2)sin194°与cos160°；(3) cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π73．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π.4．比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.5．比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.6．sin 2π7________sin ⎝⎛⎭⎫－15π8(填“＞”或“＜”)．7．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°8．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________．9．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_________．10．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 111．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,12．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值分别为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)3．y ＝2cos x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R4．y ＝a cos x ＋1的最大值为5，则a ＝________.5．设函数f (x )＝A ＋B sin x ，当B <0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________.6．函数f (x )＝sin(π6＋x )＋cos(π3－x )的最大值为( )A ．1 B.32C. 3 D ．27．函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 59．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，110．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值．11．求下列函数的最大值和最小值． f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π212．求下列函数的值域：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；13．求函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最值．14．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．16．求下列函数的最值y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.17．函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________．18．求下列函数的最大值和最小值． y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.19．求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．20．求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．21．求下列函数的值域： y ＝cos 2x －4cos x ＋5.22．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．23．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.24．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．1225．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．26．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．27．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．。

例题1、已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．
练习1、已知函数2()3sin 22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）
若[,]63x π
π
∈-，求()f x 的值域.
练习2、已知函数23
cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈．
（Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π
∈x ，求)(x f 的最大值；
练习3、已知函数
（1）求的最大值及最小值；
（2）若不等式|f (x )－m|<2恒成立， 求实数m 的取值范围
练习4、函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．
练习5、设426
f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域
（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上为增函数，求 ω的最大值.
练习6、
已知π
sin()4A +=，ππ(,)42
A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+
的值域．。

专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。

三角函数最值问题的几种常见类型1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可：y=22a b +sin(x+φ)，其中tan ba φ=例1.已知函数f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x 的值； 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。

特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。

例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。

3．y=asin 2x+bcosx+c 型的函数 特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。

例3. 是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+a ·cosx+85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由. 4．y=sin cos a x cb x d++型的函数特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。

几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。

例4．求函数y=2sin 2cos xx--的最大值和最小值。

5．含有sinx 与cosx 的和与积型的函数式。

其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx 与sinxcosx 的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。

例5．求y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

4.9 三角函数的最值●知识梳理1.y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法.常转化为y =22b a +sin （x +ϕ），其中tan ϕ=ab . 2.y =a sin 2x +b sin x +c 型.常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型.3.y =d x c bx a ++cos sin 型.（1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解. 4.利用单调性. ●点击双基 1.若0＜α＜β＜4π，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则 A.a ＜b ＜1 B.a ＞b ＞1 C.ab ＜1D.ab ＞1解析：a =2sin （α+4π），b =2sin （β+4π），0＜α+4π＜β+4π＜2π，∴1＜a ＜b ，ab ＞1.答案：D2.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是 A.212- B.－221+ C.－1D.221- 解析：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45. ∴当x =－4π时，y min =221-.答案：D3.函数y =x －sin x 在［2π，π］上的最大值是 A.2π－1 B.2π3+1 C.2π3－22D.π解析：y =x －sin x 在［2π，π］上是增函数，∴x =π时，y max =π. 答案：D 4.y =xxsin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________.解析一：y =x x sin 22sin 2+-+=1－xsin 22+.当sin x =－1时，得y min =－1， 当sin x =1时，得y max =31.解析二：原式⇒sin x =yy-12（∵y ≠1）⇒|y y -12|≤1⇒－1≤y ≤31. ∴y max =31，y min =－1.答案：31－15.y =xxsin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________.解析一：y =xxsin cos 2-⇒y sin x +cos x =2⇒21y +sin （x +ϕ）=2⇒sin （x +ϕ）=212y+（x ∈（0，π））⇒0＜212y+≤1⇒y ≥3.∴y min =3.解析二：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹 ⎩⎨⎧='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A （－23，21）时，y min =k AB =3.答案：3●典例剖析【例1】 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值.剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论. 解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3；当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3.当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.【例2】 求函数y =cot 2xsin x +cot x sin2x 的最值. 剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 解：y =x x sin cos 1+·sin x +xxsin cos ·2sin x cos x =2（cos x +41）2+87. ∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1. ∴当cos x =－41时，y 有最小值87，无最大值. 评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件. 【例3】 求函数y =xxcos 2sin 2--的最大值和最小值.剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.解法一：去分母，原式化为 sin x －y cos x =2－2y ，即sin （x －ϕ）=2122yy +-.故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+. ∴y max =374+，y min =374-. 解法二：令x 1=cos x ，y 1=sin x ，有x 12+y 12=1.它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可.由21|22|k k +-=1，得k =374±.n )x∴y max =374+，y min =374-. 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.●闯关训练 夯实基础1.函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－6π，4π］时的值域为 A.［－1，0］ B.（－1，0］ C.［0，1）D.［0，1］解析：y =log 2（1－sin 2x ）=log 2cos 2x . 当x =0时，y max =log 21=0； 当x =4π时，y min =－1.∴值域为［－1，0］. 答案：A2.当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是 A.23 B.－23 C.13 D.4解析：y =13sin （ϕ－x ）（其中tan ϕ=32）.y 有最大值时，应sin （ϕ－x ）=1⇒ϕ－x =2k π+2π⇒－x =2k π+2π－ϕ. ∴tan x =－tan （－x ）=－tan （2k π+2π－ϕ）=－cot ϕ=－ϕtan 1=－23.答案：B 3.函数y =2sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______.解析：∵y =2sin 1sin 3+-x x =2sin 72sin 3+-+x x ）（=3－2sin 7+x ，∴当sin x =1时，y max =3－37=32； 当sin x =－1时，y min =－4. 答案：32－4 4.在△ABC 中，a =sin （A +B ），b =sin A +sin B ，则a 与b 的大小关系为_______. 解析：a =sin A cos B +cos A sin B ＜sin A +sin B =b . 答案：a ＜b 5已知向量a =（cos θ，sin θ），向量b =（3，－1），则|2a －b |的最大值是____________. 解析：∵2a －b =（2cos θ－3，2sin θ+1），∴|2a －b |=22sin 23cos 2）（）（1++-θθ=）（3πsin 88-+θ≤4. ∴|2a －b |的最大值为4. 答案：46.求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域. 解：设t =sin x +cos x ，则t ∈［－2，2］. 由（sin x +cos x ）2=t 2⇒sin x cos x =212-t .∴y =1+t +212-t =21（t +1）2.∴y max =21（2+1）2=2223+，y min =0.∴值域为［0，2223+］.培养能力7.已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值. 解：令u =sin 2x +4sin 2x cos 2x ，则u =sin 2x +sin 22x =21（1－cos2x ）+（1－cos 22x ）=－cos 22x －21cos2x +23=－（cos2x +41）2+1625，得u max =1625.由y ≥u 知y min =1625. 8.已知向量a =（cos 23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin 2x），c =（3，－1），其中x ∈R .（1）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（2）求|a －c |的最大值.解：（1）由a ⊥b 得a ·b =0，即cos 23x cos 2x －sin 23x sin 2x=0.则cos2x =0，得x =2πk +4π（k ∈Z ）. ∴{x |x =2πk +4π，k ∈Z }为所求. （2）|a －c |2=（cos23x －3）2+（sin 23x +1）2=5+4sin （23x －3π）， ∴|a －c |有最大值3. 探究创新 9.设函数f （x ）=a sin ωx +b cos ωx （ω＞0）的最小正周期为π，并且当x =12π时，有最大值f （12π）=4. （1）求a 、b 、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f （α）=f （β）=0，求tan （α+β）的值.解：（1）由ωπ2=π，ω＞0得ω=2.∴f （x ）=a sin2x +b cos2x . 由x =12π时，f （x ）的最大值为4， 得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.3224232422b a b a b a ，（2）由（1）得f （x ）=4sin （2x +3π）. 依题意有4sin （2α+3π）=4sin （2β+3π）=0. ∴sin （2α+3π）－sin （2β+3π）=0. ∴cos （α+β+3π）sin （α－β）=0（和差化积公式见课本）. ∵α、β的终边不共线，即α－β≠k π（k ∈Z ）， 故sin （α－β）≠0. ∴α+β=k π+6π（k ∈Z ）.∴tan （α+β）=33.●思悟小结1.求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间. （1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性.（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响. 3.注意题中的隐含条件. ●教师下载中心 教学点睛1.建议让学生从做“点击双基”中体会总结方法.2.例题也可由学生独立完成，并从中总结方法. 拓展题例【例题】 （2001年春季全国）已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cos αcos βcos γ的最大值等于_______.解析：∵sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1， ∴3－（cos 2α+cos 2β+cos 2γ）=1.∴cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2≥33γβα222cos cos cos . ∴cos 2αcos 2βcos 2γ≤（32）3.∴cos αcos βcos γ≤332）（=3232=962. 答案：962。

