江苏省泰州市靖江市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年江苏省泰州市靖江市高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=．2．（5分）函数的定义域．3．（5分）函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x﹣5，则f（g（2））=．4．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x（x∈[a，b]）的值域为[﹣1，3]，当a=﹣1时，b的取值范围是．5．（5分）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．6．（5分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f （2m），则实数m的取值范围是．7．（5分）设A={（x，y）|x∈R，y∈R}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：A→B 是一个映射，且f：（x，y）→，则B中（﹣5，2）在f作用下对应A中的元素为．8．（5分）已知函数f（x）=，f（f（f（）））的值为．9．（5分）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）y=1+x和表示相等函数．其中正确命题的个数是．10．（5分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为．11．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）＜1的x的取值范围是．12．（5分）50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人．13．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为．14．（5分）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f （t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为．二、解答题：（本大题共6小题，共，90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）计算下列各式：（1）；（2）已知=2，计算的值．16．（14分）已知函数的定义域为集合A，B={x|x＜a}（1）求集合A；（2）若A⊆B，求a的取值范围．17．（14分）设函数f（x）=（a＞0，b＞0，x∈R）．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值．18．（15分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林面积为．（1）求p%的值；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？19．（16分）函数f（x）对x＞0有意义，当m，n∈（0，+∞）时，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（1）=0；（2）求f（4）的值；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（4）求满足f（x）+f（）＜2的x的集合．20．（16分）已知定义在R上的奇函数f（x）=．（1）求a，b的值；（2）若不等式﹣m2+（k+2）m﹣＜f（x）＜m2+2km+k+对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，切当x∈（﹣1，1）时，g（x）=f（x）﹣x，求方程g（x）=0的所有解．2014-2015学年江苏省泰州市靖江市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B={3，5，13} ．【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}．2．（5分）函数的定义域（﹣∞，2] ．【解答】解：由题意得：16﹣4x≥0∴4x≤42∵4＞1∴y=4x为R上的增函数∴x≤2故答案为：（﹣∞，2]3．（5分）函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x﹣5，则f（g（2））=5．【解答】解：∵函数g（x）=3x﹣5，∴g（2）=3×2﹣5=1，∵函数f（x）=2x+3，∴f（g（2））=f（1）=2×1+3=5．故答案为：5．4．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x（x∈[a，b]）的值域为[﹣1，3]，当a=﹣1时，b的取值范围是[1，3] ．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口方向朝上，以直线x=1为对称轴的抛物线；在区间[﹣1，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，且f（﹣1）=f（3）=3，f（x）min=f（1）=﹣1，若定义域为[﹣1，b]，值域为[﹣1，3]，则1≤b≤3故答案为：[1，3]．5．（5分）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．6．（5分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．【解答】解：∵定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数，且f（﹣x）=f（x）=f（|x|）．∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有＞0（a≠b），∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），∴0＜|m+1|＜|2m|，∴4m2＞（m+1）2＞0，∴，∴m＜﹣1或或m＞1．∴实数m的取值范围是．故答案为：．7．（5分）设A={（x，y）|x∈R，y∈R}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：A→B 是一个映射，且f：（x，y）→，则B中（﹣5，2）在f作用下对应A中的元素为（﹣3，﹣7）．【解答】解：设B中（﹣5，2）在f作用下对应A中的元素为（x，y）故由条件可得，解得，故答案为（﹣3，﹣7）．8．（5分）已知函数f（x）=，f（f（f（）））的值为6．【解答】解：函数f（x）=，f（f（f（）））=f（f（0））=f（﹣）=（）2+1=6．故答案为：6．9．（5分）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）y=1+x和表示相等函数．其中正确命题的个数是0．【解答】解：①举一个例子y=﹣，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；②由若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，或者a=b=0；所以此命题错；③当x≥0时，y=x2﹣2x﹣3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x2+2x﹣3，为对称轴为直线x=﹣1的开口向上的抛物线，所以[﹣1，0]为增区间，综上，y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）和[﹣1，0]，故③不正确；④因为y=1+x和=|1+x|表示的函数的解析式不同，故命题不正确．