第八章 离散时间信号与系统的Z域分析

计算方法：
长除法 部分分式展开 留数计算法
8-1-5、Z反变换
1、部分分式法
N ( z ) b0 b1 z1 bm z m F ( z) D( z ) 1 a1 z1 an z n
类似于Laplace变换中的部分分式展开法，可先将F(z) 展开成一些简单常见的部分分式之和，然后分别求出 各部分分式的z反变换，最后把每项的z反变换相加即 可求得f(k)=Z-1[F(z)] 因为常见信号的z变换的结果中，分子中往往含有z, 所以先求F(z)/z的部分分式展开式，然后再求其z 反变换
| z | a
8-1-4、单边Z变换的主要性质
5. Z域微分特性
dF ( z ) kf (k ) z dz
z 例：a u (k ) za
k Z
k Z
| z | R f
z a
z az z z ( z )( ) (k 1)a u (k ) z a ( z a)2 za za
1
1
2(1 (0.5)k )u (k )
z 例 : F ( z) 2 z 1, 求f (k ) z 1.5 z 0.5
z 2 1 解法二：F ( z ) 2 z 1.5 z 0.5 z 1 z 0.5
从而
2 1 1 ] Z [ ] f (k ) Z [ F ( z )] Z [ z 1 z 0.5 z 1 z 1 1 1 2Z [ z ] Z [ z ] z 1 z 0.5
则 f (k-n) u(k-n) znF(z)
1
Z [ f (k n)u (k )] z n {F ( z ) f (k ) z k } Z [ f (k n)u (k )] z n{F ( z ) f (k ) z k }
k 0 k n n 1
ROC z 0
F ( z)
k N1

N2
f (k ) z k 当N1≧0时
1 0 k N 1 例：f [k ] RN [ k ] 0 其它
F ( z ) z k
k 0 N 1
1 zN 1 1 z
z 0
三、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）:
8-1-5、Z反变换
1、 部分分式法
N ( z ) b0 b1 z1 bm z m F ( z) D( z ) 1 a1 z1 an z n
1) F(z)的极点为一阶极点
N ( z) N ( z) F ( z) D( z ) ( z p1 )( z p2 ) ( z pn )
F [ z ] kz
k 0 k
故
z 2 ( z 1)
8-1-4、单边Z变换的主要性质
1.线性特性
f1 (k )u (k ) F1 ( z ), z R f 1
f 2 (k )u (k ) F2 ( z ), z R f 2
af1 (k )u (k ) bf 2 (k )u (k ) aF1 ( z ) bF2 ( z )
kn k1 k2 F ( z) z z p1 z p2 z pn
F ( z) ki ( z pi ) z
z pi
i 1, 2,, n
z 例 : F ( z) 2 z 1, 求f (k ) z 1.5 z 0.5
z z 解： F ( z ) 2 z 1.5 z 0.5 ( z 1)( z 0.5)
8-1-4、单边Z变换的主要性质
7.初值与终值定理
f (0) lim F ( z )
z
f () lim( z 1) F ( z )
z 1
应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才 适用。
8-1-5、Z反变换
f (k )
2 j
1
c
F ( z) z
k 1
dz
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
z 例 : F ( z) 2 z 1, 求f (k ) z 1.5 z 0.5
所以
即 从而
F ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 2z 2z F ( z) z 1 z 0.5 2z 2z 1 ] Z [ ] f (k ) Z [ F ( z )] Z [ z 1 z 0.5 k 2u (k ) 2(0.5) u(k )
f (k 2) (k )]
z 2 F ( z ) z 1 f (1) f (2)
例： F(z) = 1/(za) |z| a 求f (k)。 解：
z F ( z) z za
1
f (k ) Z 1{F ( z )} a k 1u (k 1)
第八章 离散时间信号与系统的Z 域分析
离散时间信号的Z域分析 离散时间系统的Z域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
8-1 离散时间信号的Z域分析
Z变换定义
Z变换的收敛域
常用序列的Z变换
单边Z变换的性质
Z反变换
8-1-1 Z变换定义
离散时间Fourier变换
F (e j )
8-1-3 、常用单边序列的Z变换
5) Z[ku(k )] kz
k 0 k
z ( z 1)2
z 1
因为 所以
z
k 0

k
z z 1
k 1
即
z 1 (k ) z ( z 1) ( z 1)2 k 0 z k kz ( z 1)2 k 0
k


f (k )e jk
不存在!
f (k) = 2k u(k) 的傅里叶变换？ 将 f(k) 乘以衰减因子r-k

F [ f (k )r ]
k
k

f (k )r e
k jk

令z re
F ( z)
k
j
k


f (k )(re j ) k


f (k ) z
k

所谓比值判定法就是说若有一个正项级
n


an ，令它的后项与前项 n
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
8-1-2、收敛域（ROC）
收敛域（ ROC ）: 2) 根值判定法
z2 ( z a)2
z a
8-1-4、单边Z变换的主要性质
6. 序列求和特性
若
Z f (k )u (k ) F ( z )
| z | R f | z | max{R f ,1}
则

n 0
k
z f (i ) F ( z) za
Z
Z [
n 0
k
z f (n)] Z[ f (k )u(k ) u(k )] F ( z) 1 z
令
F ( z) 1 A B z ( z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
F ( z) 1 A ( z 1) 2 z z 1 z 0.5 z 1 F ( z) 1 B ( z 0.5) 2 z z 0.5 z 1 z 0.5
z max( R f 1 , R f 2 ) 例：RN (k ) u(k ) u(k N )
z (1 z N ) z z F ( z) zN z 1 z 1 z 1
z 0
ROC 扩大
8-1-4、单边Z变换的主要性质
2. 位移特性
若 f (k )u (k ) F ( z ), z R f
1
1
2u (k 1) (0.5)k 1 u(k 1) 2(1 (0.5)k )u (k 1)
8-1-5、Z反变换
1、 部分分式法
2) F(z)有r阶重极点
N ( z) N ( z) F ( z) D( z ) ( z p1 ) r D1 ( z )
方法同1)
｜z｜> Rf
8-1-4、单边Z变换的主要性质
2. 位移特性
Z [ f (k n)u (k )] z n {F ( z ) f (k ) z k }
k n 1
Z [ f (k 1)u (k )] z 1F ( z ) f (1)
Z[ f (k 2)u(k )] Z[ f (k 2)u(k 2) f (k 1) (k 1)
8-1-4、单边Z变换的主要性质
3. 序列卷积
若
f1 (k )u (k ) F1 ( z ), z R f 1
f 2 (k )u (k ) F2 ( z ), z R f 2
则
f1 (k )u (k ) f 2 (k )u (k ) F1 ( z ) F2 ( z )
Z
k
| z |
Rf a
特别地
(1) f (k )u(k ) F ( z )
k Z
| z | R f
例： 求 f(k)= aku(k)的z变换
解： 因为 所以
z Z [u (k )] z 1
| z | 1
z k a z Z [a u (k )] z za 1 a
因果序列的收敛域形式: |z|>a 非因果序列的收敛域形式: |z|<a
a为正实数
8-1-3、常用单边序列的Z变换
1) Z[ (k )] 1, | z | 0 z k 2) Z [a u (k )] z a za z 3) Z [u (k )] z 1 z 1 z ( z cos 0 ) jz sin 0 z j 0 k 4) Z [e u (k )] j 0 z e z 2 2 z cos 0 1 z ( z cos 0 ) cos(0 k )u[k ] 2 z 2 z cos 0 1 z sin 0 sin(0 k )u[k ] 2 z 1 z 2 z cos 0 1