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【精品】2014-2015年四川省凉山州高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

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2014-2015学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中只有一个选择是正确的）1．（5分）已知直线l：y=3x﹣2的纵截距是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．22．（5分）一个样本数据：1，1，2，3，3，3，3，4，5，5的平均数和众数分别是（）A．3、5B．4、5C．3、3D．3、不存在3．（5分）如图，把棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1放在空间直角坐标系中，使D与原点重合，点A与点C分别放在x轴和y轴的正半轴上，则BB1中点M的坐标为（）A．（2，2，1）B．（1，1，1）C．（2，1，2）D．（1，2，2）4．（5分）若把直线l向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得直线与直线l重合，则（）A．直线l的斜率为﹣B．直线l的纵截距为1C．直线l的斜率为2D．直线l的纵截距为25．（5分）如图程序，当输入变量x的值为5时，电脑屏幕上将显示（）A．5B．﹣5C．x=5D．x=﹣56．（5分）甲乙两同学在高二年级的6次数学测验成绩（满分100分）如图茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A．甲乙同学的平均成绩相同，但是甲同学的成绩比乙稳定B．甲乙同学的平均成绩相同，但是乙同学的成绩比甲稳定C．甲同学的平均成绩比乙同学好，但是乙同学的成绩比甲稳定D．乙同学的平均成绩比甲同学好，但是甲同学的成绩比乙稳定7．（5分）已知⊙O：x2+y2=1，与该圆相切于点M（，﹣）的直线方程是（）A．x﹣y=2B．x﹣y=2C．x+y=2D．x+y=2 8．（5分）下列说法中正确的是（）A．用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法抽取样本时，要求个体被抽取到的概率相等，但是在系统抽样中，如果不能平均分组时，除剔除的某些个体被抽取到的概率就和后面参与抽取的其它个体被抽取的概率不同B．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等C．在相同条件下的重复试验中，某一随机事件出现的频率就是该随机事件的概率D．在一定条件下，概率为0的事件一定是不可能事件9．（5分）已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x﹣5y+11=0，若直线l∥m，则直线l与直线m之间的距离是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）且a=2，△ABC的外接圆为⊙O，现在在⊙O内（包括圆周）随机取点，若记所取的点在△ABC内（包括三角形的边）的概率为p，则p 的取值范围是（）A．0＜p≤B．≤p≤C．＜p≤D．0＜p≤二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知直线l过点（0，4）和（3，0），则直线l的斜截式方程为．12．（5分）采用分成抽样的方法从高一年级和高二年级的学生中抽取一个样本，已知从高一年级的750人中抽取了25人，如果该样本的容量是55，那么，高二年级的学生数是．13．（5分）两个变量的数据如表，已知回归方程为y=x+，则表中缺失的数据m的值为．14．（5分）与直线l：3x+4y﹣4=0、直线m：3x+4y+6=0都相切，且圆心在直线x+2y+1=0的圆的标准方程是．15．（5分）如图程序框图，当输出的任何一个确定的y值时恰好只对应输入唯一的x值，则这是输出的y值的范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）如图是一个样本数据的频率分布直方图，根据频率分布直方图，解答下列问题．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）根据直方图，估计数据的众数和平均数（写出估计值、主要估计依据和方法）；（Ⅲ）已知分布在第一组中有10个数据，求第三组和第四组数据个数之和．17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，3）．（Ⅰ）若直线l与直线m：3x+y﹣1=0垂直，求直线l的一般式方程；（Ⅱ）写出（Ⅰ）中直线l的截距式方程，并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．18．（12分）设集合A={1，2，3}，在集合A的所有非空子集中任取一个集合B．（Ⅰ）记事件M为“集合B含有元素2”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）记事件N为“在集合B中任取一个元素a，都有4﹣a∈B”，求事件N发生的概率．19．（12分）已知：点A（2，2）、点B（4，4）、点C（4，2）是⊙D上的三个点．（Ⅰ）求⊙D的一般方程；（Ⅱ）直线l：x﹣y﹣4=0，点P在直线l上运动，过点P作⊙D的两贴切线，切点分别是M、N，求当PD⊥l时四边形PMDN的面积，并求这时点P的坐标．20．（13分）已知直线l1：2x﹣y﹣5=0；直线l2：x+y﹣5=0．（Ⅰ）求点P（3，0）到直线l1的距离；（Ⅱ）直线m过点P（3，0），与直线l1、直线l2分别交与点M、N，且点P是线段MN的中点，求直线m的一般式方程；（Ⅲ）已知⊙Q是所有过（Ⅱ）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求⊙Q的标准方程．21．（14分）已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣8y+16=0，直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣6=0（λ∈R）．（Ⅰ）求证：对任意λ∈R，都有直线l与⊙M相交；（Ⅱ）当λ=2时，求直线l被⊙M截得的弦长；（Ⅲ）已知点N（3，1），在⊙M内（包括圆周）任取一点P，记事件K为“点P 与点N（3，1）所确定的直线到点M的距离不大于1”，求事件K发生的概率．2014-2015学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中只有一个选择是正确的）1．（5分）已知直线l：y=3x﹣2的纵截距是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．2【解答】解：当x=0时，y=3x﹣2=﹣2，故直线l：y=3x﹣2的纵截距是﹣2，故选：B．2．（5分）一个样本数据：1，1，2，3，3，3，3，4，5，5的平均数和众数分别是（）A．3、5B．4、5C．3、3D．3、不存在【解答】解：平均数是：=3，众数是：3，故选：C．3．