第一章：命题逻辑

第一章：命题逻辑 1.1 命题符号化及联结词

[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义

[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。

2：通过示例理解命题的概念。

3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。

4：学会命题符号化的方法。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时。

[教学过程]

讲述：

逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。

数理逻辑则是用数学方法研究推理；

首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。后者是命题符号化的问题。 板书：

第一章 命题基本概念

1.1 命题及其符号化

讲述：

首先讨论命题。

板书：

一 命题

A) 概念：

能判断真假的陈述句。

判断要点：

a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；

讲述：

例：

(1) 地球是圆的； 真的陈述句，是命题

(2) 2+3=5； 真的陈述句，是命题

(3) 你知道命题逻辑吗？ 非陈述句，故非命题

(4) 3-x=5； 陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题

(5) 请安静！ 非陈述句，故非命(6) (7) (8) 示例：p：今天天气好；p：今天天气不好

p：2＋5 > 1； p： 2+5≤1；在此情形下，p为真，p为假。

讲述：

问题：北京和上海都是中国的直辖市。显然这个句子可分成两个句子，中间由“和”、“且”之类的联结词联结。这类的联结词我们统称为“合取”。

板书：

2）合取式和合取联结词

p且q称为qp,的合取式，记为qp；符号即为合取联结词。

p q p∧q

T T T

T F F

F T F

F F F

逻辑“与”。

讲述：

相应的日常用语还有一些。

板书： “既…又…”，“不但(仅)…而且…”，“虽然…但是…”。

讲述：

例：

1) p: 今天大太阳，q: 今天热，p∧q: 今天大太阳且热；

2) p: 今天上课有人迟到，q:2+5>1, p∧q:

今天上课有人迟到且2+5>1；

3)p: 李平聪明，q: 李平用功，p∧q: 李平虽然聪明，但不用功；

讲述：

注意到2)中的结果，我们可以用逻辑联结词来联结两个日常生活中无关的命题。另外也要注意日常语言中的“和”，不一定都能用∧表示。

示例：“新闻和报纸不分家”，“我和你是同学”。

讲述：

“或”也是非常常用的联结词。

例：

(1) 文文或华华今天出差。

(2) 他今天骑车或走路来上课。

讲述： (1)一般情况下两个人可能同时去出差，即可以同时为真，是相容的，所以是“相容或”。

板书：

相容或

讲述：

(2)在这两种情况下，或者发生一种，或者都不发生(如他今天是乘公共车来上课的)，但不可能二者同时发生，即不可能二者同时为真，所以是“相斥或”。在自然语言中类似的“相斥或”是很多的，又如“刘苘或李兰是三班班长”。

板书：

相斥或

我们可以看到在日常语言中，“或”具有多义性，但我们用符号表示时，却必须避免这种歧义性。通常把相容或称为“析取”，而相斥或则称为“异或”。

板书：

3）析取式和析取联结词

p或者q称为p，q的析取式，记为p∨q；符号即为析取联结词。

p q p∨q

T T T T F T

F T T

F F F

逻辑“或”

讲述：

“如果…则…”也是一类常见的联结词。这是有条件和结论的一类，称为“条件式”，也称为“蕴涵式”。

板书：

4）蕴涵式和蕴涵联结词

如果p则q称作p、q的蕴涵式，记为qp。为蕴涵联结词，p、q分别为蕴涵式的前件和后件。

讲述：

示例:

一位父亲对儿子说：“如果星期天天气好，就一定带你去动物园。”问：在什么情况下父亲食言？

父亲的可能情况有如下四种：

(1) 星期天天气好，带儿子去了动物园；

(2) 星期天天气好，却没带儿子去动物园；

(3) 星期天天气不好，却带儿子去了动物园；

(4) 星期天天气不好，也没带儿子去动物园。

显然，(1), (4)两种情况父亲都没有食言；(3)这种情况和父亲原来的话没有相抵触的地方，当然也不算食言；只有(2)这种情况，答应的事却没有做，应该算是食言了。(2)对应着“前件真后件假”的情况，使得蕴涵式为假，而其它三种情况都使得蕴涵式为真。

