福建省厦门第一中学人教版高一数学必修一强化训练

2020-2021学年福建省厦门第一中学高一上学期入学测试数学试题一、单选题1．32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．3xyB ．23x yC ．233x yD ．223x y【答案】B【解析】根据提公因式的原则可得选项.【详解】 32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是23x y ，故选：B.【点睛】本题考查因式分解的方法之提公因式法，属于基础题.2．下列计算正确的是（ ）A ．()3473=a b a bB ．2(41)82b a ab b --=--C ．()23242a a a a ⨯+=D ．22(1)1a a -=- 【答案】C 【解析】由幂的运算性质逐一判断选项可得答案.【详解】对于A 选项：()43343312a b a b a b ⨯==，故A 错误； 对于B 选项：()2(41)8218+2b a ab b ab b --=--⨯-=-，故B 错误； 对于C 选项：()23244222+a a aa a a ⨯+==⨯，故C 正确； 对于D 选项：22(1)2+1a a a -=-，故D 错误，故选：C.【点睛】本题考查幂的运算性质，属于基础题.3．有两个事件，事件:A 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件:367B 人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是（ ）A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【答案】C【解析】判断事件A、B的类型，由此可得出结论.【详解】对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选：C.【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.4．如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan A∠的值是（）A．65B．56C．210D．310【答案】A【解析】作出A∠所在直角三角形，根据定义求解. 【详解】如图，根据正切的定义可知，6tan 5BD A AD ==, 故选：A【点睛】本题主要考查了在直角三角形中正切函数的定义，属于容易题.5．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x ；去掉一个最低分，平均分为y ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z ，则（ ）A ．y z x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．z y x >> 【答案】A【解析】根据算术平均数的含义求解.【详解】由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x ，则此时的x 一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，去掉一个最低分，平均分为y ，则此时的y 一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，所以y z x >>故选：A【点睛】本题主要考查算术平均数的含义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，5MC MA ==，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．20C ．15D ．不确定【答案】A【解析】由直角三角形的判定得ABC 是直角三角形，再由勾股定理求得两直角边的乘积，从而求得三角形的面积.【详解】由已知得5MC MA MB ===，所以90ACB ∠=，又ABC 的周长是24，10AB =， 所以222+14,10+AC BC AC BC ==，所以()()222222++496110AC BC AC BC AC BC -⨯-===， 所以ABC 的面积1242AC BC ⨯⨯=， 故选：A .【点睛】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的运用，以及三角形的面积的计算，属于基础题. 7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠=，30A ∠=，可求得B 的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠=，30A ∠=，16AB =，所以60B ∠=，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，3tan 303PQ AP x =⋅=， 所以2133236y x x x =⋅=， 如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan60316PQ BP x =⋅=-，所以()2133168322y x x x x =⋅-=-+， 故选：D【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含30直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.8．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC AC ⊥于点C ，DF EB ⊥于点F ，若26BC DF ==，则O 的半径为（ ）A ．3.5B ．4C ．23D ．3.75【答案】D 【解析】根据图形，连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，由AC 切半圆O 于点D ，得到OD AC ⊥，又BC AC ⊥，则//OD BC ，易证DOF OBH ≅，得到3OH DF ==，设OB OD r ==，然后在Rt ABC 中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，因为AC 切半圆O 于点D ，所以OD AC ⊥，又BC AC ⊥，所以//OD BC ，所以DOF OBH ∠=∠，又OD OB =，所以DOF OBH ≅，所以3OH DF ==，设OB OD r ==，则6BH r =-，在Rt ABC 中，由勾股定理得()22263r r =-+，解得15 3.754r ==， 故选：D【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，切割线定理，勾股定理等面积法以及平行线段成比例定理，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.9．如图，正三角形ABC 的边长为4，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A B C '''关于直线l 对称，D 为线段BC '上一动点，则AD CD +的最小值是（ ）A ．3B ．62C ．8D ．423+【答案】C 【解析】连接A D '，先根据轴对称性得出A B C '''也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质，三角形全等的判定定理和性质得出CD A D '=，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD A D +'取得最小值时点D 的位置，由此可以得出答案.【详解】如图，连接A D '，正ABC 的边长为4，4,60AB BC ABC ∴==∠=，ABC 与A B C '''关于直线l 对称，∴A B C '''也是边长为4的等边三角形，4,60A B A BC '''∴=∠=，18060CBD ABC A BC ∴∠=-'∠'∠-=，在BCD 和BA D '中，4BC BA ='=，60CBD A BD '∠=∠=，BD BD =，()BCD BA D SAS ∴'≅，CD A D '∴=，AD CD A D AD ∴+='+，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D 与点B 重合，即点,,A D A '共线时，AD A D +'取得最小值，最小值为448A AB A B A ''=+=+=.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，属于基础题.10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =.下列结论：①0abc <；②30a c +>；③22()0a c b +-<；④()a b m am b +≤+（m 为实数）.其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ，图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <，又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <，所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -，又12b a-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-，又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确；对称轴是1x =，当1x =时，有最小值++a b c ，所以2++++m a b c a bm c ≤，所以()a b m am b +≤+，故④正确，综上得结论正确的是②③④，故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.二、填空题11．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，B C ∠=∠，BP CE =，BD CP =，则DPE ∠=________.【答案】70°【解析】由DBP PCE ≅△△，可得BDP EPC ∠=∠，再结合等腰三角形及内角和为180的条件可得解.【详解】,40AB AC =∠︒,70DBP ECP ∴∠=∠=︒,又BP CE =，BD CP =，DBP PCE ∴≅△△BDP EPC ∴∠=∠,70DBP ∠=︒,110DPB BDP ∴∠+∠=︒,180()70DPE DPB EPC ∴∠=︒-∠+∠=︒,故答案为：70°【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键.12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象上，已知A 、B 的横坐标分别为1、4，且对角线//BD x 轴，若菱形ABCD 的面积为30，则k 的值为_________.【答案】203【解析】利用菱形对角线垂直且互相平分，结合A ，B 点的坐标可求对角线的长，根据面积求解即可.【详解】由题意知A y k =，4B k y =， 在菱形中//BD x 轴，所以AC x ⊥轴， 所以32()2A B AC y y k =-=，2()6B A BD x x =-=, 由菱形ABCD 的面积为30可得，1363022S k =⨯⨯=， 解得203k =， 故答案为：203 【点睛】本题主要考查了菱形对角线互相平分且垂直的性质，考查了菱形的面积公式，属于中档题.13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),a b 在直线222(0)y cx c c =++>上，且满足2222(12)40a b bc c b +-+++=，则c =________.1【解析】将点(),a b 代入222y cx c =++，得222b ac c =++，再代入 2222(12)40a b bc c b +-+++=，利用非负数的性质，求出a 、b 用c 表示，再代入 222b ac c =++解方程即可解决问题.【详解】将点(),a b 代入222y cx c =++得：222b ac c =++①， 将222b ac c =++代入2222(12)40a b bc c b +-+++=得： 22222(12)422a b bc c ac c +-+++++2222=24422a b bc c ac c +--++++2222=24+42+2a ac c b bc c ++--+()()22=+20a c b c +-= ，所以2a c b c =-⎧⎨=⎩②③， 将②③代入222b ac c =++得：22222c c c =-++，即2220c c +-=，解得：1c =或1c =（舍）1【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题.三、双空题14．已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则实数A =________B =_________. 【答案】1 2【解析】将方程的右边通分运算后，对照系数建立方程组，求解方程组可得答案.【详解】 因为()()()()2+1+2+12(1)(2)(1)(2)A xB x A B x A B A B x x x x x x ---+==------， 所以+32+4A B A B =⎧⎨=⎩，解得12A B =⎧⎨=⎩， 故答案为：1；2.【点睛】本题考查分式的加减运算和恒等式的思想的运用，属于基础题.四、解答题15．为了解某县建档立卡贫困户对准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意；B 级：满意；C 级：基本满意；D 级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户户数是_______________；（2）图1中，α∠的度数是______________，并把图2条形图补充完整；（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请你估计满意（B 级）人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a ，b ，c ，d ，e ）中随机选取两户，调查它们对扶贫政策的满意度，请用列表或树状图的方法求出选中贫困户e 的概率.【答案】（1）60 ；（2）54°，条形图见解析；（3）3500；（4）25. 【解析】（1）利用图1中B 级占35%，图2中B 级有21户，即可求解.（2）图1中，A 级、B 级共占50%，所以A 级占180的15%，即可求出α∠的度数；计算出C 级户数，即可补全图形；（3）用样本估计总体，按照样本中B 级人数的概率即可求出结果；（4）根据题意列出树状图，再根据概率公式进行计算即可.【详解】（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数为2135%60÷=（户）（2）15%36054α∠=⨯=C 级户数为60921921---=（户），条形图如下：（3）样本中B 级人数的概率为35% ，所以某县建档立卡贫困户有10000户，B 级人数有1000035%3500⨯=，所以有3500人.（4）根据题意画出树状图如下：由树状图可以看出，所有可能的结果共有20种，选中贫困户e 的结果有8种， 所以选中贫困户e 的概率为82205=. 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总计、频数、频率、总数之间的关系，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.属于中档题.16．已知关于x ，y 的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解都为正数. （1）当2a =时，解此方程组；（2）求a 的取值范围；（3）已知4a b +=，且0b >，23z a b =-，求z 的取值范围.【答案】（1）14x y =⎧⎨=⎩；（2）1a >；（3）78z -<<. 【解析】(1）利用加减消元法求解即可;(2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可;(3）根据题意得出b =4-a >0，即可得到1<a<4，代入z =2a -3b 得到z =5a -12，根据a 的取值可得结论.【详解】（1）当2a =时，方程组为3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②， ①2⨯+②得77x =，即1x =，把1x =代入①得，31y -=-，即4y =，此方程的解为14x y =⎧⎨=⎩； （2）解这个方程组的解为：12x a y a =-⎧⎨=+⎩， 由题意，得1020a a ->⎧⎨+>⎩， 则原不等式组的解集为1a >；（3）∵4a b +=，0b >，∴40b a =->，∵1a >，∴14a <<，∵2323(4)512,23a b a a a z a b -=--=-=-，故78z -<<.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程.17．已知E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE =，EFB FBC ∠=∠，求tan ABF ∠.【答案】35【解析】延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，由BAF TOB ∽，得到AF BF OB BT = ，变形为22BF AF BT =⋅，设CT k =，再由DEF CET ∽，解得815k =，然后由tan ∠=AF ABF AB 求解. 【详解】如图，延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，∵四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，∴//,90AD BC A BOT ∠=∠=︒，∴AFB OBT ∠=∠，∴BAF TOB ∽，∴AF BF OB BT= ， ∵12OB BF =， ∴22BF AF BT =⋅，设CT k =，易证DEF CET ∽，∴3DF k =，43AF k =-，4BT k =+ ，∴224(43)2(43)(4)k k k ++=⨯-+， 21580k k -=，∴815k =或0（舍去）， ∴433tan 45AF k ABF AB -∠===， 【点睛】本题主要考查三角形相似以及比例性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．如图1，AB 是O 的直径，E 是AB 延长线上一点，EC 切O 于点C ，OP AO ⊥交AC 于点P ，交EC 的延长线于点D .（1）求证：PCD 是等腰三角形；（2）CG AB ⊥于H 点，交O 于G 点，过B 点作//BF EC ，交O 于点F ，交CG于Q 点，连接AF ，如图2，若3sin 5E =，5CQ =，求AF 值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）连接OC ，根据EC 切O 于点C ，得到OC DE ⊥，则1390∠+∠=︒，同理2490∠+∠=︒，再由12∠=∠，34∠=∠，45∠=∠证明.（2）由图2，连接OC 、BC ，根据DE 与O 相切于点E ，得到90OCB BCE ∠+∠=︒，同理有90OBC BCE ∠+∠=︒，90OBC BCG ∠+∠=︒，得到BCE BCG ∠=∠，再由//BF DE ，得到BCE QBC ∠=∠，则5QC QB ==，由//BF DE ，得到ABF E ∠=∠，设O 的半径为r ，在OCH △中，由2228(4)r r =+-，解得r ，再由3sin 5ABF ∠=求解. 【详解】（1）连接OC ，∵EC 切O 于点C ，∴OC DE ⊥，∴1390∠+∠=︒，又∵OP OA ⊥，∴2490∠+∠=︒，∵OA OC =，∴12∠=∠，∴34∠=∠，又∵45∠=∠，∴35∠=∠，∴DP DC =，即PCD 为等腰三角形.（2）如图2，连接OC 、BC ，∴DE 与O 相切于点E ，∴90OCB BCE ∠+∠=︒，∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∴90OBC BCE ∠+∠=︒，又∵CG AB ⊥，∴90OBC BCG ∠+∠=︒，∴BCE BCG ∠=∠，∵//BF DE ，∴BCE QBC ∠=∠，∴BCG QBC ∠=∠，∴5QC QB ==，∵//BF DE ，∴ABF E ∠=∠， ∵3sin 5E =， ∴3sin 5ABF ∠=， ∴3OH =、4BH =，设O 的半径为r ，∴在OCH △中，2228(4)r r =+-，解得：10r =，又∵90AFB ∠=︒，3sin 5ABF ∠=， ∴12AF =.【点睛】本题主要考查平面几何的直线与直线，直线与圆的位置关系，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点(1,),(2,10)P a Q a .（1）如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC 的面积.【答案】（1）2,15,14a b c ===；（2）1.【解析】（1）由点在二次函数上得出93b a =-，82c a =-，根据已知条件建立不等式组，解之可得答案；（2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得到方程()986mn m n -+=-， 由已知可求得m ，n .得到二次函数的解析式.可求得ABC 的面积.【详解】点(1,)P a 、(2,10)Q a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上， 故1b c a +-=，4210b c a +-=，解得93b a =-，82c a =-；（1）由8c b a <<得8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，解得13a <<， 又a 为整数，所以2,9315,8214a b a c a ==-==-=； （2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-， 消去a ，得()986mn m n -+=-，两边同时乘以9，得()817254mn m n -+=-，分解因式，得()()989810m n --=. 所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩或982985m n -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 又∵m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =. 因此，()3,2b m n c mn =-+=-=-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.所以点A 、B 的坐标为()1,0和()2,0，点C 的坐标为()0,2， 所以ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，韦达定理的运用，属于中档题.。