（5分）如图，把棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1放在空间直角坐标系中，使D与原点重合，点A与点C分别放在x轴和y轴的正半轴上，则BB1中点M的坐标为（）A．（2，2，1）B．（1，1，1）C．（2，1，2）D．（1，2，2）【解答】解：由已知可得：B1（2，2，2）．则BB1中点M的坐标为（2，2，1）故选：A．4．（5分）若把直线l向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得直线与直线l重合，则（）A．直线l的斜率为﹣B．直线l的纵截距为1C．直线l的斜率为2D．直线l的纵截距为2【解答】解：设直线l为y=mx+n∵直线l向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得直线与直线l重合，∴mx+n=m（x﹣2）+n﹣1=mx﹣2m+n﹣1，∴﹣2m+n+1=n，∴m=﹣∴直线l的斜率为﹣，故选：A．5．（5分）如图程序，当输入变量x的值为5时，电脑屏幕上将显示（）A．5B．﹣5C．x=5D．x=﹣5【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值∵x=5，∴输出的值为5，故选：A．6．（5分）甲乙两同学在高二年级的6次数学测验成绩（满分100分）如图茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A．甲乙同学的平均成绩相同，但是甲同学的成绩比乙稳定B．甲乙同学的平均成绩相同，但是乙同学的成绩比甲稳定C．甲同学的平均成绩比乙同学好，但是乙同学的成绩比甲稳定D．乙同学的平均成绩比甲同学好，但是甲同学的成绩比乙稳定【解答】解：由茎叶图可知：甲同学的数据叶峰偏下，甲同学的得分大部分集中在80～100分之间，而乙同学的得分相对比较散故甲同学的成绩发挥比较稳定．故选：A．7．（5分）已知⊙O：x2+y2=1，与该圆相切于点M（，﹣）的直线方程是（）A．x﹣y=2B．x﹣y=2C．x+y=2D．x+y=2【解答】解：∵直线和圆相切于点M（，﹣），∴OM的斜率k=，则切线斜率k=，故切线方程为y=，即x﹣y=2，故选：B．8．（5分）下列说法中正确的是（）A．用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法抽取样本时，要求个体被抽取到的概率相等，但是在系统抽样中，如果不能平均分组时，除剔除的某些个体被抽取到的概率就和后面参与抽取的其它个体被抽取的概率不同B．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等C．在相同条件下的重复试验中，某一随机事件出现的频率就是该随机事件的概率D．在一定条件下，概率为0的事件一定是不可能事件【解答】解：A．用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法抽取样本时，要求个体被抽取到的概率相等，但是在系统抽样中，如果不能平均分组时，除剔除的某些个体被抽取到的概率和后面参与抽取的其它个体被抽取的概率相同，因此不正确；B．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，正确；C．在相同条件下的重复试验中，某一随机事件出现的频率近似该随机事件的概率，但不能说相等；D．在一定条件下，概率为0的事件一定是不可能事件，不正确，例如在几何概率中，取某一点的概率为0，但是不是不可能事件．综上只有：B正确．故选：B．9．（5分）已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x﹣5y+11=0，若直线l∥m，则直线l与直线m之间的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由l：（a+3）x+y﹣1=0，m：5x﹣5y+11=0，且l∥m，得，解得：a=﹣4．∴直线l：（a+3）x+y﹣1=0化为：x﹣y+1=0．又直线m：5x﹣5y+11=0，即x﹣y+．∴直线l与直线m之间的距离是d=．故选：C．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）且a=2，△ABC的外接圆为⊙O，现在在⊙O内（包括圆周）随机取点，若记所取的点在△ABC内（包括三角形的边）的概率为p，则p 的取值范围是（）A．0＜p≤B．≤p≤C．＜p≤D．0＜p≤【解答】解：△ABC中，由（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB），利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）﹣（c﹣b）c=0，即bc=c2+b2﹣a2，∴cosA=，∴A=．∴2R==，∴△ABC的外接圆的面积为，∵bc=c2+b2﹣a2≥2bc﹣4，∴bc≤4∴S==≤，△ABC∴所取的点在△ABC内（包括三角形的边）的概率为p=≤，故选：D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知直线l过点（0，4）和（3，0），则直线l的斜截式方程为．【解答】解：∵直线l过点（0，4）和（3，0），∴其斜率k=，又直线在y轴上的截距为4，∴直线l的斜截式方程为．故答案为：．12．（5分）采用分成抽样的方法从高一年级和高二年级的学生中抽取一个样本，已知从高一年级的750人中抽取了25人，如果该样本的容量是55，那么，高二年级的学生数是900．【解答】解：∵该样本的容量是55，从高一年级的750人中抽取了25人，∴从高二年级抽取了55﹣25=30人，设高二年级的学生数是x，则x：30=750：25，解得：x=900，故答案为：90013．（5分）两个变量的数据如表，已知回归方程为y=x+，则表中缺失的数据m的值为7．【解答】解：由题意，=4，=，∵y关于x的线性回归方程为y=x+，∴根据线性回归方程必过样本的中心，=×4+，∴m=7．故答案为：7．14．（5分）与直线l：3x+4y﹣4=0、直线m：3x+4y+6=0都相切，且圆心在直线x+2y+1=0的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=1．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则由直线和圆相切的条件可得，=，解得，3a+4b+1=0，又圆心在直线x+2y+1=0上，则a+2b+1=0，解得，a=1，b=﹣1，直线l：3x+4y﹣4=0与直线m：3x+4y+6=0的距离为d==2．则r=1．则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=1．15．（5分）如图程序框图，当输出的任何一个确定的y值时恰好只对应输入唯一的x值，则这是输出的y值的范围是[0，+∞）．【解答】解：由程序框图可知其功能是求分段函数y=的值，当x≥2时，y≥1+log22=2，当x＜2时，y≥0，∴输出的y值的范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（共75分）16．（12分）如图是一个样本数据的频率分布直方图，根据频率分布直方图，解答下列问题．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）根据直方图，估计数据的众数和平均数（写出估计值、主要估计依据和方法）；（Ⅲ）已知分布在第一组中有10个数据，求第三组和第四组数据个数之和．