六年级数学专题详解 容斥原理

容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C1．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？3．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。

参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5．三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订。

容斥原理常识型公式摘要：1.容斥原理的概念和基本公式2.容斥原理的推导过程3.容斥原理的应用示例正文：一、容斥原理的概念和基本公式容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是一种在集合论中常用的原理。

它的基本思想是：对于任意两个集合A 和B，有以下三种关系：A 包含B，A 与B 相交，A 与B 相离。

通过这三种关系，我们可以得到容斥原理的基本公式。

基本公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示A 和B 的并集，|A|表示A 的元素个数，|B|表示B 的元素个数，|A∩B|表示A 和B 的交集。

二、容斥原理的推导过程为了更好地理解容斥原理，我们可以从集合的元素个数入手，推导出容斥原理的基本公式。

假设集合A 有a 个元素，集合B 有b 个元素。

那么，A 与B 的并集中的元素个数可以分为三类：1.属于A 且属于B 的元素，有c 个。

2.属于A 但不属于B 的元素，有a-c 个。

3.属于B 但不属于A 的元素，有b-c 个。

根据集合的定义，A 与B 的并集中的元素个数为a+b 个。

因此，我们可以得到以下等式：a +b =c + (a-c) + (b-c)化简得：a +b = a + b - c即：c = |A∩B|将c 的值代入基本公式，得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|这就是容斥原理的基本公式。

三、容斥原理的应用示例容斥原理在实际问题中有广泛的应用。

下面我们通过一个简单的例子来说明如何使用容斥原理求解问题。

例：某班有男生20 人，女生25 人。

现在需要组成一个学习小组，要求小组中男生和女生的人数相同。

请问最多可以组成几个这样的小组？解：根据容斥原理，我们可以得到男生和女生的总人数为20+25=45 人。

由于小组中男生和女生的人数相同，所以每个小组中男生和女生的人数都是45/2=22.5 人。

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。

）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。

我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常被用来解决计算某种特定情况下的元素个数的问题。

容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。

首先，我们来看一个简单的例子来理解容斥原理的基本思想。

假设有三个集合A、B、C，我们需要计算它们的并集的元素个数。

根据容斥原理，我们可以通过如下的公式来计算，|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式的意义是，先将A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们三个集合的交集的元素个数。

这样计算得到的结果，就是A、B、C三个集合并集的元素个数。

通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的核心思想是通过加减交替的方式，来排除重复计数，最终得到不重复的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决各种组合数学问题。

例如，在排列组合中，我们常常需要计算满足某种条件的排列或组合的个数，这时就可以运用容斥原理来进行计算。

在概率统计中，容斥原理也常常被用来计算事件的概率，特别是在计算事件的互斥和独立性方面，容斥原理能够提供简洁而有效的计算方法。

除了上面提到的例子，容斥原理还可以应用于更加复杂的情况。

例如，在计算某个集合的补集元素个数时，容斥原理同样可以提供便利的计算方法。

在实际问题中，我们常常需要计算满足一定条件的集合的补集的元素个数，这时就可以利用容斥原理来简化计算过程，提高计算效率。

总的来说，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数的方式，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。

通过深入理解和灵活运用容斥原理，我们可以更加高效地解决各种计数问题，提高数学问题的解决能力。

1.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？2.某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？3.在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？4.分母是1001的最简分数一共有多少个？5.设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。

6.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多少人？7.在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？8.五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。

9.某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？10.有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？11.用红笔在一根木头上做记号：第一次把木头分成了12等份，第二次把木头分成了15等份，第三次把木头分成了20等份。

沿着这些红记号把木头锯开，一共锯成多少小段？12.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？13.分母为75的最简真分数有多少个？它们的和是多少？14.从1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少？15.书架上共有72本书，其中有科技书12本，小说是科技书的1/2，蓝色封面的书有10本，蓝色封面的科技书有4本，蓝色封面的小说有3本，问书架上不是蓝色封面的并且既不是科技书又不是小说的其它书有多少本？有100种食品。

小学数学应用题之容斥问题【含义】容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。

【数量关系】A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C【解题思路和方法】先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

可画文氏（韦恩）图来解题。

例1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。

钉成的木板长厘米。

解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。

解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。

2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。

例2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。

A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。

孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。

2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。

选择B。

例3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。

容斥原理一、知识结构图容斥原理二、方法讲解1、容斥原理Ⅰ：两量重叠问题A 类与B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数用符号可表示成：A ∪B=A+B-A ∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。