福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷一、单选题1．设集合{}{}2|e 1,|log (2)xP y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（ ）A ．M P =B ．P M ∈C ．M P ⊆D ．P M ⊆2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（ ） A ．7B ．8C ．10D ．1233．已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1] C ．[﹣3，1] D ．[1，+∞）4．已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A B ． C ．45D 5．设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．(],4∞-C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞6．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为）A ．B ．CD ．7．已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（ ） A ．2ω=B ．()g x 的图象关于直线π3x =对称 C ．()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π8．已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数g x +1 的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．4二、多选题9．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（ ）A ．两人均获得满分的概率12B ．两人至少一人获得满分的概率712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率14D ．两人至多一人获得满分的概率1210．已知函数() cossin f x x x x =-，则（ ） A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为111．已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（ ）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．曲线CC ．曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D ．点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92三、填空题12．612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为. 13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为.14．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=． (1)求B ；(2)若AC =点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．17．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >. (1)若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；(2)若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；(3)若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.18．已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为(1)求E 的方程；(2)设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.19．甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.(1)当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；(2)当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小； (3)由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)17.03≈)。

专题强化训练(一)集合(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2015·大同高一检测)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3},则A∩错误！未找到引用源。

= ( )A.{4,5}B.{2,3}C.{1}D.{2}【解析】选C.错误！未找到引用源。

={1,4,5},所以A∩错误！未找到引用源。

={1,2}∩{1,4,5}={1}.2.设A={y|y=-1+x-2x2},若m∈A,则必有( )A.m∈{正有理数}B.m∈{负有理数}C.m∈{正实数}D.m∈{负实数}【解析】选D.y=-1+x-2x2=-2错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

≤-错误！未找到引用源。

,所以若m∈A,则m<0,所以m∈{负实数}.3.若集合A={x|-2<x≤2,x∈N},则A的子集的个数是( )A.2B.4C.8D.16【解析】选C.由于A={x|-2<x≤2,x∈N}={0,1,2},所以集合A共有8个子集,分别为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.4.(2014·福建高考)若集合P=错误！未找到引用源。

,Q=错误！未找到引用源。

,则P∩Q等于( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.由交集的运算得,P∩Q={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4},故选A.5.如图所示,U是全集,A,B是U的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.A ∩BB.A ∪BC.B ∩(U A ð)D.A ∩(U B ð)【解析】选C.由Venn 图可知阴影部分为B ∩(U A ð).【补偿训练】设S 为全集,A,B 是S 的子集,则下列几种说法中,错误的个数是( )①若A ∩B=∅,则(错误！未找到引用源。

福建省厦门市高一数学必修1综合练习（四）A 组题（共100分）一、选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数y =lg （2-x ）的定义域是 （ ）A ．（-∞,2）B ． （-∞,2]C ．（2,+∞）D ． [2,+∞）2．下列与函数y =x 有相同图象的一个函数是 （ ） A. 2x y = B. x x y 2= C. )10(log ≠>=a a a y x a 且 D. x a a y log =3． 函数y =log 22x +log 2x 2+2的值域是 （ ）A ．（0,+∞）B ．[1,+∞)C ．（1,+∞）D ．R4． 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A. 60.70.70.7log 66<<B. 60.70.70.76log 6<<C.0.760.7log 660.7<<D. 60.70.7log 60.76<<5． 若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A. 3ln xB. 3ln x +4C. 3e x +4D. 3e x二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

6．判断函数lg(y x =的奇偶性7．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________8．函数y =lg x +lg （x -1）的定义域为A ，y =lg （x 2-x ）的定义域为B ，则A 、B 关系是 ．9．计算：(log )log log 2222545415-++= ． 三、解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．（本小题13分）计算100011343460022++-++-lg .lglg lg lg .的值.11．（本小题14分）求函数y =lg x +lg （x +2）的反函数．12．（本小题14分）已知函数211()log 1x f x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性B 组题（共100分）四、选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作厦门市2007—2008学年数学必修1练习（五）A 组题（共100分）一．选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数)(x f 唯一的零点在区间(1,3)内，那么下面命题错误的（ ） A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点2．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是 （ ）A 12l o g l o g a b a <B 12l o g l o g a b a =C 12l o g l o g a b a >D 12l o g l o ga b a ≤ 3. 函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A 1B 2C 3D 44. 已知函数y =f （x ）有反函数，则方程f （x ）=0 （ ） A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对5. 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A 14400亩 B 172800亩 C 17280亩 D 20736亩二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

6．用“二分法”求方程x 3-2x -5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0=2.5，那么下一个有根的区间是7．函数f （x ）=ln x -x +2的零点个数为8. 设函数y =f （x ）的图象在[a ,b ]上连续，若满足 ，则方程f （x ）=0在[a ,b ]上有实根. 9. 若点（2,1）既在函数y ax b =+的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =__________________三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高中数学学习材料唐玲出品厦门市2007—2008学年数学必修1练习（一）A 组题（共100分）一、选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是 （ ）A ．很小的实数可以构成集合。

