因式分解难题[经典]

因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。

解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。

例2：分解因式3x^2-6x。

解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。

例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。

解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。

二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。

解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。

例5：分解因式16y^2-25。

解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。

例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。

解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。

三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。

解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。

例8：分解因式4y^2-20y+25。

解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。

例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。

解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。

四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。

解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。

例11：分解因式2x^2-8。

解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。

因式分解【例 1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++提示:将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘【例 2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则方法3：将253x x ++看作一个整体，【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ (1)(2)(3)(4)24a a a a ----- 22(1)(2)12x x x x ++++-【例 3】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【例 4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例 5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【巩固】 分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-【例 6】 (重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272x x +-+-练习:1 .分解因式：12345-+-+-x x x x x x x 3234+-2.求证：多项式100)2110)(4(22++--x x x 的值一定是非负数.3.分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+23334.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=.求证：a c b +=25.已知：=+=+33121x x x x ，则6.若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。

复杂因式分解难题 (附答案及解析)问题描述考虑以下复杂的因式分解问题：给定一个多项式P(x)，我们需要将其分解成一组因子的乘积形式。

具体而言，我们要将P(x)表示为如下形式：P(x) =(a_n * xⁿ + a_n-1 * x^n-1 + ... + a₁ * x + a₀) 乘以一个或多个因子的形式。

解答与解析对于复杂因式分解问题的解答步骤如下：1. 将多项式P(x)进行因式分解，即找出可以整除P(x)的因子。

2. 对于每个因子，进一步进行因式分解，直到无法再分解为止。

3. 将所有的因子乘起来，得到最终的因式分解表达式。

具体过程如下：步骤1：找出可以整除P(x)的因子假设我们有一个多项式P(x) = a_n * xⁿ+ a_n-1 * x^n-1 + ... + a₁ * x +a₀，我们首先需要找到可以整除P(x)的因子。

