2015届高考数学总复习第二章函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13～14页)考点分析考点新知①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．①了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.②掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1. (必修1P45习题8改编)函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．答案：12解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝12.2. (必修1P43练习5改编)函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.答案：原点解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．答案：1解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4. (必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； ③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； ④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案：①③解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，x ＋2，x<0，由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．5. (必修1P 54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________．答案：x 3＋x －1解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x 3－x ＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x 3＋x －1.1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1) 考查定义域是否关于原点对称．(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．若存在x 使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f(x)与y ＝kf(x)的单调性与k(k ≠0)有关．(2) 注意函数y ＝f(x)与y ＝1f （x ）的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相反的单调性． 5. 函数的周期性设函数y ＝f(x)，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T 为函数f(x)的一个周期．(D 为定义域)题型1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 3－1x ；(2) f(x)＝1－x 2|x ＋2|－2；(3) f(x)＝(x －1)1＋x1－x； (4) f(x)＝3－x 2＋x 2－3.解：(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0且x ≠－4. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f(x)＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x， 这时有f(－x)＝1－（－x ）2－x＝－1－x 2x＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数． 备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 4＋x ；(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），－x 2＋x （x>0）；(3) f(x)＝lg(x ＋x 2＋1)．解：(1) 定义域为R ，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x 2＋x)＝－f(x)(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x 2＋x)＝－f(x)(x ＞0)．故函数f(x)为奇函数．(3) 由x ＋x 2＋1>0，得x ∈R ，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x ＋x 2＋1)＋lg(x ＋x 2＋1)＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设a ∈R ，f(x)＝a·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )，试确定a 的值，使f(x)为奇函数；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．解：(1) 要使f(x)为奇函数， ∵ x ∈R ，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0. ∵ f(x)＝a －22x ＋1，∴ f(－x)＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1＝0， ∴ a ＝1.(2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a< 5.由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a ≠2. 综上，实数a 的取值范围是3<a<5且a ≠2. 变式训练(1) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x 2－x ＝－ax 2－bx. 从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0. (2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2)，即f(1－m)<f(m 2－1)． 由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减， 所以在[－2，2]上是递减函数， 所以1－m>m 2－1，解得－2<m<1. 综上，实数m 的取值范围是－1≤m<1. 题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x －x 2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x ∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值．(1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：因为x ∈[2，4]，所以－x ∈[－4，－2]，4－x ∈[0，2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x 2＋6x －8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x 2＋6x －8，即f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]． (3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.备选变式（教师专享）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23.(1) 求证：f(x)为奇函数；(2) 求证：f(x)在R 上是减函数；(3) 求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．(1) 证明：令x ＝y ＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y ＝－x ，可得f(x)＋f(－x)＝f(x －x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2) 证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f(x 1－x 2)＜0.从而f(x 1)－f(x 2)＝f[(x 1－ x 2)＋x 2]－ f(x 2) ＝ f (x 1－ x 2) ＋f(x 2)－ f(x 2) ＝ f (x 1－ x 2)＜0.所以f(x)为减函数．(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.1. (2013·苏州期初)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4，则f(7)＝________．答案：－3解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.2. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：作出f(x)＝x 2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x 表示函数y ＝f(x)的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3. (2013·天津)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤12，2解析：因为f(log 12a)＝f(－log 2a)＝f(log 2a)，所以原不等式可化为f(log 2a)≤f(1)．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2.4. (2013·盐城二模)设函数y ＝f(x)满足对任意的x ∈R ，f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9.已知当x ∈[0，1)时，有f(x)＝2－|4x －2|，则f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝________．答案：5解析：由题知f ⎝⎛⎭⎫12＝2，因为f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9，故f ⎝⎛⎭⎫32＝5，f ⎝⎛⎭⎫52＝2，f ⎝⎛⎭⎫72＝5，如此循环得f ⎝⎛⎭⎫6712＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×168－12＝5，即f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝ 5.1. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x>0，则f(2 014)＝________．答案：1解析：由已知得f(－1)＝log 22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 014)＝f(4)＝1. 2. 已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．答案：7解析：由条件，当0≤x ＜2时，f(x)＝x(x ＋1)(x －1)，即当0≤x ＜2时，f(x)＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根2，3，当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7. 3. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x ＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵ 当x ≥0时，f(x)＝x 2且f(x)是定义在R 上的奇函数，又f(x ＋t)≥2f(x)＝f(2x)，易知f(x)在R 上是增函数，∴ x ＋t ≥2x ，∴ t ≥(2－1)x.∵ x ∈[t ，t ＋2]，∴ t ≥(2－1)(t ＋2)，∴ t ≥ 2.4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)恒成立，求实数a 的取值范围．解：∵ f(x)是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)等价于f(|1＋xlog 2a|)≤f(2－x)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴ |1＋xlog 2a|≤2－x ， ∴ x －2≤1＋xlog 2a ≤2－x ，∴ 1－3x ≤log 2a ≤1x －1，上述不等式在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立， ∴ ⎝⎛⎭⎫1－3x max≤log 2a ≤⎝⎛⎭⎫1x －1min，∴ －2≤log 2a ≤0，解得14≤a ≤1.1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0)是否成立．2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．请使用课时训练（A ）第4课时（见活页）.[备课札记]。

