二次函数中常见图形的的面积问题

第 - 1 - 页 二次函数中的面积问题

主讲教师：黄炜

重难点易错点辨析

与抛物线有关的多边形面积问题：往往转化成三角形的面积问题来解决

题一：函数y=x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．

金题精讲

题一：已知抛物线y=ax2+2x+c，对称轴为直线x=－1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A(－3，0)、B两点．

(1)求直线AC的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

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二次函数中的面积问题

讲义参考答案

重难点易错点辨析

题一：1．

金题精讲

题一：3yx；758．

页脚 二次函数——面积问题

〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）

2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方

3. 利用同底或同高三角形面积的关系

4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）

二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)

抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=a

抛物线顶点坐标（-ab2, abac442）

抛物线与y轴交点（0，c）

“歪歪三角形中间砍一刀”ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

B C 铅垂高

水平宽 h

a

图1 C B

A O y

x D B

A O y

x

P

页脚

〖基础习题〗

1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB= ，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为 ，△ABC的面积为.

2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.

3、已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b=，c=．

〖典型例题〗

 面积最大问题

1、二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于点A（-1,0）、B（3 ，0），与y轴交于点C，∠ACB=90°.

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标

（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标

二、二次函数与面积问题

1．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B两点，M是射线BA上一个动点，MN∥y轴交抛物线于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AN，BN，设△ABN的面积为S，点M在线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由

（3）点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值．

2．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

4．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．

（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

二次函数中动点三角形面积最值问题

在二次函数包含动点的三角形面积，一般用“铅锤法”，即S=

×水平宽×铅锤高；

以下图为例：二次函数y=−x2

+2+3,一次函数y=−x+3，交点为B（3,0），C（0,3）；点P是直线上方抛物线

上一个动点，求S

△BCP的面积最大值。

【方法介绍】

三角形面积的变形公式：S=

×水平宽×铅锤高；

对于三角形ABC，过点C做一条铅垂线，交于AB于一点D，过点B作CD的垂线，过点A作CD垂线；

垂线CD将△ABC分为△ACD和△BCD，这两个三角形有一条公共边CD，以CD为底，S

△ACD=

×𝑪×

；

S

△BCD=

×𝑪×

；

那么S△ABC=S

△ACD+S

△BCD=

×𝑪×(

+

);

其中CD称之为“铅锤高”；(

+

)称之为水平宽，即两个定点之间的水平距离；【解题步骤】

首先过动点P作一条垂直于x轴的垂线，交于BC于点Q；

设动点P的坐标为（m，−

+𝐵+）;则Q的坐标为（m，-m+3）；

那么PQ=y

P-y

Q=−

+𝐵+-(-m+3)=−

+𝐵；

S

△BPC=

×（

−）×（−

+𝐵）=×（−）×（−

+𝐵）=×（−+𝐵）

当x=−

𝟐=−

𝓗−=

时，面积最大，

最大面积是S=𝟐

；

将m=

代入P点的坐标表达式（m，−

+𝐵+）中得出P的坐标为（，𝟏

）；

1．如图，抛物线2

yax2xc

与x

轴交于,AB

两点，于y

轴交于C

点，连接BC

，已知(1,0A），B(-3,0)

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点

P是线段BC

上一动点，过点P作xPD

轴，交抛物线于点D，求PD

的长的最大值；2．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上

方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

3．如图，已知抛物线y＝ax2

+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；