这些因子可以通过将P(x)中的每个项提取出来，并找到这些项的公因子而得到。

公因子可以是变量x的幂次，也可以是常数项。

步骤2：进一步进行因式分解对于每个找到的因子，我们需要进一步进行因式分解。

这可以通过使用因式分解的常见方法，如提取公因子、配方法或公式法等来实现。

在这一步中，我们可以根据具体情况运用不同的分解策略。

步骤3：将所有的因子乘起来最后，将所有的因子相乘，得到最终的因式分解表达式。

因式分解难题汇编附答案一、选择题1.将多项式x2+2xy+y2—2x —2y+1分解因式，正确的是(A.( x+y) 2B.( x+y —1)C.( x+y+1) 2D.( x—y—1) 2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法.【详解】(x+y) +1= (x+y—1) 解：x2+2xy+y2—2x—2y+1= (x2+2xy+y2) — ( 2x+2y) +1= (x+y)2故选：B下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(A. x a b ax bxB. ).1 y2c. x21 x 1 x 1 D. ax bx c【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成几个整式的积的形式, 式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【详解】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；叫做把这个多项式因B、右边不是积的形式，故选项错误；C、x2-1= (x+1)( x-1),正确；D、等式不成立，故选项错误.故选：C.【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.A. 下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )(X+ 3)(x—3) = x2—9B. X2+ x—5= (x—2)(x + 3) 1C. a2b + ab2= ab(a + b)1 D. x + 1 = x(x 一)x【答案】C 【解析】【分析】0，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案. 【详解】故选： C .【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案. 【详解】解：A 、a 2- 2a+1 =( a - 1) 2,从左到右的变形属于因式分解，符合题意;B 、 a (a+1)( a - 1) = a 3- a ,从左到右的变形是整式乘法，不合题意； C 、 6x 2y 3= 2x 2?3y 3，不符合因式分解的定义，不合题意； D 、 mx - my+1= m (x - y )+1 不符合因式分解的定义，不合题意；故选： A .【点睛】 本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式 乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别.解析】 分析】A 、B 、C 、D 、 是整式的乘法，故 A 错误；没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故 没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 正确；D 错误；4.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( A . a 2- 2a+1 =( a - 1) 2C. 6x 2y 3= 2x 2?3y 3【答案】 A 【解析】B ． D ． a ( a+1 )( a - 1 )= a 3- a mx - my+1= m (x — y ) +15．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ， 满足 a 2 b a 2c b 2cb 3 0 ，则这个三角形是A .直角三角形【答案】 D B .等边三角形 C 锐角三角形D .等腰三角形首先将原式变形为 b c a b a0，可以得到 b c 0或 a b 0 或a b 0，进而得到 b【详解】c 或a b .从而得出AABC 的形状.••• a 2b a 2c b 2c b 3••• a 2 b c b 2 c b0，•b•△ ABC 是等腰三角形． 故选： D ． 【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分 解的步骤，分解要彻底．6．下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )A . 2a 2— 2a+1=2a (a - 1) +1 B .( x+y )( x - y ) =x 2 - y 2C. x 2- 6x+5= (x - 5)( x - 1)D . x 2+y 2= (x - y ) 2+2x【答案】 C 【解析】 故选 C ． 【点睛】此题考查因式分解的意义,解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形 式．7.若实数a 、b 满足a+b=5, a 2b+ab 2=-10,则ab 的值是() A ． -2 B ． 2 C ． -50 D ． 50【答案】 A 【解析】试题分析：先提取公因式 ab ,整理后再把a+b 的值代入计算即可.当 a+b=5 时，a2b+ab 2=ab ( a+b )=5ab=-10，解得：ab=-2. 考点：因式分解的应用．2 8．多项式 x 2y(a b) xy(b A ． x 2 x 1B ． x 2【答案】 Ba) y(a b)提公因式后，另一个因式为(C ．x 2x 1x1 D ．x1a 2b 20，aba0或 a b 0或 a b 0(舍去 )，【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式,根据定义,逐项分析即可． 【详解】2a 2-2a+1=2a (a-1) +1,等号的右边不是整式的积的形式,故此选项不符合题意； (x+y )( x-y ) =x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意； x 2-6x+5= (x-5)( x-1),是因式分解，故此选项符合题意；x 2+y 2= (x-y ) 2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；A 、B 、C 、D 、【解析】【分析】各项都有因式y( a-b)，【详解】2x y(a b) xy(b a)2=x y(a b) xy(a b) = y(a b)(x2x 1) ，根据因式分解法则提公因式解答y(ay(a故提公因式后，另一个因式为：b)b)x2x 1，故选：B.【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键9.若AABC三边分别是a、b、c,且满足( ()A.等边三角形【答案】D【解析】试题解析：•••( b - c)( a2+b2) =bc2- c3, /.( b- c)( a2+b2) - c2(b - c) =0,■'■( b- c)( a2+b2- c2) =0,/. b - c=0, a2+b2- c^n,••• b=c 或a2+b2=c2,•••△ ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D. b - c)( a2+ b2) =be2- c3,则△ABC是B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形10. 