《高等数学(下册)》 第9章

1 高等数学教学教案

第9章 多元函数微分学及其应用

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第9章 第1节 多元函数的基本概念 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 二元函数的极限与连续性的概念 教学难点 二元函数的极限

参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置

大纲要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.

教 学 基 本 内 容

一．多元函数的概念

1.区域

（1）邻域

设000(,)Pxy是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点000(,)Pxy的距离小于的点(,)Pxy的全体，称为点000(,)Pxy的邻域，记为0(,)UP，即00(,)UPPPP，亦即

22000(,)(,)()()UPxyxxyy．

在几何上，0(,)UP表示以000(,)Pxy为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)

上述邻域0(,)UP去掉中心000(,)Pxy后，称为000(,)Pxy的去心邻域，记作o0(,)UP，即

o22000(,)(,)0()()UPxyxxyy.

如果不需要强调邻域的半径，则用0()UP表示点000(,)Pxy的邻域，用o0()UP表示000(,)Pxy的去心邻域．

（2）区域

设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有如下情形： 2 内点：如果存在P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称点P为E的内点.

边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界．

开集：如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集.

高等数学上下册完整版教材

高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：

第一章 导数与微分

1.1 导数的定义与几何意义

1.2 基本求导法则

1.3 函数的微分

1.4 高阶导数与高阶微分

1.5 隐函数与参数方程的导数

1.6 微分中值定理与导数的应用

第二章 不定积分

2.1 定积分的概念

2.2 不定积分与不定积分的性质

2.3 基本不定积分法

2.4 特殊函数的不定积分

2.5 不定积分的应用

第三章 定积分 3.1 定积分的定义与几何意义

3.2 定积分的性质

3.3 定积分的计算方法

3.4 牛顿-莱布尼茨公式

3.5 定积分的应用

第四章 微分方程

4.1 微分方程的概念与分类

4.2 一阶微分方程

4.3 高阶线性微分方程

4.4 变量可分离的方程

4.5 齐次线性微分方程

4.6 非齐次线性微分方程

4.7 常系数线性齐次微分方程

4.8 微分方程的应用

第五章 多元函数的微分学

5.1 多元函数的极限

5.2 多元函数的偏导数 5.3 多元复合函数的偏导数

5.4 隐函数与参数方程的偏导数

5.5 高阶偏导数

5.6 多元函数的全微分

5.7 多元函数的极值与最值

第六章 重积分与曲线积分

6.1 二重积分的概念与性质

6.2 二重积分的计算方法

6.3 极坐标下的二重积分

6.4 三重积分的概念与性质

6.5 三重积分的计算方法

6.6 曲线积分的概念与性质

6.7 曲线积分的计算方法

6.8 曲线积分在物理学中的应用

第七章 曲面积分与格林公式

7.1 曲面积分的概念与性质

7.2 曲面积分的计算方法 7.3 散度与无源场

7.4 格林公式的推广与应用

第八章 空间解析几何与向量代数

8.1 空间直角坐标系与向量

8.2 空间曲线与曲面

8.3 向量的运算与坐标表示

8.4 点、直线与平面的方程

1.函数xyzsin的全微分是__________________

2.设13323xyxyyxz，则yxz2_____________________________.

3.微分方程044yyy的通解为_________________________________.

4.设两平面方程分别为0122zyx和05yx，则两平面的夹角为（ ）.

A.6 B.4 C.3 D.2

5..函数22arcsinyxz的定义域为（ ）.

A.10,22yxyx B.10,22yxyx

C.20,22yxyx D.20,22yxyx

6.函数)2ln(12222yxyxz的定义域为 ．

7.设vezusin，而yxvxyu,，求.,yzxz

8.已知隐函数yxzz,由方程05242222zxzyx确定，求.,yzxz

9.设22uvvuz，而yxvyxusin,cos，求.,yzxz

10、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

11.求两平面：22zyx与42zyx交线的标准式方程。

高等数学(下)复习试题

一、填空题

1. 已知向量ba,的夹角等于3，且2,3ba，求ba32= .

2.在直线方程pznymx6224中，直线与坐标面xoy、yoz都平行，则m. n p

3.设xyyxarctanln22,则 dxdy___.

4．直线003zyxzyx与平面012zyx的夹角为___________；

5．求曲面3xyzez在点)0,1,2(处的法线方程

6．求函数zyxu在点)1,0,0(处沿球面1222zyx在这点的外法线方向的方向导数=

。

7.已知场,),,(222222czbyaxzyxu沿则u场的梯度方向的方向导数是_______________.

8. 设xyzyxzyxf22232),,(zyx623, 则)0,0,0(gradf______

9. 函数)4)(6(),(22yyxxyxf在_______点取得极_________值为___________.

10.方程02642222zyxzyx所确定的函数),(yxfz的极大值是___________,极小值是_____________.

11. 设125:22yxD。则Ddx)1(＝

。

12．若曲线积分Ldyyyxdxxyx)56()4(4214在xoy平面内与路径无关，则＝

。

13. 设L为平面上的椭圆12222byax，边界为正向，则曲线积分Lydyxdxcos3＝ 。

14．设：2222azyx，则曲面积分 dSzyx2222)(＝ 。

15．设是球面zzyx2222，cos,cos,cos是上的外法线向量的方向余弦，则积分dSzyx)coscoscos(＝ 。 16. 设L为22020)()(Ryyxx，则Lds＝ 。