）则称这一公式为包含于排除原理，简称容斥原理。

图示如下：A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A+B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A ∩B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

2、容斥原理Ⅱ：三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。

用符号表示为：A ∪B ∪C=A+B+C-A ∩B-B ∩C-A ∩C+A ∩B ∩C 图示如下：3、解答有关包含排除问题的一般方法在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考。

三、例题精讲例题1、把面积35cm ²和面积27cm ²的大小两个圆平放在桌面上，有一部分重叠，重叠部分面积为8cm ²，求被盖住桌面的面积？ 答案：面积为35+27-8=54cm 2练习1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 答案：参加的人有：28+29-12=45人例2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有多少人两个小组都不参加？ 答案：参加兴趣小组：15+18-10=23（人） 都不参加：40-23=17（人）40 航模 数学1810 15练习2、四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？ 答案：（1）至少完成一科作业：48-6=42人 两科都写完：30+20-42=8人 （2）只写完语文：30-8=22人∩CC ∩1． 先包含——A +B +C重叠部分A ∩B 、B ∩C 、C ∩A 重叠了2次，多加了1次. 2． 再排除——A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 重叠部分A ∩B ∩C 重叠了3次，但是在进行A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 计算时都被减掉了.C B A 例3、在 1—100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 答案：3的倍数：100÷3=33个···1 5的倍数：100÷5=20个既是3又是5的倍数：100÷15=6个···10 所以3或5的倍数：33+20-6=47个既不是3也不是5的倍数：100-47=53个练习3、50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，...，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 答案：4的倍数：50÷4=12人...2 6的倍数：50÷6=8人 (2)既是4又是6的倍数：50÷12=4人···2 所以4或6的倍数：12+8-4=16人既不是4也不是6的倍数：50-16=34人最后向前的同学包含：既不是4和6的倍数和同时是4和6的倍数 共有：4+34=38人例4、在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100 cm ²，并知A 、B 两圆重叠的面积是20 cm ²，A 、C 两圆重叠的面积为45 cm ²，B 、C 两圆重叠的面积为31 cm ²,三个圆共同重叠的面积为15 cm ²，求盖住桌子的总面积。

第8讲容斥原理容斥原理是概率论和组合数学中的重要概念之一，它是一种用于计算多个事件的概率的推理方法。

容斥原理的核心思想是通过减去不重叠的事件的概率来计算多个事件的概率，从而得到它们的交集的概率。

容斥原理的一般形式可以表示为：P(A_1∪A_2∪A_3...)=S(A_1)+S(A_2)+S(A_3)-S(A_1∩A_2)-S(A_1∩A_3)-S(A_2∩A_3)+S(A_1∩A_2∩A_3)+...其中，P表示概率，A_i表示事件，S(A_i)表示事件A_i的概率，∪表示事件的并集，∩表示事件的交集。

容斥原理的核心思想是通过减去重叠部分的概率来计算多个事件的概率。

在上述公式中，第一项表示单独发生每个事件的概率，第二项表示两个事件同时发生的概率，第三项表示三个事件同时发生的概率，以此类推。

最后，通过交替相加和相减，得到多个事件的交集的概率。

容斥原理可以用来解决各种计数问题，如排列组合问题、集合的计数问题等。

它在概率论、组合数学、数论等领域里都有广泛的应用。

下面通过一个例子来理解容斥原理的具体应用。

例题：已知集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，求集合A和集合B的并集中元素个数的期望值。

解答：首先，我们计算集合A中的元素在并集中出现的概率。

由于A中的每个元素在并集中的出现概率都相同，所以我们只需要计算一个元素出现的概率即可。

假设元素i出现在并集中的概率为p_i，那么由于每个元素的出现概率都相同，所以p_1+p_2+...+p_n=1而当一个元素出现在并集中时，它同时也是集合A和集合B中的元素，所以我们可以用容斥原理来计算元素i出现在并集中的概率。

通过容斥原理，我们可以得到集合A和集合B的并集中元素i出现的概率为：p_i=P(A_i)+P(B_i)-P(A_i∩B_i)其中P(A_i)表示元素i出现在集合A中的概率，P(B_i)表示元素i出现在集合B中的概率，P(A_i∩B_i)表示元素i同时出现在集合A和集合B中的概率。