下面的多项式中,能因式分解的是（2 A. m n【答案】B B. m22m 1 C. 2mnD. m2m1解析】分析】完全平方公式的考察，ab a22ab b2 详解】A、C、 D 都无法进行因式分解B 中，22m 2m 1 m 2 m 1 12，可进行因式分解故选：【点睛】本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：b 2ababC. 2x 2【答案】 【解析】 【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论. 【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解； 选项B , A 中的等式不成立；选项 C 中，2x 2-2=2 (x 2-1) =2 (x+1)( x-1),正确. 故选C.【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法.12. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形 式，另一项是这两个数的积的 2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解 .【详解】A. 16x 21只有两项，不符合完全平方公式；B. x 2故选：I 【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键13.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()2A. m (a+b ) = ma+mbB. a +4a - 21 = a (a+4)- 212完全平方公式： a b a 2 2ab b 211.下列因式分解正确的是 21A . x 2B . x 2 2x 1D .A . 16x 21 B . x 22x 12 2C. a 2ab 4bD . x 22x 1其中x 2 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；2ab 4b 2，其中a 2与4b 2不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式; C. a 2D. x 21x -符合完全平方公式定义, 4 D.C. x 2- 1 =( x+1)( x - 1)D. x 2+16 - y 2=( x+y )( x - y ) +16 【答案】C【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案. 【详解】故选C. 【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形 式.14. 下列由左到右边的变形中，是因式分解的是(A .【答案】 【解析】A 、B 、C 、D 、 是整式的乘法，故 A 不符合题意；没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意;C 符合题意；D 不符合题意;B . C. 1 x 2- 1 = x(x -)xX 2- 4+3x =( x+2)( x - 2) +3x x24 x+2x 2D .【答案】D【解析】 【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案. 【详解】(x+2)( x-2) =x2-4，是多项式乘法，故此选项错误; x 2-1=( x+1)( x-1)，故此选项错误；X 2-4+3X = (x+4)( x-1)，故此选项错误； x 2-4= (x+2)( x-2),正确.A 、B 、C 、D 、 故选D . 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键.15. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(2A . xB .2x 1 x x 21C. x 2ccx 2x 3D .c ab ac(x+2)( x - 2)= x 2- 4【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案. 【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；B 、 右边不是整式积的形式，不符合题意；C 、 是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、 是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；故选：A . 【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键.【答案】 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式 分解的定义，即可得到本题的答案. 【详解】A. 属于整式的乘法运算，不合题意；B. 符合因式分解的定义，符合题意；C. 右边不是乘积的形式，不合题意；D •右边不是几个整式的积的形式，不合题意; 故选：B .【点睛】本题考查了因式分解的定义， 关键.解：••• 6x33x 23x = 3x(2x 2x 1) 3x(2x16.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ x 2 4 A . x 2x2 B . a 22ab b 2 (a b)2C ambm 1D . (X 1)21 x 1 x 1即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的17.下列不是多项式 6x 3 3x 2 3x 的因式的是（A . x 1【答案】A 【解析】 【分析】 B . 2x 1C.D . 3x+3将多项式6x 33x 2【详解】3x 分解因式，即可得出答案1)(x 1)又••• 3x+3=3 (x+1)••• 2x 1, x, 3x+3都是 6x 3 3x 2 3x 的因式，x 1 不是 6x 3 3x 2 3x 的因式. 故选： A【点睛】 此题主要考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练应用十字相乘法分解因式是解 题关键．18.多项式mx 2m 与多项式x 22x 1的公因式是(答案】 A 解析】答案】 D解析】分析】 因式分解，常用的方法有： ( 1 )提取公因式；( 2 )利用乘法公式进行因式分解 【详解】故选：【点睛】 在进行因式分解的过程中，若能够提取公因式，往往第一步是进行提取公因式，在观察剩 下部分是否还可进行因式分解 .A ． x 1B ． x 1C ． x 2D ． x试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式mx2m =m，多项式22x 2 2x 1= x 1 ，因此可以求得它们的公因式为(x-1)故选 A 考点：因式分解19． 下列各式从左到右因式分解正确的是( A ． 2x-6y 2 2 x- 3yB ． x 2-2xx x- 2 1 22C ． x 2- 4 x- 2D ．x 1 x- 1A 中，需要提取公因式： 2x- 6 y 22x-3y+1 ，A 错误；B 中, 利用乘法公式： 2x 2- 2x 1x-1 22 ， B 错误；C 中, 利用乘法公式：x 2 - 4 ( x 2)(x D 中, 先提取公因式， 再利用乘法公式： 2) , C 错误；x 3 x x x 1 x 1 ，正确20.三角形的三边 a 、b 、c 满足a (b - c ) +2( b - c )= 0,则这个三角形的形状是 () A .等腰三角形 C. 直角三角形【答案】 A 【解析】 【分析】首先利用提取公因式法因式分解,再进一步分析探讨得出答案即可【详解】 解：••• a (b-c ) +2 (b-c ) =0,.・.(a+2)( b-c ) =0, •/ a 、b 、c 为三角形的三边，••• b-c=0,则b=c , .这个三角形的形状是等腰三角形.故选： A .【点睛】 本题考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握并准确分析是解题的关键B .等边三角形 D .等腰直角三角形。

