《弧度制_公开课课件-ppt【北师大版】1
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北师大版教材PPT《弧度制》课件详解1
§3 弧度制
【创设情境】
同学们都听过乌鸦喝水的故事吧。你 从中有什么收获呢？
换个角度思考问题。
用度作单位来度量角的单位 制叫做角度制．
450
下面介绍一种用长度来度 量角的方法。
【探求新知】
1．弧度的角的定义．
通过度量和计算得出下表：
l
n r
180
l
r
我们称这个常数为该角的弧 度数。
【探求新知】
其中n表示角度数
弧度制的弧长公式：
l
nr
180
l r
其中α是弧度数
弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝 对值与半径的积。
【巩固深化】
例4 如下图，利用弧度制证明扇形面积公式：
（1）
s
1 2
r
2
（2）
s
1 2
lr
A
其中r为半径,l为弧长， α （0 ＜α ＜ 2 ）
r
为圆心角，s为扇形的面积。
o s l 解： 由于半径为r，圆心角为n的扇形
•
8.心理学上有一种认识——评估学说 ，即个 体对事 物有了 认识， 就会利 用头脑 中的旧 经验来 解释新 输入的 信息， 进行评 估，于 是产生 情绪体 验。而 个体对 事物究 竟体验 为积极 的情绪 还是消 极的情 绪，在 于怎样 认识事 物。
•
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
的弧长公式和面积公式分别是：
【创设情境】
同学们都听过乌鸦喝水的故事吧。你 从中有什么收获呢？
换个角度思考问题。
用度作单位来度量角的单位 制叫做角度制．
450
下面介绍一种用长度来度 量角的方法。
【探求新知】
1．弧度的角的定义．
通过度量和计算得出下表：
l
n r
180
l
r
我们称这个常数为该角的弧 度数。
【探求新知】
其中n表示角度数
弧度制的弧长公式：
l
nr
180
l r
其中α是弧度数
弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝 对值与半径的积。
【巩固深化】
例4 如下图，利用弧度制证明扇形面积公式：
（1）
s
1 2
r
2
（2）
s
1 2
lr
A
其中r为半径,l为弧长， α （0 ＜α ＜ 2 ）
r
为圆心角，s为扇形的面积。
o s l 解： 由于半径为r，圆心角为n的扇形
•
8.心理学上有一种认识——评估学说 ，即个 体对事 物有了 认识， 就会利 用头脑 中的旧 经验来 解释新 输入的 信息， 进行评 估，于 是产生 情绪体 验。而 个体对 事物究 竟体验 为积极 的情绪 还是消 极的情 绪，在 于怎样 认识事 物。
•
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
的弧长公式和面积公式分别是：
弧度制课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2
3
∙ 2 + < < ∙ 2 +
, ∈
2
3
∙ 2 +
< < ∙ 2 + 2, ∈
2
2、弧度表示轴线角
角的终边位置
终边落在轴的非负半轴
集合表示
= ∙ 2, ∈
Байду номын сангаас
终边落在轴的非正半轴
= ∙ 2 + , ∈
A组
B组
C组
课本 练习题1，2，
3、7、8
课本 、
例2（1）（2）
点击此处输入您的汇报内容，根
据您的实际情况调整文字大小。
课本 A组5
下
节
再
见
弧
度
制
目 目
1 掌 握 弧 度 制 的 概 念 及 意 义
输 入 标 题 名
1
2 掌握弧度制与角度的换算公式
输 入 标 题 名
2
3 掌握弧度制下的扇形面积公式
输 入 标 题 名
3
4 掌 握 弧 度 制 下 的 弧 长 公 式
输 入 标 题 名
4
标 标
称
称
称
称
情 景 导 入
人体的身高、体重可以用不同的单位来度量，在几何度量中，长度、面积、
4
（7）510 （8）−750
2、一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了多少弧度？
二、用弧度表示象限角和轴线角
1、弧度表示象限角
象限
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
集合表示
∙ 2 < < ∙ 2 + , ∈
3
∙ 2 + < < ∙ 2 +
, ∈
2
3
∙ 2 +
< < ∙ 2 + 2, ∈
2
2、弧度表示轴线角
角的终边位置
终边落在轴的非负半轴
集合表示
= ∙ 2, ∈
Байду номын сангаас
终边落在轴的非正半轴
= ∙ 2 + , ∈
A组
B组
C组
课本 练习题1，2，
3、7、8
课本 、
例2（1）（2）
点击此处输入您的汇报内容，根
据您的实际情况调整文字大小。
课本 A组5
下
节
再
见
弧
度
制
目 目
1 掌 握 弧 度 制 的 概 念 及 意 义
输 入 标 题 名
1
2 掌握弧度制与角度的换算公式
输 入 标 题 名
2
3 掌握弧度制下的扇形面积公式
输 入 标 题 名
3
4 掌 握 弧 度 制 下 的 弧 长 公 式
输 入 标 题 名
4
标 标
称
称
称
称
情 景 导 入
人体的身高、体重可以用不同的单位来度量，在几何度量中，长度、面积、
4
（7）510 （8）−750
2、一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了多少弧度？
二、用弧度表示象限角和轴线角
1、弧度表示象限角
象限
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
集合表示
∙ 2 < < ∙ 2 + , ∈
1.3弧度制课件(1)(北师大版)
°
=
≈ °‘.