函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D)A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－xy＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x 为非奇非偶函数，y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．对于D ，f (x )＝e x －e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B)A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数；④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数． 正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． 所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0，所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg 1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y ＝x 是奇函数，又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， 所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1) ⇔f (|x |)>f (|2x －1|) ⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝__________.因为f (x ＋2)＝－1f x，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1fx ＋2＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (105.5)＝f (4×26＋1.5)＝f (1.5)＝f (1.5－4) ＝f (－2.5)＝f (2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f (x )的定义域内的任一自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2|a |的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝(C)A ．－50B ．0C ．2D ．50因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )， 所以－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)f(x)±f(－x)＝0f－xf x＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．。

函数的奇偶性教案函数的奇偶性教案函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

而函数的奇偶性则是函数的一个性质，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的特点。

在本篇文章中，我们将介绍函数的奇偶性，并提供一份教案，帮助学生更好地掌握这一概念。

一、函数的奇偶性是什么？函数的奇偶性是指函数在定义域内的某个点上，函数值的正负关系。

如果函数在某个点上的函数值与该点关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数在某个点上的函数值与该点关于原点对称并且函数值的符号相反，那么这个函数就是奇函数。

二、奇偶函数的性质1. 偶函数的性质：- 偶函数的定义域关于原点对称。

- 偶函数的图像关于y轴对称。

- 偶函数的奇数次幂项系数为0。

2. 奇函数的性质：- 奇函数的定义域关于原点对称。

- 奇函数的图像关于原点对称。

- 奇函数的偶数次幂项系数为0。

三、奇偶函数的判断方法1. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的对称性来判断函数的奇偶性。

如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。

2. 代数法：通过代数运算来判断函数的奇偶性。

对于一个函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

四、教案设计1. 教学目标：- 了解函数的奇偶性的概念和性质。

- 学会通过函数的图像和代数运算来判断函数的奇偶性。

- 能够应用奇偶性来解决实际问题。

2. 教学步骤：（1）引入：通过一个生活中的例子，如对称的花朵、对称的蝴蝶等，引导学生思考对称性的概念，并与函数的奇偶性进行关联。

（2）概念讲解：讲解函数的奇偶性的定义和性质，并通过一些简单的例子来说明。

（3）图像判断：给学生一些函数的图像，让他们观察图像的对称性，并判断函数的奇偶性。

（4）代数判断：给学生一些函数的表达式，让他们通过代数运算来判断函数的奇偶性。

（5）练习：让学生做一些奇偶性的练习题，加深对奇偶性的理解。

北京梦飞翔教育个性化辅导教案学生：教师：时间：年月日_____段课时：学管师签字：___________函数的奇偶性【相关结论】1、函数的奇偶性的定义： 2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断()()f x f x =±-（2）利用定义的等价形式,()()0f x f x ±-=，()1()f x f x -=±（()0f x ≠） （3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称3．函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。