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得；（x+0.01+0.015+0.025+0.01）×10=1，解得x=0.04；（Ⅱ）根据直方图中最高矩形的中点，估计数据的众数是=45；以直方图每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标的积的和，估计平均数为：（15×0.01+25×0.015+35×0.025+45×0.04+55×0.01）×10=37.5；（Ⅲ）根据直方图知，落在第一组中的数据的频率是0.01×10=0.1，频数是10，∴该样本的容量是=100；又∵第三组和第四组的频率和为（0.025+0.04）×10=0.65，∴第三组与第四组的数据个数之和为100×0.65=65．17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，3）．（Ⅰ）若直线l与直线m：3x+y﹣1=0垂直，求直线l的一般式方程；（Ⅱ）写出（Ⅰ）中直线l的截距式方程，并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵直线m：3x+y﹣1=0的斜率为﹣3，由题意：直线l的斜率为，又直线l过点P（﹣1，3），根据直线方程的点斜式，得直线l的方程为：y﹣3=（x+1），化简得：x﹣3y+10=0；（Ⅱ）由（Ⅰ），x﹣3y+10=0，化为截距式方程得：，∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=．18．（12分）设集合A={1，2，3}，在集合A的所有非空子集中任取一个集合B．（Ⅰ）记事件M为“集合B含有元素2”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）记事件N为“在集合B中任取一个元素a，都有4﹣a∈B”，求事件N发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）记事件Ω为“从集合A的所有非空子集中任取一个集合”，则事件Ω包含的基本事件为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共7个基本事件，事件M中包含的基本事件为{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}共4个基本事件，所以P（M）=；（Ⅱ）事件M中包含的基本事件为{2}，{1，3}共2个基本事件，所以P（N）=．19．（12分）已知：点A（2，2）、点B（4，4）、点C（4，2）是⊙D上的三个点．（Ⅰ）求⊙D的一般方程；（Ⅱ）直线l：x﹣y﹣4=0，点P在直线l上运动，过点P作⊙D的两贴切线，切点分别是M、N，求当PD⊥l时四边形PMDN的面积，并求这时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设⊙D的一般方程为x2+y2+dx+ey+f=0，则，解得．∴⊙D的一般方程为x2+y2﹣6x﹣6y+16=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙D的圆心D（3，3），由PD⊥l，可设PD：x+y+m=0，解得：m=﹣6．∴，解得：P（5，1），这时圆心D到直线l的距离|PD|=h=．⊙D的半径r=．h＞r，∴直线l与⊙D无公共点，根据对称性，=．故．综上，当P（5，1）时，．20．（13分）已知直线l1：2x﹣y﹣5=0；直线l2：x+y﹣5=0．（Ⅰ）求点P（3，0）到直线l1的距离；（Ⅱ）直线m过点P（3，0），与直线l1、直线l2分别交与点M、N，且点P是线段MN的中点，求直线m的一般式方程；（Ⅲ）已知⊙Q是所有过（Ⅱ）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求⊙Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）点P（3，0）到直线l1的距离d==；（Ⅱ）由题意，设直线m：y=kx﹣3k，由，解得：，即M（，），再由，解得：，即N（，），由中点坐标公式得：=0，解得：k=0或k=1，经检验，当直线m的斜率不存在或k=0时皆不满足题意，舍去，故k=1，则所求直线方程为y=x﹣3；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：把k=1分别代入M、N中，得M（2，﹣1），N（4，1），在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，即圆Q的半径r=|MN|==，圆心Q与点P（3，0）重合，则圆Q的标准方程为（x﹣3）2+y2=2．21．（14分）已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣8y+16=0，直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣6=0（λ∈R）．（Ⅰ）求证：对任意λ∈R，都有直线l与⊙M相交；（Ⅱ）当λ=2时，求直线l被⊙M截得的弦长；（Ⅲ）已知点N（3，1），在⊙M内（包括圆周）任取一点P，记事件K为“点P 与点N（3，1）所确定的直线到点M的距离不大于1”，求事件K发生的概率．【解答】（Ⅰ）证明：直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣6=0可化为（x+y﹣6）+λ（x ﹣y）=0，∴，∴x=y=3，（3，3）代入x2+y2﹣4x﹣8y+16=9+9﹣36﹣24+16=﹣46＜0∴对任意λ∈R，都有直线l与⊙M相交；（Ⅱ）解：⊙M：x2+y2﹣4x﹣8y+16=0，可化为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4，圆心M （2，4），半径为2当λ=2时，直线l ：3x ﹣y ﹣6=0， 圆心M 到直线l 的距离d==， ∴直线l 被⊙M 截得的弦长为2=；（Ⅲ）解：点N （3，1）在⊙M 外，设过点N 且与圆心的距离为1的两条直线NB 和ND 与⊙M 分别交于A 、B 和C 、D ，由于|MA |=|MB |=|MC |=|MD |=2，∴△MAB ≌△MCD ，∠AMB=∠CMD=，∴S 弓形AB =S 弓形CD ==﹣，∴S 曲多边形ABDC =4π﹣2（﹣）=+2，由题意，P 落在曲多边形ABDC 内（包括边界）时满足题意，事件K 发生的概率为（+2）÷4π=．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

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高二上学期理科数学期末试题(含答案)

