2016年高考理科数学全国卷2(含详细答案)
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数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页） 绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）
理科数学
使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,{0}1,2M,2{|320}Nxxx≤,则MN ( )
A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}
2.设复数1z,2z在复平面内的对应点关于虚轴对称,12iz,则12zz ( )
A.5 B.5 C.4i D.4i
3.设向量a,b满足|a+b|10,|ab|6,则ab ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.钝角三角形ABC△的面积是12,1AB,2BC,则AC ( )
A.5 B.5 C.2 D.1
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是
( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )
A.1727 B.59
C.1027 D.13
7.执行如图的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
8.设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx,则a ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
9.设x,y满足约束条件70,310,350,xyxyxy≤≤≥则2zxy的最大值为 ( )
A.10 B.8 C.3 D.2
10.设F为抛物线C：23yx的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB△的面积为 ( )
A.334 B.938 C.6332 D.94
11.直三棱柱111ABCABC中,90BCA,M,N分别是11AB,11AC的中点,1BCCACC,则BM与AN所成角的余弦值为 ( )
A.110 B.25 C.3010 D.22
12.设函数π()3sinxfxm,若存在()fx的极值点0x满足22200[()]xfxm,则m的取值范围是 ( )
A.(,6)(6,) B.(,4)(4,)
C.(,2)(2,) D.(,1)(1,) 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.10()xa的展开式中,7x的系数为15,则a （用数字填写答案）.
14.函数()sin(2)2sincos()fxxx的最大值为 .
15.已知偶函数()fx在[0,)上单调递减,(2)0f,若(1)0fx,则x的取值范围是 .
16.设点0(,1)Mx,若在圆O：221xy上存在点N,使得45OMN,则0x的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列{}na满足11a,131nnaa.
（Ⅰ）证明：1{}2na是等比数列,并求{}na的通项公式；
（Ⅱ）证明：1211132naaa.
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页） 18.（本小题满分12分）
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB平面AEC；
（Ⅱ）设二面角DAEC为60,1AP,3AD,求三棱锥EACD的体积.
19.（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012
2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6
7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()niiiniittyybtt,ˆˆaybt.
20.（本小题满分12分）
设1F,2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点,M是C上一点且2MF与x轴垂直,直线1MF与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为34,求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2,且1||5||MNFN,求a,b.
21.（本小题满分12分）
已知函数()ee2xxfxx. （Ⅰ）讨论()fx的单调性；
（Ⅱ）设()(2)4()gxfxbfx,当0x时,()0gx,求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.414221.4143,估计ln2的近似值（精确到0.001）.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时填写试题号.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,2PCPA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明：
（Ⅰ）BEEC；
（Ⅱ）22ADDEPB.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos,π0,2.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上,C在D处的切线与直线l：32yx垂直,根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定D的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数1()||(0)fxxxaaa.
（Ⅰ）证明：()2fx≥；
（Ⅱ）若(3)5f,求a的取值范围.
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，可得m30，m10，解得3m1．
【提示】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
2.【答案】C
【解析】集合A1,{}2,3，Bx(x1)(x2)0,xZ,{01}，AB{0,1,2,3}．
【提示】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出AB的值．
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】向量a(4,m)，b(3,2)，ab(4,m2)，又(ab)b，122(m2)0，解得m8．
【提示】求出向量ab的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
【考点】平面向量的基本定理及其意义
4.【答案】A
【解析】圆22xy2x8y130的圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线axy10的距离2a41d1a1，解得4a3．
【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【考点】圆的一般方程，点到直线的距离公式
5.【答案】B
【解析】从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有2242CC6种走法，同理从F到G，最短的走法，有1232CC3种走法，小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318种走法．
