人教版七年级上册数学4.4《课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒》同步练习

4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒一、选择题1. 下图中，是正方体的展开图的是()A B C D2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A．厉B．害C．了D．我3. 图是一个能折成长方体的平面展开图，那么由它折成的长方体可能是( )4. 如图，将图①围成图②的正方体，则图①中的红心“♥”标志所在的正方形是正方体中的()A．面CDHE B．面BCEFC．面ABFG D．面ADHG5. 明明用纸(如图)折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出装墨水的盒子是()A B C D6. 有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是()A．白B．红C．黄D．黑7. 一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数之和相等，如图，你能看到的数为7，10，11，则六个整数的和为()A．51 B．52 C．57 D．588. 下列平面图形，不能沿虚线折叠成立体图形的是( )9. 小明同学设计了如图所示的正方体形状的包装纸盒，把其下面的四个表面展开图折叠（不计接缝），与小明同学设计的纸盒完全相同的是( )10. 下列不是如图所示的立体图形的展开图的是( )A. B. C. D.11. 图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是( )二、填空题12. 如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母在多面体的外表面），请根据要求回答问题．(1)如果D面在多面体的左面，那么F面在面；(2)B面和面是相对的面；(3)如果C面在前面，从上面看到的是D面，那么从左面能看到面。

13. 如图是一个食品包装盒的表面展开图．(1)这个包装盒的多面体形状的名称为；(2)根据图中所标的尺寸，可以计算这个多面体的侧面积为．三、解答题14. 如图的六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱(它的底面是等边三角形)的表面展开图，请你把几何体与它的表面展开图用线连起来．15. 将如图的三棱柱(单位：cm)沿侧棱和上、下底边剪开，展开成平面图形．请你画出这个三棱柱的一个表面展开图．16. 做大小两个长方体纸盒，尺寸如图(单位：cm)．(1)用a，b，c的代数式表示做这两个纸盒共需用料多少平方厘米；(2)试计算做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米．17.如图是长方体的表面展开图，将其折叠成一个长方体，那么：(1)与字母N重合的点是哪几个？(2)若AG＝CK＝14 cm，FG＝2 cm，LK＝5 cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？18. 图是一张铁皮．(1)计算该铁皮的面积；(2)该铁皮能否做成一个长方体盒子？若能，画出它的几何图形，并计算它的体积；若不能，说明理由．19. 某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．(1)此长方体包装盒的体积为_______立方毫米（用含x、y的式子表示）；(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的1，求当x= 40，），=70时，制5作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米．参考答案一、选择题1. 下图中，是正方体的展开图的是()A B C D【答案】B2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A．厉B．害C．了D．我【答案】D3. 图是一个能折成长方体的平面展开图，那么由它折成的长方体可能是( )【答案】D通过动手折叠，并对照阴影部分的面，可知D符合要求，4. 如图，将图①围成图②的正方体，则图①中的红心“♥”标志所在的正方形是正方体中的()A．面CDHE B．面BCEFC．面ABFG D．面ADHG【答案】A【解析】由图①中的红心“♥”标志，可知它与等腰三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE.故选A.5. 明明用纸(如图)折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出装墨水的盒子是()A B C D【答案】B6. 有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是()A．白B．红C．黄D．黑【答案】C7. 一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数之和相等，如图，你能看到的数为7，10，11，则六个整数的和为()A．51 B．52 C．57 D．58【答案】C【解析】根据题意，得六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为7，8，9，10，11，12或6，7，8，9，10，11.且每相对面上的两个数之和相等，10＋9＝19，11＋8＝19，7＋12＝19，故只可能为7，8，9，10，11，12，其和为57.故选C.8. 下列平面图形，不能沿虚线折叠成立体图形的是( )【答案】D选项A折叠成三棱柱，选项B、选项C 可折叠成长方体，选项D不能折叠成立体图形．9. 小明同学设计了如图所示的正方体形状的包装纸盒，把其下面的四个表面展开图折叠（不计接缝），与小明同学设计的纸盒完全相同的是( )【答案】答案C10. 下列不是如图所示的立体图形的展开图的是( )A. B. C. D.【答案】D选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四个三角形面，而是有一个三角形面与一个正方形面重合，故不能组合成题目中的立体图形，故选D．11. 图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是( )【答案】A 只有A选项中的平面展开图折叠起来能形成一个长方体，故选A．二、填空题12. 如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母在多面体的外表面），请根据要求回答问题．(1)如果D面在多面体的左面，那么F面在面；(2)B面和面是相对的面；(3)如果C面在前面，从上面看到的是D面，那么从左面能看到面。

4.4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒一、单选题1．如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（）A．4 B ．3 C．8 D．122．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是A．B．C．D．3．下列图中，左边的图形是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变右边的（）A．B．C．D．4．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）1/ 7A．A B．B C．C D．D5．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是（）A．B．C．D．6．把下图形折叠成长方体后，与F、N都重合的点是（）A．L点B．A点C．J点D．I点7．小李同学的座右铭是“态度决定一切“，他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“切”相对的字是（）A．态B．度C．决D．定8．下列展开图不能叠成无盖正方体的是：（）A ．B．C．D ．9．图中各硬纸片，不可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（）．A．①②B．②③C．③④D．①④10．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（）A．B．C．D．3/ 712．在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（）A．全B．明C．城D．国二、填空题13．一个立体图形的三视图如图所示，若π取3，请你根据图中给出的数据求出这个立体图形的体积为．14．如图是一个正方体盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形中A，B，C内的三个数依次为，，．15．如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；③体积不变；④体积变大．其中结论正确的序号为．16．若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为6，则x+y+z的值为．17．如图所示，将图沿虚线折起来得到一个正方体，那么“1”的对面是，“2”的对面是（填编号）．三、解答题18．将一副常规三角板按如图所示位置摆放,若O,C两点分别放置在直线AB上,求∠AOE的度数和∠COE的余角的度数.19．连一连：如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状？把它们用线连起来．20．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）5/ 721．如图，从上往下看A，B，C，D，E，F六个物体，分别能得到a，b，c，d，e，f哪个图形？把上下两行中对应的图形与物体连接起来．22．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖．．纸盒.操作探究：⑴若准备制作一个无盖．．正方．．的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖体形纸盒？⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖．．正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖．．长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为 cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为 cm3.23．如图是由六个小正方体堆积而成，分别画出从正面看、从上面看、从左面看后的图形．24．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm，长方形的长为8cm，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.25．如图,已知某长方体的展开图的面积为310 cm2,求x.7/ 7。