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东联现代中学2014-2015学年第一学期高二年级期末考试数 学【试卷满分：150分，考试时间：120分钟，命题人：郭智富】一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．“0x >”是0>”成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<- D ．11a b -<-4．已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6-5．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.6．若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x=±D．2y x =± 7．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中真命题为( )A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 8．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a > 9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===， 则OG =（ ）A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C. 34 D. 4511.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 812．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）9题图BA ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 二．填空题：( 本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．不等式220x x +-<的解集为___________.14．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是____________． 15．在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.16.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

四川省凉山彝族自治州高二上学期期末数学试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高二上学期期末数学试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）某大学有三个系，A系有10名教师，B系有20名教师，C系有30名教师，甲是B系主任，如果学校决定采用分层抽样的方法选举6位教师组成“教授联席会”，那么，甲被选中的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A . 至多有1次中靶B . 2次都中靶C . 2次都不中靶D . 只有1次中靶3. （2分） (2017高一下·郑州期末) 已知数据x1 ， x2 ， x3 ，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1 ，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A . 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B . 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C . 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D . 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变4. （2分） 2016年山西八校联考成绩出来之后，李老师拿出甲、乙两个同学的6次联考的数学成绩，如表所示．计甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）姓名/成绩123456甲125110868313292乙10811689123126113A . ＞，甲比乙成绩稳定B . ＞，乙比甲成绩稳定C . ＜，甲比乙成绩稳定D . ＜，乙比甲成绩稳定5. （2分）执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（）A . k < 4?B . k < 5?C . k< 6?D . k < 7?6. （2分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A . 18B . 36C . 72D . 1087. （2分）已知m＞0，n＞0，在（1+mx）3+（1+ nx）2的展开式中，当x2项系数为3时，则m+n的最大值为（）A .B .C . 2D . 28. （2分）口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .10. （2分） (2015高二上·海林期末) 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，4D . 85，1.611. （2分）电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A . 0.401B . 0.104C . 0.410D . 0.01412. （2分） (2016高二下·通榆期中) 对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）甲、乙、丙、丁4位同学各自对 A ， B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和，如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则________同学的试验结果体现拟合A ， B两变量关系的模型拟合精度最高.14. （1分）某文艺团体下基层进行宣传演出原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这两个小品节目在节目表中既不排在排头也不排在排尾，有________种不同的插入方法．15. （1分） (2016高一上·德州期中) 某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为________人．16. （1分） (2017高二下·怀仁期末) 的展开式中项的系数为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知175（r）=125（10），求在这种进制里的数76（r）应记成十进制的什么数？18. （15分） (2016高一下·邯郸期中) 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率50.5～60.560.0860.5～70.50.1670.5～80.51580.5～90.5240.3290.5～100.5合计75 1.00（1）填充频率分布表的空格；（2）补全频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图求此次“环保知识竞赛”的平均分为多少？