故答案为：0．10．（5分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为a＜b＜c．【解答】解：∵y=log3x是增函数，∴a=log30.8＜log30.9=b＜log31=0，c=0.80.9＞0，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．11．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）＜1的x的取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（x）=，则满足f（x）＜1可得：x≤0时，﹣x＜1，解得：﹣1＜x≤0；x＞0时，2x＜1，解得0．综上：x∈（﹣1，）．故答案为：x∈（﹣1，）．12．（5分）50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有25人．【解答】解：设A={做对物理实验的学生}，B={做对化学实验的学生}，则有∴（40﹣x）+x+（31﹣x）+4=50，x=25．这两种实验都做对的有25人．故答案为：25．13．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为[0，2] ．【解答】解：由函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，可得函数y=x2﹣ax ﹣a能够取遍所有的正数，故有△=a2+4a≥0，求得a≤﹣4，或a≥0 ①．再根据f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，可得函数y=x2﹣ax﹣a在（﹣3，1﹣）上是减函数且为正值，故≥1﹣，且当x=1﹣时y≥0．即a≥2﹣2，且4﹣2﹣a（1﹣）﹣a≥0．求得2﹣2≤a≤2 ②．结合①②求得0≤a≤2，故答案为：[0，2]．14．（5分）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f （t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为﹣4．【解答】解：设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2∵s为定义域的两个端点之间的长度，f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）max]，且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区﹣x2|=∴|x∵|x 1﹣x2|==，=∴=∴a=﹣4故答案为：﹣4二、解答题：（本大题共6小题，共，90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）计算下列各式：（1）；（2）已知=2，计算的值．【解答】解：（1）=1+×﹣10+27=；（2）∵=2，∴===2．16．（14分）已知函数的定义域为集合A，B={x|x＜a}（1）求集合A；（2）若A⊆B，求a的取值范围．【解答】（本题13分）解：（1）∵∴﹣2＜x≤3∴A={x|﹣2＜x≤3}（2）∵B={x|x＜a}，A={x|﹣2＜x≤3}又A⊆B∴a∈（3，+∞）17．（14分）设函数f（x）=（a＞0，b＞0，x∈R）．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值．【解答】解：（1）①当a=b=2时，f（x）=）==，∵f（1）==0，f（﹣1）==，f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数．（2）当f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣对任意实数x成立．化简整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b），这是关于x的恒等式，所以，，所以，或．18．（15分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林面积为．（1）求p%的值；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【解答】解：（1）由题意得：，即，解得：（2）设经过m年森林面积为，则，即，，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后森林面积为令≥，即（1﹣p%）n≥，≥，≤，解得n ≤15故今后最多还能砍伐15年．19．（16分）函数f（x）对x＞0有意义，当m，n∈（0，+∞）时，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（1）=0；（2）求f（4）的值；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（4）求满足f（x）+f（）＜2的x的集合．【解答】（1）证明：令m=n=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0；（2）解：令m=n=2，则f（4）=2f（2），而f（2）=1，则f（4）=2；（3）证明：令0＜s＜t，则，由x＞1时，f（x）＞0，则f（）＞0，即有f（t）=f（s）=f（s）+f（）＞f（s），则f（x）在（0，+∞）上为增函数；（4）解：f（x）+f（）＜2即为f（x）＜2=f（4），即为f（x﹣3）＜f（4），由f（x）在（0，+∞）上为增函数，则，解得，3＜x＜7．则解集为（3，7）．20．（16分）已知定义在R上的奇函数f（x）=．（1）求a，b的值；（2）若不等式﹣m2+（k+2）m﹣＜f（x）＜m2+2km+k+对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，切当x∈（﹣1，1）时，g（x）=f（x）﹣x，求方程g（x）=0的所有解．【解答】解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x）=．∴f（0）=0，即﹣1+b=0，b=1∵f（x）=，f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=即a=2故a=2，b=1（2）f（x）=，=（）值域为：（﹣，）∵不等式﹣m2+（k+2）m﹣＜f（x）＜m2+2km+k+对一切实数x及m恒成立，则需且只需m∈R恒成立即对m∈R恒成立只需解得﹣1≤k≤0，（3）当x∈（﹣1，1）时g（x）=f（x）﹣x=﹣+﹣x显然y=，y=﹣x均为减函数，故g（x）在（﹣1，1）上为减函数，由于g（0）=0，故在（﹣1，1）内g（x）=0有唯一根x=0由于g（x）周期为2，由此有x∈（2k﹣1，2k+1）内有唯一根x=2k（k∈N）①综合得x=2k（k∈N）为g（x）=0的根又因为g（﹣1）=g（﹣1+2）=g（1）得﹣g（1）=g（1）故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）②综合①②有g（x）=0的所有解为一切整数赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2014-2015学年江苏省泰州市靖江实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号写在答题卡相应的位置上）1．