第四章 图形认识初步
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
1．设计长方体形状的包装盒，要先绘制长方体的_______图，再把它剪出并折剪成长方体．
2．如图是正方体的平面展开图，每个面上标有汉字组成的三个词，分别是兰州人引以自豪的三个词（一本书，一条河，一碗面），•在正方体上与“读”字相对的面上的字是_______．
3．下面四个图形都是由相同的六个小正方形纸片组成，•小正方形上分别贴有北京2008年奥运会吉祥物五个福娃（贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮）的卡通画和一颗星星，如果分别用“贝、晶、欢、迎、妮”五个字来表示五个福娃，那么折叠后围成如右图所示正方体的图形是（ ）
4．下图各图中，是正方体展开图的是（ ）
5．下图各图形中，不能．．
经过折叠围成正方体的是（ ）
A B C D
6．如图是小颖所画的正方体平面展开图的一部分，请补画完整，使它成为该正方体的一种平面展开图．
7．“六一”儿童节时，•阿兰准备用硬纸通过裁剪折叠纸片上设计如图所示的裁剪方案（实践部分），经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼品盒，请你参照图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经过裁剪，折叠后也能成为一个封闭的正方体礼品盒．。

2016年人教新版七年级数学上册同步测试：4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒（一）一、选择题（共1小题）1．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条二、填空题（共4小题）2．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．4．如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）5．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题（共25小题）6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）7．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．8．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）9．图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．10．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）11．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．12．有公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A、B，如图，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不写作法）13．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）15．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是（只需要填一个三角形）（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．16．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．17．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a、b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；②说出该画法依据的定理．（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）18．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE为等腰直角三角形，且点E不在边BC所在的直线上，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线．19．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A 和点B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．20．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．21．【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）22．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）23．已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．（1）在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；（2）图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．24．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．（1）图甲中的格点正方形ABCD；（2）图乙中的格点平行四边形ABCD．注：分割线画成实线．25．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．26．把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．27．（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）28．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，请你画出图形，直接写出AF的长，并画出体现解法的辅助线．29．数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：，所以， +++…+=．拓广应用：计算+++…+．30．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．2016年人教新版七年级数学上册同步测试：4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒（一）参考答案与试题解析一、选择题（共1小题）1．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．二、填空题（共4小题）2．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理列式求出AB=，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP=2：1即可．【解答】解：由勾股定理得，AB==，所以，AP=时AP：BP=2：1．点P如图所示．【点评】本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于11；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）如图所示：．【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．【专题】作图题；压轴题．【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键．4．如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）【考点】作图—应用与设计作图；图形的剪拼．【分析】如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D点下面两格的小正方形放在右面，就组成了矩形．【解答】解：如图：【点评】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．5．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为或5或10cm2．