容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。

容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。

咱们先来说说这第一个公式。

假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。

用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。

我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。

那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。

|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。

所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。

再来说说第二个公式。

要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。

式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。

比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。

参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。

那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。

容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。

当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。

容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。

二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。

三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。

三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。

通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。

四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。

画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。

文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。

应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。

如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。

简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。

可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。

检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。

五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。

避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。

特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。

分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。

不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。

容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。

从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。

容斥问题466摘要：1.容斥问题的基本概念2.容斥问题的解决方法3.容斥问题的实际应用正文：一、容斥问题的基本概念容斥问题是组合数学中的一个重要问题，主要研究从一组数集中选取元素组成集合的方法。

它涉及到两个基本的集合运算：并集和交集。

在容斥问题中，给定一组数集，要求通过并集和交集的运算，得到所有可能的子集。

二、容斥问题的解决方法解决容斥问题的方法主要是利用容斥原理。

容斥原理是组合数学中的一个基本原理，它给出了求解容斥问题的一般方法。

容斥原理的公式表达式为：|A ∪B| = |A| + |B| - |A ∩B|其中，|A ∪B| 表示A 和B 的并集的元素个数，|A| 和|B| 分别表示A 和B 的元素个数，|A ∩B| 表示A 和B 的交集的元素个数。

利用容斥原理，我们可以通过计算并集、交集的元素个数，来求解容斥问题。

具体步骤如下：1.计算每个数集的元素个数；2.利用容斥原理公式，计算并集的元素个数；3.根据并集的元素个数，求解交集的元素个数；4.根据交集的元素个数，求解所有可能的子集。

三、容斥问题的实际应用容斥问题在实际生活中有着广泛的应用，例如在计算机科学中的集合运算、数据结构等。

在计算机程序设计中，解决容斥问题的方法可以有效地优化算法，提高程序的运行效率。

此外，容斥问题在组合数学、离散数学、概率论等领域也有着广泛的应用。

通过学习容斥问题，我们可以更好地理解这些领域的基本概念和方法，提高自己的学术素养和实际能力。

总之，容斥问题是组合数学中的一个基本问题，它涉及到并集、交集等集合运算。

通过利用容斥原理，我们可以解决容斥问题，求解所有可能的子集。

(一) 容斥原理包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。

解答这类问题的主要根据是容斥原理1.容斥原理一：设A 、B 是两类有重叠部分的量（如图）. 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量 的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab.2.容斥原理二：设A,B,C 是三类有重叠的部分的量，如果A 对应的量为a ，B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的 数共有多少个？例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。

问三项都报者有多少人？例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组 的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多是多少人？最少是多少人？例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的53，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外 对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的31多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？例6 李老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对， 第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。

六年级容斥原理求阴影部分面积
在数学中，容斥原理是一种用于计算集合交集的方法。

它可以帮助我们计算两个或多个集合的交集的大小，而不需要逐个计算每个元素的个数。

在这个问题中，我们需要求解一个阴影部分的面积，我们可以使用容斥原理来解决。

首先，让我们定义两个集合A和B。

集合A表示一个矩形的区域，而集合B表示一个圆形的区域。

我们的目标是计算这两个区域的交集，也就是阴影部分的面积。

使用容斥原理，我们可以得到以下公式：
|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|
其中，|A|表示集合A的面积，|B|表示集合B的面积，|A ∪ B|表示集合A和B的并集的面积。

现在，让我们具体计算这些值。

假设矩形的长为L，宽为W，圆形的半径为r。

集合A的面积可以通过矩形的长乘以宽来计算，即|A| = L * W。

集合B的面积可以通过圆形的面积公式来计算，即|B| = π * r^2。

集合A和B的并集的面积可以通过将集合A的面积和集合B的面积相加，然后减去它们的交集的面积来计算，即|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。

最后，我们可以使用容斥原理的公式来计算阴影部分的面积，即|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|。

希望这个解答能够帮助你求解阴影部分的面积。

如果你提供具体的数值，我可以帮助你进行计算。

第31讲容斥原理例1在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个?例2某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人?例3100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语、83人懂英语、65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人?例4在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个? 例5某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、l9人、20人。

语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。

这个班最多能有多少人?1、某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。

问：两样都不爱好的有多少人？2、分母是105的最简真分数共有多少个？3、一个家电维修站有80%的工人精通修彩电，有70%的工人精通修空调，10%的工人两项都不熟悉。

问：两项都精通的工人占百分之几？4、在自然数1~100中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？5、在自然数1~200中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？6、在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人？最多有多少人？7、64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。