（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. （5）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．【考点分析】考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1． 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f题型2：证明抽象函数的奇偶性例 1 .（09年山东）定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；例2．（1）函数)(x f ，R x ∈，若对于任意实数b a ,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数。

高考数学（文）一轮复习精品资料专题06 函数的奇偶性与周期性（教学案）1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用． 一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数高频考点二 函数的周期性例2、(1)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________． (2)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x ＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x ，则f(105.5)＝______.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1f x ，则T ＝2a ，③若f(x ＋a)＝－1f x，则T ＝2a (a>0)．【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝__________________________________________. 高频考点三 函数性质的综合应用例3、(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 考点四 函数的周期性及其应用例4、 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________． 【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．1.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，，则= .2.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时， ；当 时，；当 时， .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )()f x ()4xf x =5()(1)2f f -+3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-A ．B ．C ．D ．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=为偶函数，则a =（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)（2014·湖南卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．（2013·广东卷）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1y =sin y x =cos y x =x x y e e -=-xe x y +=x x y 1+=x xy 212+=21x y +=y cos x =y sin x =y ln x =21y x =+ln(x x（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)内是减函数3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( ) A ．5 B ．1 C ．－1D ．－34．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 225．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－26．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2)7．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．48．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．9．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________．10．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．11．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．。

《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。

1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。

二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。

三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。

”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。

2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。

1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。

2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。

3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。

3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。

1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。

2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。

3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。

4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。

1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。

函数的奇偶性和周期性教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2函数的奇偶性和周期性教案【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；2．理解奇（偶）函数图象的特性；3．了解几类常见函数的周期【教学重点】奇（偶）函数的性质【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数奇偶性的判断【教学过程】一、例题引入〖例1〗 定义在[2,]a -上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 单调递减．(1)()g m g m -<，求实数m 的取值范围．解：∵定义在[2,]a -上的函数()g x 为偶函数∴区间[2,]a -关于y 轴对称，即20a -+=，解得2a =，并且(|1|)()g m g x -= ∴(1)()(|1|)(||)g m g m g m g m -<⇔-< …………①又∵当0x ≥时，()g x 单调递减∴不等式①等价于0|1|20||2|1|||m m m m ≤-≤⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，解得112m -≤< ∴实数m 的取值范围为1[1,]2-★点评：本题应用了偶函数的一个性质(|1|)()g m g x -=，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．二．要点回顾函数的奇偶性（应优先考虑定义域）：1．