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】计算题；压轴题．【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=5厘米时，∴S△AEF=AE•AF=×5×5=厘米2，（2）当AE=EF=5厘米时，如图BF===2厘米，∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2，（3）当AE=EF=5厘米时，如图DF===4厘米，∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．故答案为：，5，10．【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．三、解答题（共25小题）6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．【专题】作图题．【分析】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC 两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．【解答】解：满足条件的所有图形如图所示：【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．7．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题．【分析】（1）利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法得出即可；（2）利用已知图形，结合S=ma+nb﹣1得出关于m，n的关系式，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）∵格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb ﹣1，其中m，n为常数，∴三角形：S=3m+8n﹣1=6，平行四边形：S=3m+8n﹣1=6，菱形：S=5m+4n﹣1=6，则，解得：．【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及三角形、平行四边形面积求法和二元一次方程组的解法，正确得出关于m，n的方程组是解题关键．8．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】作图题．【分析】作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等．【解答】解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D，∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【点评】此题考查了作图﹣应用于设计作图，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．9．图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．【解答】解：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：；（3）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．10．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题．【分析】（1）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．【解答】解：（1）如图所示，a=4，b=4，S=4+×4﹣1=5；（2）因为S=，b=3，所以a=3，如图所示，【点评】本题考查了应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的值．11．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【考点】作图—应用与设计作图；三角形三边关系．【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB，且取AB=4；②以点AA为圆心，3为半径画弧；以点BB为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．如答图的△ABC即为满足条件的三角形．【点评】本题考查了三角形的三边关系，作图﹣应用与设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．12．有公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A、B，如图，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图．【分析】利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．【解答】解：如图所示：C1，C2即为所求．。

前言：
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（最新精品同步练习题）
人教版数学七年级上册第4章 4.4设计制作长方体形状的包装纸盒同步练习
一、单选题（共12题；共24分）
1、如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（）
A、梦
B、的
C、国
D、中
2、下列图形中，是棱锥展开图的是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、下面图形不能围成一个长方体的是（）
1。

人教新版七年级上学期《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》同步练习卷一．解答题（共20小题）1．如图．两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m．图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．（1）焊接后的正方形工件的边长是；（2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）；（3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？2．如图所示，有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积等分），试设计一种方案（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法），并简要说明理由．3．如图△ABC是某工厂剩余的铁皮材料，现在要把它剪成一个面积最大的圆，请用尺规作图的方法，在原三角形上作出所求圆的圆心（要求：不写作法、只保留作图痕迹，并标出圆心）4．如图是某种规格的钢板原料，它由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用该钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．（1）求焊接后的正方形工件的边长；（2）在图中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）．5．如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？6．根据下列条件画图如图示点A、B、C分别代表三个村庄．（1）画射线AC；（2）画线段AB；（3）若线段AB是连结A村和B村的一条公路，现C村庄也要修一条公路与A、B两村庄之间的公路连通，为了减少修路开支，C村庄应该如何修路？请在同一图上用三角板画出示意图，并说明画图理由．7．现由6个大小相同的小正方形组成的方格中：（1）如图①，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；（2）如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）8．如图所示，李明和王丽家分别位于公路CD两侧的A，B处，星期天王丽要去为李明送书，他两人约定在公路CD边上见面．（1）李明骑自行车，王丽步行，为节省时间，他们见面的地点定在距离王丽家最近的点E处，请你利用所学过的知识，画图确定点E的位置并写出画图依据；（2）出门前李明发现自行车坏了，临时决定也步行前往，为节省时间，他们约定在距离他两家距离之和最小的F处见面，请你画出图形，确定点F的位置并写出画图依据．9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点．（1）请只用无刻度的直尺作出△ABC的两条高线，并写出作法；（2）若AC=AB，连接DE，BE，求证：DE=BE．10．两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）11．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）12．在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形．（1）请你说明其中的道理；（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）．13．某村王大爷家有一块梯形形状的稻田（如图所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h=30米，王大爷准备把这块梯形形状的稻田平均分给两个儿子（面积相等）．（1）分割方法有无数种，请你帮助王大爷设计两种不同的分割方案，在图1、图2中分别画出来，并说明理由；（2）为了尽可能减少筑砌分割田坎的劳动量（只考虑田坎长度对工时的影响，不计其它因素），问：田坎应砌在什么位置最短？