B ．集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合。

C ．自然数集N 中最小的数是1。

D ．空集是任何集合的子集。

2．下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ）A ．2()1,()1x f x x g x x=-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x ==3． 设集合P={ x|x=2n+1，n },Q {x |x 2m 1,m }Z Z ∈==-∈则P 、Q 的关系是（ ）A ．P Q, ⊆B ．Q P ⊆，C ．P Q =，D ． P Q ≠4．方程062=+-px x 的解集为M ，方程062=-+q x x 的解集为N ，且M∩N ＝｛2｝， 那么p q += （ ）A ． 21B ．8C ． 7D ． 65．函数⎩⎨⎧>+-≤+=)1(5)1(3x x x x y 的最大值是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．6．用集合表示图中阴影部分：（填空题）B BA A U U UC B A7．设{|A x x =是锐角}，B=（0，1），从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素030相对应的B 中的元素是 ，与B 中元素22相对应的A 中的元素是 ．8．函数x x y -++=211的定义域为 ．9．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 个．三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．10．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A ．11．若集合{|3}A x x =≤，{}|210B x x =≤<，求（1）()R C A B （2）()R C A B12．自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，普通车保管费是每次一辆0.3元．（1）若设普通车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于总数的25%，但不大于总数的40％，试求该保管站这个星期日收入保管费的范围．B 组题（共100分）四．选择题：（每小题7分，共35分）13． 设S={A C }3x 1|N x {A },3x 1|N x S 则<<∈=≤≤∈为 （ ）A ．φB ．{1,3}C ．{x ＝1，x ＝3}D ．{1,2,3}14．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A ． 1B ．1-C ． 1或1-D ． 1或1-或015．已知集合{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<=，则实数a 的取值范围是（）A ． 2a ≥B ．2a >C ． 1a ≤D ．1a <16．若2(),(1)0,(3)0,f x x bx c f f =++==则求(1)f -的值为（ ）A ．2B ．-5C ．-8D ．817．用固定的速度向右图形状的瓶子中注水,则水面的高度h 和时间t 之间的关系是A aBC Dl E G H BCA D F 五．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．18．)(x f ＝21(0)2(0)x x x x ⎧+≤⎨->⎩，若)(x f ＝10，则x ＝ ． 19．已知函数1()1f x x=-的定义域为M ，4()1x g x x -=+的定义域为N ，则M N = 。

2.2.2.3一、选择题1.已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝log a(－x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 若0<a<1，则y＝a－x单调增，只能是A、C，此时，log a(－x)单调增，排除C，x＝1时，log a(－x)无意义，排除A；∴a>1，此时y＝log a(－x)单调减，排除B，故选D.2.若0<a<1，函数y＝log a(x＋5)的图象不通过( )A.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限[答案] A[解析] 将y＝log a x的图象向左平移5个单位，得到y＝log a(x＋5)的图象，故不过第一象限，选A.3.设0<x <y <1，则下列结论中错误．．的是( ) ①2x <2y ②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y③log x 2<log y 2 ④log 12x >log 12yA ．①②B ．②③C ．①③D ．②④[答案] B[解析] ∵y ＝2u 为增函数，x <y ，∴2x <2y ，∴①正确； ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23u 为减函数，x <y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x >⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y ，∴②错误；∵y ＝log 2x 为增函数，0<x <y <1，∴log 2x <log 2y <0，∴log x 2>log y 2，∴③错误；∵y ＝log 12u 为减函数0<x <y ，∴log 12x >log 12y ，∴④正确．4．如下图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值分别为3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[答案] A[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得． 5．函数y ＝log 12|x ＋2|的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由y ＝log 12|x ＋2|∵t ＝－(x ＋2)在x ∈(－∞，－2)上是减函数，y ＝log 12t 为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．6．设a >0且a ≠1，函数y ＝log a x 的反函数与y ＝log a 1x的反函数的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称[答案] B7．(08·陕西)设函数f (x )＝2x ＋3的反函数为f －1(x )，若mn ＝16(m 、n ∈R ＋)，则f －1(m )＋f －1(n )的值为( )A ．－2B ．1C．4 D．10[答案] A[解析] 解法一：由y＝2x＋3得x＝－3＋log2y，∴反函数f－1(x)＝－3＋log2x，∵mn＝16，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－6＋log2m＋log2n＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－2.解法二：设f－1(m)＝a，f－1(n)＝b，则f(a)＝m，f(b)＝n，∴mn＝f(a)·f(b)＝2a＋3·2b＋3＝2a＋b＋6＝16，∴a＋b＋6＝4，∴a＋b＝－2.8．若函数f(x)＝log a|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)( )A．在(－∞，0)上是增函数B．在(－∞，0)上是减函数C．在(－∞，－1)上是增函数D．在(－∞，－1)上是减函数[答案] C[解析] 当－1<x<0时，0<x＋1<1，又log a|x＋1|>0，∴0<a<1因此函数f(x)＝log a|x＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．9．已知函数f(x)＝log a(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是( )A．增函数B．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] A[解析] 由于y ＝f －1(x )过点(1,7)，因此y ＝f (x )过点(7,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (4－k )＝0log a (7－k )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3a ＝4，∴f (x )＝log 4(x －3)是增函数．10．已知函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )A ．－8≤a ≤－6B ．－8<a <－6C ．－8<a ≤－6D ．a ≤－6[答案] C[解析]⎩⎪⎨⎪⎧3－a ×(－1)＋5>0a6≤－1⇒－8<a ≤－6，故选C.[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用． 二、填空题11．y ＝log a x 的图象与y ＝log b x 的图象关于x 轴对称，则a 与b 满足的关系式为________．[答案] ab ＝112．方程2x ＋x ＝2，log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a 、b 、c ，则a 、b、c的大小关系为________．[答案] b>a>c[解析] 在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴b>a>c.13．方程a－x＝log a x(a>0且a≠1)的解的个数为____．[答案] 1[解析] 当a>1时，在同一坐标系中作出y＝log a x和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当0<a<1时，可观察出两个图象也只有一个交点．14．已知c1：y＝log a x，c2：y＝log b x，c3：y＝log c x的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝a x、y＝b x、y＝c x的图象依次为图中的曲线__________．[答案] m1，m2，m3[解析] 由图(1)知c>1>a>b>0故在图(2)中m 3：y ＝c x ，m 2：y ＝b x ，m 1：y ＝a x . 15．函数y ＝a x ＋1(0<a ≠1)的反函数图象恒过点______． [答案] (1，－1)[解析] 由于y ＝a x ＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)． 三、解答题16．已知函数f (x )＝log 1a (2－x )在其定义域内单调递增，求函数g (x )＝log a (1－x 2)的单调递减区间．[解析] 由于f (x )＝log 1a(2－x )在定义域内递增，所以0<1a<1，即a >1，因此g (x )＝log a (1－x 2)的递减区间为[0,1)．17．我们知道，y ＝a x (a >0且a ≠1)与y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y ＝f (x )，将x 用y 表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x 的每一个值y 都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y 的每一个值，x 都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？(1)y ＝2x ＋1; (2)y ＝x ；(3)y ＝x 2;(4)y ＝2x －1x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2x ＋1是单调增函数，由y ＝2x ＋1解得x ＝12(y －1)这时对任意y ∈R ，都有唯一确定的x 与之对应，也就是x 是y 的函数，按习惯用x 表示自变量，y 表示函数，则y ＝2x ＋1的反函数为y＝12(x－1)．(2)同(1)的道理，∵y＝x单调增，也存在反函数，由y＝x解出x＝y2，∴y＝x的反函数为y＝x2，因为这里的x就是y＝x中的y且y≥0，∴x≥0，即反函数为y＝x2(x≥0)．(3)∵x＝±1时，都有y＝1，反过来对于y＝1，x有两个值与之对应，故y ＝x2不存在反函数．(4)由y＝2x－1x＋1解得x＝y＋12－y，对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝x＋12－x(x≠2)．。

