新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)(3)
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一、选择题
1．数学归纳法证明*1111(1,)n1n2n2nnNn，过程中由nk到1nk时，左边增加的代数式为（ ）
A．122k B．121k C．11+2122kk D．112k12k2－
2．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．设,,(0,1)abc，则1ab，1bc，1ca（ ）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个大于2
4．某个命题与正整数n有关，如果当*,nkkN 时命题成立，那么可推得当1nk时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=7时该命题不成立 B．当n=7时该命题成立
C．当n=9时该命题不成立 D．当n=9时该命题成立
5．已知n为正整数用数学归纳法证明2()135(21)fnnn时，假设*(nkkN）时命题为真，即2()fkk成立，则当1nk时，需要用到的(1)fk与()fk之间的关系式是( )
A．(1)()23fkfkk B．(1)()21fkfkk
C．(1)()21fkfkk D．(1)()23fkfkk
6．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：
甲说：“A、B同时获奖”；
乙说：“B、D不可能同时获奖”；
丙说：“C获奖”；
丁说：“A、C至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是
A．作品A与作品B B．作品B与作品C
C．作品C与作品D D．作品A与作品D
7．数列0，75，135，6317，…的一个通项公式是( ) A．312111nnn B．32111nnn C．312111nnn D．32111nnn
8．下面结论正确的是（ ）
①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m是2的倍数，则m一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.
②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.
④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为nann*N.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
9．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说：“我无法确定.”
乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”
根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中
A．一定有3号球 B．一定没有3号球 C．可能有5号球 D．可能有6号球
10．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( )
A．从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B．从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C．从靠近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D．任意顺序排队接水的总时间都不变
12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）
A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则
B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则
C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为 D．若，则复数.类比推理：“若，则”
二、填空题
13．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)22222(22323)(122)2(133)91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．
14．利用数学归纳法证明不等式“*11112,23212nnnnN”的过程中，由“nk”变到“1nk”时，左边增加了_____项．
15．观察下列关系式:
11xx;
2112xx;
3113xx;
由此规律,得到的第n个关系式为__________
16．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.
17．在平面几何中，正三角形ABC的内切圆半径为1r，外接圆半径为2r，则1212rr，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球半径为1R，外接球半径为2R，则12RR__________．
18．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝31nnaa (n∈N*)，可以猜测数列通项an的表达式为________.
19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cosi?sin?,z222 cosi?sin,z，333cosi?sinz(其中123,,R),
则121212cos()i?sin(+)zz，232323cos()i?sin(+)zz ，根据上面的结论，可以提出猜想: z1·z2·z3=__________________．
20．给出下列等式：；
；
，
由以上等式推出一个一般结论： 对于=________________________．
三、解答题
21．设数列na的前n项和为nS，且满足2nnSan.
（1）求1234,,,aaaa;
（2）猜想数列na的通项公式na，并用数学归纳法证明．
22．在数列na中，11a，*121nnnaanNn.
（1）求2a、3a、4a的值；
（2）猜想na的通项公式，并用数学归纳法证明.
23．已知函数2()1fxx，数列na的前n项和为nS，且满足2425()nnSnnfa．
（1）求1234,,,aaaa的值；
（2）猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
24．已知数列na的前n项和为nS，且满足0na，242nnnSaanN.
（1）计算1234,,,aaaa，根据计算结果猜想na的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的结论.
25．给出下列等式:
1=1,
1-4=-(1+2),
1-4+9=1+2+3,
1-4+9-16=-(1+2+3+4),
……
(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n∈N*)个等式;
(2)用数学归纳法证明你猜想的等式.
26．正项数列{}na的前n项和nS满足1nnaSn.
（Ⅰ）求1a，2a，3a；
（Ⅱ）猜想{}na的通项公式，并用数学归纳法证明.
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
求出当nk时，左边的代数式，当1nk时，左边的代数式，相减可得结果．
【详解】
当nk时，左边的代数式为111 12kkkk，
当1nk时，左边的代数式为11111 232122kkkkkk，
故用1nk时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果为：
11111 212212122kkkkk，故选D．
【点睛】
本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从nk到1nk项的变化，属于中档题.
2．B
解析：B
【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.
【详解】
若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；
若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；
若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；
若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，
综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.
【点睛】
本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
3．D
解析：D
【解析】
分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案.
详解:因为1116abcbca与都不大于2矛盾,所以A错误.
若1315,,2,343abab所以B错误.
