高考数学一轮复习 专题11.6 矩阵与变换(练)理

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．在矩阵 b 0 1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
对应的变换下，将直线651x y -=变成21x y +=，则a b +=（ 0 ）
2．把实数a ，b ，c ，d 排成形如⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛d c b a 的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ·),(dy cx by ax y x ++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，该运算的几何意义为平面上的点（x ，y ）在矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++，若点A 在矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1112的作用下变换成点（2，4），则点A 的坐标为 . 评卷人
得分 二、解答题
3．（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．。

2022高考数学(理)一轮复习讲义--矩阵与变换【2020年高考会如此考】1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，要紧考查行列式的运算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】1．认真明白得矩阵相等的概念，明白矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算．2．把握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去明白得和把握矩阵的几种变换．3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组．基础梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎡⎦⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎡⎦⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍旧是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦⎤b 11b 21 b 12b 22＝⎣⎡⎦⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一样地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵(1)关于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. 4．特点值与特点向量设A 是一个二阶矩阵，假如关于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特点值，而α称为A 的属于特点值λ的一个特点向量．双基自测1．(2011·南通调研测试)曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤10 21⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎨⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 因此C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1.2．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特点值3的一个特点向量是⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A .解 设A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤23，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎡⎦⎤a cb d ⎣⎡⎦⎤11＝3⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤33，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.因此⎩⎨⎧b ＝1，d ＝0. 因此A ＝⎣⎡⎦⎤23 10.3．(2011·苏州调研测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵形A ＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b (a ＞0，b ＞0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解 设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b ⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，因此a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，因此a 2＝9，b 2＝4. 因为a ＞0，b ＞0，因此a ＝3，b ＝2.4．(2011·南京市模拟)已知a ＝⎣⎡⎦⎤21为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4属于λ的一个特点向量，求实数a ，λ的值及A 2.解 由条件可知⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4 ⎣⎡⎦⎤21＝λ⎣⎡⎦⎤21， 因此⎩⎨⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2. 因此A ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 24. 因此A 2＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 24 ⎣⎡⎦⎤ 1－124＝⎣⎡⎦⎤－1－5 1014.考向一 矩阵与变换【例1】►求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎡⎦⎤10 02，N ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 01.[审题视点] 先求积MN ，再求变换公式． 解 MN ＝⎣⎡⎦⎤10 02⎣⎡⎦⎤ 1－1 01＝⎣⎡⎦⎤1－2 02.设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P (x ，y )，则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 因此x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.因此曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.【训练1】 四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A (－1,2)，B (3,2)，C (3，－2)，D (－1，－2)，A ′(－1,0)，B ′(3,8)，C ′(3,4)，D ′(－1，－4)，求将四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′的变换矩阵M .解 该变换为切变变换，设矩阵M 为⎣⎡⎦⎤1k 01， 则⎣⎡⎦⎤1k 01⎣⎡⎦⎤－1 2＝⎣⎡⎦⎤－10.因此－k ＋2＝0，解得k ＝2. 因此M 为⎣⎡⎦⎤12 01.考向二 矩阵的乘法与逆矩阵【例2】►已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. [审题视点] 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵，一样是设 A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1求得． 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，因此⎩⎨⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 12－10. 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1，求矩阵AB 的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a cb d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac bd ＝⎣⎡⎦⎤a 2a ＋b c 2c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，解之得，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，d ＝1， 因此A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.同理得，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1.又(AB )－1＝B －1A －1， 因此(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －3－2 1.考向三 矩阵的特点值与特点向量【例3】►已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2 1，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特点值及其对应的特点向量． [审题视点] f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －3λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6. 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，因此2－2a ＝－4.因此a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特点多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特点值为－1与4. 当λ＝－1时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒x ＋y ＝0. 因此矩阵M 的属于特点值－1的一个特点向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 当λ＝4时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒2x －3y ＝0. 因此矩阵M 的属于特点值4的一个特点向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【训练3】 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特点值λ1＝－1的一个特点向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特点值λ2＝4的一个特点向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解 由特点值、特点向量定义可知，A a 1＝λ1a 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎨⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎨⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321.矩阵的有关问题及其求解方法矩阵与变换是理科附加题的选考题，题型要紧有矩阵与变换、矩阵的乘积与逆矩阵，求矩阵的特点值与特点向量．熟悉变换问题的解题，把握矩阵乘法法则和求矩阵特点值与特点向量的方法，会用待定系数法求逆矩阵． 【示例】► (本题满分10分)(2011·福建)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．用待定系数法求逆矩阵．[解答示范] (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，因此2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0013.(5分)(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，因此x ′24＋y ′2＝1， 则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1， 又a ＞0，b ＞0，因此⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.(10分) 【试一试】 (2011·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求向量α，使得A 2α＝β.[尝试解答] 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤324 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.。