定义：（设函数()y f x =的定义域为D ）⑴ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=，那么()y f x =叫做偶函数，其图象关于y 轴对称，在其对应的区间内有相反的单调性．．．．．．．．．．．．．．．．3⑵ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=-，那么()y f x =叫做奇函数，其图象关于原点轴对称，在其对应的区间内有相．．．．．．．．．．同．的单调性．．．．． ★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于y 轴（或原点）对称．2．奇偶性的等价条件()f x 为偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=⇔(||)()f x f x =()1()f x f x -⇔= ()f x 为奇函数()()()()()()()01()f x f x f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔=--⇔-+=⇔=-3．判断函数奇偶性的步骤：⑴ 判断函数的定义域是否关于y 轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）；⑵ 对()f x 进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤；⑶ 判断()f x -与()f x 的关系．★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．〖例2〗 判断下列各函数的奇偶性：⑴ 221()lg lg f x x x =+ ⑵()(f x x =-⑶220()0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩ 解：⑴ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称，且22()lg lg 0f x x x =-=∴()f x 既为奇函数也为偶函数⑵ 由101x x+≥-得原函数定义域为[1,1)-关于y 轴不对称 ∴()f x 既非奇函数也非偶函数⑶ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=-+=-综上所述，对任何x ∈(,0)(0,)-∞+∞都有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数．（()0f x ≠） （()0f x ≠）4★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．〖例3〗 ()f x 是定义在R 上的函数，对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立，且(0)0f ≠,试判断()f x 的奇偶性.解：∵对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立 令0x y ==，得(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅，且(0)0f ≠，∴(0)1f = 令0x =，得()()2(0)()f y f y f f y +-=，即()()f y f y -=．故()f x 是偶函数． ★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．4．奇（偶）函数的性质（补充）⑴ 奇函数的反函数仍是奇函数；⑵ 若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =⑶ 已知2012()n n f x a a x a x a x =++++，则 当0240a a a ====（即偶数次项系数都为0）时，()f x 为奇函数； 法1350a a a ====（即奇数次项系数都为0）时，()f x 为偶函数． ⑷ 函数()0f x =（定义域D 关于y 轴对称）既为奇函数也为偶函数； ⑸ 奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）已知：()f x 为奇函数．求证：()f x '为偶函数∵()f x 为奇函数∴()()f x f x -=-证法一：两边同时求导得：()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-= ∴()f x '为偶函数证法二： ∴0()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 0()()()lim x f x x f x f x x ∆→-+∆--'-=∆ 0()()lim x f x x f x x ∆→--∆+=∆ 0()()lim ()x f x x f x f x x-∆→-∆-'==-∆ 注意()f x '-与[()]f x '-的5 ⑹ 若()()f x g x 、都是奇（偶）函数，则()()f x g x ±为奇（偶）函数；()()f x g x ⋅为偶函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数； ⑺ 若()()f x g x 、中一个为偶函数，一个为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数；三、函数周期性复习1．定义：如果对于任意的．．．x D ∈（D 为()f x 的定义域），有()()f x T f x +=，那么()y f x =具备周期性，T 叫做函数的一个周期．2．几种常见的函数周期⑴ sin()y A x ωϕ=+2||T πω= ⑵ cos()y A x ωϕ=+2||T πω= ⑶ tan()y A x ωϕ=+||T πω= ⑷ cot()y A x ωϕ=+ ||T πω= ⑸ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x h +=-，则()f x 的周期2T h =推广：若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期||T b a =-⑹ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x +=-，则()f x 的周期2T h = ⑺ 若对任意的．．．x D ∈，都有1()()f x h f x +=，则()f x 的周期2T h = ⑻ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x T f x -=，则()f x 的周期为T【课堂小结】1．“定义域必关于y 轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件； 2．()f x 为偶函数⇔(||)()f x f x =；思考： 周期函数2((2,21))y x k x k k =+∈+ 其中k Z ∈，其周期为26 3．若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．在大题中要给出证明： 由()f x 为奇函数知(0)(0)f f =-，故(0)0f =【教后反思】。

函数的奇偶性与周期性教案教案标题：函数的奇偶性与周期性教案教学目标：1. 理解函数的奇偶性与周期性的概念；2. 掌握判断函数奇偶性和周期性的方法；3. 能够应用函数的奇偶性和周期性解决相关问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学实例；2. 学生准备：笔记本、教科书、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，回顾函数的定义和基本性质；2. 提问学生是否了解函数的奇偶性和周期性。

二、概念解释与讲解（15分钟）1. 介绍函数的奇偶性的概念：奇函数和偶函数的定义；2. 介绍函数的周期性的概念：周期函数的定义；3. 通过图像和数学表达式的比较，让学生理解奇函数、偶函数和周期函数的特点。

三、判断函数的奇偶性（20分钟）1. 引导学生通过函数图像的对称性来判断函数的奇偶性；2. 指导学生通过函数表达式的特点来判断函数的奇偶性；3. 给出一些实例，让学生通过观察函数图像或计算函数表达式的值来判断函数的奇偶性。

四、判断函数的周期性（20分钟）1. 介绍周期函数的概念和周期的定义；2. 引导学生通过观察函数图像来判断函数的周期性；3. 指导学生通过计算函数表达式的值来判断函数的周期性；4. 给出一些实例，让学生通过观察函数图像或计算函数表达式的值来判断函数的周期性。

五、应用与拓展（15分钟）1. 给出一些实际问题，让学生应用函数的奇偶性和周期性解决问题；2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索函数的奇偶性和周期性的应用场景。

