2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 (2) 设222,r x y z =++则(1,2,2)()|div gradr -=(3) 交换二次积分的积分次序：112(,)ydy f x y dx --=⎰⎰(4) 设矩阵A 满足2A 40A E +-=,其中E 为单位矩阵，则()1A E --＝(5) 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计{}()2P X E X -≥≤二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示，则导函数()y f x '= 的图形为 ( )(2) 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==则 ( )(A)(0,0)|3.dz dx dy =+(B)曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}.(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1, 0,3}.(D)曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.(3) 设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为 ( )(A)201lim(1cosh)h f h →-存在. (B)h 01lim (1)h f e h →-存在. (C)201lim (sinh)h f h h →-存在. (D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在.(4) 设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ( ) (A)合同且相似 . (B)合同但不相似. (C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 将一枚硬币重复掷n 次，以X Y 和分别表示正面向上和反面向上的次数，则X Y 和的相关系数等于 ( )(A)-1 (B)0 (C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan xxe dx e⎰ 四、(本题满分6分)设函数(,)z f x y =在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=.五、(本题满分8分)设21arctan ,0(), 1, 0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数21(1)14n n n ∞=--∑的和. 六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3),LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰ 其中L 是平面2x y z ++= 与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数且"()0,f x ≠试证：(1) 对于(−1,1)内的任意0x ≠, 存在唯一的()x θ∈(0,1) ，使[]()(0)'()f x f x f x x θ=+成立；(2) 01lim ().2x x θ→=八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组0Ax = 的一个基础解系，1112221223121,,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+ 其中12,t t 为实常数.试问12,t t 满足什么关系时，12,,,s βββ 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组2,,x Ax A x 线性无关，且满足3232A x Ax A x =-(1) 记()2,,,P x Ax A x =求2 阶矩阵B , 使1;A PBP -=(2) 计算行列式.A E +十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)P P <<，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分)设总体X 服从证态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为211,2ni i X X n ==∑求统计量()212ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y .2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =± 从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+= 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gradr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度divA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222x x y z=++222x x y z =++xr=22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2r r xx r∂-∂=2xr x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -= 类似可得 r y y r ∂=∂，22r y∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -= 根据定义有 ()div gradr 222222r r r x y z∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++ 222233r x y z r ---=2233r r r -=232r r=2r =2222x y z =++于是 (1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域， 如图阴影部分. 但在10y -≤≤内，21y ≥-， 题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤ 再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰0211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy -=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E + 【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E -+=Oxyx+y=1x=2 1即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故 ()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是 严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=. 因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1} ，可排除(B)；曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x xy z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为 {}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±. 故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为0001()()lim(1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅-- 0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0lim 0x x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立. 方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =, 在0x = 处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim limh h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h→⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim(sin )lim h h h h f h h h h →→--=30sin lim h h hh h→-=⋅ 其中，30sin lim h h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h h h → 等16= 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C). 又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行 111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()111110(4)00000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0 得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q , 使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 因此，A B 与也合同. 即A B 与既合同且相似.应选(A).方法 2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ. 又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩, 知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ== 即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑ 故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-, 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 cov(,)(,)1X Y DXX Y DX DY DX DXρ-===-三【详解】2arctan x x e dx e⎰2arctan x xe e dx -=⎰()21arctan 22x x e e d x -=--⎰ ()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部 2221arctan 2(1)x x xxx de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 222111arctan 21x x x x x e e de e e -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰ 22211arctan 21x x x x x xe e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】 由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+ 1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又 (1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=， 所以 (1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】 首先将arctan x 展开.因为 ()arctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故 ()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰2210(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰， ()1,1x ∈-于是 21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑ 22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x xn n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑ 12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x x n n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n∞=-=+-∑， ()1,1,0x x ∈-≠ 又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立. 进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctan x x x x x--→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x x x x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭， 所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而 221(1)2()114n nn f x x n∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-， 变形得 221(1)()1142n n n f x x n ∞=--=-∑ 因此 21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在xoy 坐标面上的投影， {(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式， I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dS αβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰ []18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰ 按第一型曲面积分的算法，将S 投影到xoy ，记为σ.dS 与它在xoy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++ 故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰ 2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=- 方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，S 在xoy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰由 111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===， 及 {}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 知 11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==， 故 22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++ 22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++ 因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是 (24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1Sz z y z z x x y dxdy x y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy =-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰. 类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，D 为S 在xoy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+= 把2x y z ++=代入I 中， 1L 为L 在xoy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式 2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰ 其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在yoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤, 可得到yz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤, 可得到xz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)DI x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数， 于是 32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故 12324.I I I I =++=- 方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--, 则,dy dx dz dx =-=-，x 从1 到0. 以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+--- 22[(1)1(2)(1)]x x dx =--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3= 当0,0x y ≤≥, 2:1,12L y x z x =+=-, 则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1- 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx =+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰当0,0x y ≤≤, 3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅ 2(2226)x x dx =+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤, 4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0 到1， 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx =-+所以41222222()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰所以 123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1) 因为()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠ 所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<< 于是有 []'()()(0)x f x x f x f θ=-，即 []()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f xθ→-[]0'()'(0)lim()()x f x x f x x xθθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim 2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义 左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的 []()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以 []21'()()(0)'(0)"(),2x f x x f x f f x f x θξ=-=+ 约去x ，有 []1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于 []0'()'(0)lim"(0)()x f x x f f x xθθ→-=，0lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以 01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故 01l i m().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在xoy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h t r h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ ()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy ''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()Dx y dxdy h t +=+⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r rd h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π= 由题意知0.9(),dVS t dt=- 将上述()V t 和()S t 代入，得 32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=- 积分解得 13()10h t t C =-+ 由 ()0130h =, 得130C =. 所以13()130.10h t t =-+ 令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→ 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ 线性无关. 设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- ) 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,s st t +-≠，即12(),s s t t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0Ax =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -= ，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使 11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得 1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似. 由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p . 在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】 (1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m m n m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有 {}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!n P X n e n λλ-==故 {}{}{},|(1)!mm n m n n e P X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅， 其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】 记121111,n ni n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+ 且 1111n i n i i i EX nu E X E X u n n n ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 因此 ()()()221211()2n n i n i i n i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑ ()()()()2211221112n n n i i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑ 因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111n i i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑ 所以 ()2211(1)n i i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理 ()2221(1)n n i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑ 而 ()()()()12121122n n i n i i n i i i E X X X X E X X X X ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑ ()()1212n i n i i E X X X X +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121n i n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑ ()21121n i n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,EX EY 都存在，则EXY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX EX u ==211n i n i EX X EX EX u ++==，21212EX X EX EX u ==故有 ()()121n i n i i E X X X X +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()21121n i n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()222210ni u u u u ==--+=∑即 ()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑ ()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。