19. （5分）（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？20. （10分）(2017·安徽模拟) 医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．21. （5分） (2017高二上·枣强期末) 已知在的展开式中，第6项为常数项．（Ⅰ）求含x2的项的系数；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．22. （10分）已知a∈(0，6)，b∈(0，6).（1）求的概率；（2）以a，b作为直角三角形两直角边的边长，求斜边长小于6的概率．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2014-2015年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．13985．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：．12．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是个．13．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是万元．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选：C．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大【解答】解：设其他5个同学的成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5；则本次测试的平均分是=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75，方差是s2=[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=102=100；修改数据后，测试成绩的平均分是=（75+75+x1+x2+x3+x4+x5）=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75=，方差为s′2=[（75﹣75）2+（75﹣75）2++…+]=[+…+]＜[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=100=s2；∴s′＜s．故选：A．4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．1398【解答】解：∵f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x=（（（（15x﹣24）x+33）x﹣42）x+51）x，∴v0=15，v1=15×2﹣24=6，v2=6×2+33=45，v3=45×2﹣42=48，v4=48×2+51=147，v5=147×2=294．故选：B．5．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④【解答】解：①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则如果两点在平面α同侧，则l∥α；如果两点在平面α异侧，则l与α相交，故错误；②当平面α与平面β相交时，α内在平面β的两侧存在三点到平面β的距离相等，故错误；③正方体从同一顶点出发的三条直线，即可判断空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，正确；④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交，故正确，故选：D．6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．【解答】解：如图所示，四面体V﹣ABC中，面VAB，面VAC，面VBC与面ABC都是直角三角形，∴从这个四面体的四个面中任意取出一个面，这个面恰好为直角三角形的概率是=1．故选：A．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵程序运行后输出“1+2+…+100”，∴每次累加的值都增大1，∴用i来进行计数增大，则i=i+1，又S表示的是依次累加的值，∴S=S+i，模拟运算如下：S=0，i=1，此时i=1≤100，S=0+1=1，i=1+1=2，此时i=2≤100，S=1+2，i=2+1=3，此时i=3≤100，依次运行，…，S=1+2+…+99，i=99+1=100，此时i=100≤100，S=1+2+…+100，i=100+1=101，此时i=101＞100，不符合条件，运行结束，输出S=1+2+ (100)所以i=i+1应在③处．故选：C．8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：A={（x，y）||x|≤1，|y≤|1}对应的区域为矩正方形，面积S=2×2=4，区域B对应的区域为阴影部分，对应的面积S=4﹣π，如图，则若向区域A内随机取一点P，由几何概型公式得，点P不落入区域A的概率P=；故选：B．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由kx﹣y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0），则直线过定点A（﹣1，0），当x∈[0，2）时，f（x）=，即（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），对应的根据为圆心在（1，0）的上半圆，∵f（x）满足f（x+2）=f（x），∴当x∈[2，4）时，（x﹣3）2+y2=1，（y≥0），此时圆心为（3，0），当直线和圆（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有2个交点，此时圆心（1，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．当线和圆（x﹣3）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有4个交点，此时圆心（3，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．若若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则直线在AB和AC之间，则＜k＜，故选：A．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【解答】解：如图，将直线改l：ax+by=1写为ax+by﹣1=0，直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，得，画出可行域如图，化z=2a+b为b=﹣2a+z，由图可知，当直线b=﹣2a+z过（0，1）时直线在b轴上的截距最小，为z=2×0+1=1．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1≤012．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是5个．