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，且，则（）{}9,3A m ={}2,9B m =A B =m =A. 0B. 3C. D. 3或03±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（ ）1rad 5A. B. 1C. 2D. 4123. “”是“”的（）1a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，，，则（ ）ln x π=51log 3y =12z e -=A. B. C. D. x y z<<z x y<<z y x<<y z x<<5. 函数①；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（ ）A 0B. 1C. 2D. 36. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值是（ ）A. -1B. -2C -4D. -87. 已知函数则的大致图像是（ ）(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()2y f x =-A.B.C.D.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω）A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,2]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）θ5π3-θA. B. C. D. 7π3-1π34π313π310. 下列说法错误的是（）A. 函数与函数表示同一个函数xy x =1y =B. 若是一次函数，且，则()f x ()()165=+f f x x ()41f x x =-C. 函数的图象与y 轴最多有一个交点()f x D. 函数在上是单调递减函数11y x =+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A. B.C.D.cos 2y x=sin y x=cos y x=tan y x=12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A. 7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数()7f x +C.在上为减函数()f x ()6,8D. 方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数的零点为______.()32x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是23208kx kx ++>___________．16. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则()()22211x f x x +=+[]2023,2023-M m ______．M m +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为钝角，且.α4cos 5α=-（1）求，的值；sin αtan α（2）求的值sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.R ()f x 0x ≥()()3x f x a a =-∈R ()326f -=（1）求的值；a （2）求函数的解析式；()f x （3）解不等式：.()2f x >20. 已知函数.π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；()f x （2）当时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时()()00nG L n L Dn =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学()102L =018G =习率衰减为.25（1）求该学习率模型的表达式；（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据1515）lg 20.3010≈22.已知函数．424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．()()f x g x =数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A解析：由得，解得或，A B =23m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.1515l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为或，11a a >⇔<-1a >又时，不能得出；1a <-0a >时，不能得出；0a >1a <-所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1a >0a >故选: D.4. D解析：，，，ln 1π> 51log 03<120e 1-<<.y z x ∴<<故选：D.5. B解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除[]0,2πx ∈②；对于①，，是奇22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③，，是偶函数．sin 2y x=()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D解析：因为幂函数的图像过点，所以，得，()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭155α=1α=-所以，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A解析：函数，则(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合1x <()2f x -故选：A.8. C解析：由题意得，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π24422k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =πππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩3124ω-≤≤0ω>104ω<≤当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ω2,Z k k ≥∈ω故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD解析：依题意，5π2π,3k k θ=-+∈Z 当时，，1k =π3θ=当时，，3k =13π3θ=所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD解析：A ：函数的定义域为，函数的定义域为R ，xy x =(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；B ：设，则，()(0)f x kx b k =+≠2(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩453k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以或，故B 符合题意；()41f x x =+5()43f x x =--C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；D ：函数在上是单调递减函数，故D 符合题意.11y x =+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD11. BD解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；cos 2y x =作函数图象，如图2，故B 正确；sin y x=作函数图象，如图3，故C 错误；cos y x=作函数图象，如图4，故D 正确.tan y x=故选：BD 12. BD 解析：因为为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为为奇函数，所以，()1f x -()()11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令，得，()(2)f x f x =-+72x =7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在中，令，得，()()11f x f x -=---12x =-3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以，从而为奇()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以在上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；()f x ()7,8()6,8因为为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.()lg 0f x x +=故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；x 故答案为：二14. 3log 2解析：令，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32x f x =-3log 2故答案为：3log 215. {}03k k <<解：因为不等式为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠又一元二次不等式对一切实数x 都成立，23208kx kx ++>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．{}03k k <<16. 4解析：因为，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，()()()()224411x x g x g x x x ---===-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）解：因为为钝角，α所以，3sin 5α===故.3sin 35tan 4cos 45ααα===--（2）原式.sin cos sin tan αααα-+=-+将，，代入，3sin 5α=4cos 5α=-3tan 4α=-得原式.342855332754--==--18. （1）∵， ， ，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy （2）∵，则 ，28x y xy +=281y x +=又∵， ，0x >0y >∴，2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. （1）因为是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326f f =-=3326a -=解得.1a =（2）当时，，0x ≥()31x f x =-设，则，则，0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x->得，得，解得或，33x >1x >1x <-1x >故的解集是.()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -≤+≤故当，即时，；ππ236x +=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.ππ232x +=π12x =max ()2f x =即，此时；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >，()()452lglg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，410x ->04x <<()f x (0,4)而，4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有()()f x g x=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，故在上有解．41x ax -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．41a x x +=-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，4y x =y x =-(0,4)所以函数在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．04x <<4xx -(3,)-+∞令，解得．13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．(4,)-+∞法二：，即，()()f xg x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)整理得到在上有解，2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟考数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量()23,X N σ ，且()24P x m<<=，()15P x n<<=，则()25P x <<的值为（）A.2m n + B.2n m - C.12m - D.12n -【答案】A 【解析】【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.【详解】()()()()()112523352415222m n P x P x P x P x P x +<<=<≤+<<=<<+<<=.故选：A.2.已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（）A.1122m -≤< B.1122m -≤≤ C.12m ≤-或12m >D.12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<.故选：A3.若抛物线2y mx =的准线经过双曲线222x y -=的右焦点，则m 的值为（）A.4- B.4C.8- D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线222x y -=的右焦点为()2,0，又抛物线2y mx =的准线方程为4mx =-，则24m -=，即8m =-.故选：C4.已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2AB =，3BC =，4CD =，5BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.29π4 B.19π2C.29πD.38π【答案】C 【解析】【分析】取BD 中点E ，根据已知可得E 为BCD △的外心，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，可得O 为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】在BCD △中，因为3BC =，4CD =，5BD =，所以222BC CD BD +=，所以BC CD ⊥，取BD 中点E ，则E 为BCD △的外心，且外接圆的半径为1522r BD ==，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，又AB ⊥平面BCD ，则O 为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径2222529144R OE BE =+=+=，所以三棱锥外接球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=，故选：C.5.1024的所有正因数之和为（）A.1023B.1024C.2047D.2048【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，1010242=，则1024的所有正因数之和为11012101(12)2222204712⨯-++++==- .故选：C6.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121⨯大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有4412种不同的码，假设我们1万年用掉15310⨯个二维码，那么所有二维码大约可以用（）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）A.11710万年 B.12010万年C.12310万年D.12510万年【答案】A 【解析】【分析】利用取对数法进行化简求解即可．【详解】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则44144115152lg lg lg2(lg3lg10)441lg2lg3154410.3010.47715117310x ==-+=--≈⨯--≈⨯，即11710x ≈万年．故选：A ．7.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为1210x x x ､､､，乙班的十个人成绩分别为1210,,,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（）A.中位数一定不变，方差可能变大B.中位数可能改变，方差可能变大C.中位数一定不变，方差可能变小D .中位数可能改变，方差可能变小【答案】A 【解析】【分析】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，中位数不变，再设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，根据公式得到合并后平均数为ω，方差为2s '，2222211(()22s s x y s ωω=+-+-≥'，得到结论.【详解】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，则1210x x x ､､､的中位数为562x x +，1210y y y ､､的中位数为562y y +，因为565622x x y y ++=，所以5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，所以中位数不变.设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，合并后总数为20，平均数为ω，方差为2s '，{}22222110()10(1010s s x s y ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦'⎣⎦+222222221111((((.2222s x s y s x y s ωωωω⎡⎤⎡⎤=+-++-=+-+-≥⎣⎦⎣⎦如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大.故选：A.8.若曲线1exax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A.14B.4C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】设切点0001(,)ex ax x +，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得20010ax x ++=，结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()e x ax y f x +==，则1()e xax a f x -+-'=，设切点为0001(,)e x ax x +，则0001()e x ax a f x -+-'=，所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-，又该切线过原点，所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-，整理得2010ax x ++=①，因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故140a ∆=-=，解得14a =.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（）A.a a b c <B.log log b c a a >C.a a cb bc <D.log log c b b a c a>【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【详解】对于A ：∵01a <<，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，且1b c >>，∴a a b c >，故选项A 错误；对于B ：∵01a <<，∴函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，又∵1b c >>，∴log log log 10a a a b c <<=，∴110log log b c c a>>，即0log log b c a a >>，故B 正确；对于选项C ：∵01a <<，则10a -<， 幂函数1a y x -=在(0,)+∞上单调递减，且1b c >>，∴11a a b c --<，∴a a cb bc <，故选项C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：0log log b c a a >>，∴0log log b c a a <-<-，∵1b c >>，∴(log )(log )b c c a b a -<-，∴log log c b b a c a <，故D 错误.故选：BC.10.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切，则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()eeyxf x f y f x y +=+，且()11f =，则（）A.()00f =B.()21ef -=C.()e xf x 为奇函数D.()f x 在()0+∞，上具有单调性【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，令0x y ==即可判断A ，令1x =，1y =-，即可判断B ，令y x =-结合函数奇偶性的定义即可判断C ，令y x =即可判断D 【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000eef f f =+，即()00f =，故A 正确；对B ：1x =，1y =-，则有()()()1111e 11e f f f -+--=，即()()()1e 1e0f f f =-+，由()00f =，()11f =，故()01e ef =-+，即()21e f -=-，故B 错误；对C ：令y x =-，则有()()()eexx f x f f x x x --=+-，即()()()e 0e x x x f f x f -=+-，即()()e exxf x f x --=-，又函数()f x 的定义域为R ，则函数()e x f x 的定义域为R ，故函数()e xf x 为奇函数，故C 正确；对D ：令y x =，则有()()()eexxf x f x f x x +=+，即()()22exf x f x =，即有()()22e x f x f x =，则当ln 2x =时，有()()ln 22ln 221ln 2e f f ==，即()()2ln 2ln 2f f =，故()f x 在()0,∞+上不具有单调性，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，则tan2θ=______．【答案】43【解析】【分析】利用复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，求出tan 2θ=-，再利用二倍角公式得出结论．【详解】 复数()()()()()()2cos isin 1i 2cos sin sin 2cos i2cos isin 1i 1i 1i 2z θθθθθθθθθ+-++-+===∈++-R 的实部为0，2cos sin 0,tan 2θθθ∴+=∴=-．22tan 44tan21tan 143θθθ-∴===--．故答案为：43．13.已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【答案】305【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA AB == ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA ABOA AB OA AB⋅==-所以10sin ,5OA AB === .所以点O 到直线AB的距离为sin ,55OA OA AB ==.故答案为：305.14.设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.【答案】2t ≤【解析】【分析】分情况讨论a 不同取值时函数2()u x x ax b =++在[0，4]上的范围，从而确定()f x 的最大值，将对任意实数a ，b ，总存在实数0[0x ∈，4]使得不等式0()f x t 成立，转化为min ][()max t f x ≤恒成立，即可解决．【详解】因为存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，所以max ()t f x ≤，因为对于任意的实数a ，b ，max ()t f x ≤,所以min ][()max t f x ≤恒成立，设()f x 的最大值为M （b ），令2()u x x ax b =++，二次函数的对称轴为2a x =-，当<02a-，即a>0时，()u x 单调递增，此时()16+4+b u x a b ，当28b a ≥--时，M （b ）16+4+a b =，当28b a <--时，M （b ）b =-，从而当0a >时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）2+8>8min a =，当40a -<£时，()u x 在[0，)2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()1644a b u x a b -+≤≤++，所以当21288b a a =--时，2min 1()2888M b a a =-++≥.当84a -≤≤-时，()u x 在[0，2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()4a b u x b -+≤≤，所以当218b a =时，2min 1()28M b a =≥.当a ＜-8时，()u x 单调递减，16+4a+()b u x b ≤≤，当28b a ≤--时，M （b ）164a b =---，当28b a >--时，M （b ）b =，从而当a ＜-8时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）28>8min a =--.综合得min ()2M b =.所以2t ≤.故答案为：2t ≤【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，考查函数的单调性和最值，考查恒成立和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，则（1）在两个偶数相邻的条件下，求三个奇数也相邻的概率；（2）对于这个五位数，记夹在两个偶数之间的奇数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，利用排列数公式求出()n A ，()n AB ，最后根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，则数字2，4相邻时的五位数有2424A A 48=个，数字2，4相邻，数字1，3，5也相邻的五位数的个数为232232A A A 24=，则()()()241482n AB P B A n A ===；【小问2详解】依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知“X 0=”表示2个偶数相邻，则()242455A A 20A 5P X ===，“1X =”表示2个偶数中间共插入了1个奇数，则()21323355A C A 31A 10P X ===，“2X =”表示2个偶数中间共插入了2个奇数，则()22223255A A A 12A 5P X ===；“3X =”表示2个偶数中间共插入了3个奇数，则()232355A A 13A 10P X ===，所以X 的分布列为X0123P2531015110则X 的期望为()231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.已知在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =.（1）已知E ，F 分别为棱1AA ，BC 的中点，求证：//EF 平面11A B C ；（2）求直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1510【解析】【分析】（1）G 为1B C 中点，通过证明1//EF A G ，证明//EF 平面11A B C ；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】取1B C 中点G ，连接1A G ，FG .G ，F 分别为1B C ，BC 中点，1//GF BB ∴且112GF BB =，又E 为1AA 中点，11//A E BB ∴且1112A E BB =，1//GF A E ∴且1GF A E =，故四边形1A EFG 是平行四边形，1//EF A G ∴.而EF ⊄平面11A B C ，1A G ⊂面11A B C ，//EF ∴平面11A B C .【小问2详解】如图以A 为坐标原点，AC ，1AA 分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，)3,1,0B，)13,1,1B ，()0,2,0C ，则())1110,2,1,3,1,0A C AB =-= .设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z = ，则1112030A C n y z A B n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得3y =，3z =-，(1,3,3n ∴=-.又)13,1,1A B =- ，1332315cos ,1054A B n ∴=⨯.即直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值是1510.17.三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.（1）证明：3sin 33sin 4sin x x x =-；（2）若11sin101n n ⎛⎫︒∈⎪+⎝⎭，，*n ∈N ，求n 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5n =【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可；（2）将sin10︒转为方程314302x x -+=的一个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x=+=+()22sin cos cos 12sin sin x x x x x=⋅+-()2332sin 1sin sin 2sin 3sin 4sin x x x x x x =-+-=-；【小问2详解】由（1）可知，31sin 303sin104sin 102︒︒︒=-=，即sin10︒是方程314302x x -+=的一个实根.令()31432f x x x =-+，()()()212332121f x x x x '=-=+-，显然10sin10sin 302︒︒<<=，当102x <<时，()0f x <′，所以()31432f x x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又3114066f ⎛⎫⎛⎫=⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31111174305552250f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin10,65︒⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即5n =.18.已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）点D 在直线4x =上运动，过点D 的动直线l 与曲线C 相交于点,M N .（ⅰ）若线段MN 上一点E ，满足ME MD ENDN=，求证：当D 的坐标为()4,1时，点E 在定直线上；（ⅱ）过点M 作x 轴的垂线，垂足为G ，设直线,GN GD 的斜率分别为12,k k ，当直线l 过点()1,0时，是否存在实数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12λ=【解析】【分析】（1）根据中垂线的性质可得42QA QB AB +=>=，由椭圆的定义可知动点Q 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而求出轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点E 在定直线330x y +-=上；（ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断.【小问1详解】由题意知圆心(1,0)A -，半径为4，且QP QB =，2AB =，则42QA QB QA QP PA AB +=+==>=，所以点Q 的轨迹为以,A B 为焦点的椭圆，设曲线的方程为()222210x y a b a b+=>>，则24,22a c ==，解得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】（ⅰ）因为直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y kx m =+，因为D ()4,1在l 上，所以41k m +=，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222348430k x kmx m +++-=，()()()()22222Δ81634348430km k m k m =-+-=-+>，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，则()21212224383434m km x x x x k k--+==++，，由ME MD EN DN =得10102244x x x x x x --=--，化简得()()1212120428x x x x x x x ⎡⎤+-=-+⎣⎦，则()202224388428343434m km km x k k k --⎛⎫⎛⎫⨯-⨯=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得00330kx m x ++-=，又因为00y kx m =+，所以00330x y +-=，所以点E 在定直线330x y +-=上.（ⅱ）因为直线y kx m =+过()1,0，所以0k m +=，直线方程为y kx k =-，从而得()4,3D k ，1(,0)G x ，由（ⅰ）知，()221212224383434k k x x x x k k-+==++，2122113,4y k k k x x x ==--，所以()()()()12121212122121214444333x kx k k y x x x x x k x x k x x k x x -----+=⨯==---()()()22222222222222224384434413434282344334k k x x k x k k k k k x k x x k ---+-+-++===⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎣⎦--⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦，所以存在实数12λ=，使得1212k k =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于数列{}n a ，数列{}1n n a a +-称为数列{}n a 的差数列或一阶差数列.{}n a 差数列的差数列，称为{}n a 的二阶差数列.一般地，{}n a 的k 阶差数列的差数列，称为{}n a 的1k +阶差数列.如果{}n a 的k 阶差数列为常数列，而1k -阶差数列不是常数列，那么{}n a 就称为k 阶等差数列.（1）已知20，24，26，25，20是一个k 阶等差数列{}n a 的前5项.求k 的值及6a ；（2）证明：二阶等差数列{}n b 的通项公式为()()()()()121321111222n b b n b b n n b b b =+--+---+；（3）证明：若数列{}n c 是k 阶等差数列，则{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，即0kin ii c nλ==∑（其中iλ（01i k = ，，，）为常实数）【答案】（1）3k =，610a =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接进行求解，得到3k =，并根据二阶差数列的第4项为5-，求出一阶差数列的第5项为10-，得到方程，求出610a =；（2）令1n n n d b b +=-，根据二阶等差数列的定义得到112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，再利用累加法求出()()()()()321211112212n b n n b b b n b b b =---++--+；（3）数学归纳法证明出()1,nmi S m n i==∑为n 的1m +次多项式，利用引理可证出结论.【小问1详解】{}n a 的一阶差数列为4，2，1-，5-；二阶差数列为2-，3-，4-；三阶差数列为1-，1-，1-为常数列，故{}n a 为三阶等差数列，即3k =，二阶差数列的第4项为5-，故一阶差数列的第5项为10-，即6510a a -=-，故610a =.【小问2详解】令1n n n d b b +=-，因为{}n b 是二阶等差数列，所以112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，因此()()()()()()1122113212112n n n n n d d d d d d d d n b b b b b ---=-++++-+=--++- ，所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-++++-+ 1211n n d d d b --=++++ ()()()()()()321211231021n n b b b n b b b =-+-+++-++--+ ()()()()()321211112212n n b b b n b b b =---++--+，命题得证.【小问3详解】证明：先证一个引理：记()1,nmi S m n i==∑，(),S m n 是n 的1m +次多项式，数学归纳法：当1m =时，()()11,12312S n n n n =++++=+ 是n 的2次多项式，假设(),S k n 是n 的1k +次多项式，对0,1,,1k m =- 都成立，由二项式定理，()11101C mm m k k m k n nn +++=+-=∑，规定001=，将n 取0，1，2，…，n ，得101-=，()110111C 1mm k km k ++=+-=∑，()111212C2mm m kkm k +++=+-=∑，……，()11101C mm m k km k n nn +++=+-=∑，求和可得()()111110011C1C2CC ,mmmmm k kk kk k k m m m m k k k k n n S k n +++++====+=++++=∑∑∑∑ ，则()()()()()111101C ,1C ,,m m k m m k mn n S k S m n n m S m -+++=+-=+=∑，故()()()11101C ,,1m m k m k n S k n S m n m -++=+-=+∑是n 的1m +次多项式，引理得证.回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是n 的2次多项式，假设k 阶等差数列{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，对于1k +阶等差数列，它的差数列{}n c '是k 阶等差数列，即0kin i i c n λ='=∑，故1111101n k nn i iii i jc c c c jλ--===⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，由引理可知，此为n的k次多项式，命题得证.【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