（3分）一元二次方程x2﹣16=0的解是（）A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=4，x2=﹣4 C．x1=8，x2=﹣8 D．x1=16，x2=﹣16 2．（3分）已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣63．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30°，则∠ACB的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°5．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）sin260°=．8．（3分）一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了米．9．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是．10．（3分）关于x的方程（m﹣2）+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，则m=．11．（3分）已知⊙O的直径为2cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是．12．（3分）△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为4：1，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为．13．（3分）某商场今年1月份销售额为90万元，3月份的销售额达到129.6万元．设2，3月份平均每月销售额增长的百分率为x，则根据题意可列方程为．14．（3分）美是一种感觉，一矩形的长为6cm，宽为3cm，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加cm 时，给人的美感效果最佳．15．（3分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD=6，BD=，则OH的长为．16．（3分）如图，圆O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB 上两点，∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）求值或解方程：（1）﹣14+tan230°+（π﹣2014）0；（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）．18．（8分）如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的两面靠墙（一面墙AB长40m，另一面墙AC长50米．），另外两面用80m 长的铁栅栏围起来，如果这个存车处的面积为1575m2，求这个长方形存车处借助墙AB的长．19．（8分）某同学测量靖江孤山的高度，在A点测得山顶P的仰角为30°，沿直线方向向前走了60米到达点B测得山顶P的仰角为60°，如图所示，求孤山的高度．（结果保留根号）20．（8分）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，点F在BC上，且AB交EF于D．求证：AD•BD=DE•DF．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．（1）求证：△BAD∽△CED；（2）求证：DE是⊙O的切线．22．（10分）某批发商店经销一种高档水果，如果每千克成本15元，售价25元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价5元，日销量将减少100kg，现该商店要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应定价多少元？23．（10分）如图所示，小明与小王在公园游玩，小明在塔AC上的B处，小王在短墙DF的另一侧，小明的视线被短墙遮住．为了寻找小王，小明向上爬至塔顶C处．DF=4米，GE=6米，短墙底部D与塔的底部A间的距离为3米，小明从C点观察F点的俯角为53°，延长CF交DE于点G．若小王躲藏处M （点M在DE上）距D点2米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）小明爬至塔顶点C时能否看到小王？为什么？（2）小明开始时点B的位置，即求AB的高度？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=6，D是AB边上的一点，P是优弧中点，连线PA、PB、PC、PD．（1）当AD的长度为多少时△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB=，求PA的长．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．26．（14分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）求证：BM•DN=36；（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．2014-2015学年江苏省泰州市靖江实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号写在答题卡相应的位置上）1．（3分）一元二次方程x2﹣16=0的解是（）A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=4，x2=﹣4 C．x1=8，x2=﹣8 D．x1=16，x2=﹣16【解答】解：∵x2﹣16=0，∴x2=16，解得：x1=4，x2=﹣4．故选：B．2．（3分）已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6【解答】解：∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，∴=，∴x2=ab=4×9=36，∴x=±6，x=﹣6（舍去）．故选：B．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：．故选A．4．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30°，则∠ACB的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=30°；∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=120°；∴∠ACB=∠AOB=60°；故选A．5．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．6．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选：C．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）sin260°=．