六、总结与评价（10分钟）1. 总结函数的奇偶性和周期性的概念和判断方法；2. 检查学生对函数的奇偶性和周期性的掌握情况，提供必要的补充和指导。

教学延伸：1. 学生可以通过自主学习更多的函数奇偶性和周期性的例题，巩固所学知识；2. 学生可以尝试设计一些函数图像，通过观察图像来判断函数的奇偶性和周期性。

评估方式：1. 课堂练习：布置一些练习题，检查学生对函数奇偶性和周期性的理解和应用能力；2. 个人作业：布置一些作业题，让学生在课后进一步巩固和拓展所学知识。

《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案一、学习目标1、理解函数奇偶性、周期性和对称性的概念。

2、掌握判断函数奇偶性、周期性和对称性的方法。

3、能够运用函数的奇偶性、周期性和对称性解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的定义和性质。

（2）利用定义和性质判断函数的奇偶性、周期性和对称性。

2、难点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的综合应用。

（2）抽象函数中奇偶性、周期性和对称性的判断与应用。

三、知识梳理1、函数的奇偶性（1）奇函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为奇函数。

（2）偶函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为偶函数。

（3）奇偶性的判定方法①定义法：首先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶函数；如果对称，再判断\（f(x)＼）与\（f(x)＼）或\（f(x)＼）的关系。

②图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于\（y\）轴对称。

2、函数的周期性（1）周期函数：对于函数\（y ＝ f(x)＼），如果存在一个不为零的常数\（T\），使得当\（x\）取定义域内的每一个值时，＼（f(x ＋ T)＝ f(x)＼）都成立，那么就把函数\（y ＝ f(x)＼）叫做周期函数，周期为\（T\）。

（2）常见函数的周期①函数\（y ＝ A\sin(＼omega x ＋＼varphi)＼），＼（y ＝A\cos(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{2\pi}｛＼omega}＼）。

②函数\（y ＝ A\tan(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{＼pi}｛＼omega}＼）。

3、函数的对称性（1）轴对称①函数\（f(x)＼）关于直线\（x ＝ a\）对称，则\（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），或\（f(x) ＝ f(2a x)＼）。