厦门一中高中数学（必修1）教学与训练 ※38 必修一模块期末综合训练（二）一、选择题：1．函数()f x ==)2(f （ ）A．2 B．4 C．0 D．22．下列关系式正确的是 （ ）A．Q ∈2 B．{}{}x x x 222==C．{}{}a b b a ,,= D．{}2005∅∈3．若函数)(x f 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+成立，则=)0(f （ ）A．0 B．1 C．－1 D．不能确定4．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ）A．2y x =− B． 1y x x =+ C．()12x y g = D． ||x e y =5．已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(−x f 的图象恒过 （ ）A．（－3，1） B．（5，1） C．（1，－3） D．（1，5）6．20x x +=在下列哪个区间内有实数解 （ ）A．[]2,1−− B． []0,1 C．[]1,2 D．[]1,0−7．设a >1，实数x ，y 满足()x f x a =，则函数()f x 的图象形状大致是 （ ）8．lg lg 0,()()a b a b f x x g x x +===则函数与在第一象限内的图象 （ ）A．关于直线y = x 对称 B．关于x 轴对称C．关于y 轴对称 D．关于原点9．若函数log ()b y x a =+（b >0且b 1≠）的图象过点（0，1）和（1−，0），则a b +=（ ）A．4 B．2C．3 D．10．函数()11f x ax ax =−+在[]1,2上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 （ ） A． 3122−或 B． 132或 C． 3122或- D． 以上答案都不对11．已知函数f（x）是R 上的增函数，A（0，-2），B（3，2）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜2的解集是（ ）A．（1，4）B．（-1，2） C．（-∞，1）∪［4，+∞］ D．（-∞，-1）∪［2，+∞］ 12．若,*,(1)(2)(1)n x x R n N E x x x x n ∈∈=+++−L 定义，例如：44(4)(3)(2)(1)24E −=−⋅−⋅−⋅−=则52()x f x x E −=⋅的奇偶性为 （ ）A．为偶函数不是奇函数 B．是奇函数不是偶函数 C． 既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数二、填空题： 13．()04133340.06425 − − ⎛⎞⎡⎤−−+−=⎜⎟⎣⎦⎝⎠____________. 14．3436x y == 则21x y+=_____________. 15．函数()2x f x x a=+的对称中心的横坐标为2，则a =_________. 16．若对于任意实数m ，关于x 的方程22log (21)ax x m ++＝恒有解，则实数a 的取值范围是 _________ .三、解答题：17．设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =−−=−−，若{}9A B =I ，求实数a 的值.18．设2()(8),f x ax b x a ab =+−−−不等式()0f x >的解集是（－3，2）.（1）求()f x ； （2）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.19．已知函数()1()log 0,11m x f x m m x+= >≠−其中 （1）判断函数()f x 的奇偶性;（2）函数()f x 有以下性质：()()1x y f x f y f xy ⎛⎞++=⎜⎟+⎝⎠ .若11a b f ab +⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，21a b f ab −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，且1,1a b <<，求()(),f a f b 的值.20．我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时５元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为)(x g 元)4015(≤≤x .试求)(x f 和)(x g ；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？21．关于x 的方程()()lg 2lg 2tx x =+有且仅有一个实数解，求实数t 的取值范围.22．定义在［－1，1］上的奇函数()f x 满足()12f =，且当[],1,1a b ∈−，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+． （1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB 恰好与y 轴垂直，若存在，求出A，B 两点的坐标；若不存在，说明理由并加以证明. （2）若()21212f x m am ≤++对所有[]1,1x ∈−，[]1,1a ∈−恒成立，求m 的取值范围．厦门一中高中数学（必修1）教学与训练※38 必修一模块期末综合训练（二）－参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1—5 ACACB 6—10 DAAAA 11—12 BA二、填空题：（共4题，每小题4分，共16分） 13．251614．1 15．－1 16．01a ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．解：a =－318．解：（1）1833)(2+−−=x x x f ……（4分）（2）当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时故所求函数)(x f 的值域为[12，18]……………………（8分）19．解：（1）f (x )为奇函数31(),()22f a f b ∴==−（2）由题意可知a+b a-bf()=f(a)+f(b)=1 f()=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=21+ab1-ab20．解：（1）)4015(,5)(≤≤=x x x f ————————（2分）⎩⎨⎧≤<+≤≤=)4030(,302)3015(,90)(x x x x g ———————（4分）（2）由)()(x g x f =得⎩⎨⎧=≤≤9053015x x 或⎩⎨⎧+=≤<30254030x x x 即18=x 或10=x （舍）———————（5分）当1815<≤x 时， 0905)()(<−=−x x g x f ，∴)()(x g x f <即选甲家（6分）当18=x 时， )()(x g x f = 即选甲家也可以选乙家。

