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2017年高考数学一轮复习第十二章统计与概率第81课几何概型概率教案(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学一轮复习第十二章统计与概率第81课几何概型概率教案(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几何概型概率一、教学目标1．了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义；2．了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题.二、基础知识回顾与梳理1、一元二次方程022=++a x x ，（1）若{}2,1,0,1,2--∈a ，则方程有解的概率是__________．(2）若[]2,2-∈a ，则方程有解的概率是__________．【教学建议】本题主要是帮助学生正确区分古典概型与几何概型。
教学时，可让学生总结古典概型与几何概型的区别与联系，进而分析本题的两问分别属于哪种类型。
在正确判断的基础上，进一步思考古典概型与几何概型的求解方法,古典概型中的n m ,是多少，几何概型中区域d D ,选什么。
另外本题中还要注意方程有解的条件以及引导学生正确求解区间的长度。
2、某电台整点新闻节目都是播放15分钟，你随机的打开收音机，刚好在播新闻的概率是__________．【教学建议】本题改编自课本习题，目的是复习与长度有关的几何概型。
教学时，引导学生分析打开收音机的时刻是不是随机的？是不是两整点之间的任何时刻都有可能,具不具有等可能性?该选用哪种概型来求解？选什么作为几何度量?3、在一杯10升的清水中,有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率是__________．【教学建议】本题主要是复习与体积有关的几何概型。
《高三数学复习教案：概率与统计分析》高三数学复习教案：概率与统计分析概率与统计分析是高中数学复习中重要的一部分，也是考试中常见的考点。
通过掌握概率与统计分析的基本概念、运算方法和实际应用，能够帮助同学们提高解题能力，提升数学成绩。
一、基本概念1. 概率的定义和性质：概率是指某种事件发生的可能性大小。
在数学上，可以用一个介于0与1之间的实数表示概率。
当某个事件必然发生时，其概率为1；当某个事件不可能发生时，其概率为0。
概率具有加法法则、乘法法则和互斥事件等性质。
2. 随机变量和概率分布：随机变量是随机试验结果的函数。
离散随机变量取有限或可列无穷多个可能值，而连续随机变量则取无限多个可能值。
随机变量的概率分布由它取各个可能值及其对应的概率所构成。
二、运算方法1. 排列组合：在排列组合问题中，我们经常需要计算某些事件出现的可能性。
排列是指从n个不同元素中选取m个元素进行排序，可以用数学公式P(n,m)表示；组合是指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其顺序，可以用数学公式C(n,m)表示。
2. 概率计算方法：a. 事件的概率为发生该事件的样本数与总样本空间的大小之比。
b. 随机变量的期望值是每种可能取值乘以相应概率后求和得到的。
c. 随机变量的方差是每种可能取值与期望值之差的平方乘以相应概率后求和得到的。
三、实际应用1. 排列组合在实际问题中的应用：在日常生活和工作中，排列组合思想经常被用到。
比如，在组织活动时需要确定座位安排，则可以通过计算排列或组合的方法来得到不同座位安排方式的数量。
2. 概率在实际问题中的应用：概率理论广泛应用于金融、保险、医疗等领域。
比如，在投资决策中，通过对某只股票未来走势进行概率分析，可以帮助投资者做出更明智的决策。
3. 统计分析的应用：统计分析是对大量数据进行整理、分析和解释的过程。
在日常生活中，通过统计分析可以了解人口结构、收入水平、消费习惯等信息，从而为社会制定相关政策提供参考。
第十一讲 复习统计一、本讲进度《统计》复习 二、本讲主要内容1、本章内容是初中《统计初步》与高中《概率》内容的深入和扩展，对数理统计中要研究的两个基本问题；如何从总体中抽取样本以及如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断，作了初步的介绍。
几个基本名词：在统计中，考察对象的全体称为总体，总体中的每一个对象称为个体。
若记总体中N 个个体取值分别为x 1，x 2，…，x N ，则称)x x x (N1N 21+++=μ 为总体平均数（μ为N 个个体的算术平均数）若记])x ()x ()x [(N12N 22212μ-+μ-+μ-=σ ，则称σ2为总体方差，σ称为总体标准差。
初中《统计初步》的主要内容⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧平均数样本平均数去估计总体样本容量等样本个体总体样本去估计总体频率分布从整体分布上描述标准差方差描述其被动大小中位数众数平均数描述集中趋势从特征数上描述描述一组数据的方法,,, 2、抽样方法的分类：按照抽取样本时总体中的每个个体被抽取的概率是否相等⎩⎨⎧不等概率抽样等概率抽样本章只研究等概率抽样 等概率抽样⎩⎨⎧不放回抽样放回抽样常用的三种抽样方法的比较：3、用样本的频率分布估计总体分布，分两种情况：（1）当总体中的个数体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图。
例如射击的环数，掷单粒骰子时出现的点数等；（2）当总体中的个体取不同值较多甚至无限时，此时需要对样本数据进行整理，其频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率。
画第二种情况频率分布图的步骤是： ①计算最大值与最小值的差； ②决定组距与组数；③决定分点，通常使分点比数据多一位小数，并且把第一小组的起点稍微减小一点； ④列出频率分布表； ⑤画出频率分布直方图频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线——反映总体分布的概率密度曲线。
高三数学教案学习概率与统计教案学习概率与统计概率与统计是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的考点之一。
为了提高高三学生对概率与统计的理解和应用能力，我们需要设计一份有效的数学教案。
本教案将围绕概率与统计的基本概念、计算方法以及相关应用展开。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.理解概率与统计的基本概念；2.掌握概率的计算方法，包括事件的概率计算、互斥事件和独立事件的概率计算等；3.掌握统计的基本方法，包括频数、频率和统计图的绘制等；4.了解概率与统计在现实生活中的应用。
二、教学准备1.教师准备：教案、教材、多媒体设备、统计学相关的实例、学生作业等。
2.学生准备：课本、笔记本、作业本。
三、教学过程1.引入（10分钟）教师通过设计问题，引导学生思考概率与统计在日常生活中的应用。
例如，“你们有没有在购物中遇到打折的情况？如何判断打折的商品真的划算？”2.知识讲解（30分钟）2.1 概率的基本概念教师通过简单的实例，引导学生了解概率的基本概念。
例如，“抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是多少？为什么？”2.2 事件的概率计算教师介绍事件的概率计算方法，包括理论概率和频率概率的计算方法，并通过具体的问题进行演示。
2.3 互斥事件与独立事件教师讲解互斥事件与独立事件的概念和判定方法，并通过实例让学生进行探究。
