小学数学之 容斥原理

容斥原理知识结构一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．例题精讲【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【答案】45人【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【答案】21人【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【答案】16人【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【答案】9人【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【答案】44人【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【答案】42人【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【答案】10人【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第二届，迎春杯【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄BA 两门都不在95分以上的数学95分以上的两门95分以上的语文95分以上的语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【答案】68人【例 5】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 不妨用下图来表示：线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人)①48AB =(人) ②①式减②式，就有794831DC =-=(人),所以，数学、语文作业都做完的有31人．【答案】31人【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【答案】13人【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（） 6250⨯=(人)．【答案】50人【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427-=(人)．【答案】7人【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成C BA集合G ．三者都参加的学生有z 人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10． 因为，所以46=24+20+7x -10-2x -2x +x ，解得x =3， 即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．【答案】21人【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．=25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【答案】62人【例 8】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题【难度】4星 【题型】解答 A B C A B C A C A B C B C A B C A B A B C A B C A B A C B C A B C =++---+⨯C 语文B 美术A 自然ABC B C A B A C A B C A B C A B C A B A C B C A B C ++---+【解析】 如图，用A 圆表示带汉堡的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带芝士蛋糕的人．⑴ 根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数-）（带汉堡、鸡腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+）三种都带了的人数，即10664321-++-+++（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100-=(人)．⑵ 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即103214-++=（）(人)．只带了一种的有4人．【答案】（1）0人，（2）4人【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【考点】三量重叠问题【难度】4星 【题型】解答【解析】 略【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人数)-(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：55532219++-+++=（）（）(人)．1091-=(人)，所以其中有1人这三种饮料都没有要．【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三BA CCBA10个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． =30，=6，=8，=5，=73， 而=. 有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，A B C ==A B B C A C A B C A B C A B C +--A B B C A C A B C --+AB C A B C露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回． ⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有=200个，7的倍数有=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个． 依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】43【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484+-=人. 该情况可以用线段图来构造和示意：（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人，那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到：100248x y --≤，即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x+≤+② 联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上．【答案】4【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35课堂检测【随练1】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴ 问语文数学都写完的有多少人？⑵ 只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 由题意，有48642-=(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：3020428+-=(人)．⑵ 只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822-=(人)．【答案】22人【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130++=人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130********-+++=（）(人)．或者根据学过的公式：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598++---+=(人)．【答案】98人【随练3】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米家庭作业【作业1】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人。

容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A的元素的个数。

在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。

我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。

即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。

显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。

我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。

A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。

A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。

A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。

容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C1．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？3．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。

参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5．三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订。

小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。

容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。

具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。

这样可以避免重复计算。

例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。

如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。

另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。

需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。

这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。

总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。

小学容斥原理的解释小学容斥原理，又称为容斥原理、包容原理，是组合数学中的一种重要原理。

它是解决计数问题的一种方法，通过将问题划分为不相交的子集，然后逐个计算每个子集的元素个数，并利用集合的容量大小来计算最终的结果。

容斥原理在解决小学数学题目中的应用相当广泛，如排列组合、概率论等等。

小学生在学习容斥原理之前，首先需要了解集合的概念。

集合就是由一些个体组成的整体，比如我们可以用集合{1, 2, 3}来表示三个小朋友的编号。

在容斥原理中，我们主要使用交集和并集这两个概念。

交集就是把两个或多个集合里共有的个体选出来组成一个新的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。

并集就是把两个或多个集合里所有的个体选出来组成一个新的集合。

例如，集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4}。

容斥原理的核心思想是通过计算交集和并集的关系来求解问题。

首先，我们考虑简单的情况，假设有两个集合A和B，我们要求这两个集合的元素个数之和。

根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的并集来获得结果。

但是由于并集中包含了A和B的交集，为了避免重复计算，我们需要减去A和B 的交集的元素个数，也就是用并集的元素个数减去交集的元素个数。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，它们的并集为{1, 2, 3, 4}，交集为{2, 3}。

根据容斥原理，集合A和集合B的元素个数之和等于并集的元素个数减去交集的元素个数，即4-2=2+2=4。

这个结果表示集合A和集合B中一共有4个元素。

在解决实际问题时，容斥原理的应用更为复杂，涉及到多个集合的情况。

我们可以通过逐个考虑不同的情况，然后用加减的方式求得最终的结果。

例如，假设有三个集合A、B和C，我们要求这三个集合的元素个数之和。

根据容斥原理，我们可以先计算每两个集合的交集的元素个数之和，然后再减去所有三个集合的交集的元素个数，最后加上三个集合的并集的元素个数。

小学数学精讲(21)容斥原理一， 知识地图⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩二者关系分类三者关系容斥原理内容韦恩图内容公式算术法求总数，三项都参加，三项都不参加的方程法基本计算题型求一项参加，两项参加的--方程法求多项未知--方程法求只参加一项，只参加二项的--间接计算正方形与图形结合圆形整除最简真分数与数论知识结合与其他知识相结合平方数，立方数奇偶数三次都会最大最小最值问题会两次最大最小⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩与排列组合结合电灯开关应用题型报数转身图形法其他题型表格法二，基础知识趣题导引：有一次，学而思小升初培训部进行数学和英语模拟测试，全体学员的考试成绩统计出来后，周老师在班上向同学报告所有学员的考试情况。