专题一：闭区间三角函数的最值问题学法归纳：求三角函数的最值问题一般有两种基本类型：① 化为一个角的三角函数 ② 化为关于某三角函数的函数型闭区间三角函数的最值：在求三角函数的最值时，要注意三角函数的有界性，尤其是限制角的范围时更要考虑三角函数的取值范围。

典例分析：例1、已知函数bx a x f +-=)32sin(2)(π的定义域为],2,0[π函数的最大值为,1最小值为,5-求b a ,的值。

变式练习：1、求函数)66)(32sin(2πππ≤≤-+=x x y 的最大值和最小值。

例2、求]4,4[,sin cos )(2ππ-∈-=x x x x f 的最大值。

变式练习：2、]32,3[,2cos 4cos 32ππ∈-+=x x x y 的值域是_______________例3、（2010天津理）已知函数1cos2cos sin 32)(2-+=x x x x f 求函数)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值。

变式练习：3、（2009江西）若函数,20,cos )tan 31()(π<≤+=x x x x f 则)(x f 的最大值为（ ）A ．1 B ．2 C ．13+ D ．23+课后练习：１、函数)tan(cos x y =的值域为（ ） A ．]4,4[ππ-B ．]22,22[-C ．RD ．]1tan ,1tan [-2、函数3cos 2sin 22-+=x x y 的最大值为（ ） A ．1- B ．21 C ．21- D ．5-3、函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值和最大值分别为_________,_________.4、函数)326(),3cos(2πππ≤≤-=x x y 的最大值和最小值分别为________,_______. 5、求下列各函数的最大值、最小值，其中]6,6[ππ-∈x 。

（1）x y cos 21-=π（2）1cos cos 2++=x x y （3）x x y cos 3sin -=6、求函数],0[,3)6sin(2ππ∈++-=x x y 的最大值和最小值。

专题 求三角函数的最值问题
专题突破：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性，在求解时既要注意正、余弦函数的有界性，又要注意灵活选用方法。

一．利用sin 1,cos 1x x ＃求三角函数的最值
例1. 求函数3sin 1sin 2
x y x -=+的最值。

二．利用换元法求最值
例2.
求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值。

三．利用sin cos )(tan )b a x b x x a +=
+j j =其中来求最值 例3. 求函数sin 1cos 3
x y x -=-的最值。

四．利用给定区间的二次函数的性质求最值
例4．求函数223cos 4cos 1,,33y x x x 轾p p 犏=-+ 犏臌
的最大值与最小值。

五．形如22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的函数的最值
例5．已知函数22()sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+
+ ，求函数的最值。

六．给定区间的三角函数的最值 例6．已知函数()()2sin cos f x x x =p - ，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间
,62
轾p p 犏-犏臌上的最大值和最小值。