【解答】解：由分层抽样可得应当抽取的女生人数是，故答案为：513．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：由题意可得另一个交点B是点A（﹣2，2）关于直线x﹣y+1=0的对称点，设点B（m，n），则由，求得，故点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是11.84万元．【解答】解：∵由表格可知=4，=5，∴这组数据的样本中心点是（4，5），根据样本中心点在线性回归直线上，∴5=a+1.14×4，∴a=0.44，∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.14x+0.44，∵x=10，∴y=1.14×10+0.44=11.84，故答案为：11.84．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有①②③④（写出所有正确命题的序号）【解答】解：对于①，如图，四面体ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，取CD中点G，连结AG，BG，在等边三角形ACD和等边三角形BCD中，可求得AG=BG=，∴要构成四面体ABCD，A，B不能重合，即x＞0，点A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2．∴①正确；对于②，因为异面直线所成角的最大值是90°，当x=2时几何体是正四面体，异面直线AB⊥CD，异面直线AB与CD成角最大为90°．∴②正确．对于③，当侧面ABC与底面BCD垂直时，AB与底面BDC所成角取得最大值，三角形ABC是正三角形，所以最大值为60°，∴③正确．对于④，当侧面ABC与底面BCD垂直时，A到底面BCD的距离最大，底面BCD 面积是定值，此时体积最大，如图，作AO⊥BC于O，作OE⊥BD于E，连结AE，则二面角A﹣CD﹣B平面角为∠AEO，此时O是BC的中点，AO=2OE，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2，∴④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由图表得到15人中候车时间少于12分钟的人数为9，设45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为n，由，得n=27．则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27人；（Ⅱ）记第四组的3人为A、B、C，第五组的2个人为a、b，则从这5人中随机抽取2人的不同结果（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，则抽到的2人恰好来自不同组的概率P=．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．【解答】已知：a∩b=P，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴，，又a∩b=P，a⊂α，b⊂α，∴，∴α∥β．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）（I）证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO，因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EO为△A 1BC的中位线，所以EO∥A1B，…（2分）又∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，所以A1B∥平面AEC1．…（4分）（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系所以A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，﹣1，﹣2），因为B1M⊥C1E，所以=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）（Ⅲ）解：因为=（1，1，0），=（0，2，2），设平面AEC1的法向量为=（x，y，z），则有，得，令y=﹣1，则x=1，z=1，所以取=（1，﹣1，1），…（10分）因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），…（11分）所以cos＜＞==﹣，…（13分）平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．…（14分）21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【解答】（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，∴，整理得①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根∴②由，消元可得③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1，y2是方程③的两个实根∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．。

2014-2015年四川省内江市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015年四川省内江市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱锥B．棱台C．圆锥D．棱柱2．（5分）下列关于随机抽样的说法不正确的是（）A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”C．命题“若x=y，则sinx=si ny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β6．（5分）在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定7．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．③9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）A．B．1C．﹣1D．210．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以顶点A为球心，4为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）读如图两段程序，完成下面题目．若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同，则程序Ⅱ中输入的值x为．12．（5分）一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，则两段长度都超过4的概率为．13．