请在图3中画出来，并求出此时分割线的长度．14．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题，操作设计（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．15．如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）16．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）17．提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．18．图①、图②、图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画图，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）在图①中画一个有一边长为7的钝角三角形；（2）在图②中画一个面积为8的等腰三角形；（3）在图③中画一个面积为10的等腰直角三角形．19．实践操作题：把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD （见示意图1）．（以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）．探究一：（1）想一想：判断四边形A′BCD是平行四边形的依据是；（2）做一做：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1位置或形状不同的平行四边形，并在图2中画出示意图．探究二：在等腰直角三角形ABC中，请你找出其它的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形．（1）试一试：你能拼出所有不同类型的特殊四边形有；它们的裁剪线分别是；（2）画一画：请在图3中画出一个你拼得的特殊四边形示意图．20．图①、图②均为4×4的正方形网络，线段AB、BC的端点均在格点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可）；所画的两个四边形不全等．人教新版七年级上学期《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图．两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m．图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．（1）焊接后的正方形工件的边长是m；（2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）；（3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？【分析】（1）各长方形的面积之和为5，那么组成的大正方形的边长为；（2）直角边长为1，2的直角三角形的斜边长为，作出这样的直角三角形即可；（3）分别算出焊接的长度，然后进行比较．【解答】解：（1）根据面积公式得：∵焊接后的正方形工件的面积为：1×5=5，∴正方形工件的边长=m；（2）如图所示：（3）∵（1）中需焊接长度为：4×2=8，（2）中需焊接长度为：2×2+1=5，所以（2）中裁剪方法节约焊接材料．【点评】拼成的图形为正方形，那么应根据正方形的面积得到相应的边长，把所给图形合理分割即可．2．如图所示，有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积等分），试设计一种方案（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法），并简要说明理由．【分析】应考虑若分得的还是两个梯形，只需找出上下两底的中点，连接即可得到两个上下底，高都相等的梯形．【解答】解：参考方法：做线段AD，BC的中垂线，分别交于E，F两点，然后连接EF，评分标准：每作出一个中点得（1分），连接EF得（1分），写出作图结论给（1分）理由，连接EF后把原梯形分成了两个上、下底分别相等，高也相等的梯形，所以两个梯形面积相等．（2分）【点评】过梯形两底中点的线段，把梯形分为了面积相等的两个梯形．3．如图△ABC是某工厂剩余的铁皮材料，现在要把它剪成一个面积最大的圆，请用尺规作图的方法，在原三角形上作出所求圆的圆心（要求：不写作法、只保留作图痕迹，并标出圆心）【分析】可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心．【解答】解：点O就是所求的圆心．【点评】考查应用与设计作图；用到的知识点为：内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点．4．如图是某种规格的钢板原料，它由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用该钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．（1）求焊接后的正方形工件的边长；（2）在图中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）．【分析】（1）因为所有小正方形的面积和等于5，所以焊接后的正方形的面积是5，即可求出边长；（2）利用勾股定理，在直角三角形中作长为的线段即可解决问题．【解答】解：（1）因为所有小正方形的面积和等于5，所以焊接后的正方形的面积是5，边长为；（2）如图所示：沿AC截开，把△ABC放在△HCK位置上，沿AG截开，把△AEF放在△DFG位置，沿GK截开，把△GIJ放在△HJK位置，则四边形AGKC为边长为的正方形．只要剪裁线、焊接线都清楚（注意线条不多不漏）即可．【点评】本题需仔细分析题意，利用勾股定理即可解决问题．5．如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？【分析】连接AB，以AB为边，A为顶点作∠BAC=α，以B为顶点作∠ABC=∠β，两边交于点C，如图所示．【解答】解：如图所示，点C为求作的点．【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA）是解本题的关键．6．根据下列条件画图如图示点A、B、C分别代表三个村庄．（1）画射线AC；（2）画线段AB；（3）若线段AB是连结A村和B村的一条公路，现C村庄也要修一条公路与A、B两村庄之间的公路连通，为了减少修路开支，C村庄应该如何修路？请在同一图上用三角板画出示意图，并说明画图理由．【分析】（1）根据射线的定义得出答案；（2）直接利用线段的定义得出答案；（3）利用垂线段的性质以及结合直角的作法得出答案．【解答】解：（1）如图所示：AC即为所求；（2）如图所示：AB即为所求；（3）如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，理由：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【点评】此题主要考查了线段、射线以及垂线段的性质等知识，正确把握相关定义是解题关键．7．现由6个大小相同的小正方形组成的方格中：（1）如图①，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；（2）如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）【分析】（1）连接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答；（2）类似于（1）的图形解答．【解答】解：（1）如图①，连接AC，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB=BC；（2）∠α+∠β=45°．证明如下：如图②，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β=45°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键．8．如图所示，李明和王丽家分别位于公路CD两侧的A，B处，星期天王丽要去为李明送书，他两人约定在公路CD边上见面．（1）李明骑自行车，王丽步行，为节省时间，他们见面的地点定在距离王丽家最近的点E处，请你利用所学过的知识，画图确定点E的位置并写出画图依据；（2）出门前李明发现自行车坏了，临时决定也步行前往，为节省时间，他们约定在距离他两家距离之和最小的F处见面，请你画出图形，确定点F的位置并写出画图依据．【分析】（1）根据点到直线上所有点的连线中，垂线段最短求解可得；（2）根据两点间所有连线中线段最短求解可得．【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．理由：垂线段最短．（2）如图所示，点F即为所求，理由：两点之间线段最短．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握两点间所有连线中线段最短和垂线段的性质．9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点．（1）请只用无刻度的直尺作出△ABC的两条高线，并写出作法；（2）若AC=AB，连接DE，BE，求证：DE=BE．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出符合题意的答案；（2）利用等腰三角形的性质进而得出答案．【解答】（1）解：如图所示：作法：连接AE与AD，则AE，BD是△ABC的两条高线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．又AC=AB，∴∠1=∠2．连接OD，OE，∴∠DOE=∠BOE．∴DE=BE．