七．用几何法求三角函数的最值
例7.求函数2sin 2cos x y x -=-的最值。

微专题三角函数的范围与最值【秒杀总结】一、三角函数f(x)=A sin(ωx+φ)中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即T4+k T2(k∈Z)；4.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内单调⇒b-a≤T2且kπ-π2≤aω+φ≤bω+φ≤kπ+π2(k∈Z)5.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调⇒(a,b)内至少有一条对称轴，aω+φ≤kπ+π2≤bω+φ(k∈Z)6.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内没有零点⇒b-a≤T2且kπ≤aω+φ≤bω+φ≤(k+1)π(k∈Z)7.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内有n个零点⇒(k-1)π≤aω+φ<kπ(k+n-1)π<bω+φ≤(k+n)π(k∈Z) ．二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：(1)函数法；(2)导数法；(3)数形结合法；(4)基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，cos A=725，△ABC的内切圆的面积为16π，则边BC长度的最小值为( )A.16B.24C.25D.36【答案】A【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π，所以△ABC的内切圆半径为4．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．因为cos A=725，所以sin A=2425，所以tan A=247．因为S△ABC=12bc sin A=12(a+b+c)×4，所以bc=256(a+b+c)．设内切圆与边AC切于点D，由tan A=247可求得tan A 2=34=4AD，则AD =163．又因为AD =b +c -a 2，所以b +c =323+a ．所以bc =256323+2a =253163+a ．又因为b +c ≥2bc ，所以323+a ≥2253163+a ，即323+a 2≥1003163+a ，整理得a 2-12a -64≥0．因为a >0，所以a ≥16，当且仅当b =c =403时，a 取得最小值．故选：A ．例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2,-π4为f (x )的零点：且f (x )≤f π4 恒成立，f (x )在-π12,π24区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )A.11 B.13C.15D.17【答案】C【解析】由题意，x =π4是f (x )的一条对称轴，所以f π4 =±1，即π4ω+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ①又f -π4 =0，所以-π4ω+φ=k 2π,k 2∈Z ②由①②，得ω=2k 1-k 2 +1，k 1,k 2∈Z 又f (x )在-π12,π24 区间上有最小值无最大值，所以T ≥π24--π12 =π8即2πω≥π8，解得ω≤16，要求ω最大，结合选项，先检验ω=15当ω=15时，由①得π4×15+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ，即φ=k 1π-13π4,k 1∈Z ，又|φ|≤π2所以φ=-π4，此时f (x )=sin 15x -π4 ，当x ∈-π12,π24 时，15x -π4∈-3π2,3π8 ，当15x -π4=-π2即x =-π60时，f (x )取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3.(2023·高一课时练习)如图，直角ΔABC 的斜边BC 长为2，∠C =30°，且点B ,C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA =xOB +yOC ，(x ,y ∈R )，记M =OA ⋅OC，N =x +y ，分别考查M ,N 的所有运算结果，则A.M 有最小值，N 有最大值B.M 有最大值，N 有最小值C.M 有最大值，N 有最大值D.M 有最小值，N 有最小值【答案】B【解析】依题意∠BCA =30∘,BC =2,∠A =90∘，所以AC =3,AB =1.设∠OCB =α，则∠ABx =α+30∘,0∘<α<90∘，所以A 3sin α+30∘ ,sin α+30∘，B 2sin α,0 ,C 0,2cos α ，所以M =OA ⋅OC =2cos αsin α+30∘ =sin 2α+30∘ +12，当2α+30∘=90∘,α=30∘时，M 取得最大值为1+12=32.OA =xOB +yOC ，所以x =3sin α+30∘ 2sin α,y =sin α+30∘2cos α，所以N =x +y =3sin α+30∘2sin α+sin α+30∘ 2cos α=1+32sin2α，当2α=90∘,α=45∘时，N 有最小值为1+32.故选B .例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23 B.22C.3D.2【答案】D【解析】由a 2+b 2=1，令a =sin θ,b =cos θ，由f x =a sin x +b cos x +cx ，得f x =a cos x -b sin x +c =sin θcos x -cos θsin x +c =sin θ-x +c ，所以c -1≤f x ≤c +1由题意可知，存在x 1,x 2，使得f (x 1)f (x 2)=-1，只需要c -1 c +1 =c 2-1 ≥1，即c 2-1≤-1，所以c 2≤0，c =0，a +b +c =a +b =sin θ+cos θ=2sin θ+π4≤2所以a +b +c 的最大值为2.故选:D .例5.(2023·全国·高三专题练习)已知m >0，函数f (x )=(x -2)ln (x +1),-1<x ≤m ,cos 3x +π4,m <x ≤π,恰有3个零点，则m 的取值范围是( )A.π12,5π12 ∪2,3π4B.π12,5π12 ∪2,3π4C.0,5π12 ∪2,3π4D.0,5π12 ∪2,3π4【答案】A【解析】设g x =(x -2)ln (x +1)，h x =cos 3x +π4，求导g x =ln (x +1)+x -2x +1=ln (x +1)+1-3x +1由反比例函数及对数函数性质知g x 在-1,m ,m >0上单调递增，且g 12<0，g 1 >0，故gx 在12,1 内必有唯一零点x 0，当x ∈-1,x 0 时，g (x )<0，g x 单调递减；当x ∈x 0,m 时，g (x )>0，g x 单调递增；令g x =0，解得x =0或2，可作出函数g x 的图像，令h x =0，即3x +π4=π2+k π,k ∈Z ，在0,π 之间解得x =π12或5π12或3π4，作出图像如下图数形结合可得：π12,5π12∪2,3π4，故选：A例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，且当x ∈π4,π3 时，f x ≥0恒成立，则ω的取值范围为( )A.0,52 ∪223,172B.0,43 ∪8,172C.0,43 ∪8,283D.0,52 ∪223,8【答案】B【解析】由已知，函数fx =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，所以2k 1π-π≤ωx -π3≤2k 1πk 1∈Z ，解得：2k 1πω-2π3ω≤x ≤2k 1πω+π3ωk 1∈Z ，由于π6,π4 ⊆2k 1πω-2π3ω,2k 1πω+π3ω k 1∈Z ，所以π6≥2k 1πω-2π3ωπ4≤2k 1πω+π3ω，解得：12k 1-4≤ω≤8k 1+43k 1∈Z ①又因为函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在x ∈π4,π3上f x ≥0恒成立，所以2k 2π-π2≤ωx -π3≤2k 2π+π2k 2∈Z ，解得：2k 2πω-π6ω≤x ≤2k 2πω+5π6ωk 2∈Z ，由于π4,π3 ⊆2k 2πω-π6ω,2k 2πω+5π6ω k 2∈Z ，所以π4≥2k 2πω-π6ωπ3≤2k 2πω+5π6ω，解得：8k 2-23≤ω≤6k 2+52k 2∈Z ②又因为ω>0，当k 1=k 2=0时，由①②可知：ω>0-4≤ω≤43-23≤ω≤52，解得ω∈0，43；当k 1=k 2=1时，由①②可知：ω>08≤ω≤283223≤ω≤172，解得ω∈8，172.所以ω的取值范围为0,43 ∪8,172.故选：B .例7.