统计学（第八章抽样推断）

统计学（第⼋章抽样推断）

第⼋章 抽样推断

【教学⽬的】

抽样推断是统计研究中⼀种重要的分析⽅法。通过本章的学习，要求掌握利⽤样本统计资料来推断总体数量特征的原理及⽅法；深刻理解抽样推断的概念及特点；了解抽样误差产⽣的原因，并对抽样误差、抽样平均误差、抽样极限误差加以区别，掌握抽样平均误差、抽样极限误差的计算；掌握点估计和区间估计的⽅法；掌握必要样本单位数的确定⽅法。

第⼀节 抽样推断概述

⼀、抽样推断的概念及特点 （⼀）概念

按随机原则从总体中抽取部分单位，根据这部分单位的信息对总体的数量特征进⾏科学估计与推断的⽅法。

包括抽样调查和统计推断

抽样调查：⼀种⾮全⾯调查，按随机原则从总体中抽取部分单位进⾏调查以获得相 关资料，以推断总体

统计推断：根据抽样调查所获得的信息，对总体的数量特征作出具有⼀定程度的估 计和推断。 （⼆） 特点1.按随机原则（等可能性原则）抽取调查单位.随机抽样的⽬的是为了排除⼈的主观影响，使每个样本都有系统的可能性被抽中，使样本对总体具有充分的代表性。随机性原则是保证抽样推断正确性的⼀个重要前提条件。随机抽样不是随便抽样。2.根据部分推断总体的数量特征

3.抽样推断的结果具有⼀定的可靠性和准确性，抽样误差可以事先计算和控制 其他特点有经济性、时效性、准确性、灵活性等 （三）抽样推断的应⽤ 1.不可能进⾏全⾯调查时 2.不必要进⾏全⾯调查时 3.检查⽣产过程正常与否4.对全⾯调查资料进⾏补充修正时 ⼆、抽样的⼏个基本概念 1.样本容量与样本个数

（1）样本容量：样本是从总体中抽出的部分单位的集合，这个集合的⼤⼩称为样本容量，⼀般⽤n 表⽰，它表明⼀个样本中所包含的单位数。⼀般地，样本单位数⼤于30个的样本称为⼤样本，不超过30个的样本称为⼩样本。

（2）样本个数：⼜称样本可能数⽬，它是指从⼀个总体中可能抽取多少个样本。样本个数的多少与抽样⽅法有关。 2.总体参数与样本统计量

（1）总体参数：总体分布的数量特征就是总体参数，也是抽样统计推断的对象。常见的总 体参数有：总体的平均数指标，总体成数（⽐重）指标，总体分布的⽅差、标准差等等。 （2）样本统计量：与总体参数对应的是样本统计量。

设（12,,n X X X ）是总体X 容量为n 的样本，若样本函数T T =（12,,n X X X ）

中不含任何未知参数，则称T 为⼀个统计量。

例如11n

i

i X X n ==∑

就是⼀个统计量,称为样本均值（Sample mean ），2

2

1

1()n

i i S X X n ==-∑

也是统计量,称为样本⽅差（Sample variance ），3、重复抽样与不重复抽样

（1）重复抽样：是指从总体中抽出⼀个样本单位，记录其标志值后，⼜将其放回总体中继续参加下⼀次样本单位的抽取。

（2）不重复抽样：即每次从总体中抽取⼀个单位，登记后不放回原总体，不参加下⼀次抽样。

第⼆节抽样的组织形式

抽样的组织形式有纯随机抽样、机械抽样、类型抽样、整群抽样和多阶段抽样。

⼀、纯随机抽样1.含义：对总体单位逐⼀编号，然后按随机原则直接从总体中抽出若⼲单位构成样本

2.特点：最符合抽样调查的随机原则，是基本形式。简便易⾏。

3.范围：仅适⽤于单位数不多、标志变异较⼩、分布较均匀的总体

⼆、类型抽样1.含义：先将全及总体中的所有单位按某⼀主要标志分组，然后在各组中采⽤纯随机抽样或机械抽样⽅式，抽取⼀定数⽬的调查单位构成所需的样本。⼜叫分层抽样或分类抽样。2.⽅法：

A⽐例分配法 n i/n=N i/N

B 最佳分配法根据各层单位的变异程度的⼤⼩来分配

C经济分配法除了考虑单位数⽬和变异程度外，还有调查费⽤。

3.特点：能保证分布的均匀性，提⾼样本的代表性，误差较⼩；能同时推断总体指标和各⼦总体的指标

三、机械抽样1.含义：是先将全及总体所有单位按某⼀标志顺序编号排列，然后按照固定顺序和相等的空间距离或间隔，从中抽取样本单位的⼀种抽样组织⽅式。⼜叫等距抽样或系统抽样。2.⽅法：根据需要计算抽取各个样本单位之间的距离或间隔；然后，按此间隔依次抽取必要的样本单位。