弧度制的应用
①根据需要，可以用以上公式进行弧度与角度换算.
②对于任意角，每一个角都可以表示成：
角度制 = + °, ≤ < °, ∈ ，
弧度制 ’ = ‘ + , ≤ < , ∈ .
解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无
关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
对应练习
例2 (1)把45°化成弧度；
(2)把−600°化成弧度.
解：
(1)45° = 45 ×
(2)−600° =
例3
= ；
180
4
10
600 ×
= −
.
弧度数的计算
角的正负由角的终边的旋转方向决定
正角的弧度数是一个正数
弧度数
弧度数与实数一一对应
负角的弧度数是一个负数
零角的弧度数是0
l
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么 | a | .
r
弧度数的计算
l
在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为α rad，那么 | a | .
π
5π
θ|2kπ－ <θ<2kπ＋ ，k∈Z
6
12
π
7π
(2)∵30°＝ rad,210°＝ rad，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线 AB
6
6
π
π
上的角为α＝kπ＋ ，k∈Z.终边在 y 轴上的角为β＝kπ＋ ，k∈Z.从而终边落在阴影部分内的
6
2
π
π
北师大版高中数学必修《弧度制》示范PPT1
r
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 .
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
例1. (1) 60化为弧度是_______ (2) 300化为弧度是_______ (3)6730化为弧度是_______
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 。 30 。 45 。
60 。
90 。 120 。 135 。 150 。 180 。 270 。 360 。
弧 度
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 . 负角的弧度数是一个负数 .
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 . 负角的弧度数是一个负数 . 零角的弧度数是零 .
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
复习
1. 在半径为r的圆中, no的圆心角所对的弧 长lS怎样计算?
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
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角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 .
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
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例1. (1) 60化为弧度是_______ (2) 300化为弧度是_______ (3)6730化为弧度是_______
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 。 30 。 45 。
60 。
90 。 120 。 135 。 150 。 180 。 270 。 360 。
弧 度
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 . 负角的弧度数是一个负数 .
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
角的弧度数的绝对值 l .
r
正角的弧度数是一个正数 . 负角的弧度数是一个负数 . 零角的弧度数是零 .
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
北 师 大 版 高 中数学 必修《 弧度制 》示范 PPT1
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
复习
1. 在半径为r的圆中, no的圆心角所对的弧 长lS怎样计算?
1.3弧度制课件高一下学期数学北师大版(1)
第三象限角为 2π + π < < 2π +
第四象限角为 2π +
3π
2
3π
,∈Z
2
;
< < 2π + 2π,∈Z .
(2)用弧度制表示轴线角的集合如下:
终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z};
终边落在 y 轴上的角为｛α =
π
+kπ,k∈Z｝.
2
(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
2π
(2)把 3 rad化成度;
(3)将-1 485°化成弧度.
解 (1)因为
(2)因为 1
(3)因为
π
1°=
180
rad,所以
180°
2π
rad=
,所以
π
3
π
1°=
180
π
112°30'=112.5°=112.5×
180
5π
rad=
8
2π
180°
rad= ×
=120°.
3
π
rad,所以-1 485°=-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.已知扇形AOB的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为( B )
A.3
4
B. 或
3
3
3
C.