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2S b 2-a2，则tan A +13tan (B -A )的取值范围为( )A.233,+∞ B.233,43C.233,43D.233,43【答案】C【解析】在△ABC 中，sin (A +C )=sin B ,S =12ac sin B ，故题干条件可化为b 2-a 2=ac ，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，故c =2a cos B +a ，又由正弦定理化简得：sin C =2sin A cos B +sin A =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin (B -A )=sin A ，故B -A =A 或B -A =π-A (舍去)，得B =2A △ABC 为锐角三角形，故0<A <π20<2A <π20<π-3A <π2 ，解得π6<A <π4，故33<tan A <1tan A +13tan (B -A )=tan A +13tan A ∈233,43故选：C例8.(2023·上海·高三专题练习)在钝角△ABC 中，a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是( )A.0,63B.45,63C.63,1D.45,1【答案】C【解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：∵G 为△ABC 的重心，∴D 为AB 中点且CD =3DG ，∵AG ⊥BG ，∴DG =12AB ，∴CD =32AB =32c ；在△ADC 中，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD=52c 2-b 232c 2=5c 2-2b 23c 2；在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2-BC 22BD ⋅CD =52c 2-a 232c 2=5c 2-2a 23c 2；∵∠BDC +∠ADC =π，∴cos ∠BDC =-cos ∠ADC ，即5c 2-2a 23c 2=-5c 2-2b 23c 2，整理可得：a 2+b 2=5c 2>c 2，∴C 为锐角；设A 为钝角，则b 2+c 2<a 2，a 2+c 2>b 2，a >b ，∴a 2>b 2+a 2+b 25b 2<a 2+a 2+b 25，∴b a 2+15+15b a 2<1b a 2<1+15+15b a2，解得：b a 2<23，∵a >b >0，∴0<b a <63，由余弦定理得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =25⋅a 2+b 2ab =25a b +b a >25×63+36 =63，又C 为锐角，∴63<cos C <1，即cos C 的取值范围为63,1.故选：C .例9.(2023·全国·高三专题练习)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若A =π3,a =3，则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A.(1，9] B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【答案】D 【解析】因为A =π3,a =3，由正弦定理可得asin A=332=2=b sin B =csin 2π3-B ，则有b =2sin B ,c =2sin 2π3-B ，由△ABC 的内角A ,B ,C 为锐角，可得0<B <π2,0<2π3-B <π2,，∴π6<B <π2⇒π6<2B -π6<5π6⇒12<sin 2B -π6 ≤1⇒2<4sin 2B -π6≤4， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒3=b 2+c 2-bc ,因此有b 2+c 2+bc =2bc +3=8sin B sin 2π3-B+3=43sin B cos B +4sin 2B +3=23sin2B -2cos2B +5=5+4sin 2B -π6∈7,9 故选：D .例10.(2023·上海·高三专题练习)某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形MN ,NP ,PQ ,QM 为亲水木平台区域(四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为MN ,PQ 的中点，OA =OD =50米)，亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域MQ ,NP 边界上(不含端点)，且设计成∠BAC =π2，另一段玻璃桥F -D -E 满足FD ⎳AC ,FD =AC ,ED ⎳AB ,ED =AB ．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；(附：2≈1.414,3≈1.732)(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．(玻璃桥总长为AB +AC +DE +DF ，宽度、连接处忽略不计)．【解析】(1)由题意，OA =50,OM =100，则MQ =100,AM =503,∠BAC =π2，设∠MAB =θ,∠NAC =α=π2-θ．若C ，P 重合，tan α=100503=23,tan θ=1tan α=32=MB503，得MB =75，∴75<MB <100,32<tan θ<23,MB =AM ⋅tan θ=503tan θ，NC =AN ⋅tan α=503tan θ,而MF =CP =100-NC =100-503tan θ，∴BF =MB -MF =503tan θ+1tan θ -100≥100(3-1)，当tan θ=1(符合题意)时取等号，又100(3-1)>70，∴可以修建70米长廊．(2)AB =AM cos θ=503cos θ,AC =AN cos α=503sin θ，则AB +AC =503cos θ+503sin θ=503(sin θ+cos θ)sin θcos θ．设t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，则t 2=1+2sin θcos θ，即sin θcos θ=t 2-12．AB +AC =1003t t 2-1=1003t -1t，由(1)知32<tan θ<23，而33<32<1<23<3，∴∃θ使θ+π4=π2且π4<θ+π4<3π4，即1<t ≤2,0<t -1t ≤22，∴AB +AC =1003t -1t≥1006，当且仅当t =2,θ=π4时取等号．由题意，AB +AC =DE +DF ，则玻璃桥总长的最小值为2006米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需2006×0.3=606万元．例11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b sin A =a sin B +π3(1)设a =3，c =2，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE ⋅EA的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =2，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)b sin A =a sin B +π3，由正弦定理得：sin B sin A =sin A sin B +π3 =12sin A sin B +32sin A cos B ，所以12sin A sin B -32sin A cos B =0，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，所以12sin B -32cos B =0，即tan B =3，因为B ∈0,π ，所以B =π3，因为a =3，c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+4-6=7，因为b >0，所以b =7，其中S △ABC =12ac sin B =12×3×2×32=332，所以BD =2S △ABC AC =337=3217，因为点E 为线段BD 的中点，所以BE =32114，由题意得：EA =ED +DA =BE +DA，所以BE ⋅EA =BE ⋅BE +DA =BE 2+0=2728.(2)由(1)知：B =π3，又c =2，由正弦定理得：a sin A =c sin C =2sin A +π3，所以a =2sin A sin A +π3 =2sin A 12sin A +32cos A =41+3tan A，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈0,π2C =2π3-A ∈0,π2，解得：A ∈π6,π2 ，则tan A ∈33,+∞，3tan A ∈0,3 ，1+3tan A∈1,4 ，故a =41+3tan A∈1,4 ，△ABC 面积为S =12ac sin B =32a ∈32,23 故△ABC 面积的取值范围是32,23.