【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及圆周角定理，正确应用圆周角定理是解题关键．10．两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，其交点就是P点．【解答】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键．11．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）【分析】（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．【解答】解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（3分）（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE=，，∴DO=，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．（6分）要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设⊙O经过A，B，⊙O与AD交于E，连BE，则AE=，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．（8分）评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图（1分）．【点评】解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．12．在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形．（1）请你说明其中的道理；（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）由作图可知，△ABC是以点C为圆心，AD为直径的圆内接三角形，故由直径对的圆周角定理是直角知，∠ABC=90°；（2）线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．则△EFG就是直角三角形，其中∠EGF=30°．【解答】解：（1）理由：方法一：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB，∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，∴2∠ABC+2∠CBD=180°，∴∠ABC+∠CBD=90°．即∠ABD=90°，∴△ABD是直角三角形；方法二：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD∴BC=AD∴△ABD是直角三角形；（2）如图所示，已知线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°．【点评】本题考查了直角三角形的作法和含有30度的直角三角形的作法．13．某村王大爷家有一块梯形形状的稻田（如图所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h=30米，王大爷准备把这块梯形形状的稻田平均分给两个儿子（面积相等）．（1）分割方法有无数种，请你帮助王大爷设计两种不同的分割方案，在图1、图2中分别画出来，并说明理由；（2）为了尽可能减少筑砌分割田坎的劳动量（只考虑田坎长度对工时的影响，不计其它因素），问：田坎应砌在什么位置最短？请在图3中画出来，并求出此时分割线的长度．【分析】（1）①利用上下底的中点分割，可分割成两个上下底分别相等的梯形；②连接BD，利用BD的中点O，沿AO和CO分割，即可分割成两个面积相等的四边形ABCO和ADCO；（2）利用垂线段最短，所以可取①中分割线的中点，过该点作底的垂线段即可，此时该线段等于梯形的高．【解答】解：（1）方法一：分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ，线段EF 就是所求作的分割线．（2分）理由：∵AE=ED ，BF=FC ，∴S ABEF =（AE +BF ）h=（ED +FC ）h=S EFCD ；（3分）方法二：连接BD ，在BD 上取中点O ，连接AO 、CO ，折线AOC 可以把梯形分割为两个面积相等的图形．理由：∵BO=OD ，∴S △ABO =S △AOD ，S △BOC =S △DOC ，∴S'△ABO +S'△BOC =S'△AOD +S'△DOC ，同理，连接AC ，取中点O ，连接BO 、OD ，折线BOD 可以把梯形分割为两个面积相等的图形；（6分）方法三：取CD 的中点G ，过G 作FH ∥AB ，与BC 交于F ，与AD 的延长线交于点H ．可证：S'△DHG =S'△CFG ，则过AF 中点O 且不穿越△DHG 或△CFG 或G 点的直线均可把梯形面积等分；（注意：方法（1分），理由（2分），共6分）（2）田坎应砌在经过EF 中点且与AD 、BC 垂直的线段GH 的位置时最短．理由：∵O是EF的中点，∴△EOG≌△FOH，=S′△FOH，∴S′ABHG=S′GHDC，∴S'△EOG此时，最短线段GH的长度等于高，即为30米．（10分）【点评】本题需仔细分析题意，利用线段的中点即可解决问题．14．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题，操作设计（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．【分析】（1）矩形的四个角都是直角．图中已有一直角，那么这个直角就是矩形的一个直角．作出平行于一直角边的中位线，可得到另一直角．按中位线剪切即可得到矩形．（2）根据（1）的思路，应先作出平行于一边的中位线，得到两组相等的线段，进而把上边的三角形分割为含90°的两个直角三角形即可．【解答】解：【点评】本题考查学生的动手操作能力，由于要用到相等的边重合，需注意中点的应用．15．如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】连接AB作AB的垂直平分线，以AB为直径作圆，圆与AB的中垂线的交点就是所求作的点．【解答】解：有2个，点C就是所求的点．【点评】考查应用与设计作图；用到的知识点为：到一条线段2个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角．16．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的。

4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒
1.如图所示的平面图形能折叠成的长方体是(D)
2.
将一个边长为10 cm正方形,沿粗黑实线剪下4个边长为2.5cm的小正方形,拼成一个大正方形,余下部分按虚线折叠成一个无盖长方体;最后把两部分拼在一起,组成一个完整的长方体,它的表面积等于原正方形的面积.
3.图中各硬纸片,不可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是(C)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
4.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如下,其中阴影部分为内部粘贴角料(单位:毫米).
(1)此长方体包装盒的体积为立方毫米(用含x,y的式子表示).
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的,则当x=40,y=70时,制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米?
解(1)65xy;
(2)因为长方体的长为y毫米,宽为65毫米,高为x毫米,
所以长方体的表面积=2(xy+65y+65x)平方毫米,又因为内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的,所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积= ×2(xy+65y+65x)= (xy+65y+65x)= xy+156y+156x(平方毫米),因为x=40,y=70,所以制作这样一个长方体共需要纸板23 880(平方毫米).。

数学人教版七年级上册4.4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共7题；共14分)1. （2分） (2020七上·内黄期末) 如图是正方体的平面展开图，每个面上都标有一个汉字，与“国”字相对的面上的字为（）A . 建B . 设C . 美D . 丽【考点】2. （2分）下列图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2017七上·十堰期末) 如图，左边的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A .B .C .D .【考点】4. （2分）如图是一个三棱柱的展开图，若AD=13，CD=3，则AB的长度不可能是（）A . 4B . 5C . 6D . 7【考点】5. （2分） (2016七下·岳池期中) 如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（）A . 65°B . 55°C . 50°D . 25°【考点】6. （2分）几何体的展开图图形经过折叠不能围成棱柱（）A .B .C .D .【考点】7. （2分）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为A . πB . 4πC . π或4πD . 