4
3
D. 或
4
3
2 + = 10,
= 6,
解析 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,由题意可得 1
解得
=
6,
=2
2
= 4,
第四象限角为 2π +
3π
2
3π
,∈Z
2
;
< < 2π + 2π,∈Z .
(2)用弧度制表示轴线角的集合如下:
终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z};
终边落在 y 轴上的角为｛α =
π
+kπ,k∈Z｝.
2
(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
2π
(2)把 3 rad化成度;
(3)将-1 485°化成弧度.
解 (1)因为
(2)因为 1
(3)因为
π
1°=
180
rad,所以
180°
2π
rad=
,所以
π
3
π
1°=
180
π
112°30'=112.5°=112.5×
180
5π
rad=
8
2π
180°
rad= ×
=120°.
3
π
rad,所以-1 485°=-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.已知扇形AOB的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为( B )
A.3
4
B. 或
3
3
3
C.
4
3
D. 或
4
3
2 + = 10,
= 6,
解析 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,由题意可得 1
解得
=
6,
=2
2
= 4,
北师大版必修4 弧度制 课件(42张)
24
用弧度制表示终边相同的角
【例 2】 (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π；
(2)若 β∈[－4π，0)，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β. [解] (1)∵－1 480°＝－794π＝－10π＋169π，0≤169π<2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π. (2)∵β 与 α 终边相同，∴β＝2kπ＋196π，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－29π，β2＝－290π.
28
弧长公式与面积公式的应用 [探究问题] 1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ [提示] |α|＝rl. 2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ [提示] S＝12lr.
29
【例 3】 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧 度数．
[思路探究] 设扇形的半径为R，弧长为l → 根据条件列方程组 → 解方程组求R、l → 求圆心角
∴当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2.
34
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题 的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题， 将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题.
35
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应；反过来，每一个实数也都
第一章 三角函数
§3 弧度制
2
学习目标
核心素养
1.了解角的另外一种度量方法 1.通过学习弧度制的概念，提升
——弧度制． 数学抽象素养．
北师大高中数学必修第二册1.3弧度制【课件】
§3 弧度制
最新课标 了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要 性.
3.1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算
课前预习 [教材要点]
要点一 度量角的两种制度
角度 定义
用_度___作1为单位来度量角的单位制
制 1 度的角
周角的_36_0__为 1 度的角，记作 1°
弧度 制
定义 1 弧度 的角
对于题图(2)，同理可得，所求集合为{ α2kπ＋6π<α≤2kπ＋π2，k∈Z
∪α|
2kπ＋π＋π6<α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z＝αkπ＋π6<α≤kπ＋π2，k∈Z
.
答案：(1)D (2)见解析
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用——师生共研 例 2 (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角 的弧度数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1 rad 的角和 1°的角大小相等．( × ) (2)用弧度来表示的角都是正角．( × ) (3)1 弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) (4)扇形的半径为 1 cm，圆心角为 30°，则扇形的弧长 l＝|α|r＝30 cm.( × )
以_弧__度_为单位来度量角的单位制 长度等于__半__径_长___的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角.1 弧度记作 1 ___ra_d____
状元随笔 正确理解弧度与角度的概念
(1)定义不同； 区别 (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制
以“ 度”为单位 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的 联系 大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
最新课标 了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要 性.
3.1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算
课前预习 [教材要点]
要点一 度量角的两种制度
角度 定义
用_度___作1为单位来度量角的单位制
制 1 度的角
周角的_36_0__为 1 度的角，记作 1°
弧度 制
定义 1 弧度 的角
对于题图(2)，同理可得，所求集合为{ α2kπ＋6π<α≤2kπ＋π2，k∈Z
∪α|
2kπ＋π＋π6<α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z＝αkπ＋π6<α≤kπ＋π2，k∈Z
.
答案：(1)D (2)见解析
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用——师生共研 例 2 (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角 的弧度数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1 rad 的角和 1°的角大小相等．( × ) (2)用弧度来表示的角都是正角．( × ) (3)1 弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) (4)扇形的半径为 1 cm，圆心角为 30°，则扇形的弧长 l＝|α|r＝30 cm.( × )
以_弧__度_为单位来度量角的单位制 长度等于__半__径_长___的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角.1 弧度记作 1 ___ra_d____
状元随笔 正确理解弧度与角度的概念
(1)定义不同； 区别 (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制
以“ 度”为单位 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的 联系 大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
《弧度制》【公开课教学PPT课件】
解析：|α|＝rl＝42＝2.