【过关测试】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ∈R ，设函数f 1(x )=cos2x ，f 2(x )=a -b cos x ，若当f 1(x )≤f 2(x )对x ∈[m ,n ](m <n )恒成立时，n -m 的最大值为3π2，则( )A.a ≥2-1 B.a ≤2-1C.b ≥2-2D.b ≤2-2【答案】A【解析】设t =cos x ，x ∈[m ,n ]，因为n -m 的最大值为3π2>π=T2，所以x ∈[m ,n ]时，t =cos x 必取到最值，当n -m =3π2时，根据余弦函数对称性得cos m +n 2=1⇒m +n2=2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m 2=cos 2k π-3π4 =cos 3π4=-22cos n =cos m +n 2+n -m 2 =cos 2k π+3π4 =cos 3π4=-22或者cos m +n 2=-1⇒m +n 2=π+2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m2 =cos 2k π+π-3π4 =-cos 3π4=22cos n =cos m +n 2+n -m 2=cos 2k π+π+3π4 =-cos 3π4=22由f 1(x )≤f 2(x )⇒2cos 2x -1≤a -b cos x ⇒2cos 2x +b cos x -1+a ≤0，设t =cos x ，x ∈[m ,n ]时 2t 2+bt -1+a ≤0对应解为t 1≤t ≤t 2，由上分析可知当t 1=-22，t 2≥1或t 1≤-1，t 2=22时，满足n -m 的最大值为3π2，所以t 1t 2≤-22，即-1+a 2≤-22，所以a ≥2-1.-b 2=t 1+t 2≥1-22或-b 2=t 1+t 2≤-1+22，即b ≤2-2或b ≥2-2，故选：A .2.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB+CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是△ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在△ABC 中，AB =CB -CA ，则|AB |2=|CA |2+|CB|2-2CA ⋅CB ，即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22，CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12CA 2，同理CO ⋅CB =12|CB |2，因此，OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1，由正弦定理得：|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2，当且仅当B =π2时取“=”，所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选：C3.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ，且3sin C +cos C =2，则a +b 的取值范围是( )A.23,4 B.2,23C.0,4D.2,4【答案】A【解析】由3sin C +cos C =2sin C +π6 =2，得C +π6=π2+2k π，k ∈Z ，∵C ∈0,π2 ，∴C =π3．由题cos A a +cos C c =sin B sin C 3sin A，由正弦定理有cos A a +cos Cc =b ⋅323a=b 2a ，故cos A sin A +cos C sin C =b 2sin A，即cos A ⋅sin C +sin A ⋅cos C =b sin C 2=3b 4，故sin A +C =sin B =3b 4，即b sin B =433，由正弦定理有a sin A=b sin B =c sin C =433，故a =433sin A ，b =433sin B ，又锐角△ABC ，且C =π3，∴A ∈0,π2 ，B =2π3-A ∈0,π2 ，解得A ∈π6，π2 ，∴a +b =433(sin A +sin B )=433sin A +sin 2π3-A =433sin A +32cos A +12sin A =4sin A +π6，∵A ∈π6，π2，∴A +π6∈π3，2π3 ，sin A +π6 ∈32，1 ，∴a +b 的取值范围为23,4 ．故选：A ．4.(2023·全国·高三专题练习)设ω∈R ，函数f x =2sin ωx +π6 ,x ≥0,32x 2+4ωx +12,x <0,g x =ωx ．若f (x )在-13,π2 上单调递增，且函数f x 与g (x )的图象有三个交点，则ω的取值范围是( )A.14,23B.33,23C.14,33D.-43,0 ∪14,23【答案】B 【解析】当x ∈0,π2 时，ωx +π6∈π6,πω2+π6 ，因为f (x )在-13,π2 上单调递增，所以πω2+π6≤π2-4ω3≤-132sin π6≥12 ，解得14≤ω≤23，又因函数f x 与g (x )的图象有三个交点，所以在x ∈-∞,0 上函数f x 与g (x )的图象有两个交点，即方程32x 2+4ωx +12=ωx 在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，即方程3x 2+6ωx +1=0在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，所以Δ=36ω2-12>0-ω<032×02+6ω×0+1>0 ，解得ω>33，当ω∈33,23时，当x ≥0时，令f x -g x =2sin ωx +π6-ωx ，由f x -g x =1>0，当ωx +π6=5π2时，ωx =7π3，此时，f x -g x =2-7π3<0，结合图象，所以x ≥0时，函数f x 与g (x )的图象只有一个交点，综上所述，ω∈33,23.故选：B .5.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +π3 (ω>0)在π3,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A.83,113 ∪4,143 B.113,4 ∪143,173C.113,143 ∪5,173D.143,5 ∪173,203【答案】C 【解析】x ∈π3,π，ωx +π3∈π3ω+π3,πω+π3 ，其中2πω≤π-π3<4πω，解得：3≤ω<6，则π3ω+π3≥4π3，要想保证函数在π3,π 恰有三个零点，满足①π+2k 1π≤π3ω+π3<2π+2k 1π4π+2k 1π<πω+π3≤5π+2k 1π，k 1∈Z ，令k 1=0，解得：ω∈113,143 ；或要满足②2k 2π≤π3ω+π3<π+2k 2π2k 2π+3π<πω+π3≤2k 2π+4π，k 2∈Z ，令k 2=1，解得：ω∈5,173；经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件，综上：ω的取值范围是113,143 ∪5,173.故选：C6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f (x )的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是134，174；④f (x )在区间0,π15上单调递增．其中所有正确结论的序号是( )A.①④ B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】由函数f (x )=sin ωx +π4 (ω>0)， 令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =1+4k π4ω,k ∈Z 函数f (x )在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，即0≤1+4k π4ω≤π有4个整数k 符合，由0≤1+4k π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k ≤4ω，则k =0,1,2,3，即1+4×3≤4ω<1+4×4，∴134≤ω<174，故③正确；对于①，∵x ∈(0,π)，∴ωx +π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈7π2,9π2当ωx +π4∈π4,7π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；当ωx +π4∈π4,9π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期T =2πω，由134≤ω<174，则417<1ω≤413，∴8π17<T ≤8π13，又π2∈8π17,8π13，所以f (x )的最小正周期可能是π2，故②正确；对于④，∵x ∈0,π15 ，∴ωx +π4∈π4,ωπ15+π4 ，又ω∈134，174 ，∴ωπ15+π4∈7π15,8π15 又8π15>π2，所以f (x )在区间0,π15 上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B7.(2023·全国·高三专题练习)函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是( )A.在0,π 不存在x 1，x 2使得f x 1 -f x 2 =2B.函数f x 在0,π 仅有1个最大值点C.函数f x 在0,π2上单调进增D.