（5分）在分别标有号码2，3，4，6，8，9的6张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号能被较小标号整除的概率是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它表面积是．15．（5分）对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若点A到底面三角形BCD三边的距离相等，则侧面与底面所成的二面角相等；⑤若四面体A﹣BCD是棱长为1的正四面体，则它的内切球的表面积为．其中，正确的命题是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB 的中点．求证：（1）平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）BC1∥平面CA1D．18．（12分）某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：00﹣7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为多少？19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．20．（13分）某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．21．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE 上的点．且BF⊥平面ACE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．2014-2015学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱锥B．棱台C．圆锥D．棱柱【解答】解：由题意不难判断几何体是三棱柱，故选：D．2．（5分）下列关于随机抽样的说法不正确的是（）A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样【解答】解：A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样，正确．B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等，正确．C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为，故C错误，D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样，正确．故选：C．3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1====3，cos∠AC1C==．故选：C．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A不正确；对于B，“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，所以B不正确；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”，因为原命题是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以C正确；对于D，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【解答】解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．（5分）在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定【解答】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A．7．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选：D．8．（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．③【解答】解：由展开图可得正方体．由正方体可得：①BM与ED为异面直线，不正确；②四边形BCNE为平行四边形，可得CN∥BE，因此不正确；③由于△BEM为等边三角形，BE∥CN，可得CN与BM成60°角，正确；④由正方体的性质可得：DM⊥平面BCN，∴DM与BN垂直，正确．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）A．B．1C．﹣1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：y=2，i=1，1≥2014？，否，y=1﹣=；i=1+1=2，2≥2014？，否，y=1﹣=﹣1；i=2+1=3，3≥2014？，否，y=1﹣=2；i=3+1=4，4≥2014？，否，y=1﹣=；，…，i=2012+1=2013，2013≥2014？，否，y=1﹣=2；i=2013+1=2014，2014≥2014？，是，输出y：2．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以顶点A为球心，4为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA 1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=4，AA1=2，则∠A1AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，故弧EF的长为：4×=，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为2，∠FBG=，所以弧FG的长为：1×=．于是，所得的曲线长为：+=．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）读如图两段程序，完成下面题目．若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同，则程序Ⅱ中输入的值x为0．【解答】解：根据题意，Ⅰ中伪代码运行后输出的是x=3×2=6；Ⅱ中运行后输出的也是y=6，∴x2+6=6，∴x=0；即输入的是0．故答案为：0．12．（5分）一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，则两段长度都超过4的概率为0.2．【解答】解：记“两段的长都超过4厘米”为事件A，则只能在中间2厘米的绳子上剪断，此时剪得两段的长都超过4厘米，所以事件A发生的概率P（A）==0.2故答案为：0.2．13．（5分）在分别标有号码2，3，4，6，8，9的6张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号能被较小标号整除的概率是．【解答】解：分别标有号码2，3，4，6，9的6张卡片中，随机取出两张卡片的基本事件有（2，3），（2，4），（2，6），（2，8），（2，9），（3，4），（3，6），（3，8），（3，9），（4，6），（4，8），（4，9），（6，8），（6，9），（8，9）故15种，较大标号被较小标号整除有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（3，9），（4，8），共6种，故较大标号被较小标号整除的概率是P=．