高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件 新人教A版选修2-1

高中数学新人教A版选修2_1：第一章 1.2基础练习1．(2019年湖北恩施期末)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0D．2x<1【答案】B【解析】∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．对于选项B，由x2≥－x得x≥0或x≤－1，故选项B是必要不充分条件．同理，选项C是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件．故选B．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立；当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．3.(2020年山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立.若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立.故选D.4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】a>b＋1⇒a>b，a>b⇒/ a>b＋1.5．已知两个命题A ：2x ＋3＝x 2，B ：x 3x ＝x 2，则A 是B 的____________条件． 【答案】既不充分也不必要【解析】命题A 就是x ∈{x |2x ＋3＝x 2}＝{－1,3}；命题B 就是x ∈{x |x 3x ＝x 2}＝{0,3}．由于{－1,3}⃘{0,3}且{0,3}⃘{－1,3}，∴A 是B 的既不充分也不必要条件．6．(2019年重庆期末)设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：x >1；q ：x 2>1；(2)p ：a ＝3；q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a >2；q ：a >5.解：(1)p ：x >1；q ：x >1或x <－1，所以p 是q 的充分不必要条件． (2)p ：a ＝3；q ：a ＝－2或a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)p 是q 的必要不充分条件．8．已知p ：1<2x <8，q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立．若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1<2x <8，即0<x <3. ∵p 是q 的充分条件，∴不等式x 2－mx ＋4≥0对任意x ∈(0,3)恒成立． ∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对任意x ∈(0,3)恒成立．∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，∴m ≤4. 能力提升9．无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n (n ∈N *)，则“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若{S n }为递增数列，则对于n ≥2且n ∈N *，恒有a n >0，可得a 2＝a 1＋d >0.若a 1＋d >0，则只能推得a 2>0，不能推得{S n }是递增数列．所以“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的必要不充分条件．10.(多选题)下列各选项中， p 是q 的充要条件的是( )A.p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B.p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数C.p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan βD.p ：A ∩B ＝A ，q ：【答案】AD【解析】对于A ，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0q ：m ＜－2或m ＞6p .对于B ，当f (x )＝0时，qp .对于C ，若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，则有cosα＝cos β，但没有tan α＝tan β，pq .对于D ，p ：A ∩B ＝Ap ：ABq ：11．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②已知a ≠0，“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R ”的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 【答案】①④【解析】①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件．②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题．③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然，因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知真命题是①④.12．设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3x－1的定义域为集合B ．已知α：x ∈A ∩B ，β：x 满足2x ＋p ＜0，α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫3x－1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]． 设集合C ＝{x |2x ＋p ＜0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，－p2，∵α是β的充分条件，∴A ∩B ⊆C ． ∴3＜－p2.解得p ＜－6.∴实数p 的取值范围是(－∞，－6)．。

1.2.2充要条件一、教学目标1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

2.过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。

3.情感、态度与价值观：通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

二、教学重点与难点1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念。

2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

三、教学方法及教学准备1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。

2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。

3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。

四教学过程（一）新课导入引入1：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么，p是q的什么条件？引入2 “在△ABC 中，p: AB＝AC，q: ∠B＝∠C”，那么，p是q的什么条件？”（二）探究新知探究点1 充要条件的含义1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？如果“ p ⇒ q ”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件.2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？概念：一般地，如果既有p ⇒ q，又有q ⇒ p，就记作p ⇔ q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p ⇔ q，那么p与q互为充要条件.判断p是q的什么条件，并填空：（1）p：x 是整数是q：x是有理数的_____________________；（2）p：ac＝bc是q：a＝b的_____________________；（3）p：x＝3 或x＝-3是q：x2＝9 的_____________________；（4）p：同位角相等是q：两直线平行的_____________________；（5）p：(x-2)(x-3)＝0 是q：x-2＝0 的_____________________．探究点2 判断充分条件、必要条件的方法【1】直接用定义判断若p ⇒ q，且q p，则p是q的充分不必要条件；若p⇐q，且p q，则p是q的必要不充分条件；若p ⇒ q，且p ⇐q，则p是q的充要条件；若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.【2】利用命题的四种形式进行判定p是q的充分不必要条件，原命题为真逆命题为假；p是q的必要不充分条件，原命题为假逆命题为真；p是q的充要条件，原命题、逆命题都为真；p是q的既不充分也不必要条件，原命题、逆命题都为假.例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.例4 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证d = r是直线l 与⊙O 相切的充要条件.（三）课堂训练1.(2013•福建高考)设点,则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是( )A．ab＞0B．ab＜0C．ac＞0D．ac＜0.已知p,q都是r的必要不充分条件，s是r的充分不必要条件，q是s的充分不必要条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？4.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的________________________.（四）课堂小结充要条件的概念：既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔ q.则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系：（1）p是q的充分不必要条件（2）p是q的必要不充分条件（3）p是q的充分必要条件（4）p是q的既不充分又不必要条件。

