吉林省东北师范大学附属中学高考数学第二轮复习 第11讲 三角形中的有关问题导学案

第11讲 三角形中的有关问题

一、复习目标

1．运用三角形内角和、正弦定理、余弦定理解斜三角形

2．运用正、余弦定理及三角变换公式灵活进行边角转换

二、课前热身

1．在△ABC中，若2cossinsinBAC，则△ABC的形状一定是 （ ）

A.等腰三角形B. 直角三角形C.等边三角形D. 等腰直角三角形

2．设A是△ABC的最小内角，那么函数sincosyAA的值域是 （ ）

A.2,2 B.311,2 C. 311,2 D.311,2

3. △ABC中，cos2cos2AB是AB成立的 （ ）

A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

4．在△ABC中，若11cos(),sin()22ACAB则三角形三内角满足 （ ）

A.2BAC B.2ABC C. 2CAB D.以上都不对

5．在直角△ABC中，两锐角为,AB，则sinsinAB （ ）

A. 有最大值12，最小值0 B. 有最大值12，无最小值

C. 无最大值，无最小值 D. 有最大值1，也有最小值0

三、例题探究

例1．△ABC的三边,,abc和面积S满足关系22()Scab，且2ab，求面积S

的最大值。

例2．平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且3AB, P、Q为动点，满足1APPQQB,⊿APB和⊿PQB的面积分别为,mn。

(1)求030A,求Q

(2) 求22mn的最大值

例3．△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，他们所对的边分别为,,abc，若AC边上的高hca。求sin2CA的值

四、方法点拨 例1中利用三角形面积公式与余弦定理找出了角C得关系式，求出Csin的值是关键。例2和例3综合运用了三角函数余弦定理等知识解决问题。有利于培养学生的运算能力和对知识的整合能力。

备用题：在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc且,,abc依次成等比数列，求1sin2sincosBBB的取值范围

冲 刺 强 化 训 练（11）

班级 姓名 学号 日期 月 日

1.在△ABC中，∠A=060，b=1，△ABC的面积为3，则△ABC的外接圆的直径为 （ ）

A.33 B.3326 C.3392 D.239

2.在△ABC中，∠A＞∠B是A2cos＜B2cos的 （ ）

A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.在△ABC中，∠C=060，）（132ba，22c，则∠A为 （ ）

A.450 B.750 C.450或750 D.900

4.已知△ABC的三内角A、B、C依次成等差数列，则CA22sinsin的取值范围是（ ）

A.[1，23] B.[43，23] C.（43，23） D.2343，

5.在△ABC中，AAcos3sin2，则∠A= .

6.设为不等边三角形的最小内角，且21cosxx，则x的取值范围是 .

7.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S为△ABC的面积，若a=4，b=5，35S，求c的长度.

8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的边长分别为cba,,，若）（Cacb060cos2，求∠A.

9.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为cba,,，面积为S，且满足：

182cot2tanCCS. （1） 求ab的值；

（2） 若23c，试确定∠C的范围.

第11讲 三角形中的有关问题

【考前热身】 1、A 2、C 3、C 4、B 5、B

【例题探究】例1解：∵22222()22cos2ScabcabababCab而1sin2Sabc ∴1sin2(1cos)2abCabC，又∵22sincos1CC，∴178sinC，21444sin()21717217abSabCab，当且仅当1ab时，max417S

例2解：（1）由余弦定理得：221323cos,112cosPBAPBQ

∴423cos22cosAQ，由030A ，得1cos2Q，∴060Q

（2）2222221131(13sin)(11sin)sin(1cos)2244mnAQAQ

222131337sin(3cos1)(cos)444268AAA

∴当3cos6A时，22mn的最大值为78

例3．解：由2BAC,得0060,120BCA

∵sinhcA∴sincAca，得sinsinsinsinCACA

∴11cos()cos()2cossin2222CACACACA，

既，11cos()sin242CACA，既21112sinsin2242CACA

令sin2CAt,则有24430tt，1322tt或

∴1sin22CA

备用题：解：222221,cos222acbacacbacBacac，∴03B

21sin2(sincos)sincos2sin()sincossincos4BBByBBBBBBB

74412B∴2sin()124B∴12y

冲刺强化训练(11) 1．C 2．A 3．C 4．D 5．3 6． x＜０

7．∵1sin53,2SabC∴3sin2C∴0060120CC或

当060C时，02cos6021cabab

当0120C时，02cos12061cabab

8．∵02cos(60)cos3sinbcaCaCaC

∴sinsinsincosBCAC－CAsinsin3 ,又∵()BAC

∴sin()sinsincos3sinsinACCACAC

∴cossinsin3sinsinACCAC,∵sin0C∴3sincos1AA

即1sin()62A∴23A

9．（1）∵1cos1cos2tancot22sinsinsinccCCCCC

∴1818sin2sin2118sin2abCCabCS

（2）∵22222cos22abcabcCabab

∴1cos2C，∴C取值范围为0060C

第12讲 平面向量的基本性质与运算

【课前热身】1、D 2、C 3、C 4、32 5、D

【例题探究】

例1：解：（1）设),(yxc，由//ca和52||c可得：

2002122yxxy ∴

42yx 或

42yx

∴)4,2(c，或)4,2(c

（2） ∵ )()(bmabam， ∴ 0)()(bmabam

即 0)1(222bambmam，也就是061362mm，

解得32m或23m。

〖教学建议〗 ： 平面向量中，两向量的平行与垂直是考查的重点，可借助于本题复习两向量平行与垂直的充要条件（两种形式）.

例2、解：（1）∵ 1||||||cba，且a、b、c之间的夹角均为120°，

∴ 0120cos||||120cos||||)(00cbcacbcacba

∴ 0)(cba, ∴ )(ba⊥c；

（2）∵ 1||cbak，即1||2cbak ，

也就是12222222cbcakbakcbak

∵ 21cacbba，∴022kk，所以 0k 或2k．

〖教学建议〗：由已知0cba，故|1||)1(|||||kakaakcbak

例3、解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf

12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1)2cos222sin22(2cos222xxxxxxxxxxxxcossin=)4sin(2x.

所以2)(的最大值为xf，最小正周期为]4,0[)(,2在xf上单调增加，],4[上单调减小.

备用题解:1P点斜坐标为2,22122eeop

43cos888822212212eeeeop

,2op即2op

2设圆上动点M斜坐标为yx,，则21eyexOM

1221eyex，122122eexyyx

122xyyx 即为所求方程。