新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(1)

一、选择题

1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）

A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩

2．某个命题与正整数n有关，如果当*,nkkN 时命题成立，那么可推得当1nk时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）

A．当n=7时该命题不成立 B．当n=7时该命题成立

C．当n=9时该命题不成立 D．当n=9时该命题成立

3．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5ABCDE共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起,BC至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几（ ）

A．五 B．四 C．三 D．二

4．下列类比推理正确的是( )

A．把abc与xya类比，则有xyxyaaa

B．把aab与aab类比，则有2aabaab

C．把nabc与)nxyz（类比，则有)nnnnxyzxyz（

D．把abc与abc类比，则有abccab

5．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入nn的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为nN(如：在3阶幻方中，315N)，则10N（ ）

A．1020 B．1010 C．510 D．505

6．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）

A．201620172 B．201501822 C．201520172 D．201601822

7．用数学归纳法证明“11112321n ”时，由(1)nkk不等式成立，推证1nk时，左边应增加的项数是（ ）

A．12k B．21k C．2k D．21k

8．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9．定义*AB，*BC，*CD，*DA的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )

A．*BD，*AD B．*BD，*AC C．*BC，*AD D．*CD，*AD

10．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

11．利用反证法证明“若220xy，则0x且0y”时，下列假设正确的是（

）

A．0x且0y B．0x且0y

C．0x或0y D．0x或0y

12．已知 222233，333388,44441515，mmmmtt*,2mtNm且，若不等式30mt恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A．22,

B．,22

C．,3 D．[1,3]

二、填空题 13．观察下列各式：11，141123，1131121232，111811212312345，由此可猜想，若1111+12123123+10m，则m__________.

14．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.

通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．

15．观察下列关系式:

11xx;

2112xx;

3113xx;

由此规律,得到的第n个关系式为__________

16．观察下面数表：

1，

3，5，

7，9，11，13，

15，17，19，21，23，25，27，29，

………..

设1027是该表第m行的第n个数，则mn等于________.

17．研究问题：“已知关于x的不等式20axbxc的解集为(1,2)，解关于x的不等式20cxbxa”，有如下解法：由22110()()0axbxcabcxx，令1yx，则1(,1)2y，所以不等式20cxbxa的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x的不等式0kxbxaxc的解集为(2,1)(2,3)，则关于x的不等式1011kxbxaxcx的解集为__________.

18．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________. 19．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.

20．用反证法证明“,abN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.

三、解答题

21．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.

（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）

（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.

22．已知na是等差数列,nb是等比数列,11331542,,ababaab．设,nnnncabS是数列nc的前n项和．

(1)求,nnab；

(2)试用数学归纳法证明：18(34)2nnSn．

23．已知函数2()1fxx，数列na的前n项和为nS，且满足2425()nnSnnfa．

（1）求1234,,,aaaa的值；

（2）猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

24．已知数列1111,,,,,112123123n，其前n项和为nS；

（1）计算1234,,,SSSS；

（2）猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.

25．数列na满足*2NnnSnan. （1）计算123aaa、、，并猜想na的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

26．求证：2333*1212LnLnnN.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.

【详解】

解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.

【点睛】

本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.

2．A

解析：A

【解析】

分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．

详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，

P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，

否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立．

与当n=7时该命题不成立矛盾

故选：A．

点睛：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．

3．B

解析：B

【解析】 分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．

详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，

若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，

与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；

若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，

与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；

若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．

故今天是周四．

故答案为：B．

点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.

4．B

解析：B

【解析】

分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可.

详解：逐一考查所给命题的真假：

A. 由指数的运算法则可得xyxyaaa，原命题错误；

B. 由向量的运算法则可知：2aabaab，原命题正确；

C. 由多项式的运算法则可知)nnnnxyzxyz（，原命题错误；

D. 由平面向量数量积的性质可知abccab，原命题错误；

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．D

解析：D

【解析】

n阶幻方共有2n个数，其和为222112...,2nnnn阶幻方共有n行，每行的和为2221122nnnnn，即2210110101,50522nnnNN，故选D.

6．B

解析：B