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1.3.2 球的体积与表面积一. 教学目标１．知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
３．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二.教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三.学法和教学用具１．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２．教学用具：投影仪四.教学设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
]⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面。
1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.推进新课新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5. 答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R 330tan =︒, 圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ，∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′，则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π.答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π.答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）.答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g).∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水.∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.59倍D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3π C.32π D.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3 ）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。
《1.3.2球的体积和表面积》教学设计
教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》
一、 教学目标
知识目标：
1、掌握球的体积公式34
3
V R π=
、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：
通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力
情感目标：
通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点
重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.
难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法
采用试验探索，启发式的教学方法.
教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程
由题意可知，该几何体是长方体，。
必修2第1章第3节《球的体积和表面积》第1课时教学设计【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，先生在理解掌握上也比较困难，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让先生简单了解推导过程，领会其中所包含的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用，不要求先生掌握其证明。
在球的体积和表面积公式运用和球与几何体组合体的求解过程中，进步先生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
经过运用预设和相应的运用练习进步先生的提出、分析和解决成绩（包括简单的理论成绩）的能力，利用先生身旁熟知的成绩预设进步先生学习数学的兴味，建立学好数学的决心，进而构成锲而不舍的研讨精神和科学态度。
【教材分析】本节课是人教A版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，经过空间度量方式了解另一种基本几何体的结构特点。
从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研讨空间组合体结构特点的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更注重先生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。
【学情分析】先生刚学习立体几何不久，具备的图形言语表达及空间想象能力绝对不足，几何体的内切球、外接球的地位关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图构成绩向平面图构成绩的转化认识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的成绩有必然的困难，而且先生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有必然困难，还不能从必然高度去体会和感悟数学思想。
这些都是摆在先生面前的难题，也是教学中迫切需求解决的成绩。
【教学目标】1.掌握球的体积、表面积公式及其运用。
2会用球的表面积公式、体积公式解决相关成绩，培养先生运用数学的能力，发展逻辑思想能力，加强辩证唯物主义观点。