实数ω的取值范围是136,196 【答案】D【解析】对于A ,f (x )在0,π 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T <π ，所以在0,π 上存在x 1,x 2 ，且f (x 1)=1,f (x 2)=-1 ，使得f x 1 -f x 2 =2，故A 错误；由图象可知，函数在0,π 可能有两个最大值，故B 错误;对于选项D ,令ωx -π6=k π,k ∈Z ，则函数的零点为x =1ωk π+π6 ,k ∈Z ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：π6ω,7π6ω,13π6ω,19π6ω，函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，所以13π6ω≤π19π6ω>π，解得ω∈136,196 ，故D 正确；由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136，当0<x <π2 时，ωx -π6∈-π6,11π12 ，但-π6,11π12 不是0,π2的子集，所以函数f x 在0,π2上不是单调进增的，故C 错，故选：D .8.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin (A +C )cos B b +cos C c =sin A sin C ，B =π3，则a +c 的取值范围是( )A.32,3B.32,3C.32,3 D.32,3【答案】A【解析】由题知sin (A +C )cos B b+cos C c=sin A sin C ，B =π3∴sin B cos B b +cos C c =sin Asin C 即cos B b +cos C c =23sin A3sin C由正弦定理化简得∴c ⋅cos B +b ⋅cos C =23bc sin A 3sin C=23ab3∴sin C cos B +cos C sin B =23b sin A3∴sin (B +C )=sin A =23b sin A3∴b =32∵B =π3∴a sin A =b sin B =c sin C =1∴a +c =sin A +sin C =sin A +sin 2π3-A =32sin A +32cos A =3sin A +π6∵0<A <2π3∴π6<A +π6<5π6∴32<3sin A +π6≤3即32<a +c ≤3故选：A .二、多选题9.(2023秋·山东济南·高三统考期中)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且tan A +B 1-tan A tan B =3ca cos B，则下列结论正确的是( )A.A =π6B.若b -c =33a ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为33D.若D 为边BC 上一点，且AD =1,BD :DC =2c :b ，则2b +c 的最小值为977【答案】BCD【解析】对于A ，因为tan A +B 1-tan A tan B =3c a cos B ，所以tan A +tan B =3ca cos B，则由正弦定理得3sin C =sin A cos B tan A +tan B =sin A cos B ⋅sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B =sin A ⋅sin A +B cos A =sin A ⋅sin Ccos A ，则3sin C cos A =sin A sin C ，因为0<C <π，所以sin C >0，故tan A =3，又0<A <π，所以A =π3，故A 错误；对于B ，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ，因为b -c =33a ，即b =33a +c ，代入上式得a 2=33a +c 2+c 2-33a +c c ，整理得3c 2+3ac -2a 2=0，解得a =3c 或a =-32c (舍去)，则b =2c ，所以b 2=a 2+c 2，故B 正确；对于C ，设AB ,AC ,BC 边上的高分别是CE ,BF ,AD ，则由三角形面积公式易得AD =2a ,BF =2b ,CE =2c ，则AD ×BF ×CE 2=8abc2，因为1a +1b +1c ≥331abc ，当且仅当1a =1b=1c ，即a =b =c 时，等号成立，此时S =12bc sin A =34b 2=1，得b 2=433，所以AD ×BF ×CE 2=8abc2≤33，故C 正确；对于D ，因为BD :DC =2c :b ，所以AD =AB +BD =AB+2c b +2c BC =AB +2cb +2c AC -AB=b b +2c AB +2c b +2cAC，可得1=b 2(b +2c )2c 2+4c 2(b +2c )2b 2+22bc (b +2c )2cb cos60°，整理得b +2c 2=7b 2c 2，故1c +2b=7，所以2b +c =2b +c ×171c +2b =172b c +2c b +5 ≥1722b c ⋅2c b+5=977，当且仅当2b c =2c b 且1c +2b=7，即b =c =377时，等号成立，所以2b +c ≥977，即2b +c 的最小值为977，故D 正确.故选：BCD .10.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)已知函数f x =sin2x1+2cos 2x，则下列说法中正确的是( )A.f x +π =f xB.f x 的最大值是33C.f x 在-π2,π2上单调递增D.若函数f x 在区间0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60643π,60673π【答案】ABD 【解析】f x =sin2x 1+2cos 2x =sin2x 1+21+cos2x 2=sin2x2+cos2x ，A 选项：f x +π =sin 2x +2π 2+cos 2x +2π=sin2x 2+cos2x =f x ，A 选项正确；B 选项：设f x =sin2x2+cos2x=t ，则sin2x -t cos2x =2t =1+t 2sin 2x +φ ≤1+t 2，解得t 2≤13，-33≤t ≤33，即t max =33，即f x 的最大值为33，B 选项正确；C 选项：因为f -π2 =f π2 =0，所以f x 在-π2,π2 上不单调，C 选项错误；D 选项：f x =2cos2x 2+cos2x -sin2x -2sin2x 2+cos2x 2=4cos2x +22+cos2x2，令f x =0，解得cos2x =-12，即x =π3+k π或x =2π3+k π，k ∈Z ，当x ∈π3+k π,2π3+k π ，k ∈Z 时，f x <0，函数单调递减，当当x ∈2π3+k π,4π3+k π ，k ∈Z 时，f x >0，函数单调递增，所以函数f x 的极大值点为π3，4π3，⋯，π3+n-1π，又函数f x 在区间0,a上恰有2022个极大值点，则a∈π3+2021π,π3+2022π，即a∈6064π3,6067π3，D选项正确；故选：ABD.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是( )A.Sa2+2bc的最大值为3 12B.当a=2，sin B=2sin C时，△ABC不可能是直角三角形C.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，△ABC的周长为2+23D.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3-13【答案】ACD【解析】对于选项A：Sa2+2bc =12bc sin Ab2+c2-2bc cos A+2bc=12×sin Abc+cb+2-2cos A≤-14×sin Acos A-2(当且仅当b=c时取等号).令sin A=y，cos A=x，故Sa2+2bc≤-14×yx-2，因为x2+y2=1，且y>0，故可得点x,y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数z=yx-2上，表示圆弧上一点到点A2,0点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点H12,32，即A=60∘时，取得最小值-3 3，故可得z=yx-2∈-33,0，又Sx2+2bc≤-14×yx-2，故可得Sa2+2bc≤-14×-33=312，当且仅当A=60∘，b=c，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为sin B=2sin C，所以由正弦定理得b=2c，若b是直角三角形的斜边，则有a2+c2= b2，即4+c2=4c2，得c=233，故选项B错误；对于选项C，由A=2C，可得B=π-3C，由sin B=2sin C得b=2c，由正弦定理得，bsin B=csin C，即2csinπ-3C=csin C，所以sin3C=2sin C，化简得sin C cos2C+2cos2C sin C=2sin C，因为sin C≠0，所以化简得cos2C=3 4，因为b=2c，所以B>C，所以cos C=32，则sin C=12，所以sin B=2sin C=1，所以B=π2，C=π6，A=π3，因为a=2，所以c=233，b=433，所以△ABC的周长为2+23，故选项C正确；对于选项D，由C可知，△ABC为直角三角形，且B=π2，C=π6，A=π3，c=233，b=433，所以△ABC的内切圆半径为r=122+233-433=1-33，所以△ABC的面积为12cr=12×233×1-33=3-13所以选项D正确，故选：ACD12.