福建省厦门第一中学2023—2024学年度第二学期初三数学阶段检测练习（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分．一、选择题（每小题4分，共40分）1. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 60.3210×B. 53.210×C. 93.210×D. 83210×【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】5320000 3.210=×．故选：B ．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．3. 下列运算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. 44ab ab −=C. ()2211a a +=+D. ()236a a −= 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．【详解】解：∵325a a a ⋅=，故A 不符合题意；∵4=3ab ab ab −，故B 不符合题意；∵()22211a a a ++=+，故C 不符合题意；∵()236a a −=，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．4. 如果x y <，那么下列不等式正确的是（ ）A. 11x y −>−B. 11x y +>+C. 22x y −<−D. 22x y <【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】A 、∵x y <，∴11x y −<−，原选项错误，不符合题意； B 、∵x y <，∴11x y +<+，原选项错误，不符合题意；C 、∵x y <，∴22x y −>−，原选项错误，不符合题意；D 、∵x y <，∴22x y <，原选项正确，符合题意；故选：D ．5. 在Rt ABC △中，C ∠为直角，4AC =，3BC =，那么以下结论错误的是（ ） A. 3tan 5A =B. 4cos 5A =C. 3sin 5A =D. 4tan 3B = 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案．本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【详解】解：∵在Rt ABC △中，C ∠为直角，4AC =，3BC =，∴5AB如图：那么33tan 45A=≠，则A 符合题意； 4cos 5A =则B 不符合题意； 3sin 5A =，则C 不符合题意； 4tan 3B =，则D 不符合题意； 故选：A6. 点P 在数轴上的位置如图所示，若点P 表示实数a ，则下列数中，所对应的点在数轴上位于1−与0之间的是（ ）A. a −B. 1a −C. 1a −D. 1a +【答案】D【解析】【分析】根据a 在数轴上的位置即可判断．【详解】由数轴可知：-2<a <-1， ∴ A 项1< a −<2，不符合题意；B 项-3<1a −<-2，不符合题意；C 项2<1a −<3，不符合题意；D 项-1<1a +<0，符合题意．故选：D【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系，根据a 的位置判断其范围是求解本体的关键． 7. 随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（ ） A. 36048060x x =+ B. 36048060x x =− C. 36048060x x =− D. 36048060x x=+ 【答案】B【解析】【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可． 【详解】解：根据题意，得36048060x x=−． 故选：B ．【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．8. 如图是一个长为2a ，宽为()2b a b >的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图6拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）A. abB. 2abC. ()2a b −D. 22a b −【答案】C【解析】 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：由题意可得，正方形的边长为()a b +，故正方形的面积为()2a b +，又∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积=()()224a b ab a b +−=−．故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何证明，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般． 9. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC 垂直圭BC ．已知该市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为α，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为β，若表AC 的长为m ，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为（ ）A. tan tan m m αβ−B. tan tan m m αβ−C. sin cos m m αβ−D. sin cos m m αβ− 【答案】B【解析】 【分析】分别解Rt ABC △和Rt ACD △，求出BC 和CD 的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=°，AC m =，ABC α∠=， ∴tan tan AC m BC ABC α==∠， 在Rt ACD △中，90C ∠=°，AC m =，ADC β∠=， ∴tan tan AC m DC ADC β==∠， ∴tan tan m m BD BC CD αβ=−=−． 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．10. 如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与的运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A. B. C. 17 D.【答案】C【解析】【分析】根据图象可知0=t 时，点P 与点A 重合，得到15AB =，进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间，进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间，求出BC 的长，再利用勾股定理求出AC 即可．【详解】解：由图象可知：0=t 时，点P 与点A 重合，∴15AB =，∴点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷=；∴点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s −=，∴248BC =×=；在Rt ABC △中：17AC；故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出,AB BC 的长，是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分）11. 已知反比例函数y=k x的图象经过点（1，2），则k 的值是____ 【答案】2【解析】【分析】把（1，2）代入函数y=k x，可求出k 的值． 【详解】∵点（1，2）在函数y=k x 上，则有2=1k ， 即k=2．故答案为2．12. 因式分解：222x −=__________．【答案】()()211x x +−【解析】【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；【详解】解：()()()222221211x x x x −=−=+−， 故答案为：()()211x x +−；【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−是解题关键． 13. 已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______．【答案】42【解析】【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b +76=×42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．14. 以水平数轴的原点O 为圆心过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30°、60°、90°、 、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为()5,0°、()4,300°，则点C 的坐标表示为_______．【答案】()3,240°【分析】根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A ，B 点坐标特征找到规律，即可求得C 点坐标．【详解】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x 轴所形成的角度已知，A 、B 的坐标分别表示为()5,0°、()4,300°，根据点的特征，所以点C 的坐标表示为()3,240°；故答案为：()3,240°．【点睛】本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．15. 如果m 、n 是一元二次方程22x x −=的两个实数根，那么多项式2n mn m −+的值为_______．【答案】5【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系：1212b c x x x x a a +=−⋅=，，先把x n =代入22x x −=，得22n n =+，结合一元二次方程的根与系数的关系，得mn 2=−，代入2n mn m −+，即可作答．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程22x x −=的两个实数根，∴把x n =代入22x x −=，得22n n =+，则12m n mn +==−，∴()()2222125n mn m n mn m n m mn −+=+−+=++−=+−−=， 故答案为：5．16. 如图所示，已知双曲线y =5x （x ＜0）和 y =k x（x ＞0），直线OA 与双曲线y =5x 交于点A ，将直线OA 向下平移与双曲线y =5x 交于点B ，与y 轴交于点P ，与双曲线y =k x交于点C ，S △ABC =6，12BP CP =，则k =_____．【答案】﹣4【分析】连接OB ，OC ，作BE ⊥OP 于E ，CF ⊥OP 于F ，先证得S △OBC =S △ABC =6，由12BP CP =，得出S △OPB =2，S △OPC =4，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △OBE =52，进一步得出S △PBE =12，通过证得△BEP ∽△CFP ，得出S △CFP =2，然后根据S △OCF =S △OBC -S △OPB -S △CFP 求得△OCF 的面积为2，从而求得k 的值． 【详解】解：如图，连接OB ，OC ，作BE ⊥OP 于E ，CF ⊥OP 于F ．∵OA ∥BC ，∴S △OBC =S △ABC =6 ∵PB ：PC=1：2，∴S △OPB =2，S △OPC =4， ∵52OBE S ∆=， ∴12PBE S ∆=. ∵△BEP ∽△CFP ，∴2()CFP BFP S PC S PB∆∆=， ∴1422CFP S ∆=×=， ∴S △OCF =S △OBC -S △OPB -S △CFP =6-2-2=2， ∴k =﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则图形面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度．三、解答题17. （1）计算：()011232sin 45π−++−−+°（2）解不等式组：()26121x x x x ≤− +>−，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）32−（2）2x ≤，图见详解 【解析】【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、负整数指数幂、正弦值，再运算加减法，即可作答．（2）运用解不等式的方法先把每个不等式解出来，再取它们的公共部分，并画出数轴表示，即可作答．【详解】解：（1）()011232sin 45π−++−−+°11322=+−+1132=+−+32=−+； （2）()26121x x x x ≤− +>−①② 由①解得2x ≤，由②解得3x <，∴该不等式组的解集为2x ≤数轴如下：18. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BC 的延长线上，BC =CE ，连接AE ，交DC 于点F ．求证：点F 是CD 的中点．【答案】详见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠DAF=∠E，由AAS 证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAF =∠E ， ∵BC =CE ， ∴AD =CE ，在△ADF 与△ECF 中，DAF E AFD EFC AD CE ∠=∠∠=∠ =，∴△ADF ≌△ECF （AAS ）， ∴DF =CF ，∴点F 是CD 的中点．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19. 先化简，再求值：2121a a a a a −+−÷，其中1a=+．【答案】11a a +−，1【解析】【分析】根据分式、乘法公式的性质化简，再根据二次根式、代数式、分式的性质计算，即可得到答案．【详解】2121a a a a a −+−÷()2211a a a a −⋅− ()()()2111a a aaa +−⋅−11a a +=−当1a =+时，原式1=+ 【点睛】本题考查了二次根式、分式、代数式、乘法公式的性质；解题的关键是熟练掌握分式、乘法公式的性质，从而完成求解．20. 某商场在世博会上购置A ，B 两种玩具，其中B 玩具的单价比A 玩具的单价贵25元，且购置2个B 玩具与1个A 玩具共花费200元． （1）求A ，B 玩具的单价；（2）若该商场要求购置B 玩具的数量是A 玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A 玩具？【答案】（1）A 、B 玩具的单价分别为50元、75元； （2）最多购置100个A 玩具． 【解析】【分析】（1）设A 玩具的单价为x 元每个，则B 玩具的单价为()25x +元每个；根据“购置2个B 玩具与1个A 玩具共花费200元”列出方程即可求解；（2）设A 玩具购置y 个，则B 玩具购置2y 个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案． 