三种杂志都订的有多少人？8、某小学六年级的学生中有88%的是“歌迷”，80%的是“球迷”，60%的是“棋迷”。

那么，该校六年级学生“球迷”中至少有百分之几是“歌迷”？“棋迷”中至少有百分之几是“球迷”？9、70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；(2)只得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。

容斥问题定义容斥问题定义容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决计数问题。

在解决计数问题时，常常需要考虑多个条件的限制，而这些条件之间可能存在重叠或交叉，因此需要使用容斥原理来避免重复计算。

一、基本概念1.1 容斥原理的定义容斥原理是指，在求两个或多个集合的并集时，为避免重复计算，需要减去它们的交集，并加上它们的交集的子集（即三个及以上集合时），以此类推。

1.2 集合符号在容斥原理中，常用到以下符号：- A∪B：表示A和B的并集- A∩B：表示A和B的交集- A-B：表示A中去掉B后剩余部分- |A|：表示A中元素的个数二、二元容斥原理2.1 两个集合的情况在求两个集合A和B的并集时，根据容斥原理有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，“|”表示求元素个数。

这里需要减去|A∩B|是因为在求并集时，如果直接将|A|和|B|相加，则会把交集中的元素重复计算，因此需要减去交集的元素个数。

2.2 三个集合的情况当有三个集合A、B和C时，求它们的并集可以按照以下步骤进行：- 先求出A、B和C分别的元素个数：|A|、|B|和|C|- 然后求出它们两两交集的元素个数：|A∩B|、|A∩C|和|B∩C|- 再求出它们三个集合的交集的元素个数：|A∩B∩C|根据容斥原理，三个集合的并集可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|这里需要减去两两交集中的元素个数，再加上三个集合交集中的元素个数，以避免重复计算。

2.3 n个集合的情况当有n(n>3)个集合时，也可以按照类似的方法求解。

具体步骤如下：- 先求出每一个单独集合中元素的数量- 求出每一对（两两）交叉部分中元素数量- 求出每一组（三三）交叉部分中元素数量- 求出每一组（四四）交叉部分中元素数量- 以此类推，直到求出所有的组合情况最后，根据容斥原理，n个集合的并集可以表示为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n+1)|A1∩A2∩...∩An|其中，“Σ”表示求和符号，“(-1)^(n+1)”表示交叉部分数量为奇数时取负数。

小学数学精讲(21)容斥原理一， 知识地图⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩二者关系分类三者关系容斥原理内容韦恩图内容公式算术法求总数，三项都参加，三项都不参加的方程法基本计算题型求一项参加，两项参加的--方程法求多项未知--方程法求只参加一项，只参加二项的--间接计算正方形与图形结合圆形整除最简真分数与数论知识结合与其他知识相结合平方数，立方数奇偶数三次都会最大最小最值问题会两次最大最小⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩与排列组合结合电灯开关应用题型报数转身图形法其他题型表格法二，基础知识趣题导引：有一次，学而思小升初培训部进行数学和英语模拟测试，全体学员的考试成绩统计出来后，周老师在班上向同学报告所有学员的考试情况。

周老师说：“这次考试成绩比上一次有了很大的提高，说明同学们在这一段时间内非常认真地学习了学而思的课程，有我们老师的功劳，但更重要的是你们的努力，希望下一次考试可以更上一层楼。

我们全体六年级学员有1106人，其中数学成绩90分以上的有542人，英语成绩90分以上的有479人，数学和英语成绩都考90分以上的有256人，数学和英语成绩都在90分以下的有350人，希望这部分同学可以奋起直追，加倍努力，争取在下一次考试中也都可以拿到90分以上的好成绩。

”周老师的话刚说完，其中一个同学小明就举手说：“老师，您的统计数据有问题，至少有一个人数是不对的。

”周老师很从容的回答说：“没错，小明同学说得很对，确实有一个数据我故意说错的，就看大家能不能反应出来，你们知道是为什么吗？”于是大家都热烈讨论了起来，同学们，你们知道小明是如何很快又肯定的说有一个数据老师说错了吗？要想知道答案，先学好下面的内容了！（一）容斥原理介绍本章节的主要内容是解决涉及包含与排除关系的计算题与应用题，运用到的一个基本原理称为容斥原理，下面我们将容斥原理的内容介绍给大家，由于容斥原理中涉及的各部分之间的关系非常的微妙，希望同学可以仔细学习，细心体会。