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c-b=2b cos A，则下列结论正确的有( )A.A=2BB.B的取值范围为0,π4C.a b的取值范围为2,2D.1tan B-1tan A+2sin A的取值范围为533,3【答案】AD【解析】在△ABC中，由正弦定理可将式子c-b=2b cos A化为sin C-sin B=2sin B cos A，把sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B代入整理得，sin A-B=sin B，解得A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π(舍去).所以A=2B.选项A正确.选项B：因为△ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π-3B.由0<B<π2,0<2B<π2,0<π-3B<π2解得B∈π6,π4，故选项B错误.选项C ：a b =sin A sin B =sin2Bsin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围2,3 .故选项C 错误.选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A +2sin A .因为B ∈π6,π4，所以A =2B ∈π3,π2 ，sin A ∈32,1.令t =sin A ，t ∈32,1，则f t =2t +1t.由对勾函数的性质知，函数f t =2t +1t 在32,1上单调递增.又f 32 =533，f 1 =3，所以f t ∈533,3 .即1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 .故选项D 正确.故选：AD .三、填空题13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π6,ω>0，若f π4 =f 5π12 且f (x )在区间π4,5π12 上有最小值无最大值，则ω=_______．【答案】4或10【解析】∵f (x )满足f π4 =f 5π12 ，∴x =π4+5π122=π3是f (x )的一条对称轴，∴π3⋅ω+π6=π2+k π，∴ω=1+3k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴ω=1,4,7,10,13,⋯.当x ∈π4,5π12时，ωx +π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6 ，y =sin x 图像如图：要使f (x )在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6≤5π2⇒4≤ω<163 或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6≤9π2⇒283≤ω<525 ，此时ω=4或10满足条件；区间π4,5π12 的长度为：5π12-π4=5π12-3π12=π6，当ω≥13时，f (x )最小正周期T =2πω≤2π13<π6，则f (x )在π4,5π12 既有最大值也有最小值，故ω≥13不满足条件.综上，ω=4或10.故答案为：4或10.14.(2023·全国·高三专题练习)函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2，已知f π3 =3且对于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，若f x 在5π36,2π9上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【解析】因为函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2 ，f π3=3，所以f π3=33sin ω·π3+φ =3，所以πω3+φ=π2+k π(k ∈Z )，φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z ),因为于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，所以f -π6+x =-f -π6-x ，所以sin x -π6 ⋅ω+φ =-sin -ω⋅x +π6 +φ ，所以sin ωx -ωπ6+φ =sin ωx +ωπ6-φ ，所以ωx -ωπ6+φ=ωx +ωπ6-φ+2k 2π(k 2∈Z )或ωx -ωπ6+φ+ωx +ωπ6-φ=k 3π(k 3∈Z )，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )或2ωx =k 3π(k 3∈Z )，即x =k 3π2ω(k 3∈Z )(舍去)，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )，因为φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z )，所以π2-k π3+k 1π=ωπ6+k 2π(k 1∈Z )，即ω=1+2(k 1-k 2)，令t =k 1-k 2，所以ω=1+2t (t ∈Z )，f x 在5π36,2π9上单调，所以π12≤T 2=πω，所以ω≤12，而ω=1+2t (t ∈Z )，当ω=11，φ=-π6，所以f x =3sin 11x -π6 ，函数在5π36,2π9不单调，舍去；当ω=9，φ=3π2+k π(k ∈Z )，舍去；当ω=7，φ=π6，所以f x =3sin 7x +π6 ，函数在5π36,2π9 不单调，舍去；当ω=5，φ=-π6，所以f x =3sin 5x -π6 ，函数在5π36,2π9 单调，所以ω的最大值为5.故答案为：5.15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，-π4为f (x )的零点，且f (x )≤f π4恒成立，f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______【答案】15【解析】由题意知函数f x =sin ωx +φ ω>0，φ ≤π2 ，x =π4为y =f (x )图象的对称轴，x =-π4为f (x )的零点，∴2n +14•2πω=π2，n ∈Z ，∴ω=2n +1．∵f (x )在区间-π12，π24 上有最小值无最大值，∴周期T ≥π24+π12 =π8，即2πω≥π8，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，当ω=15时，由题意可得-π4×15+φ=k π，φ=-π4，函数为y =f (x )=sin 15x -π4，在区间-π12，π24 上，15x -π4∈-3π2，3π8 ，此时f (x )在x =-π12时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.16.(2023·全国·高三对口高考)在△ABC 中，AB =3cos x ,cos x ,AC =cos x ,sin x ，则△ABC 面积的最大值是____________【答案】34【解析】S △ABC =12AB⋅AC sin AB ,AC =12AB 2⋅AC 21-cos 2AB ,AC =12AB 2⋅AC 2-AB ⋅AC 2=124cos 2x -3cos 2x +sin x cos x 2=123cos x sin x -cos 2x =12sin 2x -π6 -12 ≤34，当sin 2x -π6 =-1时等号成立.此时2x -π6=-π2，即x =-π6时，满足题意.故答案为：34.17.(2023·高一课时练习)用M I 表示函数y =sin x 在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则a 的最大值为________．【答案】1312π【解析】①当a ∈0,π2时，2a ∈[0,π),M [0,a ]=sin a ,M [a ,2a ]=1，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则sin a ≥2，此时不成立；②当a ∈π2,π时，2a ∈[π,2π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin a ⇒sin a ≤12，又a ∈π2,π ，解得a ∈5π6,π ；③当a ∈π,3π2时，2a ∈[2π,3π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin2a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin2a ⇒sin2a ≤12，又a ∈π,3π2 ，解得a ∈π,13π12；④当a ∈3π2,+∞时，2a ∈[3π,+∞)，M [0,a ]=1，M [a ,2a ]=1，不符合题意.综上所述，a ∈5π6,13π12 ，即a 的最大值为1312π.故答案为：1312π18.