【小问1详解】解：设A 玩具的单价为x 元，则B 玩具的单价为()25x +元；由题意得：()225200x x ++=； 解得：50x =，则B 玩具单价为2575x +=（元）； 答：A 、B 玩具的单价分别为50元、75元； 【小问2详解】设A 玩具购置y 个，则B 玩具购置2y 个， 由题意可得：5075220000y y +×≤， 解得：100y ≤，∴最多购置100个A 玩具．【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．21. 某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校200m 的电影院看电影，在电影院内停留60min 后，以70m/min 的速度步行10min 到达市体育馆．甲同学与学校的距离s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系如图所示．（1）求甲同学与学校的距离s 关于时间t 的函数解析式；（2）乙同学在甲到达电影院53min 后从学校出发，以50m/min 的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由．【答案】（1）()()2000607040006070t s t t ≤< =−≤≤；（2）他们会在路上相遇，见解析 【解析】【分析】（1）结合函数图像，设出甲同学与学校的距离s 关于时间t 的函数解析式为()1110s k t b k =+≠，利用待定系数法即可解答；（2）结合图像先求出乙同学的s 与t 的函数关系式，再结合（1）的结论列方程组求解即可．【详解】解：（1）由题可设AB l 的解析式为1110s k t b k =+≠（）． 依题意，体育馆与学校的距离为7020200900×+=，所以200,()900B ．把60,()200A ，200,()900B 分别代入1s k t b =+，得 111160200200900k b k b +=+= ， 解得12400070b k = = ， 所以AB l 的解析式为7040006070()s t t =−≤≤． 所以甲同学与学校的距离s 关于时间t 的函数解析式为200,060s=704000,6070t t t ≤< −≤≤（2）他们会在路上相遇，理由如下：由题可知，对于乙同学，s 与t 的关系为：()(50535371)s t t =−≤≤． 即502650 5371()s t t =−≤≤． 当5360t ≤<时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇． 当6070t ≤≤时，解方程组704000502650s t s t =−=−，可得67.5t =．因为6067.570≤≤，即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇． 所以他们会在路上相遇．【点睛】本题考查了一次函数的运用，熟练掌握待定系数法求出相应函数解析式是解答本题的关键． 22. 根据以下思考，探索完成任务．【答案】任务1：()1,1−−或()1,1−；任务2：ABE ；任务3：【解析】【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；（2）分别算出五个点作为D 点时DB DC d d −的值即可得到答案；（3）先求出直线EF 的解析式为2y x =−+(2H m m −+，，则2DH d m m =+−+0m ≤≤时， 当m >DH d 的最值情况即可得到答案.【详解】解：任务1：∵5DA d =，∴1305n −−+−=， ∴45n +=， ∴1n =±，∴消防站D 的位置为()1,1−−或()1,1−； 任务2：当选()1,0−作为D 点时， ∵()3,2B −−，()2,2C ，∴()3120224DB d =−−−+−+=−=，()2120235DC d =−−+−+==， ∴451DB DC d d −=−=；同理当()1,2-作为D 点时，1DB DC d d −=； 当()3,1作为D 点时，7DB DC d d −=； 当()2,1−−作为D 点时，5DB DC d d −=； 当()2,2−作为D 点时，1DB DC d d −=； ∴当选则()1,0−或()1,2-或()2,2−时DB DC d d −最小，故答案为：ABE ；任务3：设直线EF 的解析式为()0y kx b k =+≠，∴b b +=∴2k b =−= ， ∴直线EF解析式为2y x =−+设(2H m m −+，，∴02DH d m m m =−+−++当0m ≤≤时，2DH d m m m =−+=−+，∴此时当m =DH d有最小值的当m >23DH d m m m =+−=−，∴此时DH d >，综上所述，DH d得到最小值【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．23. 如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．（1）求证：CD 是O 的切线； （2）求证：2AC PC BC ⋅=；（3）已知23BC FP DC =⋅的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）13【解析】【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得OAC OCA ∠=∠，再证DAC OCA ∠=∠，则DA OC ∥，然后证OC CD ⊥，即可得出结论；（2）由圆周角定理得90ACB DAC PBC ∠=°∠=∠，，再证BAC PBC ∠=∠，然后证ACB BCP ∽ ，得AC BCBC PC=，即可得出结论； （3）过P 作PE AB ⊥于点E ，证3AC PC FP DC ⋅=⋅，再证ACD BPC ∽ ，得AC PC BP DC ⋅=⋅，则3BP DC FP DC ⋅=⋅，进而得3BP FP =，然后由角平分线性质和三角形面积即可得出结论． 【小问1详解】证明：如图1，连接OC ，的∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠， ∵AC 平分DAB ∠， ∴DAC OAC ∠=∠， ∴DAC OCA ∠=∠， ∴DA OC ∥， ∵CD DA ⊥， ∴OC CD ⊥， ∴CD 是O 的切线； 【小问2详解】证明：∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=°， ∵AC 平分DAB ∠， ∴DAC BAC ∠=∠， ∵DAC PBC ∠=∠，∴BAC PBC ∠=∠， 又∵ACB BCP ∠=∠， ∴ACB BCP ∽ ， ∴AC BCBC PC=， ∴2AC PC BC ⋅=； 【小问3详解】如图2，过P 作PE AB ⊥于点E ， 由（2）可知，2•AC PC BC =，∵23BC FP DC =⋅，∴3AC PC FP DC ⋅=⋅， ∵CD DA ⊥， ∴90ADC ∠=°， ∵AB 为O 的直径， ∴90BCP ∠=°，的∴ADC BCP ∠=∠， ∵DAC CBP ∠=∠， ∴ACD BPC ∽ ， ∴AC DCBP PC=， ∴AC PC BP DC ⋅=⋅， ∴3BP DC FP DC ⋅=⋅， ∴3BP FP =， ∵AB 为O 的直径， ∴90AFB ∠=°， ∴PF AD ⊥，∵AC 平分DAB PE AB ∠⊥，， ∴PF PE =，∵11221122APF APB AF FPAF FP S S AB PEBP AF ⋅⋅==⋅⋅ ， ∴133AF FP FPAB BP FP===． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．24. 已知抛物线的对称轴为直线x =2，且经过点A （0，3）和点B （3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C 坐标为（2，－34），过点D (0，－54）作x 轴的平行线l ，设抛物线上的任意一点P 到直线l 的距离为d ，求证：PC =d ；（3）点E 在y 轴上(点E 位于点A 下方），点M ，N 在抛物线上(点M ，N 均不同于点A ，点M 在点N 左侧)，直线EM ，EN 与抛物线均有唯一公共点，直线MN 交y 轴于点F ，求证：点A 为线段EF 的中点． 【答案】（1）2y x =−4x +3；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点式()22y a x =−+h ，将A （0，3）和点B （3，0）代入解析式，利用待定系数法即可求出解析式；（2）设点P 坐标为P (x ，()221x −−)，则d =()221x −−－(－54)=()2124x −+．2PC =()22x −+()223214x −−−−=()22124x−+ ，即可得到PC ＝d ； （3）设点E 坐标为E （0，t ）（t ＜3），过点E 的直线为y mx t =+，可得：243x x mx t −++＝．因为当过点E 的直线与抛物线只有一个公共点时，则：()()2443m t +−−＝0，即可得：1x ，2x =M （，6－t ，N 6－t －MN 的解析式可得46y x t =−+−，从而可求F A ＝3－t ，AE ＝3－t ，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴为直线x =2，可设其解析式为()22y a x =−+h ， 把A （0，3）和点B （3，0）代入上式得，430a h a h +=+=解得11a h = =−． 所求的抛物线表达式为()221y x =−−，整理得2y x =−4x +3．（2）证明：如图，设点P 坐标为P (x ，()221x −−)，则d =()221x −−－(－54)=()2124x −+．2PC =()22x −+()223214x−−−−=()22x −+()22124x −−=()42x −+()2122x −+116=()22124x −+． ∴PC ＝()2124x −+． ∴PC ＝d （3）证明：如图，设点E 坐标为E （0，t ）（t ＜3），过点E 的直线为y mx t =+，联立243y mx t y x x =+ =−+ ，则：243x x mx t −++＝． 整理得，2(4)30x m x t −+−=＋．当过点E 的直线与抛物线只有一个公共点时，得()()2443m t +−−＝0，则4m +=±，∴(2x 30x t ±+−=，即((2200x x ＝或＝，∴1x，2x =． ∵点M 在点N 左侧，∴M x，N x =.当M x时，(2M y －4(＋3＝6－t所以点M 坐标为M（6－t同样可知N 的坐标为N，6－t －设直线MN 的解析式为y kx b =+，则(66k b t k b t +=+ +=− －－ 解得，46k b t =− =−直线MN 的解析式为46.y x t =−+− 易知点F 坐标为(0，6－t )，∴F A ＝6－t －3＝3－t ，AE ＝3－t ，∴F A ＝EA ，即A 为EF 的中点．【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会利用勾股定理求两点间的距离，会根据题意作图，根据二次函数与一次函数交点问题求坐标是解题的关键．25. 如图，平行四边形ABCD 中,30D ∠= ，过A 作AM BC ⊥，在BM 上取一点E ，将EM 绕点E 逆时针旋转得线段EN ．（1）如图1，若点E 是BM 中点，3CD =,EM 旋转后点N 恰好落在边AB 上，求MN 的长度． （2）如图2，将EM 绕点E 逆时针旋转2B ∠得线段EN ，当AB AC =时，在CM 上取一点F ，使EF EB =,连,,AN AF NF ，猜想AN 与AF 的大小关系并证明．（3）如图3，若点E 为BM 中点，点P 为MN 中点，4AB =，当AP 最小时，直接写出EMN S ∆．【答案】（1（2）12AN AF =，证明见解析；（3【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，3AB CD ==，30B D ∠=∠=°，根据AM BC ⊥得到BM =，根据中点性质和旋转性质推出90BNM ∠=°，得到MN =； （2）延长FN 到点G ，使GN FN =，连AG ，BG ，根据三角形中位线性质得到2BG EN =，EN BG ∥，得到GBC NEF ∠=∠，根据2NEF ABC ∠=∠，推出30GBA ABC ∠=∠=°，根据等腰三角形性质得到BM CM =，30ABC ACB ∠=∠=°，得到ABG ACF ∠=∠，结合EF BE =推出2CF EM =，由EN EM =推出BG CF =，推出()SAS ABG ACF ≌，得到AG AF =， BAG CAF ∠=∠，推出AN FG ⊥，GAF BAC ∠=∠，推出30AFG ACB ∠=∠=°， 得到12AN AF =； （3）根据点P 为MN 中点，得到当点N 绕着点E 旋转时，点P 绕着EM 的中点O 旋转，根据含30°的直角三角形性质得到2AM =，BM =，根据中点性质得到OP =，根据勾股定理得到OA =，运用三角形面积公式求出AOM S = ，当AP 最小时，点P 在OA上，推出OPM OAM S S =，得到OPM S =EMN S = 【小问1详解】如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB CD ==，30B D ∠=∠=°，∵AM BC ⊥，∴BM AB =， ∵点E BM 中点， ∴12BE EM BM ==， 由旋转知，EN EM =，∴ENM EMN ，BE EN =，∴ENB EBN ∠=∠，是∴()1902BNM ENB ENM BNM BMN MBN ∠=∠+∠=∠+∠+∠=°，∴12MN BM ==； 【小问2详解】12AN AF =，证明如下： 如图2，延长FN 至点G ，使GN FN =，连AG ，BG ，∵EF BE =，EN ∴是BFG 的中位线，∴2BG EN =，EN BG ∥，∴GBC NEF ∠=∠，∵2NEF ABC ∠=∠，∴2GBC ABC ∠=∠，∴30GBA ABC ∠=∠=°，∵ AB AC =，∴BM CM =，30ABC ACB ∠=∠=°，∴GBA ACB ∠=∠，∵()22CF BC BF BM BE EM =−=−=，∴BG CF =，∴()SAS ABG ACF ≌，∴AG AF =，BAG CAF ∠=∠，∴AN FG ⊥，∵BAG CAF ∠=∠，∴BAG BAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴GAF BAC ∠=∠，∴30AFG ACB ∠=∠=°， ∴12AN AF =；【小问3详解】∵点P 为MN 中点，∴当点N 绕着点E 旋转时，点P 绕着EM 的中点O 旋转，如图3，连接OA ，EP ，设OAM △的边OA 上的高为h ，∵4AB =， ∴122AM AB ==，BM =， ∵点E 为BM 中点，∴12EM BM ==，∴12OP OM EM ===∴OA =，12OAM S OM AM =⋅= ， 当AP 最小时，点P 在OA 上，此时，1212OPM OAM OP hS S OA h ⋅==⋅∴OPM S = ∵2EPM OPM S S = ，∴24EMN EPM OPM S S S === ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，含30°的直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等问题，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．。