【解答】解：sin260°=（）2=．故答案为：．8．（3分）一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了12米．【解答】解：如图：AB=20米，tanB=3：4，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得：AB=5x=20，解得：x=4，则AC=3x=12（米）．故答案为：12．9．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是5．【解答】解：∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．故答案为：5．10．（3分）关于x的方程（m﹣2）+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，则m=﹣2．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，∴m2﹣2=2，且m﹣2≠0，解得m=﹣2．故答案是：﹣2．11．（3分）已知⊙O的直径为2cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是相离．【解答】解：∵⊙O的直径为2cm，∴⊙O的半径为1cm，∵圆心O到直线l的距离是2cm，∴2cm＞1cm，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相离．故答案为：相离．12．（3分）△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为4：1，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为2：1．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（）2=，∴=2．故答案为2：1．13．（3分）某商场今年1月份销售额为90万元，3月份的销售额达到129.6万元．设2，3月份平均每月销售额增长的百分率为x，则根据题意可列方程为90（1+x）2=129.6．【解答】解：设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意．得90（1+x）2=129.6，故答案为：90（1+x）2=129.6．14．（3分）美是一种感觉，一矩形的长为6cm，宽为3cm，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加（3﹣6）cm时，给人的美感效果最佳．【解答】解：设宽增加xcm，根据题意得=，解得x=3﹣6，即长不变，宽增加（3﹣6）cm时，给人的美感效果最佳．故答案为（3﹣6）．15．（3分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD=6，BD=，则OH的长为4．【解答】解：如图，连接OD；∵弦CD垂直于⊙O的直径AB，且CD=6，∴CH=DH=3；设⊙O的半径为r，OH=x，则BH=r﹣x；由勾股定理得：，解得：x=4，r=5；即OH的长为4，故答案为：4．16．（3分）如图，圆O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB上两点，∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．【解答】解：如图，过点O作直线CD⊥EM，分别交EM，NF的延长线于点C、点D；连接OM、ON；∵OA=OB，AE=BF，∴OE=OF；又∵圆O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，∴OE=OF=2，OM=6；∵∠MEB=∠NFB=60°，∴CO=DO=2sin60°=，EC=DF=2cos60°=1；又∵OC⊥EM，OD⊥DN，∴CM=DN；∴EM+FN=CM+1+DN﹣1=2CM；由勾股定理得：CM2=OM2﹣OC2=36﹣3=33，∴CM=，2CM=，故该题答案为．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）求值或解方程：（1）﹣14+tan230°+（π﹣2014）0；（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）．【解答】解：（1）原式=﹣1+（）2+1=﹣1++1=；（2）方程两边同时除以2得，x2﹣2x﹣=0，配方得，（x2﹣2x+1﹣1）﹣=0，即（x﹣1）2=，两边开方得，x﹣1=±，解得x=．18．（8分）如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的两面靠墙（一面墙AB长40m，另一面墙AC长50米．），另外两面用80m 长的铁栅栏围起来，如果这个存车处的面积为1575m2，求这个长方形存车处借助墙AB的长．【解答】解：设借助墙AB的长为x米，则其邻边的长为（80﹣x）m根据题意得：x（80﹣x）=1575，解得：x=35或x=45（设去）．答：借助墙AB的长为35米．19．（8分）某同学测量靖江孤山的高度，在A点测得山顶P的仰角为30°，沿直线方向向前走了60米到达点B测得山顶P的仰角为60°，如图所示，求孤山的高度．（结果保留根号）【解答】解：作PC⊥AB于点C，∵∠PBC=∠A+∠APB，∴∠APB=∠PBC﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠APB，∴AB=BP=60（米）．在直角△BPC中，PC=BP•sin∠PBC=60×=30，答：小岛的高度为30米．20．（8分）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，点F在BC上，且AB交EF于D．求证：AD•BD=DE•DF．【解答】证明：∵∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，∴△ADE∽△FDB，∴AD：DF=DE：BD，∴AD•BD=DE•DF．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．（1）求证：△BAD∽△CED；（2）求证：DE是⊙O的切线．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．（1分）又∵BD=CD，∴AB=AC，∠B=∠C．（2分）∵∠CED=∠ADB=90°，∴△BDA∽△CED．（3分）（2）连接OD，∵OA=OB，BD=CD，∴OD∥AC．（5分）又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．所以DE是⊙O的切线．（6分）22．（10分）某批发商店经销一种高档水果，如果每千克成本15元，售价25元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价5元，日销量将减少100kg，现该商店要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应定价多少元？【解答】解：设每千克应定价x元，根据题意可得：（x﹣15）（500﹣100×）=6000，整理得：x2﹣65x+1050=0，（x﹣30）（x﹣35）=0，解得：x1=30，x2=35（不合题意舍去）．答：每千克应定价30元．23．（10分）如图所示，小明与小王在公园游玩，小明在塔AC上的B处，小王在短墙DF的另一侧，小明的视线被短墙遮住．