一轮复习--导数与函数的极值、最值

【高考地位】

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.

【方法点评】

类型一利用导数研究函数的极值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 计算函数()fx的定义域并求出函数()fx的导函数'()fx；

第二步求方程'()0fx的根；

第三步 判断'()fx在方程的根的左、右两侧值的符号；

第四步 利用结论写出极值.

例1 已知函数xxxfln1)(，求函数fx的极值.

【答案】极小值为1，无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0fx，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()fx的增减性，进而求出函数()fx的极大值和极小值．

【变式演练1】已知函数322()fxxaxbxa在1x处有极值10，则(2)f等于（ ）

A．11或18 B．11 C．18 D．17或18

【答案】C

【解读】

试卷分析：baxxxf23)(2,1010232ababa114012232baaaab或33ba．当33ba时,,0)1(3)(2xxf在1x处不存在极值．当114ba时，)1)(113(1183)(2xxxxxf，0)(),1,311(xfx；0)(),,1(xfx,符合题意．所以114ba．181622168)2(f．故选C．

考点：函数的单调性与极值．

【变式演练2】设函数21ln2fxxaxbx，若1x是fx的极大值点，则a的取值范围为（ ）

1

授课主题：导数与函数的单调性、极值、最值

教学目标 1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。

教学内容

1．函数的单调性与导数

2．函数的极值与导数

2

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0) ＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

4．极值与最值

(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；

(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

题型一 利用导数研究函数的单调性

角度1 判断或证明函数的单调性

例1、设函数2()mxfxexmx。

（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

3 （2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。

角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(多维探究)

例2、已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．

方法点拨：用分类讨论思想方法、分离系数法．

解 (1)f′(x)＝3x2－a.

导数与极值，最值问题

31.()'()()()....02.13fxfxfxABCDfxxx例函数的定义域为R,其导函数的图象如图所示，则函数无极大值点，有四个极小值点有三个极大值点，两个极小值点有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点练习：下列说法中不正确的有（）A.单调递增函数没有极值B.单调递减函数没有极值C.函数的极大值大于函数的极小值导数为的点不一定是函数的极值点例求下列函数的极值。32225332322952231213.()140,,4.().1()2()()65,.(1)()2(xxxfxyxxfxaxbxcxabcafxxxxafxafxxfxxxxRfxxf例已知在处有极值，且极大值为，极小值为。试确定的值。例设为实数，函数求的极值。当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。练习：设函数求函数的单调区间和极值。若关于的方程)xaa有三个不同的实数根，求实数的取值范围。

342222325.13,3,32()23,3,216.()ln10,240,1,27.0,()2,2,1,32()axfxxxxfxxxxfxxxfxxeaafxaxxxRxfxafxxax例求下列函数的最值。例求函数在上的值域。练习：已知函数求函数在上的最大值。例已知求函数若对任意的不等式恒成立，求的取值范围。练习：已知函数3,()6.13()()1,2()()()0,xgxxaRxfxfxxahxfxgxxa若是的极值点，求在上的最大值和最小值。若在上是增函数，求实数的取值范围。

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：高二 课 时 数：

学员姓名：张欣蕾 辅导科目：数学 学科教师：李欣

授课

类型 T导数与函数极值与最值 C T

授课日期时段

教学内容

【课前测试】

1、已知函数，讨论的单调性.

2()(2ln),(0)fxxaxax()fx

2、设a为非负实数，函数()fxxxaa.

（Ⅰ）当2a时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数()yfx的零点个数，并求出零点．

一、知识点梳理

利用导数研究函数的极值

1 极大值： 一般地，设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx，就说0()fx是函数()fx

的一个极大值，记作0()()fxfx极大值， 0x是极大值点

2 极小值：一般地，设函数()fx在0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx，就说0()fx是函数()fx的一个极小值，记作0()()fxfx极小值，0x是极小值点

3 判别0()fx是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf

是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值

5 函数的最大值和最小值:在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．