2π或4π【考点】二、填空题 (共5题；共6分)8. （2分） (2019七上·银川期中) 如图所示是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形的内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后与其相对面上的数互为相反数，与其相对面上的数互为倒数，则 ________， ________.【考点】9. （1分） (2019八上·永登期中) 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线,若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短的路线的长度是________(结果保留根式)【考点】10. （1分）将一个边长为10cm正方形，沿粗黑实线剪下4个边长为________ cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面；余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱；最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积．【考点】11. （1分） (2019七上·阜新月考) 在图中增加1个小正方形使所得图形经过折叠能够围成一个正方体.则一共有________种方式.【考点】12. （1分）下列图形中，是柱体的有________．（填序号）【考点】三、解答题 (共4题；共31分)13. （5分）一个正方体的表面展开图如图所示，已知这个正方体的每一个面上都填有一个数字，且各相对面上所填的数字互为倒数，请写出x、y、z的值．【考点】14. （5分）如图，一个圆柱体的侧面展开图为长方形ABCD，若AB=6.28cm，BC=18.84cm，则该圆柱体的体积是多少？（π取3.14，结果精确到十分位）．【考点】15. （11分）(2020·江北模拟) 将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形.（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是________（填A或B）.（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图.（用阴影表示）（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中.（用阴影表示）【考点】16. （10分）某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：（1）求长方体的体积；（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）【考点】参考答案一、单选题 (共7题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共31分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、答案：15-2、答案：15-3、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：。

[课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒]一、选择题1.下列各图是小明画的长方体的展开图,你认为不正确的是()2.小丽要制作一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示),则这个正方体礼品盒的展开图可能是中的()3.能折叠成的长方体是中的()4.如图是一个正方体形状的商品包装盒,它的上底面被分成四个全等的等腰直角三角形,图中有一个面被涂成红色(其余均为白色).下列图形中,可能是该包装盒展开图的示意图的是()5.中的四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如图果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的是()二、填空题6.如图是一个食品包装盒的展开图.根据图中所标的尺寸,得这个多面体的表面积是,体积是.三、解答题7.有一张铁皮,形状如图所示.(1)试计算它的面积.(2)它能否做成一个长方体的盒子?若能,画出它的几何图形,并计算它的体积;若不能,请说明理由.现有如图所示的一块废铁皮,准备用它来加工一些棱长为10 cm的无盖正方体铁盒,怎样下料(画线),才能使得加工的盒子数最多?最多可以加工几个?答案[课堂达标]1.B2.A3.D根据各个面的特点及位置可得,能折叠成的长方体是D.4.D5.C6.2b2+4ab ab2此包装盒的表面积为2×b2+4×ab=2b2+4ab;体积为b2×a=ab2.7.解:(1)22 m2(2)能做成一个长方体的盒子,如图图所示,它的体积为1×2×3=6(m3).[素养提升]解:一个无盖正方体盒子可有如图图①所示的八种展开图:于是适当取三种展开图,按图②中的粗线下料,才能使得加工的盒子数最多,最多可以加工3个.。

人教新版七年级上学期《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．（1）如图是边长为1的小正方形组成的网格，观察图1～4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：（2）借助图5的网格，请设计一个新图案，使该图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图1～4的图案不能重合）．2．如图，某乡镇为处理好A、B、C、D四个村庄居民的生活垃圾，准备修建一个垃圾处理中转站，使中转站与四个村庄的距离的和最小，请画出中转站P的位置，并说明理由．3．在如图网格中，A、B、M为格点，画线段MP⊥线段AB．4．如图是4×4的正方形网格，在网格中有线段AB，在网格内以A、B、C为顶点作Rt△ABC，使C是正方形网格的格点．5．如图，B村位于一条河的一岸，现在要将河里的水通过修建水渠引到村里进行使用，问：这条水渠该如何修，才能使到A村的距离最短，请画出图形，并说明理由？（画图可借助三角板，量角器等工具）6．如图①，②，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．（1）在图①中，△ABC的顶点均在格点上，利用直尺和网格找到一条过点A的直线将△ABC分成面积相等的两部分，画出图形；（2）在图②中，四边形ABCD的顶点均在格点上，利用直尺和网格找到一条过点A的折线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，画出图形．7．如图是单位长度是1的网格（1）在图1中画出长度为的线段AB；（2）在图2中画出以格点为顶点面积为5的正方形．8．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点为格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．①在图①中画出一个面积是2的直角三角形；②在图②中画出一个面积是2的正方形．9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝4，CA＝．（1）分别化简4和的值．（2）在如图所示的4×4的方格纸上画出△ABC使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）10．（1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形．（2）以C为顶点作一个面积为17的正方形．11．两个面积为1的正方形如图①所示，试对图①的正方形进行分割，然后拼成面积为2的大正方形．请在图①每个小正方形中画出一条分割线，并在图②中画出拼成的大正方形，写出大正方形的边长．12．有两张完全相同的两个直角三角形纸片，用这两张纸片拼成四边形，你能拼成几种不同的四边形？请你画出图形．13．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．14．如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是个，最少是个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个，最少是个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个；最少是个．（n是正整数）15．在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）16．如图，南开中学高二年级的学生分别在五云山寨M，N两处参加社会时间活动．先要在道路AB，AC形成的锐角∠BAC内设一个休息区P，使P到两条道路的距离相等，并且使得PM＝PN，请用直尺和圆规作出P点的位置（不写作法，值保留作图痕迹）．17．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽为16 cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面积．（位置不同，形状全等的将视为一种结果）18．如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．（1）在图①中画一个直角三角形；（2）在图②中画出∠ACE的平分线．19．小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题．作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；∴点M为线段AB的二等分点．解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的点P．（可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P，使得PM＝PN；②在图4中作出点P，使得PM＝2PN．20．