2.4 统计的基本概念教师介绍统计的基本概念，包括频数、频率和统计图的绘制方法，并通过实际数据进行讲解。
3.练习（30分钟）教师设计一系列练习题，让学生独立或小组合作完成。
题目应包含概率的计算、互斥事件和独立事件的判断、统计图的绘制等。
教师可以提供不同难度的题目，以满足不同的学生学习需求。
4.扩展应用（20分钟）教师设计一些与现实生活相关的问题，引导学生将所学的概率和统计知识应用到实际问题中。
例如，“你们所在班级同学的身高分布是否符合正态分布？”学生可以通过调查收集数据并绘制统计图进行分析。
课时57 事件与概率（课前预习案）班级： 姓名：一、高考考纲要求：1、 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2、 了解两个互斥事件的概率加法公式．3、理解古典概型及其概率计算公式. 二、高考考纲要求：1．事件的分类：在一定条件下，必然发生的事件叫做______________,肯定不会发生的事件叫做________；__________________的事件叫做随机事件.在一次试验中，所有可能发生的基本结果是试验中不能____________的最简单的随机事件，其他事件可以用他们来描绘，这样的事件称为___________,所有___________构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母_______来表示. 2．频率和概率一般的，在n 次________进行的试验中，事件A 发生的频率nm，当n 很大时，总是在某个_________附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度__________,这时就把这个______叫做事件A 的概率，记作P(A). 3．概率P(A)的几个基本性质(1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(A)＝ . (3)不可能事件的概率P(A)＝ . 4、互斥事件与对立事件：事件A 与事件B 互为互斥事件： 即A ∩B=事件A 与事件B 互为对立事件： 即A ∩B ＝∅且__________特别提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件．5、互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝ ．若事件123,,,n A A A A ⋅⋅⋅中任意两个都互斥，则事件123,,,n A A A A ⋅⋅⋅至少有一个发生的概率P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝三、课前检测1．两个事件对立是这两个事件互斥的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．从6个男生、2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是( )A．3个都是男生B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生3．口袋内有一些大小相同的红球、白球和蓝球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出蓝球的概率是（）A．0.8 B．0.2 C．0.5 D．0.34．下列说法中，正确的是 ( )①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．A．①②③④ B．①④⑤ C．①②③④⑤ D．②③5．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是__________.课时59 事件与概率 (课内探究案)班级：姓名：考点一随机事件的判断与概率【典例1】从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.【变式1】某入伍新兵在打靶训练中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．2次都中靶C． 2次都不中靶 D．只有一次中靶考点二频率与概率（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？第三组的频数和频率分别是 .考点三互斥事件与对立事件【典例3】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）射中次数少于7环的概率.【变式3】甲、乙两人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下平局的概率为当堂检测1.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾．根据上述数据，可估计水库内鱼的尾数为．2.向三个相邻的军火库投一个炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中第二个,第三个军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率为 .3.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?课时 59 事件与概率 (课后巩固案)班级： 姓名： 完成时间：30分钟1.每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是41，我每题都选第一个选择支，则一定有3题选择结果正确．”这句话 ( ) A ． 正确 B ． 错误 C ． 不一定 D ． 无法解释2.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.53．将一批数据分成4组，列出频率分布表，其中第1组的频率是0．27，第2组与第4组的频率之和为0．54，则第3组的频率是 ．4.某种彩色电视机的一等品率为90%，二等品率为8%，次品率为2%，某人买了一台该种电视机，则这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率为 ，这台电视机不是一等品的概率5.由经验得知，在某超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下．求：（1）至多2人排队的概率；（2）至少2人排队的概率．1. 从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5,已知袋中红球有3个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( ).A.5个B.15个C.10个D.8个、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)2. 某小组共有A B C D E如下表所示:(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率课时59 事件与概率参考答案课前检测1.A2.B3.B4.B5.0.52【典例1】（1）是互斥事件，但不是对立事件；（2）不是；（3）不是；（4）是互斥事件也是对立事件. 【变式1】C【典例2】（1）0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91；（2）0.90.【变式2】14 0.14【典例3】（1）0.44；（2）0.03【变式3】0.5【当堂检测】1.25000；2.0.2253.得到黑球的概率为14；得到黄球的概率为16；得到绿球的概率为14.1.B2.C3. 0.194.0.98;0.15.（1）0.56；（2）0.74.1.B2.（1）12；（2）310.。