球的体积与表面积教案设计(参考)第一章：球的定义与性质一、教学目标：1. 了解球的定义及其在几何中的重要性。
2. 掌握球的基本性质，如球心、半径等。
3. 能够识别和描述球的各种相关术语。
二、教学内容：1. 球的定义及特点。
2. 球心、半径等基本性质的介绍。
3. 球的相关术语，如球面、球体等。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解球的定义及性质。
2. 利用实物模型或图形，帮助学生直观理解球的特点。
3. 进行小组讨论，让学生互相交流对球的理解。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的概念和性质的理解。
2. 学生作业，要求学生绘制球的图形并描述其性质。
第二章：球的体积计算一、教学目标：1. 理解球的体积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的体积公式进行计算。
3. 能够应用球的体积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的体积的定义及计算公式。
2. 球的体积公式的推导过程。
3. 应用球的体积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的体积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的体积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的体积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的体积定义和计算公式的理解。
2. 学生作业，要求学生应用球的体积公式进行计算和解决实际问题。
第三章：球的表面积计算一、教学目标：1. 理解球的表面积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的表面积公式进行计算。
3. 能够应用球的表面积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的表面积的定义及计算公式。
2. 球的表面积公式的推导过程。
3. 应用球的表面积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的表面积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的表面积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的表面积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的表面积定义和计算公式的理解。
球的体积和表面积教学设计球是一种常见的几何体，具有独特的特性，其中包括体积和表面积。
在教学设计中，通过讨论球体积和表面积的概念，可以帮助学生更好地理解和应用这些概念。
本文将从球的体积和表面积的定义、计算方法以及实际应用等方面进行讨论。
让我们来看看球体积的概念。
球的体积是指球内部所包含的空间大小，可以用来表示球的大小或容量。
球的体积公式为V=4/3πr³，其中r为球的半径，π为圆周率，约为3.14159。
通过这个公式，我们可以计算出任意大小球的体积，从而更好地理解球的大小。
接下来，让我们来讨论球的表面积。
球的表面积是指球体表面的大小，可以用来表示球的覆盖面积。
球的表面积公式为A=4πr²，其中r为球的半径，π为圆周率。
通过这个公式，我们可以计算出任意大小球的表面积，从而更好地理解球的外观。
在教学设计中，可以通过实际示例来帮助学生理解球体积和表面积的概念。
例如，可以让学生通过测量不同大小的球的半径，然后计算出它们的体积和表面积。
这样的实践活动可以帮助学生将抽象的概念转化为具体的数值，从而更好地理解和掌握这些概念。
可以通过实际应用来展示球体积和表面积的重要性。
例如，在日常生活中，我们经常会用到球体积和表面积的概念，比如计算篮球的容量或者涂漆一个篮球的表面积。
通过这些实际例子，可以帮助学生认识到球体积和表面积在现实生活中的应用，从而增强他们的学习兴趣和动力。
总的来说，球体积和表面积是几何学中重要的概念，通过教学设计和实践活动，可以帮助学生更好地理解和应用这些概念。
通过讨论球的体积和表面积的定义、计算方法以及实际应用，可以帮助学生建立起对这些概念的深刻理解，从而提高他们的数学能力和解决问题的能力。
希望本文能够对球体积和表面积的教学有所帮助，让学生在学习中更加轻松和愉快。
8.3.2 球的体积与表面积教学设计-人教A版高中数学（2019）必修第二册一、教学内容分析本节课的主要教学内容是球的体积与表面积，这是人教A版高中数学（2019）必修第二册第8章第3节的内容。
这部分内容主要涉及球体体积和表面积的计算方法。
球的体积可以通过球体的半径和体积公式来计算，表面积可以通过球体的表面积公式来计算。
这部分内容与学生已有的知识有关联。
首先，学生需要了解球的体积和表面积的概念，这是计算的前提。
其次，学生需要掌握球的半径与体积、表面积之间的关系。
这部分内容涉及到球体的几何属性，与学生已有的几何知识有关联。
此外，球的体积和表面积的计算方法也涉及到一些代数知识，如幂的运算、开方运算等，这需要学生有一定的代数基础。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾已有的几何和代数知识，以便更好地理解和掌握球的体积和表面积的计算方法。
同时，教师还可以通过实际例子来帮助学生理解这部分内容，如计算篮球、足球等常见球体的体积和表面积，让学生能够将理论知识应用于实际问题中。
二、教学目标本节课的教学目标主要是让学生掌握球的体积和表面积的计算方法，能够运用这些方法来解决实际问题。
具体目标如下：1. 学生能够理解球的体积和表面积的概念，了解它们在实际生活中的应用。
2. 学生能够掌握球的体积和表面积的计算公式，并能够正确地进行计算。
3. 学生能够运用球的体积和表面积的计算方法来解决实际问题，如计算篮球、足球等常见球体的体积和表面积。
4. 学生能够通过实际例子来加深对球的体积和表面积的理解，提高应用能力。
5. 学生能够通过小组合作和讨论来提高解决问题的能力，培养团队协作精神。