板书：

p q pq

T T T

T F F

F T T

F F T

讲述：

这里注意到：在蕴涵式pq中，p是q的充分条件，q是p的必要条件。这类的联结词还有：

板书：

pq：“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”等 讲述：

蕴涵式的一个应用：数学归纳法

(1)证明P(n0)成立；(2)证明当k≥n0时P(k)P(k+1)总是成立。

在(2)中，P(k)P(k+1)总是成立，意味着P(k)P(k+1)的真值为T，从而只可能是上述表中的第1, 2, 4种情形，而(1)中证明了前件为真，所以后件也一定为真。

讲述：

前面讲述描述了充分条件或必要条件的表示，现在我们可以表示充要条件了：

“p是q的充要条件”，“p是q的充分条件”且“p是q的必要条件”，可以用蕴涵和合取两者描述。

板书：

pq∧qp

讲述：

这个表达式较为复杂，所以用一个联结词“等价”简单表示。自然语言中通常表述为“当且仅当”

板书：

5）等价式和等价联结词 p当且仅当q称作p、q的等价式，记为qp。称为等价联结词。

p q qp

T T T

T F F

F T F

F F T

讲述：

以上介绍了五种常用的逻辑联结词以及与之相关的复合命题。这些联结词反映了复合命题及其支命题之间抽象的逻辑关系。复合命题的符号化一般可以根据上述定义进行，基本步骤如下：

板书：

符号化基本步骤：

1) 找出各个支命题，并逐个符号化；

2) 找出各个连接词，符号成相应联结词；

3) 用联结词将各支命题逐个联结起来；

示例：将下列命题符号化：

(1) 辱骂和恐吓决不是战斗；

(2) 李瑞和李珊是姐妹；

(3) 除非天气好，否则我是不会去公园的； (5) 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室．

讲述：

分析并符号化，强调在进行命题符号化以前，必须明确含义，删除歧义，这是命题翻译的关键之点。

(1) p：辱骂是战斗；

q：恐吓是战斗。

符号化为p∧q。

(2) p：李瑞和李珊是姐妹。

符号化为p。

(3) p：今天天气好；

q：我去公园。

符号化为qp。

(4) p：李明是计算机系的学生；

q：李明住在312室；

r：李明住在313室。

因为李明不可能既住在312室又住在313室，符号化为p∧((q∧r) ∨ (q∧r))或者p∧(q ∨r)

讲述：

最后，复习一下本节所讲述的内容。

作业： 1.2 命题公式和真值赋值

[教学重点] 合式公式及层次，解释的含义，真值表的构成。

[教学目的]1：使学生了解合式公式和公式层次的定义，理解递归定义法的方法。

2：学会描述公式的形成过程。

3：理解解释的含义，领会公式分类的要点。

4：使学生了解并学会应用真值表的构成方法。

5：复习并进一步理解命题逻辑的基本概念。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时。

[教学过程]

讲述：

复习并示例：判断是否式命题，如果是，则符号化。

1) 922+97+1；

2) x + 5 > 6 3) 理发师只给所有那些不给自己理发的人理发；（罗素悖论）

4) 李兰现在在宿舍或在图书馆里；

5) 蓝色和黄色可以调配成绿色；

6) 如果晚上小王做完了做业并且没有其他事情，他就看电视或看电影。

问题：

在6)中获得一个长串的字符串，这里当然表示了一个命题，但是不是任何一个字符串能表示一个命题呢？或者称为命题公式呢？

抽象地说，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。

板书

1.2合式公式及其解释

讲述：

首先自然先要了解什么公式。

板书：

一 合式公式

1) 合式公式：

(1) p, q, r, … ,1 , 0 是合式公式；

(2) 如果A是合式公式，则A也是； (3) 如果A和B是合式公式，则p、p  q、p  q、p  q、p  q也是；

(4) 有限次应用(1)-(3)构成的符号串才是合式公式。

讲述：

上述定义方法称为递归定义法（递归就是一个过程直接或间接地调用自己），递归法定义是离散数学中常用的方法。其中，（1）是递归定义的基础，直接规定简单的内容；（2）, （3）是递归定义的归纳，规定了是由简单到复杂的过程；（4）是递归定义的界限，规定了满足前述（1）~（3）条件的最小范围。（递归算法在计算机中容易实现，如C语言中的汉诺塔、n的阶乘、求两个数的最小公约数就是用递归的方法实现的）

板书：

递归定义法：递归基础、递归归纳、递归界限

讲述

在一个复杂的公式中，为了避免歧义需要引进许多的括号，但如果括号太多会使人眼花缭乱，如((p(qr))((pq)(rs)))，共有6对括