第一讲初升高衔接两个代数式，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形．代数恒等变形的技巧和方法是学习代数的基础，它的熟练运用需要代数学习过程中的不断积累和经验总结．代数恒等变形的能力很大程度上决定了代数解题能力的强弱．知识点睛代数恒等变形满分晋级函数１级初升高衔接函数２级集合函数３级映射与函数１．乘法公式必须掌握下列乘法公式：⑴立方和公式()()a b a ab b a b 2233+-+=+；⑵立方差公式()()a b a ab b a b 2233-++=-；⑶三数和平方公式()()a b c a b c ab bc ac 2222++=+++2++；⑷两数和立方公式()a b a a b ab b 33223+=+3+3+；⑸两数差立方公式()a b a a b ab b 33223-=-3+3-．２．分母（子）有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，，b 与b 互为有理化因式．分母（子）有理化是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号的过程．３．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，主要有：提取公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法等等．另外还应了解待定系数法及求根法．若关于x 的二次方程ax bx c 2++=0的两个实根是x x 12，，则有()()ax bx c a x x x x 212++=--．可以推广到高次多项式，若方程n n n n a x a x a x a -1-110++++=0 有实根x 0，则n n a x a x a 10+++ 含有因式x x 0-．４．代数恒等变形基本方法恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边-右边=0或=1左边右边（右边≠0）”，可得左边＝右边．4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路．代数式一些比较基本的变形方法：①因式分解法；②配方法；③换元法；④代入法；⑤拆项添项法；⑥参数法【例1】⑴化简下列式子：①()()()()()()x y z y z x z x y x y y z z x 222222+-2++-2++-2-3--3--3-；②x y3+-⑵已知a b c ++=0，求a b c b c c a a b 111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．⑶设a ，小数部分为b①求a b ，；②求aba b 22++2．⑷已知x y ==，，求x y 44+的值．例题精讲【例2】⑴已知xyzw =1，求下面代数式的值x xy xyz y yz yzw z zw zwx w wx wxy1111+++1+++1+++1+++1+++⑵已知()()a b b c c aa b b c c a +++==-2-3-，且a b c ，，互不相等，求证a b c 8+9+5=0．【例3】⑴分解因式：2635x x +-．⑵证明：当n 为大于2的整数时，n n n 53-5+4能被120整除．【例4】已知,x y ∈R ，求证：()x y xy x y 22++3+-1≥．１．一元二次方程⑴判别式一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0，判别式b ac2∆=-4①当b ac 2-4>0时，方程有两个不相等的实数根：b x a 12-=2，②当b ac 2-4=0时，方程有两个相等的实数根：bx a12=-2，③当b ac 2-4<0时，方程没有实数根．⑵韦达定理一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两个根为x x 12，，则b cx x x x a a1212+=-=，需要熟悉的几个变形：x x 12-x x x x x x 121212+11+=，()x x x x x x 222121212+=+-2，()()x x x x x x x x 23312121212⎡⎤+=++-3⎣⎦韦达定理体现了整体思想．２．多元方程组解多元方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化多元为一元，降次就是把多次降为二次、一次，因此可以通过消元和降次把多元方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．【例5】若x x 12，是关于x 的方程()x k x k 22-2+1++1=0的两个实数根，且x x 12，都大于1．⑴实数k 的取值范围；⑵x x 121=2，求k 的值．例题精讲知识点睛方程与方程组【例6】⑴解方程组2215y x x y =+⎧⎨+=⎩⑵设k 9≥，解方程x kx k x k 322+2++9+27=0．⑶解方程组：xy x y xz x z yz y z =2+-1⎧⎪=3+4-8⎨⎪=3+2-8⎩．１．平行线分线段成比例，相似２．三角形的五心重心、内心、旁心、外心、垂心的性质．３．圆①相交弦定理、切割线定理等．②判定四点共圆：凸边形对角互补、一个外角等于内对角、一条公共边的同侧的张角相等等．知识点睛平面几何【例7】已知ABC △面积为1，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，BD DC =2，CE EA =2，AF FB =2，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ．求PQR △的面积．【例8】如图ABC △的两条高线AD BE ，交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG △与GAH △面积之比为（）FD BCO GH EAA ．:14B ．:13C ．:25D ．:12例题精讲【例9】如图，在Rt ABC △中，C ∠=90︒，CH AB ⊥，H 为垂足，圆O 1和圆O 2分别是AHC △和BHC △的内切圆，两圆的另外一条外公切线分别交AC ，BC 于P ，Q ．求证：P ，A ，B ，Q 四点共圆．A设a b c ，，分别为一个三角形三边的边长，证明：()()()a b a b b c b c c a c a 222-+-+-0≥，并指出等号成立的条件．华山论剑练习1⑴已知a b c ，，为实数，且满足2221a b c ++=，且a b c b c c a a b 111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-3 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求a b c ++的值．⑵已知x y z a ++=3（a ≠0，且x y z ，，不全相等），求()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a 222--+--+---+-+-的值．⑶已知a b c ++=3，a b c 222++=29，a b c 333++=45，求()()()ab a b bc b c ca c a +++++的值．练习2⑴已知22136410x xy y x -+-+=，求()2012x y x +的值．⑵如果a b c +4+9=14，a b c ab bc ca 222++=++，求a b c 234++的值．练习3已知x y z xyz++=证明：()()()()()()x y z y x z z x y xyz 2222221-1-+1-1-+1-1-=4．实战演练练习4解方程3．练习5如图，ABC △内接于O ，过BC 中点D 作平行于边AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交O 于G 、F ，交O 在A 点处的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为（）A B ．C ．D ．练习6已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．⑴是否存在实数k ，使()()x x x x 121232--2=-2成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．⑵求使x xx x 1221+-2的值为整数的实数k 的整数值．。

福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．x44415．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE V 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为.三、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫做图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为； ②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为．四、解答题方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？(3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ．①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.。