2015因式分解难题经典题1、若实数二满足丄！1 I ,贝9 _2、 已知亠• -［，则■/' -二的值为 ____________________________3、 分解因式： a 3+ a 2 — a — 1 = _____________ .4、 已知 a + b = 2,贝U a 2 — b 2 + 4b 的值 _______________ .21 _d — 0 = 5、 因式分解： I ________________________________________6、 已知实数二"满足门-1 1 ^ ',则-xy 的等于 ____________________________________________7、 若沪-加=1,则帥'-仏+ 2007的值是 _______________________________ . _8、 蛊+ b 二$ 北二2，则界+疋= ______________________ 。

9、 如果- •卞是一个完全平方式，贝0 小= _______________________ .2 丄_ 2 -y10、 已知实数x 满足x+工=3，则x 2+X 的值为 ________________11、 若a 2+ma+36是一个完全平方式，则 m ____ .12、已知=2s a-b = 3，则□咕_险％2 +住护二413、 — a 宁（一 a ） = ________14、 把下列各式分解因式：T2 — 4x + y a H- 6y + Vz + 2 +13 = 0 15、如果 ，求的值.16、已知 a+b= - 5， ab=7，求 a 2b+ab 2- a - b 的值ab -I- a + b 4-1(x-1)(x-3)+12015因式分解难题经典题17、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a — 4b+5=0求：3a2+4b-3的值。

因式分解好题难题集锦1、x2-8xy+15y2+2x-4y-3；2、x2-xy+2x+y-3；3、3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2；4、x3+x2-10x-6；5、x4+3x3-3x2-12x-4；6、4x4+4x3-9x2-x+2；7、2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；8、x4+5x3+15x-99、x2-3xy-10y2+x+9y-2；10、x2-y2+5x+3y+4；11、xy+y2+x-y-2；12、6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．1、已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值2、已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．3、设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．4、已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．1、322x xx 2、39999能被100整除吗？还能被那些数整除? 3、分解因式2244a ab b 4、已知,,a b c 是ABC 的三边，且222a b c ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形5、分解因式am an bm bn .6、分解因式bxby ay ax 51027、分解因式：ayax y x 228、分解因式：2222c b ab a 9、分解因式：652x x 10、分解因式：672x x 11、分解因式：101132x x 12、分解因式：221288b ab a 13、分解因式：abcx c b a abcx )(222214、分解因式22(1)(2)12x x x x 15、分解因式（1）2005)12005(200522x x （2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x 16、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x （2）90)384)(23(22x x x x （3）222222)3(4)5()1(a a a 17、分解因式()()()bc b c ca c a ab a b 18、分解因式243x x 19、分解因式222()()()a b c b c a c a b 20、分解因式3292315x x x 21、分解因式432564x x x x 22、分解因式613622y x y xy x 23、（1）当m 为何值时，多项式6522y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823bx ax x 有两个因式为1x 和2x ，求b a 的值.24、用于分解形如22ax bxy cy dx ey f 的二次六项式25、分解因式225681812x xy y x y26、分解因式22abb a b 27、分解因式32352x x。

超经典的因式分解练习题有答案精品1. 因式分解.(1) a(a-b) -2(w-b).(2)x²-2x²+x.2.因式分解:(1)12m²κ⁻¹−8m²κ⁴;(2) x³-4x²y+4xy².3.将下列多项式因式分解：(1) 2x²-6x;(2) -6x²+12a-6;(3) 4x²-(y²-4y-4).4. 因式分解: (m+1) (m-9) +8m.5.因式分解:25x²{a-b}+49y² (b-a).6.因式分解:2x¹-8r³y8xy².7.因式分解:(1) 4a²-9;(2) 16m³-8me+n³.8. 因式分解:(1) 2ax²-2m²;(2) 3a²-6a²b+3ab².9. 因式分解:(1) m²-m;(2) x³-4x²+4x.10. 因式分解:4.²(x-1) -9 (x+7).11.因式分解:-3a+12a²-12a³.12. 因式分解:(1) m²-y³;(2) x(x-y) ty(y-x).参考答案10. 因式分解.(1) a(a-b) -2(a-b).(2) x³2x³+x.【分析】(1) 原式提取公因式分解即可；(2) 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.【解答】解: (1) a (a -b) -2(a -b) = (a-b) ( a -2).(2)x³-2x²+x=x (x²-2x-1)=x(x-1)².【点评】此题考查了提公园式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.11.因式分解:(1) 12m³k⁴-8m²n³;(2)x³-4r³y+4xy².【分析】(1) 找到公因式，提取公因式即可：(2) 先提取公因式，再看用完全平方公式.【解答】解: (1) 原式=4m²n⁴ (3m-2m²);(2)原式: =x(x²-4xy-4y²)=x (x-2y)².【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法，公式法是解决本题的关键。