为了达到这些目标，教师需要设计一些有针对性的教学活动，如讲解球的体积和表面积的概念，演示如何进行计算，提供实际例子让学生进行练习，组织小组合作和讨论等。
同时，教师还需要关注学生的学习进度，及时给予指导和帮助，确保每个学生都能够掌握球的体积和表面积的计算方法，并能够运用这些方法来解决实际问题。
《1.3.2 球的表面积和体积》教学设计一、教学目标：知识与技能：1、了解球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=。
2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力。
3、能解决与球的截面有关的计算问题及球相关的“内切”“外接”的几何体问题。
过程与方法：通过类比、猜想球的表面积和体积公式，变式训练强化内切、外接问题，提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力。
情感态度价值观：培养学生空间想象能力以及勇于探索的精神，拓展学生视野，增强应用意识，渗透类比化归等数学思想，加强辨证唯物主义观点。
二、学情分析：学生以前已学习过圆的概念、相关公式，有一定的类比迁移能力，对本节课球的概念和公式较容易接受，运算能力良好，能运用公式求解相关问题。
但对正方体和球的几类情况较为陌生，学生具有一定的空间想象能力，借助3D 软件和FLASH 动画演示能较好理解新知。
三、教学重难点：重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。
难点：解决与球相关的“内切”“外接”的几何体问题。
四、教学方法：探索启发式的教学方法。
五、教学用具：3D 玲珑画板、FLASH 动画、PPT 、板书等六、教学过程：一、探究新知2.复习:球的概念：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的旋转体。
3.思考：做一个足球需要用到多少布料？把一个足球充满气需要多少气体？球的表面积和体积由哪个量来确定？试猜想球的表面积和体积公式。
引导学生类比得出球的表面积与半径的平方成正比，球的体积与半径的立方成正比。
猜想出32,kRVkRS==。
教师给出球的表面积公式24S Rπ=、体积公式343V Rπ=。
以后可以证明。
V和S都是以R为自变量的函数。
从实际问题入手，激发学生的学习兴趣，复习球的概念。
引导学生猜想球的表面积和体积公式。
唤起学生对球体的概念的认识，加深印象，为本节做好必要的知识铺垫.二、新知应用1．一个球的直径为4cm，则它的表面积是_________，体积是_________。
球的体积和表面积教学设计
教学设计目标：
1. 学生能够理解球的体积和表面积的定义；
2. 学生能够计算球的体积和表面积；
3. 学生能够应用所学知识解决实际问题。
教学设计步骤：
第一步：引入知识
教师可以通过展示一个球体模型来引入体积和表面积的概念。
教师可以问学生，这个球体的大小可以通过哪些参数来描述学生可以回答直径或半径。
然后，教师可以让学生思考球的体积和表面积分别是什么，给出定义并解释。
第二步：计算球的体积
教师可以给学生提供球半径的数值，然后讲解如何计算球的体积。
教师可以通过公式V = (4/3)πr³来解释如何计算球的体积。
然后，教师可以让学生通过计算得出球的体积。
第三步：计算球的表面积
教师可以给学生提供球半径的数值，然后讲解如何计算球的表面积。
教师可以通过公式S = 4πr²来解释如何计算球的表面积。
然后，教师可以让学生通过计算得出球的表面积。
第四步：应用实际问题
教师可以提供一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题。
例如，一个篮球的直径是20厘米，求篮球的体积和表面积是多少或者，如果有一堆相同大小的球，分别是半径为2厘米和4厘米的球，如果将这两种球混合在一起，求这堆球的平均半径。
第五步：总结回顾
教师可以让学生总结所学内容，复习体积和表面积的定义以及如何计算球的体积和表面积。
教师可以让学生应用所学知识解决更多实际问题，提高学生的应用能力。
1.3.3球的体积和表面积一、教学目标 （一）核心素养在掌握球体表面积及体积过程中，培养学生空间想象能力和思维能力，让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣. （二）学习目标1.了解球的表面积与体积公式,2.通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系3.会用球的表面积和体积公式进行计算；会求一些简单几何体的表面积和体积. （三）学习重点球的表面积与体积的计算 （四）学习难点 简单组合体的体积计算 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第27页至第28页.填空： 球的体积：343V R=π球的表面积：24S R =π 2.预习自测（1）设球的半径长cm 8，则球的表面积为 . 【答案】()2256cm π 【知识点】球的表面积公式【解题过程】()222448256S =R cm π=⨯π⨯=π球【思路点拨】运用球的表面积公式求解.（2）若球的体积为336cm π，则球的表面积为 . 【知识点】球的表面积公式和体积公式. 【解题过程】332243634363V R cm ,R cm,S R ,cm =π=∴==ππ又所以表面积为.【答案】()236cm π（3）球的直径伸长为原来的2倍，体积变为原来的______倍. 【答案】8【知识点】球的体积公式【解题过程】设伸长前体积为1V ，伸长后为2V ，则：()3331244428333V R V R R =π=π=π⨯，，218V V ∴= 【思路点拨】直接用公式 (二)课堂设计 1.知识回顾柱体、锥体、台体表面积和体积的计算方法及三者间的关系. 2.问题探究活动①互动交流、初步实践引入：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？(1)讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数. （证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式） (2)给出公式：334R V π=球 ； 24R S π=球 （R 为球的半径）→讨论：公式的特点？