3.特点：能保证样本较均匀地分布。是不重复的抽样。

4.形式：按⽆关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样；按有关标志排队，其抽样效果相当于类型抽样。

四、整群抽样1.含义：将全及总体单位划分为若⼲群或组，然后按纯随机抽样或等局抽样⽅式，从中成群或成组的抽取样本单位，对抽中的群或组的所有单位进⾏全⾯调查的⼀种⽅式2.特点：简单、⽅便，能节省⼈⼒、物⼒、财⼒和时间，但其样本代表性可能较差

五.多阶段抽样

指分两个或两个以上的阶段来完成抽取样本单位的过程

例：在某省100多万农户抽取1000户调查农户⽣产性投资情况。

第⼀阶段：从该省所有县中抽取5个县

第⼆阶段：从被抽中的5个县中各抽4个乡

第三阶段：从被抽中的20个乡中各抽5个村

第四阶段：从被抽中的100个村中各抽10户

样本n=100×10=1000(户)

第三节抽样误差

⼀、抽样误差概述(⼀)抽样误差的⼀般概念

◆统计调查误差的种类

按产⽣的原因可以分为登记性误差和代表性误差。

⼀般地说，抽样误差是指样本指标与被它估计未知的总体参数(总体特征值)之差。具体地是指样本平均数x与总体平均数X的差，样本成数p与总体成数P的差(p-P)。例如，某

地区全部⼩麦平均亩产400公⽄，⽽抽样调查得到的平均亩产为391公⽄或403公⽄，则样本指标与总体指标之间的误差为-9公⽄或3公⽄。 （⼆）影响抽样误差的因素1.总体各单位标志值的差异程度。差异程度愈⼤则抽样误差愈⼤，差异程度愈⼩则则抽样误差愈⼩。

2.样本单位数。在其他条件相同的情况下，样本的单位数愈多，则抽样误差愈⼩。

3.抽样⽅法。抽样⽅法不同，抽样误差也不同。⼀般情况下重复抽样误差⽐不重复抽样误差要⼤⼀些。

4.抽样调查的组织形式。不同的抽样组织形式就有不同的抽样误差。

说明:抽样误差是样本统计量和总体参数之间的绝对差异,是不可测量的.但抽样误差的⼤⼩可以依据概率分布理论加以说明 ◆ 抽样误差不是唯⼀的。 ⼆、抽样平均误差 (⼀)抽样平均误差的概念

抽样平均误差是反映抽样误差⼀般⽔平的指标，其实质是抽样指标的标准差。抽样平均误差反映抽样指标和总体指标间的平均误差程度。 (⼆) 平均数抽样的平均误差 重复抽样条件下：x

σ

=不重复抽样条件下：

σ=

◆ 关于总体⽅差的估计⽅法

◆ ⽤过去同类问题全⾯调查或抽样调查的经验数据代替； ◆ ⽤样本标准差S 代替总体标准差σ,⽤S P 代替σP 。 （三） 成数抽样平均误差 重复抽样条件下：pσ

=

不重复抽样条件下：p σ=

◆ 重复抽样和不重复抽样条件下抽样平均误差的区别。

从上⾯的计算公式可看到，在其他条件相同的情况下，重复抽样和不重复抽样仅差⼀个修正

因⼦的平⽅根)1(N n -

。由于,11<-n n

所以不重复抽样的平均误差⼩于重复抽样的平均

误差的N n -

1倍。N n⼜称抽样⽐例或抽样强度。

解:平均电流强度为:

电流强度的标准差:

电流强度的平均误差:

◆ 按规定,2号电池的电流强度必须5A 以上才合格,则该批电池的合格率为:

标准差:

成数的平均误差:

（四）各种组织形式下的抽样平均误差

上述抽样平均误差是建⽴在简单随机抽样的基础上的；其他组织⽅式的抽样误差如下： 1.类型抽样（分层抽样） 抽样平均误差不仅取决于样本容量，还取决于各类型组组内⽅差的平均数。 重复抽样：

不重复抽样：

◆ 类型抽样的平均误差⼀般⼩于同样容量的纯随机抽样的平均误差。

各类⽅差平均数:

抽样平均误差为:2.机械抽样（等距抽样）

)

