信号与系统实验报告
- 格式：pdf
- 大小：323.78 KB
- 文档页数：13
信号与系统实验报告
一、实验目的
(1) 理解周期信号的傅里叶分解，掌握傅里叶系数的计算方法；
(2)深刻理解和掌握非周期信号的傅里叶变换及其计算方法；
(3) 熟悉傅里叶变换的性质，并能应用其性质实现信号的幅度调制；
(4) 理解连续时间系统的频域分析原理和方法，掌握连续系统的频率响应求解方
法，并画出相应的幅频、相频响应曲线。
二、实验原理、原理图及电路图
(1) 周期信号的傅里叶分解
设有连续时间周期信号()ft，它的周期为T，角频率22fT，且满足
狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频
率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1）三角形式的傅里叶级数：
01212
011()cos()cos(2)sin()sin(2)2
cos()sin()2nnnnaftatatbtbt
aantbnt
式中系数na，nb称为傅里叶系数，可由下式求得：
222222()cos(),()sin()TTTTnnaftntdtbftntdtTT
2）指数形式的傅里叶级数：
()jntnnftFe
式中系数nF称为傅里叶复系数，可由下式求得：
221()TjntTnFftedtT
周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积
分运算。Matlab中进行数值积分运算的函数有quad函数和int函数。其中int函
数主要用于符号运算，而quad函数（包括quad8，quadl）可以直接对信号进行
积分运算。因此利用Matlab进行周期信号的傅里叶分解可以直接对信号进行运
算，也可以采用符号运算方法。quadl函数(quad系)的调用形式为：y＝
quadl(‘func’,a,b)或y＝quadl(@myfun,a,b)。其中func是一个字符串，表示被积
函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。第二种调用方
式中”@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所有限定义的函数的文件名。
(2)周期信号的频谱
周期信号经过傅里叶分解可表示为一系列正弦或复指数信号之和。为了直观
地表示出信号所含各分量的振幅，以频率（或角频率）为横坐标，以各谐波的振
幅或虚指数函数的幅度为纵坐标，可画出幅度－频率关系图，称为幅度频谱或幅
度谱。类似地，可画出各谐波初相角与频率的关系图，称为相位频谱或相位谱。
在计算出信号的傅里叶分解系数后，就可以直接求出周期信号的频谱并画出
其频谱图。
(3)非周期信号的傅里叶变换和性质
非周期信号的傅里叶变换定义为：
()()jtFjfted
1()()2jtftFjed
()Fj称为频谱密度函数，一般需要用幅度谱和相位谱两个图形才能将它完
全表示出来。
傅里叶变换具有很多性质，如线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、
频移特性、卷积定理、时域微分和积分、频域微分和积分、能量谱和功率谱等。
其中频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅、同步解调等都是在频谱搬移
的基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：
乘法器f(t)y(t)
cos(ω0t)
它是将信号()ft（常称为调制信号）乘以所谓载频信号0cos()t或0sin()t，
得到高频已调信号()yt。显然，若信号()ft的频谱为()Fj，则根据傅里叶变换
的频移性质，高频已调信号的频谱函数为：
00011()()cos()()()22ytfttFjFj
00011()()sin()()()22ytfttjFjjFj
可见，当用某低频信号()ft去调制角频率为0的余弦（或正弦）信号时，
已调信号的频谱是包络线()ft的频谱()Fj一分为二，分别向左和向右搬移0，
在搬移中幅度谱的形式并未改变。Matlab中提供了专门的函数modulate()用于实
现信号的调制，其调用形式为y＝modulate(x,Fc,Fs,’method’)。其中x为被调信号，
Fc为载波频率，Fs为信号x的采样频率，method为所采用的调制方式。实现信号的调制也可以利用Matlab直接求解被调信号的傅里叶变换。
Matlab中symbolic工具箱提供了直接求解信号的傅里叶变换和逆变换的函
数fourier()和ifourier()。这两个函数采用符号运算方法，在调用之前要用syms
命令对所用到的变量进行说明，返回的同样是符号表达式。除此之外，要实现傅
里叶变换的数值计算，可以直接利用傅里叶变换的定义，调用前述的quad函数
对信号进行数值积分运算，得到相应的变换结果；也可以对原始信号离散化采样，