高考数学一轮总复习统计与概率应试技巧整理一、引言在高考数学考试中，统计与概率是一个重要的考点，也是一些学生容易出现困惑的部分。
为了帮助同学们更好地复习和备考，本文将整理一些高考数学统计与概率的应试技巧。
二、基础知识梳理在复习统计与概率前，要先掌握相关的基础知识。
常见的统计与概率的基础知识包括：事件的概念、随机事件的概念、样本空间与事件的关系、频率与概率的概念、设备的概念等。
掌握这些基础知识是理解后续内容的基础。
三、常见概念与公式1. 概率的基本性质在复习概率时，要了解概率的基本性质。
例如，概率是介于0和1之间的实数，所有样本点的概率之和为1等。
2. 条件概率条件概率是统计与概率中的重要概念，也是高考考点中常见的一部分。
复习时，要掌握条件概率的计算方法和应用，包括乘法定理和全概率公式等。
3. 事件的运算了解事件的运算是复习统计与概率的关键。
在考试中，往往需要对事件进行求交集、求并集、求补集等运算。
复习时，要熟练掌握这些运算的方法，并能够灵活应用。
4. 离散型随机变量与概率分布在统计与概率中，离散型随机变量是一个重要的概念。
复习时，要了解离散型随机变量的概念及其概率分布函数，包括分布列、累积分布函数等。
5. 连续型随机变量与概率密度函数与离散型随机变量类似，连续型随机变量也是一个重要的概念。
复习时，要了解连续型随机变量的概念及其概率密度函数，包括密度函数的性质、分布函数的计算等。
6. 统计图表的应用在高考数学中，统计图表的应用经常出现。
复习时，要熟悉各种统计图表的类型、特点和应用场景，包括条形图、折线图、饼图、散点图等。
四、解题技巧与策略1. 增强计算能力统计与概率涉及到大量的计算，而高考数学试卷的时间是有限的。
因此，提高计算速度和准确性是非常重要的。
可以通过多做一些练习题、刷一些真题来提升计算能力。
2. 理解题意，理顺思路在解决统计与概率的题目时，往往需要理解题意，抓住关键信息，进行问题分析。
然后，根据问题的要求，选择合适的方法和技巧来求解。
《概率与统计》复习课通过对《概率》的复习让学生进一步认识到概率是研究和揭示统计规律的数学工具，对决策的制定有重要的作用。
是我们认识世界、征服世界的工具。
同时让学生深刻体会概率中必然与偶然对立统一的辩证思想。
已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖。
与湖北卷相比，全国卷重视数据处理能力得到了很好地体现。
一．2016年考试大纲全国卷1与湖北卷相比较：二．近四年全国卷1中本专题的考试特点与命题规律：(1)题型与分值均不变从近四年全国卷1看：无论文理题型都稳定为一大一小两道题，分值17分，占比约11%。
(2)考查内容不变这四年中仅有2013年的理数卷是小题考查统计（抽样方法），大题考查概率（条件概率）。
其余五卷均与之相反，都是小题考查概率，大题考查统计知识。
(3) 密切联系教材，重视对基础知识和基本技能考查试题通常是通过对常见题型进行改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧的实际问题．(4)重点考察本单元知识在实际生活中的应用文科小题一般主要考查古典概型，难度较小。
解答题以对统计的考查为主，几乎所有的统计考点都有所涉及，应用性和开放性都越来越强，对学生的能力要求越来越高。
(5)试题的文字、数据和图形的信息量大由此预计这些特点2017年依然会延续下去。
三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）1.指导思想以基础知识为明线，数学思想作暗线，突出主线（解题方法，思维能力）2．课时安排本单元包括6讲和1个120分钟标准单元能力检测卷，每讲连课时训练一起2课时，试卷2课时，共需14课时完成．3.单元知识体系四．重点知识强化策略包括常见题型和解题方法，难点突破策略。
教学重点1.基本概念和基本公式。
如等可能性事件的概率、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验。
2.常见题型的解题方法。
如抽样方法，频率分布表和频率分布直方图，离散型随机变量分布列和数学期望、方差。
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)第十二编概率与统计§12.1 随机事件的概率1.下列说法不正确的有 .①某事件发生的频率为P（A）=1.1②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案①③④2.给出下列三个命题，其中正确命题有个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.答案03.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， .答案0.97 0.034.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 .答案5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率之和为 .答案例1盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是.（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥. 2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78. 10分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22. 14分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.(1)“3件都是二级品”是什么事件？（2）“3件都是一级品”是什么事件？（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m45 92 194 470 954 1 902 优等品频率（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）解（1）依据公式p=，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.解方法一记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出红球或黑球的概率为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.（2）取出红或黑或白球的概率为P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.方法二（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4，∴取出红球或黑球的概率为P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）=1--==.（2）A1+A2+A3的对立事件为A4.P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.一、填空题1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 .答案2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.答案2次都不中靶3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的条件.