【设计意图】分组讨论，加深记忆，掌握球的表面积和体积公式. 活动② 例题示范、巩固新知例1如下图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.【知识点】主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算 【数学思想】空间想象【解题过程】（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为R 2.则有334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=圆柱，所以圆柱球V V 32=.（2）因为24R S π=球，2422R R R S ππ=⋅=圆柱侧，所以圆柱侧球S S =. 【思路点拨】明确组合体的结构特征 【答案】见解题过程同类训练 圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm .【知识点】球【数学思想】空间想象【解题过程】 设球的半径为rcm ，则r r r r 63348232⨯=⨯+⨯πππ.解得4=r .【思路点拨】三个小球的体积和水的体积之和等于圆柱的体积 【答案】4例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）A.π6B.π34C.π64D.π36【知识点】球的截面问题 【数学思想】空间想象【解题过程】设截面圆的圆心为'O ，M 为截面圆上任一点， 则2'=OO ，1'=M O ，()3122=+=∴OM ，即球的半径为3()ππ343343==∴V【思路点拨】有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 【答案】B同类训练 如图一个水平放置的无盖透明的正方体容器，高cm 12，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm 8，如果不计容器厚度，则球的体积为 3cm .【知识点】球的体积和表面积 【数学思想】空间想象【解题过程】根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为6∵球面恰好接触水面时测得水深为cm 8， ∴4812=-=d ，∴球的半径为()2264+-=R R ，即213=R∴球的体积为336219721334cm ππ=⎪⎭⎫⎝⎛⨯【思路点拨】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积 【答案】62197π例3 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ）A.34π+B.38π+C.384π+D.388π+ 【知识点】几何体的三视图及空间几何体的体积 【数学思想】空间想象【解题过程】由三视图可知，此几何体为组合体，下面是棱长为2的正方体，上面是球体的41，且球的半径为1，所以该机器零件的体积为3813441233ππ+=⨯⨯+=V【思路点拨】求简单组合体体积时，可直接利用公式求解 【答案】B同类训练 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，半径长度为2，则该几何体的表面积是（ ）A.π17B.π18C.π20D.π28 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：该几何体是一个球被切掉左上角的八分之一，即该几何体是八分之七个球， 球半径2=R ，所以它的表面积是八分之七的球面面积和三个扇形面积之和，即πππ17243248722=⨯⨯+⨯⨯.【思路点拨】由三视图画出该几何体的直观图，分析可得该几何体是一个球被切掉左上角的八分之一，它的表面积是八分之七的球面面积和三个扇形面积之和，进而得到答案. 【答案】A例4已知正方体外接球的体积是332π，那么此正方体的棱长等于 . 【知识点】正方体外接球问题 【数学思想】空间想象【解题过程】正方体外接球的体积是332π，则外接球的半径2=R ，正方体的对角线的长为4，棱长等于334.【思路点拨】正方体的体对角线是外接球的直径. 【答案】334 同类训练 长方体的三个相邻面的面积分别为236、、，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )A.π27B.π56C.π14D.π64 【知识点】长方体外接球问题 【数学思想】空间想象【解题过程】设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，不妨取6,32===ac bc ab ，，长方体的体对角线长为222c b a ++.而由⎪⎩⎪⎨⎧===632ac bc ab ，得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a∴球的直径14312222=++=d . ∴2142==d r . ∴πππ14414442=⨯==r S 球. 【思路点拨】长方体的体对角线是外接球的直径. 【答案】C例5 求棱长为1的正四面体外接球的体积. 【知识点】正四面体外接球问题 【数学思想】空间想象【解题过程】设1SO 是正四面体ABC S -的高，外接球的球心O 在1SO 上，设外接球半径为R ，r AO =1，则在ABC ∆中，用解直角三角形知识得33=r . 从而323112121=-=-=AO SA SO ， 在1AOO Rt ∆中，由勾股定理，得2223332⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R R ，解得46=R . ∴πππ8646343433=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==R V 球. 【思路点拨】正四面体的高线与底面的交点是ABC ∆的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据.此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的43，内切球的半径是正四面体高的41. 【答案】π86 同类训练 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.481π B.π16 C.π9 D.427π【知识点】外接球问题 【数学思想】空间想象 【解题过程】如图，设球心为O ，半径为r ，则在AOF Rt ∆中，()()22224r r =+-，解得49=r . ∴该球的表面积为πππ481494422=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=r .【思路点拨】利用球心到各顶点距离相等列式求解. 【答案】A【设计意图】巩固检查学生对球体表面积、体积计算公式的掌握，增强学生对公式的理解与记忆，锻炼学生的空间想象能力. 3.课堂总结 知识梳理(1)球的表面积公式，球的体积公式. (2)球的体积公式和表面积的一些运用. (3)轴截面的应用（与其他几何体外接内切）.【设计意图】通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力。
