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二次函数中常见图形的的面积问题

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二次函数中常见图形的的面积问题

一、说出如何表示各图中阴影部份的面积？

二、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右边），与y轴交与点C， D为抛物线的极点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：此题中的三角形没有横向或纵向的边，能够通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答进程）

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三 3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的极点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且通过点C（2，8）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的极点D的坐标；

（3）求四边形ADBC的面积.

5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)通过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的极点D的坐标和对称轴；

（3）求四边形ABDE的面积.

6、已知二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，极点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并试探解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个方才提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是不是存在点N，使得ABCNABSS,

假设存在，请写出点N的坐标；假设不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是不是存点N，使得ABCNABSS，假设存在直接写出N的坐标；假设不存在，请说明理由.

变式二：在双曲线3yx上是不是存在点N，使得ABCNABSS，假设存在直接写出N的坐标；假设不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图

A x y

O B

C 变式二图 C

P x O A B y

7、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右边），与y轴交与点C，假设点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出现在点E的坐标和△EBC的最大面积．

提示：点E的坐标能够设为（32,2xxx），x的取值范围是-3＜x＜0,依照题2求三角形面积的思路成立△EBC的面积EBCS关于x的函数关系式，体会点E位置的不确信性对方式的选择是不是有阻碍．

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2017二次函数中的面积问题

2017二次函数中的面积问题

页脚 二次函数——面积问题

〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）

2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方

3. 利用同底或同高三角形面积的关系

4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）

二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)

抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=a

抛物线顶点坐标（-ab2, abac442）

抛物线与y轴交点（0，c）

“歪歪三角形中间砍一刀”ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

B C 铅垂高

水平宽 h

a

图1 C B

A O y

x D B

A O y

x

P

页脚

〖基础习题〗

1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB= ，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为 ，△ABC的面积为.

2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.

3、已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b=，c=．

〖典型例题〗

 面积最大问题

1、二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于点A（-1,0）、B（3 ，0），与y轴交于点C，∠ACB=90°.

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标

（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标

二次函数中的面积问题

二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题

〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）

2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方

3. 利用同底或同高三角形面积的关系

4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）

二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)

抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=a

抛物线顶点坐标（-ab2, abac442）

抛物线与y轴交点（0，c）

“歪歪三角形中间砍一刀” ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

〖基础习题〗

1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB= ，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为 ，△ABC的面积为 .

2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.

3、已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b= ，c= ．

〖典型例题〗

面积最大问题 B C 铅垂高

水平宽 h

a

图1 C B

A O y

x D B

A O y

x

P 1、二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于点A（-1,0）、B（3 ，0），与y轴交于点C，∠ACB=90°.

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标

（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标

(4) P为抛物线上一点，若使得ABCPABSS21，求P点坐标。

同高情况下，面积比=底边之比

2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．

26.3实际问题与二次函数(1)：图形面积问题

26.3实际问题与二次函数(1)：图形面积问题

授课教师： 授课时间： 2013 年 月 日 课型: 命题新授课

课题：26.3实际问题与二次函数（1）：图形面积问题 主备人

教学目标 基础知识： 用二次函数解决几何图形面积最值问题的方法；

基本技能： 能根据几何面积问题中的数量关系，列出二次函数关系式；能根据具体问题的实际意义，计算几何图形面积最值。

基本思想方法： 在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想．经历用二次函数解决几何面积最值问题的过程中体验数学建模和数形结合的思想。

基本活动经验： 积累用二次函数最值解决几何图形面积问题和灵活设“元”的经验。

教学

重点 用二次函数解决几何图形面积最值问题

教学

难点 发现问题中的等量关系。

教学活动流程 活动内容和目的

一、活动1 问题的引入

二、活动2 模型的建立

三、活动3 巩固与运用

四、活动4 拓展与提升

五、活动5 小结与作业

引出本节课的内容，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．通过对最值问题，激发学生对函数实际应用的探索兴趣．

通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想．

让学生进一步熟悉函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法．

让学生灵活运用二次函数解决几何图形面积最值问题，提升能力

回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．

ABCD25m教 学 过 程 师生行为 设计意图

活动一

问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积s随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少时，场地的面积s最大？

活动二

例2、(2007广东韶关)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）. 若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.

二次函数中的面积问题 2

二次函数中的面积问题 2

二次函数——面积问题

〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）

2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方

3. 利用同底或同高三角形面积的关系

4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）

二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)

抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=a 抛物线顶点坐标（-ab2,

abac442）

抛物线与y轴交点（0，c）

“歪歪三角形中间砍一刀” ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

〖基础习题〗

1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB= ，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为 ，△ABC的面积为 .

2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.

3、已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b= ，c= ．

〖典型例题〗

面积最大问题

1、二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于点A（-1,0）、B（3 ，0），与y轴交于点C，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；

（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标

（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标

(4) P为抛物线上一点，若使得ABCPABSS21，求P点坐标。

同高情况下，面积比=底边之比

2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点． yxBACO（1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；