高考数学 考点一遍过 专题03 逻辑联结词、全称量词与

1 考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2．全称量词与存在量词

①理解全称量词与存在量词的意义.

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

一、逻辑联结词

1．常见的逻辑联结词：或、且、非

一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”；

用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”；

对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p，读作“非p”．

2．复合命题的真假判断

“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：

p q p q pq pq ()pq ()pq ()()pq ()()pq

真 真 假 假 真 真 假 假 假 假

真 假 假 真 真 假 假 真 真 假

假 真 真 假 真 假 假 真 真 假

假 假 真 真 假 假 真 真 真 真

3．必记结论

含有逻辑联结词的命题的真假判断：

（1）pq中一假则假，全真才真．

（2）pq中一真则真，全假才假．

（3）p与p真假性相反． 2 注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.

二、全称命题与特称命题

1．全称量词和存在量词

量词名称

常见量词 符号表示

全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 

存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等

2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.

全称命题“xApx，” 特称命题“00xAqx， ”

表述方法 对所有的xApx，成立 存在00xAqx，成立

对一切xApx，成立 至少有一个00xAqx，成立

对每一个xApx，成立 对有些00xAqx，成立

任选一个xApx，成立 对某个00xAqx，成立

凡xA，都有px成立 有一个0xA，使0qx成立

3．含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：

命题 命题的否定

,()xMpx 00,()xMpx

00,()xMpx ,()xMpx

考向一 判断复合命题的真假

1．判断“pq”、“pq”形式复合命题真假的步骤：

第一步，确定复合命题的构成形式；

第二步，判断简单命题p、q的真假； 3 第三步，根据真值表作出判断．

注意：一真“或”为真，一假“且”为假．

2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．

3．当pq为真，p与q一真一假；pq为假时，p与q至少有一个为假.

典例1 已知命题p：若函数2()||fxxxa是偶函数，则0a；命题q：(0,)m，关于x的方程2210mxx有解．在①pq；②pq；③()pq；④()()pq中，为真命题的是

A．②③ B．②④

C．③④ D．①④

【答案】D

【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．

2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．

3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．

如：a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.

1．已知命题021xpx：，；命题q：若xy，则22xy．则下列命题为真命题的是

A． pq B．()pq

C．()()pq D．()pq

考向二 判断全称命题与特称命题的真假 4 要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.

要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.

典例2 下列命题中是假命题的是

A．,,R使sin()sinsin

B．R，函数()sin(2)fxx都不是偶函数

C．mR,使243()(1)mmfxmx是幂函数，且在(0,)上单调递减

D．0a，函数2()lnlnfxxxa有零点

【答案】B

对于选项C，如当2m时，11()=fxxx，()fx在(0,)上单调递减，所以选项C中的命题为真命题；对于选项D，当()0fx时，2lnln0xxa，则22111lnln(ln)244axxx，所以0a，函数2()lnlnfxxxa有零点，所以选项D中的命题为真命题.

【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.

2．已知集合|2Axx，集合|3Bxx，则以下命题正确的个数是

①00,xAxB；②00,xBxA；③xAxB都有；④xBxA都有．

A．4 B．3 C．2 D．1

考向三 含有一个量词的命题的否定

一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量 5 词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.

典例3 已知命题31,,168pxxx：，则命题p的否定为

A．31,,168pxxx： B．31,,168pxxx：

C．30001,,168pxxx： D．30001,,168pxxx：

【答案】C

【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为30001,,168pxxx：.故选C.

3．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:pxA，2xB，则

A．:,2pxAxB B．:,2pxAxB

C．:,2pxAxB D．:,2pxAxB

1．下列命题中既是pq形式的命题，又是真命题的是

A．10或15是5的倍数

B．方程234=0xx的两根是4和1

C．方程21=0x没有实数根

D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形

2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是

A．0xxR， B．000xxR，

C．0xxR， D．000xxR，

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 6 A．pq B． pq

C．pq D．pq

4．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是

A．pq B．pq

C．pq（）（） D．pq（）

5．若命题22:421pxaxxaxR，是真命题，则实数a的取值范围是

A．(]2， B．[2+)，

C．(2,) D．(2,2)

6．已知命题2104pxxxR：，，命题000sin+cs=o2qxxxR：，，则,,pqpqp中，是真命题的有__________________．

7．设函数(),0,0.xxxfxabccacb其中

（1）记集合(,,),,Mabcabcab不能构成一个三角形的三条边长，且=，则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为__________________．

（2）若,,abcABC是△的三条边长，则下列结论正确的是__________________．（写出所有正确结论的序号）

①,1,0;xfx

②,,,xxxxabcR使不能构成一个三角形的三条边长；

③若1,2,0.ABCxfx△为钝角三角形，则使

1．（2016浙江理科）命题“*xn，RN，使得2nx”的否定形式是

A．*xn，RN，使得2nx

B．*xn，RN，使得2nx 7 C．*xn，RN，使得2nx

D．*xn，RN，使得2nx

2．（2015山东理科）若“[0,]tan4xxm，”是真命题，则实数m的最小值为__________________．

1．【答案】B

【解析】显然命题021xpx：，是真命题；命题q：若xy，则22xy是假命题，所以q是真命题，故()pq为真命题.

2．【答案】C

3．【答案】C

【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将改为，将2xB改为2xB，于是有p：xA，2xB，故选C.

1．【答案】D

【解析】A中的命题是pq型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是p的形式，D中的命题为pq型，且为真命题．

2．【答案】C

【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.

3．【答案】A

【解析】 “至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选考点冲关 变式拓展