为了寻找小王，小明向上爬至塔顶C处．DF=4米，GE=6米，短墙底部D与塔的底部A间的距离为3米，小明从C点观察F点的俯角为53°，延长CF交DE于点G．若小王躲藏处M （点M在DE上）距D点2米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）小明爬至塔顶点C时能否看到小王？为什么？（2）小明开始时点B的位置，即求AB的高度？【解答】解：（1）不能．∵DF=4，∴∠DFG=37°，∴=tan37°，∴DG=tan37°×4=0.75×4=3（米），∵DM=2＜3，∴不能看到．（2）∵由（1）知DG=3米，∴DE=DG+GE=3+6=9（米），∴AE=AD+DE=3+9=12（米）．∵CA⊥AE，FD⊥AE，∴△DEF∽△AEB，∴=，即=，解得AB=（米）．答：AB的高度为米．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=6，D是AB边上的一点，P是优弧中点，连线PA、PB、PC、PD．（1）当AD的长度为多少时△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB=，求PA的长．【解答】解：（1）当AD=2时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴弧PB=弧PC，∴PB=PC，又∵∠PBD=∠PCA（圆周角定理），∴当BD=8﹣2=6=AC，在△PBD和△PCA中，，∴△PBD≌△PCA（SAS）．∴PA=PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD=4时，PD=PA，AD=AB﹣BD=6﹣4=2，则AE=AD=1．∵∠PCB=∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠PAD=cos∠PCB===，∴PA=．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．【解答】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，∴PC=AC﹣AP=4﹣1=3（厘米），QD=BC﹣BQ﹣CD=5﹣1.25﹣3=0.75（厘米），∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD，∴=，=，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC﹣AP=4﹣t，QC=BC﹣BQ=5﹣1.25t，∴==1﹣，==1﹣，∴=，又∵∠C=∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ=∠CAB，∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴=，∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴=，解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t，在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，∴AD===5，∴CN==，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴==，=，解得t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．26．（14分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）求证：BM•DN=36；（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BMA=∠NAD，∴△ABM∽△NDA，∴=，∴BM•DN=AD•AB=36；（2）解：由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA=BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．∴BM：DC=BC：ND．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM=∠NDC=45°．∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM=∠DNC．∴∠MCN=360°﹣∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN=270°﹣（∠DNC+∠DCN）=270°﹣（180°﹣∠CDN）=135°；（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2．证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD﹣∠MAN=45°．∴∠MAF=∠MAN．又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BMF中，BM2+BF2=FM2．∴BM2+DN2=MN2．。

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则=　　．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　（填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　　．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为　9　．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于　4　．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　　．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为　2　．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

泰州三中2014年秋学期高一数学11月段测试一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________． 2．在函数y = 2sin(4x +32π)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________． 3．已知函数y=cos x 与y=sin （2x +φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．4．函数=)(x f ⎩⎨⎧<+-≥0,1)3(0,x x a x a x 为R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为 ____．5．函数f (x )=236)21lg(cos x x -+-的定义域是________________________．6．将函数y =sin2x 的图象向左平移6π个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．7．已知函数f (x )=2sin(2x +α) (|α|≤2π) 的图象关于直线x =3π对称，则α= ． 8．函数)23sin(xy -=π的单调递增区间是____________． 