(45.5100545A f xf x ===

∑∑)(374.0100

14

)(2A f f x x S ==-=∑∑

)(0374.0100

374

.0A n S x

===µ%94100941===n n p 237

.0)94.01(94.0)1(=-=-=p p S ()%

37.20237.010006.094.01==?=-=n P P p µn x 2σµ=n n i i ∑

=2

2σσ)1(2

N n n x -=σµ85.8023510

4025222222

=?+?==∑

n n i i σσ元）(79.435

85.8022===n x σµ

其抽样误差不仅取决于全及总体的标志变动度，还取决于各个抽样间隔的标志变动度。 ? 采⽤纯随机抽样公式（不重复抽样）计算抽样误差。 3.整群抽样

● 采⽤不重复抽样⽅法 (1)平均数的抽样误差为:

(2)成数的抽样平均误差:

三、抽样极限误差 1.抽样极限误差的概念

抽样极限误差是指抽样指标与总体指标之间误差可允许的最⼤范围。 因平均误差反映抽样的可能误差范围，⽽实际上每次抽样推断中只抽⼀个样本，因此实际上的抽样误差可能⼤于抽样平均误差，也可能⼩于抽样平均误差。误差太⼤或太⼩都会给抽样⼯作造成不利影响，因⽽在抽样估计时，应根据研究对象的变异程度和分析任务的要求确定可允许误差的范围，这⼀允许范围称极限误差。 抽样平均数的极限误差：

抽样成数的极限误差：

◆ 由于提⾼把握程度，会增⼤允许误差，使估计精度降低，⽽缩⼩允许误差，提⾼估计 的精度，⼜会降低估计的把握程度，所以在实际中应根据具体情况，先确定⼀个合理的把握程度再求相应的允许误差或先确定⼀个允许误差范围再求相应的把握程度。 2.抽样极限误差的计算公式（⼤样本条件下） （1）样本平均数的极限误差：

（2）样本成数的极限误差：

Z 为概率度，是给定概率保证程度下样本均值偏离总体均值的抽样平均误差的倍数。Z 与相应的概率保证程度存在⼀⼀对应关系。∑

-=--?=2

222)(1,1x x r

R r

R r i x x x x δδδµ即为平均数的群间⽅差，其中，∑-=--?=2

222)(1,1p p r

R r R r i p p p p δδδµ为成数的群间⽅差，即其中，x X x ?≤-p

P p ?≤-

第四节 参数估计

⼀、点估计

（⼀）点估计的概念及特点

参数估计：以样本统计量对总体参数进⾏估计，有点估计和区间估计两种。 点估计：直接以样本统计量作为相应的总体参数的估计量。

优点:直接给出了总体参数的具体数值

缺点:未能反映误差的⼤⼩ 参数点估计有：

（1）样本均值估计总体均值

（2）样本成数估计总体成数

（3）样本⽅差估计总体⽅差 （⼆）估计的评价标准： （1）⽆偏性：

设?T

θ=12(,,,)n X X X 是未知参数θ的⼀个点估计量，若?θ满⾜?E θθ= 即估

计量的数学期望等于被估计参数则称?

θ是θ的⽆偏估计量，否则称为有偏估计量。

需要注意的是，由于估计量?

θ是样本

12(,,,)n X X X 的函数，样本量是n 维随机变量，

所以对?

θ求平均是按样本12

(,,,)

n X X X 的概率分布求平均。 ⽆偏性是我们衡量点估计量好坏的⼀个评价标准，这个评价标准的直观意义如下：由于样本的出现带有随机性，所以基于⼀次具体抽样所得的参数估计值未必等于参数真值，这是由样本的随机性造成的。我们希望当⼤量使⽤这个估计量对参数进⾏估计时，⼀系列估计值的平均值应该与待估参数真值相等。这就从平均效果上对估计量的优劣给出⼀个评价标准。 （2）有效性：

设11?T θ=12(,,,)n X X X ，22?T θ=12(,,,)n X X X 均为未知参数θ的⽆偏估计量，如果对参数θ的⼀切可能取值有)?()?(2

212θσθσ<，则称⽆偏估计量1?θ⽐2?θ

有效 ⼀个⽆偏估计量并不意味着他就⾮常接近被估计的参数，他还必须与总体参数的离散程度⽐较⼩。对同⼀总体参数的两个⽆偏点估计量，⽅差⼩者更有效。 （3）⼀次性：

指随着样本单位数n 的增⼤，样本估计量将在概率意义下越来越接近于总体真实值 若对于任意ε>0，有

⼆、区间估计法

在参数估计中，虽然点估计可以给出未知参数的⼀个估计，但不能给出估计的精度。为此⼈们希望利⽤样本给出⼀个范围，要求它以⾜够⼤的概率包含待估参数真值。这就是导致区间估计问题。