高中数学《矩阵与变换》期末考知识点一、151．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭Q ， 又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 32A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．2．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.3．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.4．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛⎫=⎪⎝⎭，列向量12x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy =的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；（3）已知数列12n n a =，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1）⎛⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 4422A ππππ⎛⎛⎫--⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】（1）()cos sin11442233sin cos 4422A X ππϕππ⎛⎛⎫--⎪⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 4422A ππππ⎛⎛⎫--⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，则x x y y ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪''⎭，x x y y x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪='''⎩'⎪，则2222222222y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫''''''-=+--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，所得曲线的方程为22122y x -=；（3）当n =1时，()111cos sin2211sin cos 22n n n nA a ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 当n =2时，()()2212221111cos sin cos sin 22221111sin cos sin cos 2222A a A a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111111cos cos sin sin cos sin cos sin 2222222211111111sin cos sin cos cos cos sin sin 22222222⎛⎫--- ⎪=⎪ ⎪+- ⎪⎝⎭22221111cos()sin()22221111sin()cos()2222⎛⎫+-+ ⎪= ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，当n =3时，()()()22331232233111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222A a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23232323111111cos()sin()222222111111sin()cos()222222⎛⎫++-++ ⎪= ⎪ ⎪++++ ⎪⎝⎭，由此猜想：当n =k 时，()()()221222111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222k k k kkA a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 222211111111cos()sin()cos(1)sin(1)2222222211111111sin()cos()sin(1)cos(1)22222222k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++-+++--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L ， 当k →+∞时，1112k -→， 所以()()()12cos1sin1sin1cos1n A a A a A a -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.5．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】 【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x xx x x x x x x xxx =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12A A cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题7．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离34d ===，BC ==所以1131222ABC S BC d ∆=⋅⋅==. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.8．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a ka b kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a a ab a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a ka b kb a b a b a b ++=.【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩. （1）求,,x y D D D ；（2）当实数m 为何值时方程组无解；（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =（3）4m ≠方程组有唯一解2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4011m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由411m A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当||0A =，即44011m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解（3）当4011m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-，∴方程的解集为：2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．【点睛】本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.【答案】2πθ=【解析】 【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论. 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】由题意，关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，所以221111,(1),12x a a D a D a a a a a aa+==-==-=-2121(21)(1)12y a a D a a a a a+==--=+-，（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解； （3）当1a =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多解，,()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.13．已知圆C 经矩阵332aM ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax yy x y=+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.【详解】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax yy x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=， 由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.14．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q的坐标为)2，试求点P 的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：y x =或y = 【解析】 【分析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k =+≠，该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】()1设(),P x y由题意，有124x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩，即P点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠因为该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上()-=++y k x b即)()10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠代入得()2220k x b +++=对任意的x ∈R恒成立()22020k b +=+=⎪⎩解之得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或0k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故直线方程为3y x =或y =． 【点睛】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．15．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换16．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，故5a b +=，解得答案.【详解】矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r u r，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r u r，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.17．己知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求1M -；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.【答案】（1）112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）223y x -= 【解析】 【分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ，则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩， 解得002323y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因为2201x y -=，所以2222133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223y x -=，所以2C 的方程为223y x -=. 【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r .【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，即可求3M αr．【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.。

专题11。

6 矩阵与变换【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵,矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.2. 加强训练，提高推理和运算能力。

矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.【课前检测训练】【练一练】1.已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，向量α＝错误!，x,y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值。

2.已知矩阵A＝错误!,B＝错误!,求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为错误!，则错误!·错误!＝错误!,即错误!＝错误!，故a＝－1,b＝0，c＝0，d＝错误!，从而A的逆矩阵为A－1＝错误!，所以A－1B＝错误!错误!＝错误!.3。

已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程.解因为B＝错误!，所以B－1＝错误!，所以AB－14.已知矩阵M ＝错误!满足：Mαi ＝λi a i ，其中λi （i ＝1，2）是互不相等的实常数，αi (i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1,α2＝错误!，求矩阵M . 解 由题意，λ1，λ2是方程f （λ)＝错误!＝λ2－ab ＝0的两根,因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Mα2＝λ2α2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 错误!＝λ2错误!, 从而错误!所以λ错误!＝ab ＝1。

因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1. 从而a ＝b ＝－1. 故矩阵M ＝错误!.5。