进行数值计算求解傅里叶变换。数值计算的原理如下：
对于一大类信号，当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。若信
号是时限的，则n的取值是有限的，设为N，则上式变为：
1
0()(),0kNjnnFkfnekN
式中频率也进行了取样，2kkN。采用Matlab实现时，要注意正确生成
()ft的N个样本()fn的向量f及向量kjne，两向量的内积结果即完成傅里叶
变换的数值计算。此外，时间取样间隔需要满足取样定理（Nyquist条件）：
12f。如果某个信号不是严格的带限信号，则可根据实际计算的精度要求来
确定一个适当的频率为信号的带宽。
(4) 连续系统的频域分析和频率响应
设线性时不变（LTI）系统的冲击响应为()ht，该系统的输入（激励）信号为()ft，
则此系统的零状态输出（响应）()yt可以写成卷积的形式：()()()ythtft。设
()ft，()ht和()yt的傅里叶变换分别为()Fj，()Hj和()Yj，则它们之间存
在关系：()()()YjFjHj，反映了系统的输入和输出在频域上的关系。这
种利用频域函数分析系统问题的方法常称为系统的频域分析法。
函数()Hj反映了系统的频域特性，称为系统的频率响应函数（有时也称为
系统函数）可定义为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换与激励的傅里叶变换
之比，即：
()()()YjHjFj
它是频率（角频率）的复函数，可写为：
()()()jHjHje，其中()()()YjHjFj，()()()yf
可见()Hj是角频率为的输出与输入信号幅度之比，称为幅频特性（或幅频
响应）；()是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。
Matlab工具箱中提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应，其调用形式
为：H＝freqs(b,a,w)。其中b为系统频率响应函数有理多项式中分子多项式的系
数向量，或者说系统微分方程式右边激励的系数；a为分母多项式的系数向量，
或微分方程左式的系数；w为需计算的系统频率响应的频率抽样点向量。
三、实验步骤及内容
(1) 周期性三角波如下图所示，计算其傅里叶级数系数，演示其有限项级数逼
近并绘图。(教材p193,习题4.8第a小题)。
1
tf(t)
12-1-23
(2) 计算如下图所示的信号（cos()2t）的傅里叶变换，并验证尺度变换和时移
变换性质。(教材p195,习题4.13第c小题)
-2-1.5-1-0.500.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91
(3) 设信号()sin(100)ftt，载波是频率为400Hz的余弦信号，用Matlab实
现调幅信号，并观察信号和调幅信号的频谱。
(4) 求下列微分方程所描述系统的频率响应，并画出幅频、相频响应曲线：(教材p199,习题4.30第1小题)
()3()2()()ytytytft
四、实验结果记录与分析
1.周期性三角波如下图所示，计算其傅里叶级数系数，演示其有限项级数逼
近并绘图。(教材p193,习题4.8第a小题)。
1
tf(t)
12-1-23
试验程序：
t=0:0.0001:1;
T=2; w=2*pi/T;
a0=1/2;
N=10;an=zeros(1,N);bn=zeros(1,N);
for k=1:N an(k)=quadl(@rectcos,-1,1,[],[],k,w)*2/T;
bn(k)=quadl(@rectsin,-1,1,[],[],k,w)*2/T;
end;
n=1:1:N;
figure(1);
subplot(1,2,1);stem(n,an,'-o');grid on;
subplot(1,2,2);stem(n,bn,'-o');grid on;
t=-4:0.0001:4;
x=pulstran(t+0.5,-3:2:3,'tripuls',1,1);
figure(2);subplot(6,2,1);
plot(t,x);
axis([-3,3,-1,2]);grid on;
subplot(6,2,2);plot(t,a0/2);grid on;
wave=a0/2;
for k=1:10
wave=wave+an(k)*cos(k*w*t)+bn(k)*sin(k*w*t);
subplot(6,2,k+2);plot(t,wave);grid on;
end 注：
rectcos.m 【function y=rectcos(t,n,w);
t=pulstran(t+0.5,-3:2:3,'tripuls',1,1);
y=(t).*1.*cos(n*w*t);】rectsin.m
【function y=rectsin(t,n,w);
t=pulstran(t+0.5,-3:2:3,'tripuls',1,1);
y=(t).*1.*sin(n*w*t);】