9．设f (x )是R 上的奇函数，当0≥x 时，f (x )=a x x+-22（a 为常数），则当0<x 时f (x )= _______．10．已知函数)tan(x y ω=在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是__________． 11．设函数2)(-+=x e x f x ，3ln )(2-+=x x x g ，若实数b a ,满足0)(=a f ，0)(=b g 请将0，)(),(a g b f 按从小到大的顺序排列 （用“＜”连接）． 12．函数11-=+x xy 与x y πsin 2=（42≤≤-x ）的图象所有交点横坐标之和是 ． 13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=2x ,若对任意的[]2,+∈t t x 不等式f (x +t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是 ．14．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： (1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； (3)y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；(4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为___________________．将填空题答案填在下列区域内：1．____________________ 2．______________________ 3．_________________________ 4．____________________ 5．______________________ 6．_________________________ 7．____________________ 8．______________________ 9．_________________________ 10．___________________11．_____________________ 12．_________________________ 13．____________________ 14．______________________二、解答题（本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题14分）已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1(a >0)的定义域为R ，若当－7π12≤x ≤－π12时，f (x )的最大值为2，(1)求a 的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．（3）写出该函数的对称中心的坐标.16．（本题15分）下图为函数)20,0,0()sin()(πϕωϕω<<>>++=A c x A x f 图像的一部分．(1)求函数f (x )的解析式，并写出f (x )的振幅、周期、初相； (2)求使得f (x )>25的x 的集合 ； (3)函数f (x )的图像可由函数y =sin x 的图像经过怎样的变换而得到？17．（本题14分）已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求b a ,的值；（2）求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合．18．（本题15分）已知函数]2,0[],21,23[,1sin 2)(2παx αx x x f ∈-∈-+=． (1)当6πα=时，求f (x )的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x 的值；(2) 求α的取值范围，使得f (x )在区间]21,23[-上是单调函数．19．（本题16分）设函数xxa ka x f --=)(（a ＞0且1≠a ，R k ∈），f （x ）是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值，判断并证明当a ＞1时，函数f （x ）在R 上的单调性； （2）已知f （1）=，函数g （x ）=a 2x+a﹣2x﹣2f （x ），]1,1[-∈x ，求g （x ）的值域；（3）已知a =3，若f （3x ）≥λ•f （x ）对于]2,1[∈x 时恒成立．请求出最大的整数λ．20（本题16分）函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A >0，ω>0，|ϕ|<π2)的一段图象(如下图所示)(1) 求其解析式．(2)令g (x )=1)(2)(2)(2-+-x f x f x f ，当]4,0[π∈x 时，求g (x )的最大值．泰州三中2014年秋学期高一数学11月段测试答案1.)(2Z k k ∈+=+ππβα2. )0,12(π3.6π4. (1,3)5. ]6,35()3,3()35,6[ππππ --- 6. 1)32sin(++=πx y7. 6π-8. ]4311,435[ππππk k ++,(Z k ∈) 9. 122+---x x10. )0,1[-11．g （a ）＜0＜f （b ） 12. 413.),2[+∞ 14. (2)(3) 15.解：（1）当，则∴当，f （x ）有最大值为.又∵f（x）的最大值为2，∴=2，解得：a=2．（2）由（1）知令分别取0，，π，，2π，则对应的x与y的值如下表﹣画出函数在区间[﹣，]的图象如下图（3）令Z，解得x=k∈Z，∴函数的对称中心的横坐标为，k∈Z，又∵函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的，∴函数的对称中心的纵坐标为1．∴对称中心坐标为（，1）k∈Z16. 解：（1）由函数图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为﹣A+c=﹣2，∴c=1，A=3，∵，∴函数的周期T=．由=得，ω=，∴y=3sin（x+ϕ）+1∵（12，4）在函数图象上∴4=3sin（•12+ϕ）+1，即sin（+ϕ）=1∴+ϕ=+2kπ，k∈Z，得ϕ=﹣+2kπ，k∈Z∵0<ϕ<2π ∴ϕ=∴函数解析式为y=3sin （•x +）+1．（2）)332928,33294(k k ++-,(z k ∈) （3）略17. 解：（1）∵b ＞0∴﹣b ＜0，；∴（2）由（1）知：∴∴g （x ）∈[﹣2，2]∴g （x ）的最小值为﹣2对应x 的集合为18.解：(1) 当6πα=时，116sin2)(22-+=-+=x x πx x x f =45)21(2-+x ∵]21,23[-∈x ∴当x =21-时，f (x )取到最小值45- 当x =21时，f (x )取到最大值41-(2)函数1sin 2)(2-+=αx x x f 图象的对称轴为直线x =αsin -当αsin -≤23-，即αsin ≥23，即323παπ≤≤时，函数f (x )在区间]21,23[-上是增函数； 当23-αsin -<<21，即23sin 21<<-α，即0≤α<3π或32π<α<67π或απ<611≤π2时，f (x )在区间]sin ,23[π--上为减函数，在]21,sin [π-上为增函数； 当αsin -≥21，即αsin ≤21-，即67π≤α≤611π时，函数f (x )在区间]21,23[-上是减函数。