答案必要不充分4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 .答案5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 .答案0.26.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 .答案0.807.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .答案8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案50%二、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够7环的概率.解（1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.（2）设“少于7环”为事件C，则P（C）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数0 1 2 3 4 5人及以上概率0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 求：（1）派出医生至多2人的概率；（2）派出医生至少2人的概率.解记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”.∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.解方法一因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）==.方法二记事件C为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C，且A与C互斥.又因为P（C）=，P（A）=，所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）=+=.方法三记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A+B不发生.又事件A+B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A+B与事件D为对立事件.因为P（D）==，所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到解得.∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.§12.2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .答案2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 .答案3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 .答案4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 .答案5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上” .则P(M)= ,P(N)= .答案例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10³9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6³4=24.∴P（A）===.（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为4³3=12.∴由古典概型概率公式，得P（B）==,由对立事件的性质可得P（C）=1-P（B）=1-=.例3（14分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果. 7分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=. 10分（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P==. 14分方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P==，所以至少有一个5点或6点的概率为1-=. 14分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.2.（2008²山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.（1）求A1被选中的概率；（2）求B1和C1不全被选中的概率.解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2 ,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1 ),(A3,B3,C2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}事件M由6个基本事件组成，因而P（M）==.（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于={（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件有3个基本事件组成，所以P（）==，由对立事件的概率公式得P（N）=1-P（）=1-=.3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:（1）A:取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为P（A）==.（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个.∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率P（B）=.一、填空题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10 P1（填“＞”“＜”或“=”）.答案=2.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为 .答案3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .答案4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .答案5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件C n（2≤n≤5，n∈N），若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为 .答案3和46.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率是 .答案7.（2008²江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .答案8.（2008²上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.