第一章 命题逻辑

习题1

1．下列句子中那些是命题？

(1) 4是无理数.

(2) 2+5＝8.

(3) x+5＞3.

(4) 你有铅笔吗？

(5) 这只兔子跑得真快呀！

(6) 请不要讲话！

(7) 我正在说谎话.

解：(1)(2)是命题。(7)是悖论。

2．判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。

（1）北京是中华人民共和国的首都。

（2）陕西师大是一座工厂。

（3）你喜欢唱歌吗？

（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。

（5）前进！

（6）给我一杯水吧！

解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。

3．写出下列命题的否定式：

（1）存在一些人是大学生；

（2）所有的人都是要死的；

（3）并非花都有香味。

解：(1) 不存在一些人是大学生。

（2）并非所有的人都是要死的；

（3）花都有香味。

4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。

(1) 只有在生病时，我才不去学校。

(2) 若我生病，则我不去学校。

(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。

(4) 若我不生病，则我一定去学校。

解：（1）Q→P

（2）P→Q

（3）PQ

（4）P→Q

5．设p：李平聪明，q：李平用功。符号化下列命题。

(1) 李平既聪明又用功。

(2) 李平虽然聪明，但不用功。

(3) 李平不但聪明，而且用功。 (4) 李平不是不聪明，而是不用功。

(5) 张三或李四都可以做这件事。

解：（1）p∧q

（2）p∧q

（3）p∧q

（4）(p)∧q，或p∧q

（5）设p：张三可以做这件事，q：李四可以做这件事。命题符号化为p∨q。

6．设p：天下雨，q：我骑车上班。符号化下列命题。

(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。

(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。

(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。

(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。

(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。

解：（1）p→q（2）p→q

（3）q→p，p→q

第 1 章 命题逻辑

数理逻辑是用数学方法研究思维规律和推理过程的科学，而推理的基本要素是命题，因此命题逻辑是数理逻辑最基本的研究内容之一，也是谓词逻辑的基础。由于数理逻辑使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此，一般又称之为符号逻辑。数理逻辑和电子计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路、开关理论等计算机应用和理论研究提供了必要的理论基础。

一、命题与命题变量

在日常生活中，人们不仅使用语句描述一些客观事物和现象，陈述某些历史和现实事件，而且往往还要对陈述的事实加以判断，从而辨其真假。语句可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的语句无所谓真假。在数理逻辑中，我们把每个能分辨真假的陈述句称作为一个命题。陈述句的这种真或假性质称之为真值或值，这就是说真值包含“真”和“假”。因而命题有两个基本特征，一是它必须为陈述句：二是它所陈述的事情要么成立(真)，要么不成立(假)，不可能同时既成立又不成立，即它的真值是惟一的。

命题可按其真值分为两类。若一个命题是真的，则称其真值为真，用1或T表示，称该命题为真命题；若一个命题是假的，则称其真值为假，用0或F表示，称该命题为假命题。命题还可根据其复杂程度分类。只是由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。简单命题不可能再分解成更简单的命题了，它是基本的，原始的。当然，也有一些命题并不是最基本的，它们还可以分解成若干个简单命题。由若干个简单命题通过联结词复合而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。复合命题仍为陈述句。任意有限个简单或复合命题，还可用若干不同的联结词复合成极为复杂的复合命题。

简单命题和复合命题的真值是固定不变的，故又可称为命题常量或命题常元，简称为命题。而有些陈述句尽管不是命题，但可以将其变成命题，它的真值是不固定的、可变的，这种真值可变化的陈述句称为命题变量或命题变元。命题常元或命题变元用大写英文字母A，B，„，P，Q，„或Ai，Bi，„，Pi，Qi，„表示。一个简单命题，它的真值不是真就是假，因此，我们在命题逻辑中常常用1或T表示一个抽象的“真命题”，用0或F表示一个抽象的“假命题”。命题变元虽然没有确定的真值，但当我们用一个具体的命题常元代入时，它的真值就可确定了。

第一章 命题逻辑与条件判断 测试题(二)

1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题.

（1）2008年夏季奥运会在北京举行.

（2）明天的大会是否按时举行？

（3）0.01不是有理数.

（4）把门关上！

（5）如果三角形的三边长分别为3,4,5，那么这个三角形一定是直角三角形.

（6）如果一个三角形是直角三角形，那么其三边长一定分别为3,4,5.

2.用∧和∨联结下面各组中的命题p和q，构成新的命题，并判断它们的真假.

（1）.p：x=1是方程x²=1的解；q：x=-1是方程x²=1的解.

（2）.p：7=3+2；q：2＞3.

（3）.p：π是实数；q：π是有理数.

3.某单位招工的基本条件是“笔试合格，从事相关工作2年以上”，符合基本条件的人就可以参加面试.如果用p表示“笔试合格”，用q表示“从事相关工作2年以上”，那么参加面试的条件用复合命题如何表示？

4.写出下列命题的非命题，并判断其真假.

（1）不存在最大的整数；

（2）2＞3.

5.设p：3整除12，q：3整除18，用语言表示下列命题：

（1）p；

（2）p∧q；

（3）p∨q；

（4）p∧q；

（5）p∨q.

6.如果命题p的真值为“真”，q的真值为“假”，r的真值为“真”，试确定下列命题的真值.

（1）p∧q；

（2）p∨q；

（3）p∧q；

（4）p∨q；

（5）p∨q；

（6）（p∧q）；

（7）（p∧q）∨r；

（8）（p∨r）∧（q∨r）.

7.指出下列各题中，p是q的什么条件.给出证明或举出反例.

（1）2:230pxx, :3qx.

（2）:1px,:12qx.

11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则

什么是自然推理

自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。因此，自然推理不是一种能行方法。

自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。

本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。

命题自然推理的基本规则

命题白然推理包括三条基本规则：

规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。

规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A，则可以在该推导中引人A。

规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A能推出B，则从该前提集能推出AB。

所谓A重言地蕴涵B，就是指AB是重言式；自然，所谓nAA,,1的合取重言地蕴涵B，就是指nAA1B是重言式。在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T的运用，同样以这些常用重言式为基础。

不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。

下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。

[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。如果人民遭受损失，改革就会失去人心

(u)。国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。因此，物价不会提高。