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．注意：只需添加一个符合要求的正方形，并用阴影表示．21．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图：OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．22．某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P．（注意保留作图痕迹，不用写作法）23．如图，在A、B、C、D四个村庄，为备战春耕，政府准备修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使蓄水池的位置点到四个村庄距离之和最小；（2）在图中作出将河水引入蓄水池P的最短路线，并说明理由．24．作图题：青岛西海岸新区将举行马拉松挑战赛，规划在如图区域设置一个能量补给站，用点P表示，使其到赛道OA段和到赛道OB段的距离相等，同时要求该能量补给站到观测点C 和到观测点D的距离也相等，请在图中做出补给站点P的位置．25．尝试：如图，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形ABCD，如示意图1．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）（1）猜一猜：四边形ABCD一定是；（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1不同的四边形，并在图2中画出示意图．探究：在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形．（1）想一想：你能拼得四边形分别是（写出两种即可）：（2）画一画：请分别在图3、图4中画出你拼得的这两个四边形的示意图．26．已知：如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA 上的定点Q，丙站在OB上且可以移动．游戏规则：甲将接力棒转给乙，乙将接力棒转给丙，最后丙跑至终点P处．若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在OB上的何处，使得他们完成接力所用的时间最短？（不写作法，保留作图痕迹）27．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）28．如图两条公路CA与CB，B，C是两个村庄，现在要建一个菜场，使它到两个村庄的距离相等而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜场的位置（不写作法）保留作图痕迹．29．如图花坛△ABC为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在△ABC上，且使A、B、C依然在花坛的边缘上．请你帮忙画出设计方案．30．A、B两厂在公路的同侧，现欲在公路边建一个货场C．（1）若A、B两厂从各自利益出发，想选择离自己最近的位置建货场，请在图①中作出两厂各自要求的货场位置；（2）若将双方的要求进行折衷（即货场到两厂的距离相等），请在图②中作出此时货场的位置；（3）若要求所修的公路长之和最短，请在图③中作出货场的位置；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不证明）31．如图所示，某地汽车站、火车站分别位于A、B两点，直线m和n分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到火车站怎样走最近，画图并说明理由；（2）从汽车站到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到公路怎样走最近，画图并说明理由．32．用无刻度的直尺画一条直线将图 ①、图 ②分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）33．A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址P应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，要求利用尺规作图，并保留作图痕迹．34．某镇有三个村庄A、B、C如图排列，其中AB、BC、AC是乡道．现需要在△ABC内建立一所幼儿园，按照要求找出幼儿园的位置．请使用尺规作图完成下列练习，不写作法，保留作图痕迹．（1）要求幼儿园到三个村庄的距离相等（图1）；（2）要求幼儿园到三条乡道的距离相等（图2）．35．（1）如图，画△ABC关于直线m的对称图形．（2）如图，327国道OA和204国道OB在某市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C 和D，现要修建货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作图法作出货站P的位置．（两题都不写作法，保留作图痕迹）36．正在修建的中山北路有一形状如图所示的三角形空地要绿化，拟将分成面积相等的4个三角形，以便种上四种不同的花草，请你帮助画出规划方案（至少两种）．37．如图，下列正方形网格的每个小正方形的边长均为1，⊙O的半径为n≥8．规定：顶点既在圆上又是正方形格点的直角三角形称为“圆格三角形”，请按下列要求各画一个“圆格三角形”，并用阴影表示出来．38．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．△ABC是直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC上．39．如图，是某县交通局欲修一条公路，从A村庄到B村庄，再通往公路MN，以利于村民出行方便，如果你是该局的负责人，应该怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．40．作图题：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO＝a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．41．（1）如图，六边形ABCDEF满足：AB EF，AF CD．仅用无刻度的直尺画出一条直线l，使得直线l能将六边形ABCDEF的面积给平分；（2）假设你所画的这条直线l与六边形ABCDEF的AF边与CD边（或所在的直线）分别交于点G与点H，则下列结论：①直线l还能平分六边形ABCDEF的周长；②点G与点H恰为AF边与CD边中点；③AG＝CH，FG＝DH；④AG＝DH，FG＝CH．其中，正确命题的序号为．42．如图，移动公司要在S区修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路m和n的距离也相等，请用尺规作图法作出发射塔P的位置．（保留作图痕迹）43．A、B两厂在公路的同侧，现欲在公路边建一货场C．（1）若要使货场到两厂的距离相等，请在图1中作出此时货场的位置．（2）若要求所修公路（即A、B两厂到货场的距离之和）最短，请在图2中作出货场的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）44．如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．45．如图，直线MN表示一条河，A、B代表河两岸的村庄，要在河上修一座桥，使它到两个村庄的距离之和最短，问桥应建在何处？请说明理由．46．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C不经过池塘可以直接到达点A和B，根据我们所学的几何知识利用尺规作图，至少有两种方法可间接得出A、B两端的距离，请你完成下列作图（不写作法，保留画图痕迹）与填空．方法一：（1）作图：（2）填空：量出线段的长就是A、B的距离，根据是方法二：（1）作图：（2）填空：量出线段的长就知道A、B的距离，根据是．47．如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路m，n，l上修建三个凉亭A、B、C且凉亭与长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在道路l上的什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹）48．如图．在大圆中有一个小圆O．用尺规作图确定大圆的圆心；并作直线1，使其将两圆的面积平均二等分．49．在街道c上修建一个加油站使它到公路a与公路b的距离相等．50．如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请画出变电站的位置（用P点表示），并简单说明理由．人教新版七年级上学期《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（1）如图是边长为1的小正方形组成的网格，观察图1～4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：①都是轴对称图形②面积都是4（2）借助图5的网格，请设计一个新图案，使该图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图1～4的图案不能重合）．【分析】（1）①都是轴对称图形②面积都是4；（2）画面积为4的正方形即可；【解答】解：（1）①都是轴对称图形②面积都是4．故答案为①都是轴对称图形②面积都是4．（2）如图5所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计、轴对称图形等知识，解题时根据是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，某乡镇为处理好A、B、C、D四个村庄居民的生活垃圾，准备修建一个垃圾处理中转站，使中转站与四个村庄的距离的和最小，请画出中转站P的位置，并说明理由．