答案二、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率P（A）；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1=.（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5³4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2==.（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3³2=6种基本事件，∴P3==.（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有A种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致. （2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率P=.11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解（1）设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.从袋中任取2个球的所有可能的结果数为=21.由题意知==，∴n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A，则P（A）==.（3）记“甲取到白球”的事件为B，“第i次取到白球”为A i，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.所以P（B）=P（A1+A3+A5）.因此A1，A3，A5两两互斥，∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）=++=++=.12.（2008²海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解(1)总体平均数为 (5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P（A）=.§12.3 几何概型1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为 .答案2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .答案4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .答案5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为 .答案例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）===0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为=. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解1升=1 000毫升，1分记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 3分则P（A）==0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”. 9分则P（B）==0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03. 14分例4在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率. 解设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′==75°,=90-75=15， =90，所以，P（D）==.例5甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P（A）====.所以，两人能会面的概率是.1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A 与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？解记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30³=10（米），∴P（E）==.2.（2008²江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 .3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵=0.1升， =2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）====0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）==.5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞,x+l-x-y＞yy＜,y+l-x-y＞xx＜.故所求结果构成集合A=.由图可知，所求概率为P（A）===.一、填空题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是 .2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是 .答案3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .答案4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .答案1-5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 .答案6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .答案7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 .答案二、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为³1222 cm2的大圆内，而当中靶点在面积为³12.22 cm2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率P（A）==0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题， =12-³³=， =1，所以P（A）==.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.若∠CAM＜30°,则0＜x＜a,故∠CAM＜30°的概率为P（A）==.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°,故∠CAM＜30°的概率为P（B）==.12.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）==.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)= =.§12.4 随机变量及其概率分布1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 .答案72.下列表中不能成为随机变量X的概率分布的是 .①X -1 0 1P 0.3 0.4 0.4。