周老师说：“这次考试成绩比上一次有了很大的提高，说明同学们在这一段时间内非常认真地学习了学而思的课程，有我们老师的功劳，但更重要的是你们的努力，希望下一次考试可以更上一层楼。

我们全体六年级学员有1106人，其中数学成绩90分以上的有542人，英语成绩90分以上的有479人，数学和英语成绩都考90分以上的有256人，数学和英语成绩都在90分以下的有350人，希望这部分同学可以奋起直追，加倍努力，争取在下一次考试中也都可以拿到90分以上的好成绩。

”周老师的话刚说完，其中一个同学小明就举手说：“老师，您的统计数据有问题，至少有一个人数是不对的。

”周老师很从容的回答说：“没错，小明同学说得很对，确实有一个数据我故意说错的，就看大家能不能反应出来，你们知道是为什么吗？”于是大家都热烈讨论了起来，同学们，你们知道小明是如何很快又肯定的说有一个数据老师说错了吗？要想知道答案，先学好下面的内容了！（一）容斥原理介绍本章节的主要内容是解决涉及包含与排除关系的计算题与应用题，运用到的一个基本原理称为容斥原理，下面我们将容斥原理的内容介绍给大家，由于容斥原理中涉及的各部分之间的关系非常的微妙，希望同学可以仔细学习，细心体会。

容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。

它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。

本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。

一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。

在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。

在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。

容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。

二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。

如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。

2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。

因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。

通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。

这就是容斥原理的基本推导过程。

接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。

假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。

2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。

这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。

第13讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级暑假容斥原理五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题漫画释义知识站牌容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。

为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体……，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。

容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。

也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题；3.会利用方程解决较复杂的容斥问题．容斥原理容斥原理I ：两量重叠问题A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且"的意思．)图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即容斥原理II ：三量重叠问题A B C A B C A B B C A C A B C=++---+ 图示如下：经典精讲课堂引入教学目标第13讲C A B AC B BA C 模块1：两量的容斥例1-3例1：两量容斥例2：容斥最值(利用线段图)例3：容斥最值(需要判断)模块2：三量容斥例4：截长度例5：开关灯例6：容斥最值(浇花，答题)模块3：容斥综合例7：普通方程解容斥例8：不定方程解容斥在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【分析】1～100，2的倍数有1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=50，3的倍数有1003⎡⎤⎢⎣⎦=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有1006⎡⎤⎢⎥⎣⎦=16个．于是，既不是2的倍数，例题思路又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.(1)有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是____、_____.(2)某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班三项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(3)某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(4)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，那么，恰好被3个人浇过的花最少有____盆.(5)60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，那么，这三项运动都不会的最多有___人.(6)甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么，甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有____个.【分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配．(1)最大值就是含铁的有43种.根据容斥原理最小值68+43-100=11，最小值可以用下图表示：(2)最大值为27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多．因此可以先让所有人都会两项．剩下的就是三项都会的最小值．27+33+40-48×2=4(3)同上分析：最大值为27，最小值为40+38+35+27-46×3=140-138=2人(4)为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有1003070-=盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506070215++-⨯=盆．(5)2346040;6045;6048345⨯=⨯=⨯=.此题中有22人三项全会，要让都不会的最多，那么会两项的就应该最多．(40+45+48-22×3)÷2=33…1．因此除了22人外，至少还有34人会2项或1项运动．都不会的最多有60-22-34=4人．(6)考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．第13讲(1)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有11人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．(2)某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．(3)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．【分析】此类问题算出最值后，一定要检验是否能办到．原因可见(3)小题．(1)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8911)214++÷=人参加竞赛，1495-=，14113-=，参加语文和英语竞赛的有5人，参加语文和数学竞赛的有3人，参加数学和英语竞赛的有6人，符合题意，因此至少有14人参加竞赛(2)根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加2科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷= ，所以至多有35人参加2科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语2科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加2科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）(3)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8921)219++÷=人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛.一根1001厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔7厘米画一个刻度，第二次每隔11厘米画一个刻度，第三次每隔13厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段?(学案对应：超常1，带号1)【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、1000、1001这1001个自然数中7或11或13的倍数的个数，为：100110011001100110011001100128171113711713111371113⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++---+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故木棒上共有281个刻度，可以截出281段．(注：此题中1001恰好是7，11，13的倍数，因此最后一个刻度不需要截．若是1002，那么刻度还是281个，但截成的是282段．)有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？棣莫弗的传奇容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概率论的教材——《机会的学说》中提出的。

容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。

它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。

容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。

2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。

这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。

3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。

这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。

这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。

容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。

这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。

这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。

1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A 的元素个数。

求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A∩B,即阴影面积。

用法：包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。

其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。

问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。

小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。

从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。

容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用IAI表示有限集A的元素的个数。

在两个集合的研究中,已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成L4U BI=L4I+IBI-L4A Bl□我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理I告诉我们，要计算两个集合A、8的并集AUB的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。