函数的奇偶性与周期性教学案 1一、 三维教学目标1.知识目标： 了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；2.能力目标：能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题3．情感目标：进一步强化学生努力探索的能力；二、考试目标 主词填空1.f(x)是奇函数的充要条件是任取＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿＿＿，奇函数的图像关于＿＿＿＿＿＿＿成＿＿＿＿＿＿对称.2.f(x)是偶函数的充要条件是任取＿＿＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿， 偶函数的图像关于＿＿＿＿＿＿成轴对称.3.奇函数之和是＿＿＿＿＿＿.偶函数之和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.对于函数y =f (x )，且x ∈A ，当此函数满足条件＿＿＿＿＿＿，T 是非零常数且＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，称y =f (x )是A 上的周期函数.三 题型示例 归纳点拨1、判断函数奇偶性的步骤与方法 1 .判断下列函数的奇偶性：(1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2|2|)1lg()(22---=x x x f (3)⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=00)(22x xx x x x x f ,（4） f (x )=x x x x --+-7777； 2. 对于定义域为R 的任意奇函数)(x f 都有( ) Ａ．0)()(=--x f x f Ｂ．0)()(≤--x f x fＣ．0)()(≤-x f x f Ｄ．0)()(>-x f x f3．若)(x f y =在),0[+∞∈x 时的表达式)1(x x y -=且)(x f 为奇函数,则 ]0,(-∞∈x 时,)(x f =（ ）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(-x x4．设)()1221()(x f x F x -+=是偶函数,且0)(≠x f ,则)(x f 奇偶性为 ． 5．已知2)(7+-=bx ax x f ,且17)5(=-f ,则=)5(f ．6．已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且定义域为[]a a 2,1-，则a ＝ ，b ＝7. 已知)0)(21121()(≠+-=x x x f x . （1）判断)(x f 的奇偶性;（2）证明0)(>x f .8. 已知)(x f 是以π2为周期的奇函数,且1)2(-=-πf , 那么=)25(πf ． 9. （天津卷）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则 )5()4()3()2()1(f f f f f ++++＝_________.7. 已知函数)(x f y =满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++),(R y R x ∈∈且 0)0(≠f ，证明 )(x f 为偶函数．四、对应训练 分阶提升1.若f (x )在［-a ，a ］(a >0)上是单调奇函数，且f(2a )>f(3a )，则下列各式一定成立的是 A.f(-4a )>f(-5a ) B.f(-4a )<f(-5a ) C.f(0)<f(-2a ) D.(2a )>f(a) 2.已知f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…a 2004x 2004，若f (1)=100，则f (-1)= ( )A.100B.-100C.20D.-203.f (x )是奇函数，当x ∈R +时，f(x)∈(]m ,∞-(m<0)，则f (x )的值域可能是A.［m ，-m ］B.(]m ,∞-C.[)+∞-,mD.(]m ,∞-∪[)+∞-,m4.设y =f (x )是R 上的奇函数，一定在y =f (x )的图像上的点是 ( )A.(a ，f(-a))B.(-a ，-f(a))C.(-a ，-f(-a))D.(a 1，-f (a 1)) 5.如果奇函数f (x )当1≤x ≤4时的解析式为f (x )=x 2-4x +5，则当-4≤x ≤-1时，f (x )的最大值为 ( ) A.5 B.-5 C.-2 D.-16.设f (x )是R 上的奇函数，且x ∈R +时，f (x )=log 2(2x +1)，则当x ∈R - 时，f (x )= ( )A.log 2(2x +1)B.-log 2(2x +1)C.log 2(1-2x )D.-log 2(1-2x )7.已知奇函数f (x )在区间［-b ，-a ］上单调减且最小值为2004，则g (x )=-|f (x )|在［a ，b ］上 ( )A.单调减且最大值为-2004B.单调增且最小值为-2004 C.单调减且最小值为-2004 D.单调增且最大值为-20048.已知f (x )=x 3+bx 2+c x 是R 上的奇函数，动点P (b ，c )描绘的图形是A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线9.偶函数f (x )在［0，3］上单调增，则下列各式成立的是 ( )A.f (-1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (2)<f (-1)<f (3)D.f (-1)<f (3)<f (2) 10.若y =g(x )是偶函数，那么f 1(x )=g(x )-1和f 2(x )=g (x -1) ( )A.都不是偶函数B.都不是奇函数C.都是偶函数D.只有一个是偶函数五、总结与反思1.要从数和形两个角度函数的奇偶性，充分利用)(x f 与)(x f -之间的转化和图象特征解决有关问题；解题中注意以下性质的运用：①)(x f 为偶函数⇔|)(|)(x f x f =,②若奇函数)(x f 的定义域含0，则0)0(=f .2.利用函数的周期性，可转化为求函数值的问题；3.判断函数奇偶性时首先要看定义域是否关于原点对称.函数的奇偶性与周期性教学案同步测试 21、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))1(lg ,lg (af a -- （D ）))(,(a f a --2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f （A ）0 （B ）2T （C ）T （D ）2T - 3、已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）可以是奇函数也可以是偶函数 （D ）不能判定奇偶性4、（05福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．25、 （05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x -=+ 6、（04年全国卷一.理2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f xx x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b 1 7、（04年福建卷.理11）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（A ）f(sin6π)<f(cos 6π) （B ）f(sin1)>f(cos1) （C ）f(cos 32π)<f(sin 32π) （D ）f(cos2)>f(sin2) 8、(97理科)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④9、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________10、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____ 11、下列函数的奇偶性为 （1） ；（2） .（1）x e x f x -+=)1ln()(2 （2）⎩⎨⎧<+≥-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f12、已知)21121()(+-=x x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f 13、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.14、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+. (I)设2)1(=f ，求)41(),21(f f ； (II)证明)(x f 是周期函数.。