【分析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【解答】解：如答图所示，连接AC，BD，它们的交点是P，点P就是修建水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．理由：任取一点Q，连接QA，QB，QC，QD在△AQC中，QA+QC＞AC＝AP+PC，在△BQD中，QB+QD＞BD＝PB+PD．∴QA+BQ+QC+QD＞P A+PB+PC+PD．即P A+PB+PC+PD最小．【点评】本题考查线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题．3．在如图网格中，A、B、M为格点，画线段MP⊥线段AB．【分析】如图，连接MN与AB的解得为P，点P即为所求．【解答】解：如图，连接MN与AB的解得为P，点P即为所求．理由：易证△EMN≌△F AB，∴∠AMN＝∠BAF，∵∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠BAF+∠ANM＝90°，∴∠APN＝90°，即MP⊥AB．【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．如图是4×4的正方形网格，在网格中有线段AB，在网格内以A、B、C为顶点作Rt△ABC，使C是正方形网格的格点．【分析】根据直角三角形的判定作图即可．【解答】解：如图所示；【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．5．如图，B村位于一条河的一岸，现在要将河里的水通过修建水渠引到村里进行使用，问：这条水渠该如何修，才能使到A村的距离最短，请画出图形，并说明理由？（画图可借助三角板，量角器等工具）【分析】如图作BE⊥CD于E，线段BE即为所求．【解答】解：如图作BE⊥CD于E，线段BE即为所求．理由：垂线段最短．【点评】本题考查垂线段最短、记住直线外一点，到直线上各点的连线段中，垂线段最短是解题的关键．6．如图①，②，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．（1）在图①中，△ABC的顶点均在格点上，利用直尺和网格找到一条过点A的直线将△ABC分成面积相等的两部分，画出图形；（2）在图②中，四边形ABCD的顶点均在格点上，利用直尺和网格找到一条过点A的折线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，画出图形．【分析】（1）根据三角形中线的性质作图即可；（2）根据三角形的中线的性质作图．【解答】解：（1）如图①所示：直线AP即为所求．（2）如图②所示：折线AEC即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．7．如图是单位长度是1的网格（1）在图1中画出长度为的线段AB；（2）在图2中画出以格点为顶点面积为5的正方形．【分析】（1）要画出AB＝，由题意可知AB为对角线的长，又AB＝，故AB为三个小正方形的对角线，由此可画出AB；（2）要画出面积为5的正方形且顶点都在格点上，由题意可知正方形的边为小正方形的对角线，又S＝5＝＝，故正方形的边为两个小正方形的对角线，由此可画出正方形；【解答】解：（1）如图1所示：AB＝，线段AB即为所求：（2）如图2所示：S＝5＝＝，正方形ABCD即为所求：【点评】本题考查了作图与设计应用，解答时要结合图形特征并充分利用网格和勾股定理．8．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点为格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．①在图①中画出一个面积是2的直角三角形；②在图②中画出一个面积是2的正方形．【分析】①利用直角三角形的性质以及其面积求法得出答案；②利用正方形的性质得出答案．【解答】解：①如图所示：△ABC即为所求；②如图所示：正方形ABCD即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握正方形的性质是解题关键．9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝4，CA＝．（1）分别化简4和的值．（2）在如图所示的4×4的方格纸上画出△ABC使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可；（2）利用勾股定理．数形结合的思想解决问题；【解答】解：（1）4＝4×＝2，＝×5＝；（2）△ABC如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，二次根式的化简厉害，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．10．（1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形．（2）以C为顶点作一个面积为17的正方形．【分析】（1）直接利用勾股定理以及正方形的性质得出答案；（2）直接利用勾股定理以及正方形的性质得出答案．【解答】解：（1）如图所示：正方形ABDE即为所求；（2）如图所示：正方形CFMN即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键．11．两个面积为1的正方形如图①所示，试对图①的正方形进行分割，然后拼成面积为2的大正方形．请在图①每个小正方形中画出一条分割线，并在图②中画出拼成的大正方形，写出大正方形的边长．【分析】利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：分割线如图所示：大正方形的边长为．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．有两张完全相同的两个直角三角形纸片，用这两张纸片拼成四边形，你能拼成几种不同的四边形？请你画出图形．【分析】让长直角边，短直角边，斜边分别重合，得到组合图形的所有情况即可．【解答】解：可拼出如下的一些图形：【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，用到的知识点为：两个全等的直角三角形的相等边重合时，应出现两种情况．13．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【解答】解：（1）如图所示，∠ABC＝45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．【点评】本题考查作图﹣应用设计、正方形、长方形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是10个，最少是4个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是14个，最少是5个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是4n+2个；最少是n+2个．（n是正整数）【分析】（1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；（2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）根据上述结果找出其中的规律，然后用含字母n的式子表示这一规律即可．【解答】解：（1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；（2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）第一个图形：是一个3×2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1×4+2个正方形；第二个图形：是一个5×2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2×4+2个正方形；第三个图形：是一个7×2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3×4+2个正方形；…第n个图形：是一个（2n+1）×2的矩形，最多可分成n×4+2＝4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形．故答案为：（1）10；4；（2）14；5；（3）4n+2；n+2．【点评】本题主要考查的是探究图形的变化规律，找出图形的变化规律是解题的关键．15．在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）【分析】（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝5cm；（2）在AB上截取BE＝5cm，以E为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；（3）在BC上截取BE＝5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．【解答】解：如图1所示：S＝EB•BF＝×5×5＝12.5（cm 2），如图2所示：BE＝5cm，则AE＝3cm，∵EF＝5cm，∴AF＝＝4（cm），S＝BE•AF＝×5×4＝10（cm 2），如图3所示：BE＝5cm，则CE＝4cm，∵EF＝5cm，∴CF＝＝3（cm），S＝BE•CF＝×5×3＝7.5（cm 2）．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题．16．如图，南开中学高二年级的学生分别在五云山寨M，N两处参加社会时间活动．先要在道路AB，AC形成的锐角∠BAC内设一个休息区P，使P到两条道路的距离相等，并且使得PM＝PN，请用直尺和圆规作出P点的位置（不写作法，值保留作图痕迹）．。