重难点归纳（1）球的表面积和体积公式的应用. （2）关于球的组合体的计算. （三）课后作业 基础型 自主突破1.若三个球的表面积之比为3:2:1，则它们的体积之比为( ) A.3:2:1 B.3:2:1 C.33:22:1 D.7:4:1 【知识点】球【解题过程】由表面积之比得到半径之比为3:2:1::321=r r r ，从而得体积之比为33:22:1321=V V V ：： 【思路点拨】直接用公式求解 【答案】C.2.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.π328 B.π316 C.834+π D.π12 【知识点】组合体体积 【数学思想】空间想象【解题过程】由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，分别计算其体积，相加得πππ32834222=+⨯⨯【思路点拨】此几何体是圆柱和球体的结合体. 【答案】A3.将一钢球放入底面半径为cm 3的圆柱形玻璃容器中，水面升高cm 4，则钢球的半径是（ ）cmA.1B.2C.3D.4 【知识点】球【数学思想】空间想象【解题过程】设球的半径为r ，则33436r ππ=，可得cm r 3=.【思路点拨】直接用公式求解 【答案】C4.若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π 【知识点】内切球. 【数学思想】空间想象【解题过程】设正方体的棱长为a ，则83=a . 而此内切球直径为2，∴ππ442==r S 表.【思路点拨】正方体内切球的直径长等于棱长的长度. 【答案】C5.一个直三棱柱的每条棱长都是34，且每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为____【知识点】球的体积和表面积. 【数学思想】空间想象【解题过程】∵一个直三棱柱的每条棱长都是34，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12O O 、， 则球O 的球心O 为线段21O O 的中点，设球O 的半径为R ，则28342332234222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R ， ∴球O 的表面积ππ11242==R S .【思路点拨】设此直三棱柱两底面的中心分别为12O O 、，则球O 的球心O 为线段21O O 的中点，设球O 的半径为R ，利用勾股定理求出2R ，由此能求出球O 的表面积.【答案】π1126.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为__________.【知识点】几何体体积【数学思想】空间想象【解题过程】设球半径为r ，圆锥的高为h ，则()3234331r h r ππ=，可得9:4:=r h . 【思路点拨】利用公式直接求解.【答案】9:4能力型 师生共研7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为π2016+，则r ＝( )A.1B.2C.4D.8【知识点】组合体体积.【数学思想】空间想象【解题过程】由条件知，该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成，其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得，所以表面积为πππππ2016454212212222222+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=r r r r r r r r S 表，解得2=r . 【思路点拨】利用三视图还原几何体.【答案】B.8.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为________.【知识点】内切球问题【数学思想】空间想象【解题过程】如图正四面体BCD A -的中心为O ，即内切球球心，内切球半径R 即为O 到正四面体各面的距离.∵a AB =,∴正四面体的高a h 36=. 又BCD O BCD A V V --=4，∴a h R 12641==. 【思路点拨】（1）求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”.（2）正四面体内切球半径是高的41，外接球半径是高的43. 【答案】a 126 探究型 多维突破9.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.【知识点】球【数学思想】空间想象.【解题过程】如图，圆O 是球的最大截面，它内切于ABC ∆，球的半径为r . 设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E . 则r BC AC AB r AD r DO 32,3,=====，r CD 3=∴ 由下图知332231:31:CD CE CD AD CE ME V V CD CE ：圆锥圆锥=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ππ又()2313333CD V r r r =π⋅=π圆锥 33335343r r r V V V O CD CE πππ=-=-=球圆锥圆锥 ()33333:3:35r CE r r =∴ππ 315CE r ∴=∴球从容器中取出后，水的深度为315r【思路点拨】（1）分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量.