即先求L4I+IBI（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去L4HSI（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设/=｛1、2、3、…、19、20）,A=｛1中2 的倍数｝, 8=｛，中3的倍数｝。

显然题目中要求计算并集AUB的元素个数，即求L4U5L我们知道A=｛2.4、6、……、20),所以1X1=10,8=｛3、6、9、12、15、18｝,181=6。

Ar\B=(I中既是2的倍数又是3的倍数｝=｛6、12、18｝,所以AC81=3,根据容斥原理有L4U B\=\AMB\-\A A B\=10+6-3=13.答：所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：1820例2.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A=｛数学在90分以上的学生｝,B=｛语文在90分以上的学生｝,由题意知L41=25,181=21。

AUB=｛数学、语文至少一科在90分以上的学生｝, IAU Bl=38oAQB=(数学、语文都在90分以上的学生｝,由容斥原理知A U B\=\AMB\-\A A81,所以L4AB\=\AMB\-\A U81=25+21—38=8。

小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。

容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。

容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。

下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。

假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。

我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。

首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。

根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。

通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。

容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。

下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。

例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。

首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。

根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。

三容斥原理所有公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它能帮助我们在解决集合相关问题时，思路更加清晰，计算更加准确。

咱们先来说说容斥原理的基本公式。

容斥原理有三个，分别是：两集合容斥原理、三集合容斥原理标准型、三集合容斥原理非标准型。

两集合容斥原理的公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

这就好比咱们班选体育课，有的同学喜欢篮球（A），有的同学喜欢足球（B），那么既喜欢篮球又喜欢足球的同学（A∩B）就被重复计算了一次，所以要减去。

三集合容斥原理标准型的公式是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

比如说咱们学校组织活动，有语文比赛（A）、数学比赛（B）、英语比赛（C），有些同学参加了不止一项比赛。

这里面A∩B 表示既参加语文比赛又参加数学比赛的同学，B∩C 表示既参加数学比赛又参加英语比赛的同学，C∩A 表示既参加英语比赛又参加语文比赛的同学，而A∩B∩C 则是三项比赛都参加的同学。

在计算总人数的时候，如果只是简单地把参加各项比赛的人数相加，那么那些同时参加多项比赛的同学就被重复计算了，所以要减去重复的部分，最后再把三项都参加的同学加回来，因为在前面的计算中，三项都参加的同学被减多了。

三集合容斥原理非标准型的公式是：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的元素 - 2×只属于三个集合的元素。

我给您讲个事儿啊，就拿我们班组织兴趣小组来说吧。

有绘画小组、音乐小组和书法小组。

绘画小组有 20 人，音乐小组有 15 人，书法小组有 18 人。

其中既参加绘画又参加音乐的有 5 人，既参加绘画又参加书法的有 6 人，既参加音乐又参加书法的有 4 人，三个小组都参加的有 2 人。

那咱们来算算总共有多少同学参加了兴趣小组。

按照三集合容斥原理标准型的公式：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C ，也就是 20 + 15 + 18 - 5 - 6 - 4 + 2 = 40（人）。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法，常常用于解决包含排列组合的问题。

容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来求解包含多个集合的问题。

在实际问题中，容斥原理有着广泛的应用，特别是在概率统计、组合数学、计算机算法等领域。

首先，我们来了解一下容斥原理的基本概念。

假设有n个集合A1、A2、……、An，我们希望求解这些集合的并集的元素个数。

容斥原理告诉我们，这个并集的元素个数可以通过如下的公式来计算：|A1 ∪ A2 ∪……∪ An| = Σ|Ai| Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| …… + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩……∩ An|。

其中，|A|表示集合A的元素个数，Σ表示求和运算。

公式右边的第一项是将所有集合的元素个数相加，第二项是将两两集合的交集的元素个数相减，第三项是将三个集合的交集的元素个数相加，以此类推。

最后一项是将所有集合的交集的元素个数相加，并且交替加减。

通过这个公式，我们可以清晰地看到容斥原理的核心思想，通过交替相加和相减集合的交集元素个数，来排除重复计数，最终得到并集的元素个数。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个集合包含了所有小于100的正整数中能被2、3或5整除的数，我们希望求解这个集合中元素的个数。

首先，我们分别求解能被2、3和5整除的数的个数，分别记为A2、A3和A5。

然后，我们求解能同时被2和3、2和5、3和5以及2、3和5整除的数的个数，分别记为A2∩3、A2∩5、A3∩5和A2∩3∩5。

最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到集合中元素的个数：|A2 ∪ A3 ∪ A5| = |A2| + |A3| + |A5| |A2 ∩ A3| |A2 ∩ A5| |A3 ∩ A5| + |A2 ∩ A3 ∩ A5|。

通过具体的计算，我们可以得到最终的结果。

这个例子清晰地展现了容斥原理在实际问题中的应用，通过排除重复计数，我们可以准确地求解集合的并集元素个数。