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
北师大版高中数学弧度制ppt公开课1
课堂小结
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一
对应的关系：
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
角的集合
实数集R
我们的研究思路是怎样的？
课后任务： （1）22°30′ （2）-210°
我们的研究思路是怎样的？
（3）1200°
（1）22°30′ （2）-210°
（3）1200°
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
10′ （2）-210°
【2】把下列弧度化成角度. 完成必修四课时作业《三》。
（3）1200°
单位符号是rad，读作“弧度”.
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
完成必修四课时作业《三》。
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
180 rad
1 rad 0.01745rad
180
1
rad
180
57.30 5718'
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
探究2:如何进行弧度与角度的换算？ 特殊角的度数与弧度数
度 数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 360º 弧 度 数
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
【1】把下列角度化成弧度.
（1）22°30′
（2）-210°
（3）1200°
【2】把下列弧度化成角度.
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
在半径为 r 的圆中，圆心角的弧度数为 ，弧长为 l .
| | l
r
l r
怎样推导弧度制中的扇形面积公式呢？
例 3 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2rad，求该扇形的面积.
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答案：（1）15°； （2）－240°； （3）54°．
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P175练习 《弧度制》ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
【3】用弧度表示： （1）终边在 （2）终边在
轴上的角的集合 轴上的角的集合
【解】
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写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
064
3
2
2 3 5 3 46
3 2
2
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字 和单位符号“rad”可以省略 如：3表示
3rad
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目标检测
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【5】已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该 弧所对的圆心角（正角）的弧度数．
答案：弧度数为1.2．
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答案：（1） π ； （2） 7π ； （3）20π ．
8
6
3
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目标检测
【2】把下列弧度化成角度：
（1）1π2 ；
（2） 4π ； 3
（3）130π ．
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积．
证明：（1）由公式 α l 可得l αR ． R
下面证明（2）（3）．
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新知探究
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例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）l αR ； （2）S 1 αR2； （3）S 1 lR ．
（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；
在半径为r的圆中 α l ； r
类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
新知探究
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追问5 请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
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第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”； 第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
2 180
8
（2）利用计算器有67°30′≈1.178 rad．
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新知探究
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例2 将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）．
解：利用计算器有3.14 rad≈179.909°．
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2
2
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面
积．
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 l nπRα
nπ 180
，于是 S
1 αR2 2
．
将l＝αR代入上式，即得 S 1 αR2 ． 2
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弧长公式与扇形面积公式
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【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积. 则有：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将 进一步看到弧度制带来的便利.
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例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）l αR ； （2）S 1 αR2； （3）S 1 lR ．
2
2
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面
第五章 三角函数
立德树人 和谐发展
5.1.2 弧度制
学习目标
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1.理解弧度制的概念； 2.熟练弧度制与角度制的转换 3.掌握弧长公式与扇形的面积公式。
复习回顾
立德树人 和谐发展
1、在平面几何中研究角的度量时，1°的
角是如何定义的？
周角的 1 叫做1度角,记为1°
360
2、角度制下弧长公式与扇形面积公式是
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
新知探究
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追问4 （1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径
无关，那么在单位圆中如何确定1 rad的角呢？
（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周 角的 1 ；
360 第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半 径大小无关的定值，等等．
新知探究
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问题3 既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们 之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？
360 2π rad 1 π rad
180
180 π rad
1
rad
π 180
57.30
新知探究
新知探究
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值．
解：（1）由于67°30′＝
135 2
，
所以67°30′＝135 π rad＝3π rad．
课后作业 《弧度制》ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
作业布置
作业A 1．第175页习题5.1 第1，2,3题． 2．金版 P115-P116．
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P175练习 《弧度制》ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版) 【1】把下列角度化成弧度： （1）22°30′； （2）－210°； （3）1 200°．
什么？
l n r , s n r2
180
360
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我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定 义呢？
弧度制 ：
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定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
归纳小结 《弧度制》ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
归纳小结
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问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？
（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
背景
引入弧度制的必要性
定义的合理性
弧度制
定表关应 义示系用
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例4 ：已知一半径为R的扇形，它的周长等于所
在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？
合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
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