（2）涉及旋转体的问题，一般要作出轴截面，在截面图中寻找解题的切入点.【答案】315r10.如图所示，在直径4=AB 的半圆O 内作一个内接直角三角形ABC ，使030=∠BAC ，将图中阴影部分，以AB 为旋转轴旋转0180形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积.【知识点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【数学思想】空间想象.【解题过程】如下图所示，过C 作1CO ⊥AB 于1O ，在半圆中可得090=∠BCA ，030=∠BAC ，R AB 2=，∴3AC R =，R BC =，R CO 231=，24S R =π球，22331113341132224S R R R R R R ⎛⎫+∴=π⨯⨯+π⨯⨯+π⋅=π=π+π ⎪ ⎪⎝⎭几何体表 ∴旋转180o 所得到的几何体的表面积为113π+π.又334R V π=球，∴32231141115103442123V R R AO BO R R ⎛⎫=π-π⋅-⋅π⋅=π=π ⎪⎝⎭几何体表【思路点拨】求出R AC 3=，R BC =，R CO 231=，再求出几何体的表面积；要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算.【答案】101133.πππ； 自助餐1.三个球的半径之比为3:2:1，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.59倍D.47倍 【知识点】球的体积【数学思想】空间想象【解题过程】根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为r r 32、，所以各球的表面积分别为22241636r r r πππ、、，5916436222=+r r r πππ. 【思路点拨】直接用公式.【答案】C2.把半径分别为345、、的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是（ ） A.6 B. 7 C.8 D.9【知识点】球的体积【数学思想】【解题过程】()634543343333=++=ππR 【思路点拨】直接用公式【答案】A3.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是π9，则球的表面积是____________.【知识点】球的轴截面问题【数学思想】空间想象【解题过程】由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为53422=+，所以球的表面积是ππ100542=⨯【思路点拨】画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形【答案】π1004.已知B A ，是球O 的球面上两点，090=∠AOB ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为_______.【知识点】球的体积和表面积.【数学思想】空间想象【解题过程】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥ABC O -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时3661213132==⨯⨯⨯==--R R R V V AOB C ABC O ，故6=R ，则球O 的表面积为ππ14442=R .【思路点拨】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥ABC O -的体积最大，利用三棱锥ABC O -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积.【答案】π1445.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为cm 8的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？【知识点】球.【数学思想】空间想象.【解题过程】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须，半球圆锥V V ≥33434213421⨯⨯=⨯=ππr V 半球，h h r Sh V 224313131⨯===ππ圆锥. 依题意：≥⨯h 2431π343421⨯⨯π，解得8≥h . 即当圆锥形杯子杯口直径为cm 8，高大于或等于cm 8时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为22r h r rl S +==ππ圆锥侧，当圆锥高取最小值8时，圆锥侧S 最小，所以高为cm 8时，制造的杯子最省材料.【思路点拨】利用圆锥与球的体积关系.【答案】cm 8.6.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？【知识点】空间几何体体积综合应用.【数学思想】空间想象【解题过程】作出圆锥和球的轴截面图如下图所示，圆锥底面半径R R r 330tan 0==, 圆锥母线R r l 322==，圆锥高为R r h 33==， ∴233344533333332V r h R R R R R πππππ=-=⋅⋅-=水， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径R r 3=,设上底面半径为'r ， 则高()()'0''3360tan r R r r h -=-=, ∴()'2'23'335rr r r h R ++=ππ, ∴)3'3')('3(35223R Rr r r R R ++-=, ∴)'33(35333r R R -=， 解得6341633'r R R ==, ∴()R h 3'123-=.答：容器中水的高度为()R 3123-【思路点拨】转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.【答案】()R 3123-。