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a =2，b cos C -c cos B =4，π4≤C ≤π3，则tan A 的最大值为_______.【答案】12【解析】在△ABC 中，因为a =2，b cos C -c cos B =4，所以b cos C -c cos B =4=2a ，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin A 所以sin B cos C -sin C cos B =2sin (B +C )，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C ，所以sin B cos C +3cos B sin C =0，所以sin B cos C +cos B sin C +2cos B sin C =0，所以sin (B +C )+2cos B sin C =0，所以sin A +2cos B sin C =0，所以由正弦定理得a +2c cos B =0，所以cos B =-1c<0，所以角B 为钝角，角A 为锐角，所以要tan A 取最大值，则A 取最大值，B ,C 取最小值，从而b ,c 取最小值．又b cos C =c cos B +4=c ×-1c +4=3,∴cos C =3b，由π4≤C ≤π3，得12≤cos C ≤22,∴12≤3b≤22，∴32≤b ≤6，由cos B =a 2+c 2-b 22ac =-1c,∴b 2-c 2=8,∴10≤c ≤27,∴tan A 取最大值时，b =32,c =10，此时由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =18+10-42×32×10=255，从而求得tan A =1cos 2A-1=12，即tan A 最大值为12．故答案为：1219.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若∠BAC =120°，点D 为边BC 的中点，AD =1，则AB⋅AC的最小值为______.【答案】-2【解析】AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC=AD 2+AD ⋅DC +DB +DB ⋅DC，因为D 为边BC 的中点，AD =1，故AB ⋅AC =1-DB 2，故求DB 的最大值.设DB =DC =x ，AC =a ,AB =c ，则由余弦定理，cos ∠BDA =x 2+12-c 22x ，cos ∠CDA =x 2+12-b 22x，因为∠BDA +∠CDA=180∘，故x 2+12-c 22x +x 2+12-b 22x=0，即2x 2+2=b 2+c 2，又2x 2=b 2+c 2+bc ≥3bc ，故2x 2+2=4x 2-bc ，即2x 2=2+bc ≤2+43x 2，此时x 2≤3，故AB ⋅AC =1-x 2≥-2，当且仅当b =c 时取等号.即AB ⋅AC的最小值为-2故答案为：-220.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．【答案】3【解析】因为△ABC 的面积为1，所12bc sin A =12b ×2b sin A =b 2sin A =1，可得b 2=1sin A，由BC =AC -AB ，可得|BC |2=|AC |2+|AB |2-2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+2b2-2b ×2b cos A =5b 2-4b 2cos A =5sin A -4cos A sin A =5-4cos Asin A，设m =sin A -4cos A +5=-14×sin A cos A -54，其中A ∈(0,π)，因为sin A cos A -54=sin A -0cos A -54表示点P 54,0 与点(cos A，sinA )连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，OA =1,OP =54，可得PA =34，所以斜率的最小值为k PA =-tan ∠APO =-43，所以m 的最大值为-14×-43 =13，所以|BC |2≥3，所以|BC |≥3，即BC 的最小值为3，故答案为：3．21.(2023·全国·高三专题练习)已知θ>0，对任意n ∈N *，总存在实数φ，使得cos (nθ+φ)<32，则θ的最小值是___【答案】2π5【解析】在单位圆中分析，由题意，nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx =∠BOx =π6)，必存在某个正整数n ，使得nθ+φ终边在OB 的下面，而再加上θ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，∴θ>∠AOB =π3，∵对任意n ∈N *要成立，所以必存在某个正整数n ，使得以后的各个角的终边与前面的重复(否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的n ,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了)，故存在正整数m ,使得2m πθ∈N *，即θ=2m πk ，k ∈N *，同时θ>π3，∴θ的最小值为2π5,故答案为：2π5.22.(2023·上海·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，0<φ<π，f (x )≤f π4恒成立，且y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】6,10【解析】由已知得：f (x )≤f π4恒成立，则f (x )max =f π4 ，π4ω+φ=π2+2k π,k ∈Z ⇒φ=π2-πω4+2k π,k ∈Z ，由x ∈0,3π8 得ωx +φ∈φ,3π8ω+φ ，由于y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，故0<φ<π3π<3π8ω+φ≤4π，则0<π2-πω4+2k π<π3π<3πω8+π2-πω4+2k π≤4π，k ∈Z ，则8k -2<ω<8k +220-16k <ω≤28-16k,k ∈Z ,只有当k =1时，不等式组有解，此时6<ω<104<ω≤12 ，故6<ω<10，故答案为：6,1023.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A >B ，若sin C =2cos A sin B +725，则tan B 的取值范围为_______．【答案】34,247【解析】∵sin C =2cos A sin B +725，∴sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B +725，即sin A -B =725，∵又A >B ，且A ,B 都为锐角，故cos A -B =2425，tan A -B =724，因为锐角三角形ABC ，所以tan A >0,tan B >0,tan C >0,所以tan A =tan A -B +B =tan A -B +tan B 1-tan A -B ⋅tan B =724+tan B1-724⋅tan B >0所以1-724⋅tan B>0,所以tan B<247，又因为tan C=-tan A+B=tan A+tan Btan A⋅tan B-1>0所以tan A⋅tan B-1=724+tan B1-724⋅tan B⋅tan B-1>0所以12tan2B+7tan B-12>0，解得tan B>34或tan B<-43(舍去)故34<tan B<247.故答案为：3 4,247.24.(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =43x-13sin2x+a cos x在-∞,+∞内单调递增，则实数a的取值范围是___________.【答案】-423,423【解析】因函数f(x)在-∞,+∞内单调递增，则∀x∈R，f (x)=43-23cos2x-a sin x≥0，即a sin x≤43-23cos2x，整理得a sin x≤43sin2x+23，当sin x=0时，则0≤23成立，a∈R，当sin x>0时，a≤43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=232sin x+1sin x≥432，当且仅当2sin x=1sin x，即sin x=22时取“=”，则有a≤423，当sin x<0时，a≥43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=-23(-2sin x)+1-sin x≤-432，当且仅当-2sin x=1-sin x，即sin x=-22时取“=”，则有a≥-423，综上得，-423≤a≤423所以实数a的取值范围是-423,423.故答案为：-423,42325.(2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末)设函数f x =2sinωx+φ-1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】4,16 3【解析】令f x =0，则sinωx+φ=12，令t=ωx+φ，则sin t12，。

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。