已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝错误!所对应的变换T A 将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解 设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在变换T A 作用下变成点P ′(x ′,y ′），【题根精选精析】考点1:矩阵及其变换【1-1】已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，若矩阵AB对应的变换把直线l:x＋y－2＝0变为直线l′,求直线l′的方程．【答案】4x＋y－8＝0.【解析】易得AB＝错误!错误!＝错误!，在直线l上任取一点P（x′，y′），经矩阵AB变换为点Q(x，y），则错误!＝错误!错误!＝错误!，∴错误!即错误!代入x′＋y′－2＝0中得x－错误!y＋错误!－2＝0，∴直线l′的方程为4x＋y－8＝0.【1-2】求使等式错误!＝错误!M错误!成立的矩阵M.【答案】错误!【解析】设M＝错误!，则错误!＝错误!M错误!＝错误!,则错误!⇒错误!即M＝错误!.【1—3】已知矩阵A＝错误!,向量β＝错误!.求向量α，使得A2α＝β。

2019-2020年高考数学一轮复习专题11.6矩阵与变换练理1.在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．【答案】2.选修4—2：矩阵与变换已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a，b的值．（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．【答案】（1）a＝－1，b＝5．（2）【解析】（1）由题意，得，得6＋3a＝3，2b－6＝4，…………………4分所以a＝－1，b＝5．…………………………………………………………6分（2）由（1），得．由矩阵的逆矩阵公式得……………………8分所以……………………………………………………………10分3.选修4—2：矩阵与变换(本小题满分10分)变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y＝x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.【答案】（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y2.4.选修4—2：矩阵与变换已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．【答案】x2＋y2＝2【解析】设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．5.选修4—2：矩阵与变换已知变换把平面上的点，分别变换成，，试求变换对应的矩阵．【答案】113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M【解析】设，由题意，得，…………3分∴342513415 2.a bac dc-=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1, 5 13, 20 2,51120abcd⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M．…………10分6. 曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．【答案】(x－2y)2＋2y2＝1.7. 求出曲线y2＝4x依次经过矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t00 1，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x2＝2y，求实数t. 【答案】2【解析】解：由已知得BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t0.任取曲线y2＝4x上一点P(x0，y0)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y0＝x′，tx0＝y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y20＝－x′2，2tx0＝2y′.∵P′在曲线x2＝2y上，∴x′2＝2y′.即y20＝2tx0，①y 20＝4x 0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.8.已知曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1 【解析】解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)， 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0， d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1.9.已知向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(1)求矩阵M ；(2)若a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求M 10a .【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0251 02410.设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求实数m ，n 的值．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝2.【解析】解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，0·n ＝0，0·m ＝0，n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝2. 11. 如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值． 【答案】a ＋b ＝2.12.若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 002，求抛物线 y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程． 【答案】y 2＝16x . 【解析】解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P 的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x ，y ′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－x ′，y ＝y ′2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′22＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′. ∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x .13. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．【答案】x －2y －4＝0.【解析】解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2ax ，y ′＝by .由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1. 此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.14.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－13 12。

【高中数学】数学《矩阵与变换》复习知识要点一、151．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++,若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.2．解方程组32321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩.【答案】详见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意可得()()2933D m m m =-=--+，()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()21313x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩；②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，此时，该方程组的解有无数多个，为,()533x t t R t y =⎧⎪∈-⎨=⎪⎩；③当3m =-时，该方程组为331337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.3．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】 【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】 由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．5．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题6．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.7．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.8．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．9．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xxxx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =.故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.10．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】解：(1)不等式201x ax+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.【答案】2πθ=【解析】 【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，该运算的意义为点(),x y在矩阵a bc d ⎛⎫⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)2，试求点P 的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：y x =或y = 【解析】 【分析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k=+≠，该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y+-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k，b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【详解】()1设(),P x y由题意，有124xxy y⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩，即P点的坐标为14⎫⎪⎭．()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：()0y kx b k=+≠因为该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y+-仍在该直线上()-=++y k x b即)()10k x y b--=，其中()0y kx b k=+≠代入得()2220k x b+++=对任意的x∈R恒成立()22020kb+=+=⎪⎩解之得kb⎧=⎪⎨⎪=⎩kb⎧=⎪⎨=⎪⎩故直线方程为y x=或y=．【点睛】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．13．已知,Ra b∈，矩阵a bc dA⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P-在A对应的变换作用下得到点()1,2P'-，求矩阵A.【答案】2314A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.14．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．15．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．16．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =.（1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩【解析】 【分析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.17．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设则即此直线即为则..18．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求10M .【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意，利用矩阵变换求得11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】（1）解：111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦Q ，11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1202AB ⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦15114410102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则111221122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，13001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，101115904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.19．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】先求得1A -u r ，以及其特征多项式()f λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可. 【详解】 设1A-u ra b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，故得1A -u r 1?12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫⎪-⎝⎭；同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.20．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠. （1）求二价行列式1324a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩.【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且0q ≠时，方程组无解.【解析】 【分析】（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =，∴1324a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439x y +=， 解为439x t y t⎧=-⎪⎨⎪=⎩，当23q ≠且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．。