故答案为：14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它表面积是20+4．【解答】解：由题意，几何体为底面边长为2，高为3的长方体，切去一个角得到，切面的面积为2×=4，表面积为：2×2+2×4×2+4=20+4，故答案为：20+4．15．（5分）对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若点A到底面三角形BCD三边的距离相等，则侧面与底面所成的二面角相等；⑤若四面体A﹣BCD是棱长为1的正四面体，则它的内切球的表面积为．其中，正确的命题是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．【解答】解：对于①，因为AB=AC=AD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为sin∠ABO=，sin∠ACO=，sin∠ADO=，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，即则AB，AC，AD与底面所成的角相等；故①正确；对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确对于④，四面体A﹣BCD，点A到三边距离相等，则点A在平面BCD内射影是△BCD的内心，所以侧面与底面所成的二面角不相等．故④不正确．对于⑤如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；所以OE为内切球的半径，BF=AF=，BE=，所以AE==，因为BO2﹣OE2=BE2，所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，所以OE=，所以球的表面积为：4π•OE2=，故⑥正确．故答案为：①③⑤三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，则a＜x＜3a，即p：x∈（a，3a），若命题“若q，则p”为真，即q是p的充分条件，即（2，3]⊆（a，3a），即，即，解得1＜a≤2．（2）￢q：x∈（﹣∞，2]∪（3，+∞），若p是￢q的充分条件，则（a，3a）⊆（﹣∞，2]∪（3，+∞），∵a＞0，∴或a≥3，解得0＜a≤或a≥3，即实数a的取值范围是0＜a≤或a≥3．17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB 的中点．求证：（1）平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）BC1∥平面CA1D．【解答】证明：（1）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A∴CD⊥面AA1B1B，∵CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B．（2）连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，知E为AC1的中点又D是AB的中点，得到DE∥BC1，从而可得BC1∥面CA1D．18．（12分）某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：00﹣7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为多少？【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x ≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ADE，联立得，即D（15，20），联立得，即E（0，5），=×15×15，则S△ADE几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．【解答】解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且．由已知AB∥CD，，所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．（4分）又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC．（5分）（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（7分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（8分）所以BC⊥平面BDE．（10分）（3）由（2）知，BC⊥平面BDE又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）在直角三角形BDE中，所以所以点D到平面BEC的距离等于．（14分）20．（13分）某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，（Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为=（27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，估计中位数为：35+=35.75，（III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1第2组的人数为6×=1第3组的人数为=4设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1﹣．21．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE 上的点．且BF⊥平面ACE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【解答】证明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又AE⊂平面ADE，故平面平面ADE⊥平面BCE．（2）由（1）知AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，即∠AEB=90°，取AB的中点O，连接OE，则OE⊥AB，建立以O为原点，OA，OE，OH为x，y，z轴的空间坐标系如图：∵AE=EB=BC=2，∴AB=2，OA=OE=，则A（，0，0），E（0，，0），B（﹣，0，0），H（O，0，2），C（﹣，0，2），则平面ACB的一个法向量为=（0，1，0），设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则=（﹣2，0，2），=（﹣，，0），由，得，令x=1，则y=1，z=，即=（1，1，），则cos＜＞==，即＜＞=60°，故二面角E﹣AC﹣B的大小为60°．（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGE∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。