织金二中高二年级数学组集体备课教案执笔人：李武松 田海斌参加人：陈元凤 方健 吕招贵 周越 余平 李承华 朱枝涛 程佳 班银 教学内容：选修2-1 第一章 常用逻辑用语 课时安排：8课时 课时内容：1.1命题及其关系 第1课时 1.1.1 命题一、教学目标1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p ，则q ”的形式；2、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假三、教学过程<一>复习引入 1．回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线b a //，则直线a 与直线b 没有公共点 ． （2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）若12=x ,则1=x ．（5）两个全等三角形的面积相等． （6）3能被2整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

<二>探讨新知4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．例题解析（P例1）2判断下列语句是否为命题？（解略）（1）空集是任何集合的子集．（2）若整数a是素数，则是a奇数．（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（5）2)2(-＝-2．（6）15x．>让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。

内蒙古开鲁县高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2 充要条件教案新人教A 版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2 充要条件教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2.2充要条件教学目标知识目标1.正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义。

2.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

能力目标在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质。

情感目标激发学生的学习热情，激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

高考知识点扫描充要条件的判定.教学重点1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题教学难点正确区分充要条件．教学方法启发式教学,问题引领，自主学习教具多媒体课件第课时教学设计教学内容教学过程一．充要条件定义二．分类一．问题引入：已知p:整数a是2的倍数;q:整数a是偶数。

请判断： p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．二．新课讲授：1.定义：一般地，如果既有p q ，又有q p 就记作 p q。

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。

充分条件与必要条件则“A∩B＝A”是＝答案 牛刀小试1、B 2、C 3、A 4、A 5、a ≤－16、 [解析] (1)∵命题“如果a ＝－b ，则|a|＝|b|”为真；而命题“如果|a|＝|b|，则a ＝－b ”为假，∴p 是q 的充分而不必要条件．(2)∵命题“关于x 的方程ax ＋b ＝0(a 、b ∈R)有唯一解，则a>0”为假；而命题“如果a>0，则关于x 的方程ax ＋b ＝0(a 、b ∈R)有唯一解”为真，∴p 是q 的必要而不充分条件．(3)∵命题“如果x2＋y2＝0，则x ＝y ＝0”为真；且命题“如果x ＝y ＝0，则x2＋y2＝0”也为真，∴p 是q 的充要条件．课外作业 一选择 1、A 2、A 3、B 4、Ｂ 5、Ａ 6、Ｂ填空 7、充要 8、充分不必要解答9、[证明] (1)充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由韦达定理知：x 1x 2＝1>0，∴x 1、x 2同号，又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1，x 2同为负根．(2)必要性：∵x 2＋mx ＋1＝0的两个实根x 1，x 2均为负，且x 1·x 2＝1， ∴m －2＝－(x 1＋x 2)－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－2＝－x 21＋2x 1＋1x 1＝－x 1＋12x 1≥0.∴m ≥2.综上(1)，(2)知命题得证．10、[解析] (1)在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，其外接圆的半径为R ，∵A >B ，∴a >b ，又a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，∴sin A >sin B .反之，sin A >sin B,2R sin A >2R sin B ，∴a >b ，∴A >B ，故p 是q 的充要条件．(2)p ：|x ＋1|>2⇔x >1或x <－3，q ：2<x <3，q 所对应的集合真包含于p 所对应的集合．故p 是q 的必要不充分条件．。

2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件优化练习新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件优化练习新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2 充分条件与必要条件［课时作业］[A组基础巩固］1．设a,b∈R，那么“错误!>1”是“a>b〉0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由错误!〉1得，错误!－1＝错误!〉0,即b(a－b）〉0，得错误!或错误!，即a>b>0或a<b<0,所以“ab〉1"是“a〉b>0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．“θ≠错误!"是“cos θ≠错误!”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠错误!”的逆否命题：“cos θ＝错误!”是“θ＝错误!”的必要不充分条件，选B.答案：B3．命题p：错误!〉0;命题q：y＝a x是R上的增函数，则p是q成立的( ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:由错误!〉0得a〉1或a〈0；由y＝a x是R上的增函数得a>1。

因此，p是q成立的必要不充分条件，选A。